Реферат на тему теорема птолемея

Обновлено: 05.07.2024

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ 1 СЛАЙД.docx

1 СЛАЙД Изучая на уроках географии так называемую геоцентрическую систему мира Птолемея, мы даже не догадывались, какими разносторонне образованными были уже в то для нас очень далёкое время люди. На уроках геометрии мы познакомились с трудами Евклида, Пифагора, Фалеса. И в один ряд с ними можно поставить и Птолемея.

2СЛАЙД Греческий геометр, астроном и физик Клавдий Птолемей провёл большую часть жизни в Александрии, где в 127 –151 гг. производил астрономические наблюдения; никаких сведений о его биографии и даже о месте рождения не сохранилось. Основное сочинение Птолемея по астрономии – «Великое математическое построение астрономии в 13 книгах.

3СЛАЙД Велико было практическое значение работ Птолемея для мореплавания и определения географических координат. Он много сделал для развития и использования теории картографических проекций.

5СЛАЙД Интересна для изучения, развитая Птолемеем теория зеркал, таблицы углов преломления при переходе светового луча из воздуха в воду и в стекло, а также теория и таблица астрономической рефракции (причём Птолемей предполагает, что атмосфера простирается до Луны).

6СЛАЙД С именем Птолемея (l l в. н. э.) связаны наибольшие достижения греческой тригонометрии. И хотя Птолемей не знал синусов, косинусов, тангенсов, он, опираясь на труды Гиппарха(190 – 125 г. г. до н. э.) составил знаменитые таблицы хорд дуг окружностей. Таблицы хорд Птолемея, сохранившиеся до наших дней, соответствуют таблице синусов от 0° до 90° (через 0,25°)- с пятью верными знаками после запятой.

7СЛАЙД Велик вклад Птолемея и в геометрию. Четырехугольники, вписанные в окружность, представляют собой замечательные фигуры, которые имеют ряд интересных метрических соотношений элементов. Они обладают более высокой структурной симметрией, чем сходные соотношения между элементами треугольников. Одним из свойств для четырехугольников, вписанных в окружность, интересным является свойство, сформулированное в теореме Птолемея.

Теорема Птолемея это теорема элементарной геометрии, утверждающая, что произведение длин диагоналей вписанного в круг четырёхугольника равно сумме произведений длин его противоположных сторон.

8СЛАЙД Мы думаем важны при решении геометрических задач и следствия из теоремы.

9СЛАЙД Мы знаем, что существует более ста способов доказательства теоремы Пифагора. Один из них – это использование теоремы Птолемея.

10СЛАЙД Также теорема используется при доказательстве других теорем. Например, используя теорему Птолемея можно доказать теорему косинусов.

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Актуальность :

-Исследованные теоремы и задачи способствуют эффективному и рациональному решению задач;

-Данная работа позволяет расширить знания по геометрии, умения применения ранее неизвестных теорем при решении задач школьного курса геометрии.

Цель работы: Изучение и доказательство теоремы Птолемея, решение задач и собрание информации по данной теме.

Гипотеза: Пусть М произвольная точка окружности, описанной около равностороннего треугольника АВС. Докажите, что один из отрезков МА, МВ, МС равен сумме двух других.

Найти и изучить информацию о Птолемее и его трудах.

Доказать теорему различными способами посредством решения задач.

Доказать или опровергнуть гипотезу.

Методы теоретического уровня:

изучение и обобщение;

анализ и синтез информации;

Клавдий Птолемей. Клавдий Птолемей - древнегреческий астроном, астролог, математик, механик, оптик, теоретик музыки и географ занимает одно из самых почетных мест в истории мировой науки. История довольно странным образом обошлась с личностью и трудами Птолемея. О его жизни и деятельности нет никаких упоминаний у современных ему авторов. В исторических работах первых веков нашей эры Клавдий Птолемей иногда связывался с династией Птолемеев , но современные историки полагают это ошибкой, возникшей из-за совпадения имён (имя Птолемей было популярным на территории бывшего царства Лагидов ). Римский номен (родовое имя) Клавдий ( Claudius ) показывает, что Птолемей был римским гражданином, и предки его получили римское гражданство , скорее всего, от императора Клавдия .

В честь Клавдия Птолемея названы:

Кратер на мерсе

Астероид номер 4001

В колледже святого Иоанна в Аннаполисе в Санта Фе имеется камень Птолемея используемый в математических курсах в двух кампусах.

