Обновлено: 05.07.2024

Поскольку в кинематике действие сил не рассматривается, то остаются в стороне также и инертные свойства тел. В частности, остается без всякого применения мера инертности материальной точки - ее масса. По этой причине понятия материальной точки и геометрической точки в кинематике не различаются, можно говорить просто о точке. С вопросов движения этого самого простого объекта мы и начнем изложение кинематики.

Способы задания движения точки

Различают векторный, координатный и естественный (натуральный) способы задания движения.

Векторный способ задания движения состоит в следующем.

Пусть М - движущаяся точка, А - тело отсчета (рис. 72). Выберем в теле А произвольную точку О - точку отсчета, построим вектор . Этот вектор, начало которого совпадает с точкой отсчета О, а конец - с точкой М называется радиусом-вектором точки М. При движении точки М радиус-вектор непрерывно изменяется во времени, поэтому существует некоторая вектор-функция времени

Если эта функция известна, то для каждого момента времени t может быть построен вектор и тем самым найдено положение движущейся точки в этот момент.

Функция (1) называется векторным законом (векторным уравнением) движения точки М.

При координатном способе задания движения с телом отсчета связывается какая-либо, например декартова прямоугольная, система координат (рис. 73).

Движение точки будет задано, если ее координаты будут известны как функции времени Рис. 72

Зависимости (2), выражающие текущие координаты движущейся точки в виде функций времени, называются уравнениями движения точки в декартовых координатах.

Если точка движется, оставаясь все время в одной плоскости, то оси можно расположить в той же плоскости и ограничиться двумя уравнениями движения

При движении в плоскости часто удобно пользоваться полярной системой координат, задавая положение точки ее полярным углом и полярным радиусом (рис. 74). В этом случае уравнения движения точки имеют вид

Линия, описываемая движущейся точкой в пространстве, называется траекторией точки. Естественный способ задания движения состоит в задании траектории точки и закона движения по траектории.

Пусть траектория точки М суть заданная кривая, М - положение точки на ней (рис. 75). Будем рассматривать траекторию как криволинейную координатную ось, для чего выберем на ней начало отсчета (точку ) и направление отсчета дуг (на рис. 75 направление отсчета выбрано вправо от точки ). Длина дуги , взятая со знаком плюс или минус в зависимости от положения точки М относительно начала отсчета , вполне определяет положение точки в пространстве и называется дуговой координатой точки. Движение точки будет задано, если ее дуговая координата 5 будет выражена в виде функции времени

Зависимость (4) называется законом движения точки по траектории или, что то же самое, законом движения точки в естественной форме.

Написать уравнения движения точки, движущейся равномерно по окружности радиуса R и делающей n оборотов за одну минуту.

Начнем с естественного способа описания движения. Изображаем траекторию- окружность радиуса R с центром в точке О (рис. 76). Начало отсчета дуг совместим с положением точки в момент начала наблюдения, то есть при ; за положительное направление отсчета выберем направление в сторону движения точки.

Пусть М положение движущейся точки в текущий момент времени . Для центрального угла , который будем отсчитывать в сторону движения точки, согласно условию, можем написать

Здесь измеряется в радианах, t - в секундах.

Длина s дуги , радиус окружности R и центральный угол связаны геометрическим соотношением

Подставляя сюда найденное значение , получаем

Это и есть закон естественной форме.

Для описания движения в координатной форме прежде всего следует выбрать подходящую систему координат, например, изображенную на рис. 77. Далее строят координатные отрезки и определяют соответствующие переменные расстояния. В нашем случае будем иметь:

Подставляя сюда угол как функцию времени, получаем уравнения движения в координатной форме

движения точки в

Пусть - координатные орты. Тогда для радиуса-вектора точки будем иметь:

Полученное равенство, выражающее радиус-вектор точки М как функцию времени, служит векторным уравнением ее движения.

Понятие и описание материальной точки как реального тела, размеры которого малы, по сравнению с размерами траектории, по которой движется центр тяжести этого тела. Описание векторного, координатного и естественного способа движения материальной точки.

Рубрика	Физика и энергетика
Вид	реферат
Язык	русский
Дата добавления	21.12.2019
Размер файла	143,0 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ КЫРГЫЗСКОЙ РЕСПУБЛИКИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Выполнил студент группы С-2-18: Бокенов С.

Проверил: профессор Жумабаев Б.

Бишкек 2019

Оглавление

Кинематика

Способы задания движения точки

Векторный способ

Координатный способ

Естественный способ

Источники

Кинематика - раздел теоретической механики, в котором изучается движение в пространстве и во времени независимо от тех причин, которые обуславливают это движение (т.е. движение изучается с геометрической точки зрения). Таким образом, в кинематике не учитываются массы движущихся материальных тел и действующие на тела силы. Кроме научного значения кинематики, она имеет непосредственное применение в технике, в которой широко пользуются законами и формулами кинематики. Очень большое значение кинематика имеет в теории механизмов и машин. В настоящее время кинематика является хорошо исследованной областью науки. Дальнейшее развитие кинематики происходит преимущественно в виде применения ее к различным задачам техники.

Материальная точка - есть реальное материальное тело, размеры которого малы, по сравнению с размерами траектории, по которой движется центр тяжести этого тела. Она отличается от геометрической точки тем, что имеет массу.

Одно и то же материальное тело в одном движении может рассматриваться как материальная точка (например, Земля в ее движении вокруг Солнца), а в другом движении как материальное тело конечных размеров (Земля при ее вращении вокруг собственной оси).

Система материальных точек (механическая система) - это совокупность материальных точек связанных между силами взаимодействия. То есть любое физическое тело можно рассматривать как систему материальных точек.

Способы задания движения точки

Движение точки по отношению к избранной системе отсчёта считается заданным, если известен способ, при помощи которого можно определить положение точки в любой момент времени. В кинематике точки рассматриваются три основных способа описания движения точки: векторный, координатный и естественный.

Векторный способ

Положение точки определяется радиус-вектором (рис.1.1), проведённым в данную точку из неподвижного начала отсчёта.

С течением времени радиус-вектор будет изменяться, поэтому он является некоторой заданной векторной функцией времени r = r (t). Это уравнение называется уравнением движения точки в векторной форме.

Непрерывная кривая, с точками которой в каждый момент времени совпадает движущаяся точка, называет траекторией. По отношению к различным системам отсчёта точка будет описывать разные кривые. Следовательно, траектория относительное понятие.

Геометрическое место концов переменного вектора называется годографом. Таким образом, траектория точки есть годограф радиус-вектора этой точки.

Положение движущейся точки относительно выбранной системы отсчёта определяется её координатами в каждый момент времени (рис. 1.1): x

= f1 t , y = f2 t , z = f3 t .

Функции f1 t, f2 t , f3 t . должны быть однозначными, непрерывными и, по крайней мере, дважды дифференцируемыми. Уравнения движения точки в координатной форме можно рассматривать и как уравнения траектории в параметрическом виде. Если исключить из этих уравнений параметрt, то получим уравнение траектории, как пересечение двух поверхностей

F1 (x, y) = 0, F2 (y, z) = 0.

Естественный способ

Если известен вид траектории, то движение точки удобно задать естественным способом (рис. 1.2). Для этого на траектории назначают начало отсчёта (точка О), направление отсчёта и записывают зависимость дуговой координаты s от времени t

Функция s = s (t) по самой природе механического движения должна быть непрерывной и однозначной.

С траекторией точки можно связать естественный координатный базис: единичные векторы касательной --главной нормали -- и бинормали к траектории. Здесь с -- радиус кривизны траектории.

Эти три вектора образуют естественный репер, вдоль них идут естественные оси. Координатные плоскости образуют сопровождающий трёхгранник и носят названия: плоскость (ф ,n ) -- соприкасающаяся, плоскость ( n ,b ) -- нормальная, плоскость (b ,ф ) -- спрямляющая.

центр тяжести тело траектория точка

Источники

Подобные документы

Характеристика движения объекта в пространстве. Анализ естественного, векторного и координатного способов задания движения точки. Закон движения точки по траектории. Годограф скорости. Определение уравнения движения и траектории точки колеса электровоза.

презентация [391,9 K], добавлен 08.12.2013

Общие рекомендации по решению задач по динамике прямолинейного движения материальной точки, а также движения нескольких тел. Основные формулы и понятия. Применение теорем динамики к исследованию движения материальной точки. Примеры решения типовых задач.