Работы и исторические сведенья. До нашего времени дошло много научных трудов этого древнего грека. Они стали для историков основным источников изучения его жизни

"Великое собрание" или "Альмагест" - главный труд ученого. Это монументальное сочинение из 13 книг можно по праву назвать энциклопедией древней астрономии. Также в ней есть главы, посвященные математике, а именно тригонометрии.

"Оптика" - 5 книг, на страницах которых изложена теория о природе зрения, о преломлении лучей и зрительных обманах, о свойствах света, о плоских и выпуклых зеркалах. Там же описываются законы отражения.

"Учение о гармонии" - работа в 3 книгах. К сожалению, подлинник до наших дней не дошел. Мы можем ознакомиться только с сокращенным арабским переводом, с которого позже "Гармоника" была переведена на латынь.

"Четверокнижие" - работа по демографии, в которой изложены наблюдения Птолемея о продолжительности жизни, дано разделение категорий возрастов.

"Подручные таблицы" - хронология правления римских императоров, македонских, персидских, вавилонских и ассирийских царей с 747 года до н.э. до периода жизни самого Клавдия. Эта работа стала очень важной для историков. Верность ее данных косвенно подтверждена другими источниками.

"Тетрабиблос" - трактат посвящен астрологии, описано движение небесных тел, их влияние на погоду и на человека

" География" - свод географических сведений античности в 8 книгах.

К сожалению не все труды Клавдия Птолемея дошли до нас, некоторые были утеряны:

Геометрия - в этой области было написано минимум 2 сочинения, следов которых найти не удалось.

Работы по механике также существовали. Согласно Византийской энциклопедии 10 века, Птолемей является автором 3 книг из этой области науки. Ни одна из них до нашего времени не сохранилась.

Теорема и формулировки.

Для начала разберемся в значении слова теорема .

ТЕОРЕ́МА , -ы, ж. Математическое положение, истинность которого устанавливается путем доказательства. Теорема Пифагора. Доказать теорему.

Птолемею принадлежат три геометрические теоремы, описывающие некоторые свойства диагоналей четырёхугольника, вписанного в окружность. Но нас интересует данная теорема:

В древности звучала так : Прямоугольник, построенный на диагоналях вписанного в круг четырехугольника, равен сумме прямоугольников, построенных на противоположных сторонах.

Современная формулировка: Произведение диагоналей вписанного в окружность четырехугольника равно сумме произведений его противолежащих сторон.

Примеры доказательств. Доказательство теоремы :

Близкое к доказательству самого Птолемея.

Возьмем на диагонали АС точку М (рис.1) такую, что ABM=CBD . Поскольку CDB= MAB как вписанные, треугольники BCD и АВМ подобны.Поэтому , т.е. ABCD =АМBD (1) Из того, что ABD =MBC по построению, a BCM =ADB как вписанные, следует, что  ABD ~ МВС . Значит, или ADВС = BDСМ (2)

Сложив почленно равенства (1) и (2), получим ABCD+ADВС= BD(AM + CM)=BDАC , что и требовалось доказать.

(Рис. 1)

Существует также редко встречающееся в литературе доказательство теоремы Птолемея (с использованием метода площадей).

И распространённое доказательство теоремы с использованием инверсии.
Инверсия – преобразование евклидовой плоскости , переводящее обобщённые окружности (окружности либо прямые) в обобщённые окружности, при котором одна из окружностей поточечно переводится в себя.

Решение задачи из учебника.

Отложим на луче AМ отрезок AМ ₁ , равный отрезку ВМ . Тогда треугольники AМ ₁ С и ВМС равны по двум сторонам и углу между ними. В треугольнике СММ ₁ СМ ₁ = СМ , ∠ СММ ₁ = ∠ СМA = ∠ СВA = 60°. Поэтому ММ ₁ = СМ . Следовательно, AМ = AМ ₁ + М ₁ М = BМ + CМ .

По теореме Птолемея. AМ  CВ = ВМ  АС + АВ  МС, а так как ВС=АС-АВ ,то МА= МС+ВМ.

Гипотеза доказана.

Работая над исследованием стояла цель: Изучение и доказательство теоремы Птолемея, решение задач и собрание информации по данной теме. Я считаю, что установленная цель выполнена, теорема Птолемея доказана, а значит и поставленная гипотеза тоже. Доказана актуальность моей работы. Были поставлены задачи:

- Найти и изучить информацию о Птолемее и его трудах.