реферат [366,6 K], добавлен 17.12.2010

Понятие кинематики как раздела механики, в котором изучается движения точки или тела без учета причин, вызывающих или изменяющих его, т.е. без учета действующих на них сил. Способы задания движения и ускорения материальной точки, направления осей.

презентация [1,5 M], добавлен 30.04.2014

Вывод формулы для нормального и тангенциального ускорения при движении материальной точки и твердого тела. Кинематические и динамические характеристики вращательного движения. Закон сохранения импульса и момента импульса. Движение в центральном поле.

реферат [716,3 K], добавлен 30.10.2014

Обзор разделов классической механики. Кинематические уравнения движения материальной точки. Проекция вектора скорости на оси координат. Нормальное и тангенциальное ускорение. Кинематика твердого тела. Поступательное и вращательное движение твердого тела.

Предположим, что точка совершает движение по некоторой траектории (рис. 99). Возьмем на этой траектории какую-либо произвольную (неподвижную) точку и назовем ее началом отсчета расстояний. Измеренная в линейных единицах длина дуги называется расстоянием точки от начала отсчета или ее дуговой координатой. Это расстояние мы будем обозначать

строчной буквой (в отличие от пути, пройденного точкой, обозначаемого прописной буквой ). Для определенности нужно условиться о направлении отсчета дуговой координаты s и считать величину s положительной, если расстояние откладывается по траектории в одну какую-либо сторону от начала отсчета , и отрицательной, если оно откладывается в противоположную сторону. Выбор положительного направления отсчета, вообще говоря, произволен.

Еще раз подчеркнем, что расстояние s точки от начала отсчета нельзя смешивать с длиной пути , пройденного точкой за соответствующий промежуток времени.

Пусть, например, некоторая точка за промежуток времени от 0 до переместилась по своей траектории из начала отсчета в положение (рис. 99) и обратно. Тогда в момент времени расстояние точки от начала отсчета . Путь же, пройденный точкой за промежуток времени , равен удвоенной дуге .

В каждый момент точка может занимать только одно определенное положение на траектории, и следовательно, ее расстояние от начала отсчета есть некоторая однозначная функция времени Зависимость между переменными и может быть выражена уравнением

Уравнение называется уравнением движения точки по траектории.

Траектория точки может быть задана различными способами: пли аналитически, т. е. в виде уравнения кривой, или геометрически. Представляющая собой закон движения точки по траектории функция точно так же может быть задана или аналитически или в виде графика. График функции называется графиком движения.

График движения нельзя отождествлять с траекторией движения точки.

Так, например, при равномерном движении точки по некоторой кривой (рис. 99) траекторией движения точки будет эта кривая. Графиком же движения точки (графиком функции ) будет прямая линия,так как при равномерном движении точки приращение ее расстояния от начала отсчета прямо пропорционально приращению времени t ее движения.

Рассмотренный способ определения положения точки называется естественным. Таким образом, при естественном способе задания движения точки должны быть известны: а) траектория точки в выбранной системе отсчета, б) начало и положительное направление отсчета, в) закон движения точки по данной траектории: .

Координатный способ

Координатный способ задания движения точки основан на том, что положение точки относительно некоторой системы отсчета всегда может быть определено при помощи некоторой совокупности чисел, называемых ее координатами.

Системы координат могут быть различными. Мы остановимся только на способе задания движения точки в прямоугольной (декартовой) системе координат.

Положение точки относительно этой системы координат вполне определяется тремя координатами точки и (рис. 100). При движении точки ее координаты изменяются с течением времени, т. е. будут являться некоторыми функциями аргумента :

Уравнения (51) называются уравнениями движения точка в декартовых координатах.

Если нам будет известно, как изменяются со временем координаты точки, совершающей некоторое движение, т.е. если нам будут известны уравнения (51), то мы всегда сможем определить координаты этой точки для любого момента времени, а следовательно, определить и ее положение относительно данной системы отсчета.

Сели во все время движения О точка остается в одной плоскости, то, расположив систему двух взаимно перпендикулярных осей х и у в этой плоскости (рис. 101), мы получим возможность определять любое положение точки в данной плоскости только двумя ее координатами. Следовательно, плоское движение точки определяется двумя уравнениями движения в прямоугольных координатах:

Если точка совершает прямолинейное движение, то можно принять прямую, по которой движется точка, за одну из координатных осей, например, за ось . Положение точки на этой оси вполне определяется одной координатой (рис. 102), и следовательно, прямолинейное движение точки задается одним уравнением:

Уравнения движения точки с прямоугольных координатах (51) и (52), задавая положение движущейся точки в любой момент времени, определяют тем самым и ее траекторию. Исключая время t из заданных уравнений движения точки, мы получаем уравнение ее траектории.

Векторный способ

Положение движущейся точки (рис. 103) относительно какой-либо системы отсчета однозначно определяется в любой момент времени вектором , проведенным из какой-либо точки , неподвижной относительно выбранной системы отсчета. Этот вектор называется радиусом-вектором топки .

При движении точки ее радиус-вектор непрерывно изменяется (в общем случае и по модулю и по направлению), т.е. является векторной функцией времени

Уравнение (54) называется векторным уравнением движения точки.

Если принять точку за начало прямоугольной системы координат и разложить радиус-вектор по осям координат, то для радиуса-вектора, определяющего положение точки (рис. 103), можно написать следующее выражение

где — проекции радиуса-вектора на координатные оси, равные координатам движущейся точки — орты координатных осей .

Зная, как изменяются координаты движущейся точки , т.е. зная уравнения (51) ее движения в декартовых координатах, можно для любого момента времени построить и радиус-вектор точки.

Таким образом, задание одного векторного уравнения (54) равносильно заданию трех скалярных уравнений (51). Вследствие этого векторный способ определения движения точки оказывается весьма удобным для доказательства теорем и установления общих зависимостей.

При решении же конкретных задач, когда требуется получить определенный численный результат, чаще более удобными оказываются естественный или координатный способы задания движения точки.

В большинстве практических задач движение точки определяется заданными условиями, в частности, заданной конструкцией механизма.

По этим условиям и находятся, аналитически или графически, траектория и уравнения движения интересующей точки.

Пример задачи:

Кривошип (рис. 104) равномерно вращается вокруг неподвижной оси и приводит в движение ползун при помощи шатуна , соединенного шарнирно с кривошипом и ползуном. Угол поворота кривошипа изменяется со временем по закону . Определить в прямоугольных координатах уравнения

движения средней точки шатуна и найти траекторию этой точки. Длина кривошипа . (Неподвижная направляющая ползуна расположена позади кривошипно-шатунного механизма.)

Решение:

Проведем прямоугольные координатные оси и так, как показано на рис. 104. Треугольник — равнобедренный, следовательно, .

Координатами точки в данной системе координат будут:

Подставляя в эти уравнения значения и получаем искомые уравнения движения средней точки шатуна:

Чтобы найти траекторию точки , исключим время из ее уравнений движения. Для этого найдем из данных уравнений значения

возведем их в квадрат и сложим:

Таким образом, траекторией средней точки шатуна будет кривая, определяемая последним уравнением. Кривая эта есть эллипс с центром в неподвижной точке и с полуосями

Эта теория взята с полного курса лекций на странице решения задач с подробными примерами по предмету теоретическая механика:

Возможно вам будут полезны эти дополнительные темы:

Образовательный сайт для студентов и школьников

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

16. Кинематика точки. Способы задания движения точки (векторный и координатный)

Кинематика изучает простейшую форму движения – механическое движение. Кинематически определить движение тела – это значит указать его положение относительно выбранной системы отсчета в каждый момент времени.

Движение материальной точки (в дальнейшем будем говорить просто точки) задано, если известен закон движения.

Закон движения. Закон движения – это уравнение, позволяющее определить положение точки относительно выбранной системы отсчета в любой момент времени.

Основная задача кинематики точки. По известному закону движения определить траекторию движения точки, ее положение на траектории, скорость и ускорение точки в ее положении на траектории.

Способы задания движения точки

В зависимости от выбора системы отсчета существуют три способа задания движения точки – векторный, координатный и естественный. Рассмотрим эти способы задания движения в отдельности.

Векторный способ задания движения точки

Пусть точка движется вдоль некоторой линии. В качестве начала отсчета выберем произвольный центр . Положение точки на линии определяется радиус-вектором (рис.К.9).

Таким образом, вектор определяет положение движущейся точки в любой момент времени. Следовательно, уравнение является законом движения при векторном способе задания движения.

Величина называется вектором скорости точки. Вектор скорости точки всегда направлен по касательной к годографу (траектории движения точки) в сторону перемещения точки.

Величина называется вектором ускорения точки.

Определим направление вектора . Направление вектора определяется направлением вектора . Пусть точка движется по некоторой траектории (рис.К.10) от точки к точке . Пусть скорость в точке равна , а скорость в точке равна . Перенесем вектор параллельно самому себе из точки в точку .

Как показано на рис.К.10, вектор направлен в сторону вогнутости траектории движения точки, следовательно и вектор ускорения всегда направлен в ту же сторону, то есть в сторону вогнутости траектории движения точки.

Координатный способ задания движения точки

Пусть точка движется вдоль некоторой линии. В качестве системы отсчета выберем декартовую систему координат с началом в произвольном центре . Тогда положение точки на линии определяются текущими координатами в любой момент времени

Следовательно, система уравнений определяют закон движения точки при координатном способе задания движения. Исключая из закона движения время , получим уравнение вида , являющееся уравнением траектории движения точки.

Пример. Закон движения записывается уравнениями . Найти уравнение траектории движения точки.

Решение. Из первого уравнения следует, что или . Тогда из второго уравнения . Или . Таким образом получено, что траекторией движения точки является прямая линия .

Компоненты скорости и ускорения движущейся точки в любой момент времени определяются по формулам

где х, у выражены в сантиметрах; t— в секундах.

По этим уравнениям можно найти, что в момент времени t = 0 точка находится в положении М₀ (0, 0), т. е. в начале координат, в момент t = lc — в положении M₁ (2,12) и т д. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, уравнения (а) действительно определяют положение точки в любой момент времени. Давая t разные значения и изображая соответствующие положения точки на рисунке, можем построить ее траекторию.

Другим путем траекторию можно найти, исключив t из уравнении (а). Из первого уравнения находим t = x/2 и, подставляя это значение t во второе уравнение, получаем y = x 2 . Следовательно, траекторией точки является парабола с вершиной в начале координат и осью, параллельной оси Оу. Другие примеры определœения траектории точки будут рассмотрены на практических занятиях.

3. Естественный способ задания движения точки. Естественным (или траекторным) способом задания движения удобно пользоваться в тех случаях, когда траектория движущейся точки известна заранее. Пусть кривая АВ является траекторией точки М при ее движении относительно системы отсчета Oxyz (рис. 2). Выберем на этой траектории какую-нибудь неподвижную точку О', которую примем за начало отсчета͵ и установим на траектории положительное и отрицательное направления отсчета (как на координатной оси). Тогда положение точки М на траектории будет однозначно определяться криволинœейной координатой s, которая равна расстоянию от точки О' до точки М, измеренному вдоль дуги траектории и взятому с соответствующим знаком. При движении точка М перемещается в положения M_l, М₂,. . ., следовательно, расстояние s будет с течением времени изменяться. Чтобы знать положение точки М на траектории в любой момент времени, нужно знать зависимость

Уравнение (6) и выражает закон движения точки М вдоль траектории.

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, чтобы задать движение точки естественным способом, нужно задать: 1) траекторию точки; 2) начало отсчета на траектории с указанием положительного и отрицательного направлений отсчета; 3) закон движения точки вдоль траектории в виде s = f(t).

Заметим, что величина s в уравнении (6) определяет положение движущейся точки, а не пройденный ею путь. К примеру, в случае если точка, двигаясь из начала О', доходит до положения М₁ (рис. 2), а затем, перемещаясь в обратном направлении, приходит в положение М, то в данный момент ее координата s = O'M, а пройденный за время движения путь будет равен O'M₁ + M₁M, т. е. не равен s.

Способы задания движения точки - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Способы задания движения точки" 2017, 2018.

Задать движение точки означает задать ее положение в каждый момент времени. Положение это должно определяться, как уже отме­чалось, в какой-либо системе координат. Однако для этого не обяза­тельно всегда задавать сами координаты; можно использовать величи­ны, так или. [читать подробнее].

Читайте также:

  
• Реферат на тему соусы молочные
  
• Насосы и компрессоры реферат
  
• Шедевры архитектуры ислама реферат
  
• Психогенетические исследования дислексии реферат
  
• Кризис в японии реферат