- Доказать теорему различными способами посредством решения задач.

- Опровергнуть или доказать гипотезу.

С поставленными задачами я справилась в данной работе.

В данном научно исследовательском проекте мы узнали, что даже если суть теоремы Птолемея довольно проста, применение данной теоремы и её обобщений охватывает обширную область математических проблем.

Определение 1 . Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником .

Теорема 1 . Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180° .

Доказательство . Угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу ADC (рис.1). Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги ADC . Угол ADC является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC . Поэтому величина угла ADC равна половине угловой величины дуги ABC . Отсюда вытекает, что сумма величин углов ABC и ADC равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180° .

Если рассмотреть углы BCD и BAD , то рассуждение будет аналогичным.

Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E , и соединим отрезком точку E с точкой A (рис.2). Поскольку четырёхугольник ABCE вписан в окружность, то в силу теоремы 1 сумма величин углов ABC и AEC равна 180° . При этом сумма величин углов ABC и ADC так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC . Возникает противоречие, поскольку угол ADC является внешним углом треугольника ADE и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC , не смежного с ним.

Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.

Теорема 2 доказана.

Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Окружность, описанная около параллелограмма

Четырехугольники вписанные в окружность свойства теорема Птолемея

Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.

Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея . Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Доказательство . Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD , вписанный в окружность (рис.3).

Докажем, что справедливо равенство:

Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).

Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E ), угол ADB равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

откуда вытекает равенство:

Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, пирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Дано:

4-угольник ABCD вписан в окр. (O; R)

Из треугольников ABC и ADC по теореме косинусов

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC \cdot \cos \angle ABC,$

$AC^2 = CD^2 + AD^2 - 2CD \cdot AD \cdot \cos \angle ADC.$

Введём обозначения AB=a, BC=b, CD=c, AD=d, AC=d₁, BC=d₂.

$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos \angle ABC,$

$d_1^2 = c^2 + d^2 - 2cd \cdot \cos \angle ADC,$

$\cos \angle ADC = \frac<<c^2 + d^2 - d_1^2 > >>.$

Так как четырёхугольник ABCD — вписанный, то ∠ABC+∠ADC=180°.

$cd(d_1^2 - (a^2 + b^2 )) = ab((c^2 + d^2 ) - d_1^2 ),$

$cd \cdot d_1^2 + ab \cdot d_1^2 = ab(c^2 + d^2 ) + cd(a^2 + b^2 ),$

$= \frac<<(abc^2 + a^2 cd) + (abd^2 + b^2 cd)> >> =$

$= \frac<<(ac + bd)(ad + bc)> >>.$

$d_2^2 = \frac<<(ab + cd)(ac + bd)> >>.$

$d_1^2 \cdot d_2^2 = \frac<<(ac + bd)(ad + bc)(ab + cd)(ac + bd)> ><<(ab + cd)(ad + bc)>> = (ac + bd)^2 ,$

Что и требовалось доказать.

В ходе доказательства получили полезные соотношения:

1) Диагонали вписанного четырёхугольника связаны с его сторонами равенствами:

$d_1^2 = \frac<<(ac + bd)(ad + bc)> >>;d_2^2 = \frac<<(ab + cd)(ac + bd)>>>.$

2)Отношение диагоналей вписанного четырёхугольника.

$\frac<<d_1^2 > >> = \frac<<(ac + bd)(ad + bc)>>>:\frac<<(ab + cd)(ac + bd)>>> = \frac<<(ad + bc)^2 >><<(ab + cd)^2 >>,$

$\frac<<d_1 > >> = \frac>>,$

то есть диагонали вписанного четырехугольника относятся как суммы произведений сторон, сходящихся в концах диагоналей.

Построим угол CBK, равный углу DBA.

У треугольников CBK и DBA

∠CBK=∠DBA (по построению)

Значит треугольники CBK и DBA подобны (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

$\frac<<BC> >> = \frac>>,$

откуда по основному свойству пропорции

Рассмотрим треугольники ABK и DBC.

∠BAK=∠BDC (как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу BC).

а так как ∠ABD=∠CBK, то и ∠ABK=∠DBC.

Следовательно, треугольники ABK и DBC подобны (по двум углам), и

$\frac<<AB> >> = \frac>>,$

Сложим почленно полученные равенства:

$+ \frac<\begin BC \cdot AD = BD \cdot CK \\ AB \cdot CD = BD \cdot AK \\ \end>>,$

Читайте также: