Реферат на тему потоки вызовов

Обновлено: 30.06.2024

Презентация на тему: " 1 Лекция 4 Описание потоков вызовов в теории телетрафика." — Транскрипт:

1 1 Лекция 4 Описание потоков вызовов в теории телетрафика

2 2 Вопросы лекции 4 1. Потоки заявок 2. Модель простейшего потока заявок 3. Основные показатели потока заявок 4. Модель примитивного потока 5. Поток обслуженных вызовов

4 4 Потоки заявок Параметры потока: 1. Интервал времени между моментами поступления вызовов t k =t k -t k-1, Это интервал времени между моментами поступления соседних вызовов или промежуток времени предшествующий поступлению k-го вызова t k-1 = t k - означает одновременное поступление (k-1)-го и k –го вызовов для детерминированного потока 2. Интенсивность потока – это число вызовов, поступающих за единицу времени. Среднее число вызовов, поступающих в потоке за единицу времени можно рассчитать по формуле где средний интервал времени между соседними вызовами

5 5 Потоки заявок Основные свойства потоков Стационарность Последействие Ординарность Стационарность потока – это свойство отражающее неизменность статистических параметров во времени: постоянная плотность вероятности поступления вызовов в любой момент времени Вероятность поступления заявки/вызова Р ( t ) на интервале t, не зависит от расположения этого интервала на оси времени, а зависит только от его величины. если t 1 = t 2, то Р( t 1 )= Р ( t 2 ), если t 1 > t 2, то Р( t 1 )> Р ( t 2 )

6 6 Потоки заявок Ординарность потока означает практическую невозможность поступления в один момент времени более одного вызова. Т.е. вероятность поступления двух и более вызовов за бесконечно малый интервал времени t 0 есть величина более малого порядка, чем t,т.е. Последействие потока – это свойство, отражающее зависимость вероятности поступления заявки в текущий момент ( интервал) времени от предыдущих событий Различают потоки с простым последействием с ограниченным последействием

7 7 Потоки заявок Параметр потока Параметр потока определяет плотность вероятности поступления вызова в момент времени t. Этот показатель означает, что вероятность поступления вызова в промежутке [t; t+ t) с точностью до бесконечно малого o( t) пропорциональна промежутку времени t P i 1 (t; t+ t) = (t) t + o( t) Для стационарных потоков P i1 (t; t+ t) = P i 1 ( t) т.е. вероятность поступления вызова не зависит от времени. Поэтому параметр стационарного потока постоянный P i 1 ( t)= t + o( t)

9 9 Модель простейшего потока заявок P(i-j,t,j,Δt) – вероятность совместного события: за интервал времени t поступает i-j вызовов, а в промежуток Δt поступает j вызовов. Следовательно, P(i-j,t,j,Δt)= P i-j (t) * P j (Δt) При отсутствии последействия вероятность поступления вызовов в промежуток Δt не зависит от числа вызовов, поступивших за промежуток t.

10 10 Модель простейшего потока заявок P i (t+Δt)= P i (t) * P 0 (Δt)+ P i-1 (t) * P 1 (Δt)+ P i-2 (t) * P 2 (Δt)+ +P i-3 (t) * P 3 (Δt) + … + P i-i (t) * P i (Δt) На основании свойства ординарности P i2 (Δt)=0(t) 0 т.к. в один момент времени может поступить либо 0, либо 1 вызов. Следовательно, P i (t+Δt)= P i (t) * P 0 (Δt)+ P i-1 (t) * P 1 (Δt)+ 0(t) где P 1 (Δt) = λ*Δt + 0(t) P 0 (Δt) = 1-λ*Δt + 0(t) В пределе при Δt 0 получается система уравнений P i (t)= - λ*P i (t)+ λ*P i-1 (t)

11 11 Модель простейшего потока заявок Граничные значения Р 0 (0)=1; Р i (0)=0; для i = [1,) Общая формула для расчета вероятности поступления i вызовов имеет вид Данное распределение вероятности поступления i вызовов называется распределением Пуассона и математически описывает простейший поток заявок. Простейший поток создается большим количеством/группами источников вызовов

12 12 Основные показатели потока заявок Распределение числа поступающих вызовов Среднее значение количества поступающих вызовов Дисперсия числа поступающих вызовов Распределение промежутка времени между соседними вызовами Распределение числа поступающих вызовов

13 13 Основные показатели потока заявок Пример расчета вероятности поступления i вызовов за период t = 180c

14 14 Основные показатели потока заявок В зависимости от величины параметра потока распределение Пуассона может преобразовываться из экспоненциального в биномиальное или в нормальное Оценка влияния параметра потока на распределение

15 15 Основные показатели потока заявок Среднее количество поступающих вызовов рассчитывается как математическое ожидание значений числа поступающих вызовов в потоке Дисперсия количества поступающих вызовов в потоке рассчитывается в виде Важный признак простейшего потока – это практическое равенство математического ожидания и дисперсии. Их значения равны параметру потока λt.

16 16 Основные показатели потока заявок Распределение промежутка времени Δt между соседними вызовами P ( Δt t) Вероятность P ( Δt > t) равносильна тому, что за интервал Δt не поступит ни один вызов ( или поступит 0 вызовов) P ( Δt > t) = P 0 (t) P ( Δt t) = 1- P 0 (t) = 1-e –λt Дифференцируя по t получаем p (t) = λe –λt - экспоненциальное (показательное) распределение интервала времени между соседними вызовами в потоке с параметром λ

17 17 Основные показатели потока заявок Среднее длительность интервала времени Δt между соседними вызовами рассчитывается как математическое ожидание в виде Дисперсия Δt Равенство математического ожидания и среднеквадратического отклонения так же есть признак показательного распределения Среднеквадратическое отклонение интервала Δt

18 18 Модель примитивного потока Простейший поток – математическая модель потока от очень большого количества источников заявок (пример: поток заявок на установление соединений на городскую АТС емкостью абонентов) Ограниченное ( конечное) число источников формирует поток, который описывается моделью примитивного потока ( примеры: поток заявок на сельскую АТС емкостью 100 номеров/абонентов; поток пакетов на обслуживание сервером локальной сети)

19 19 Модель примитивного потока Описание потока N i – число источников генерации заявок i – число занятых источников λ i – параметр потока λ i = N i = ( N-i), где – параметр, характеризующий нахождение источника в свободном состоянии Параметр потока λ может быть определен в виде Где, P i – вероятность того, что занято i источников

20 20 Модель примитивного потока Интенсивность или активность источника в свободном состоянии – это отношение числа поступивших вызовов к суммарному свободному времени Поток создается только свободными источниками. Поэтому параметр потока зависит от состояния каждого источника Состояния источника - свободен/занят как временной процесс

21 21 Модель примитивного потока Средняя интенсивность источника Следовательно, средняя интенсивность свободного источника величина, обратная среднему промежутку между вызовами Распределение промежутка свободности подчиняется показательному закону с параметром Это равносильно предположению, что новые вызовы поступают случайно независимо от моментов возникновения и окончания обслуживания предыдущих вызовов

22 22 Модель примитивного потока Вероятность поступления за время t ровно k заявок описывается биномиальным распределением Вероятность поступления заявки в t i момент времени определяется соотношением числа одновременно занятых N i источников в этот момент времени

23 23 Поток обслуженных вызовов Последовательность моментов окончания обслуживания вызовов образует поток освобождений или поток обслуженных вызовов Поток обслуженных вызовов зависит от поступающего потока показателей обслуживающей системы (времени обслуживания ) Время обслуживаиня может быть случайным или детерминированным Длительность телефонного разговора Время обработки пакета в узле маршрутизации и коммутации Длительность сеанса связи с узлом доступа с ресурсам Интернет

24 24 Поток обслуженных вызовов Наиболее распространенным законом распределения времени обслуживания является показательный Поток обслуженных заявок достаточно точно соответствует простейшему потоку ( его свойствам). Параметр простейшего потока обратно пропорционален среднему времени обслуживания заявки в системе интенсивность обслуживания вызовов

На коммутационную систему в течение ЧНН поступает N вызовов. Средняя длительность занятия приборов каждым вызовом составляет t в предположении, что поток вызовов является стационарным Пуассоновским. Требуется определить:

математическое ожидание и дисперсию числа вызовов, поступивших на станцию в течение часа;
интенсивность и параметр потока;
вероятность того, что за среднее время одного занятия t на станцию поступит точно k вызовов - Pk (t) и вероятность поступления не более k вызовов - Pi  k(t).

Математическое ожидание и дисперсия: M (i)=D (i)= λt=N=125

параметр потока: λ(t)=M/t=125/6,4*10 -6 =19,5*10 -6

Интенсивность потока: μ= λ(t) =19,5*10 -6

Вероятность того, что за среднее время одного занятия t на станцию поступило точно k вызовов:

Pk(t)= (λt k /k!)e -λ t = (125 23 /23!)e -125 = 6.5*10 25 * e -125 = 6.5*10 25 * 0 = 0

Вероятность того, что за среднее время одного занятия t на станцию поступает не более k вызовов:

Pi(t)= (i , k=0)∑ Pk(t)= 0
Задача 2

На двухстороннюю межстанционную линию поступает два простейших потока с параметрами выз/час, выз/час. При занятии линий на противоположный конец передается сигнал блокировки. Время передачи сигнала t мс. Определить вероятность встречного соединения, т.е. одновременного (за время t) поступления вызовов с обоих концов соединительной линии - P₂ (t).

t= 34мс=9,4*10 -6 час

Суммарный параметр для двух простейших потоков: + =25+18=43 выз/час

Вероятность встречного соединения: P₂(t)= (λt k /k!)e -λ t = (43*9,4*10 -6 )/(2!)e -(43* 9,4*10^-6 ) =2,021*10 -4

На коммутационную систему поступает примитивный поток вызовов с параметром от одного свободного источника  = выз/час. Определить вероятность поступления ровно k вызовов Pk на единичном интервале времени (t=1), (k=0,1,2…N) при числе источников нагрузки N.

Интенсивность нагрузки: a=/1+=0,7/1+0,7=0,411

Вероятность поступления ровно 0 вызовов:

1 вызов: P₁= 0,003*(11-0/0+1)*(0,411/1-0,411)=0,023

2 вызова: P₂= 0,023*(11-1/1+1)*(0,411/1-0,411)=0,08

3 вызова: P₃= 0,08*(11-2/2+1)*(0,411/1-0,411)=0,167

4 вызова: P₄= 0,167*(11-3/3+1)*(0,411/1-0,411)=0,233

5 вызовов: P₅= 0,233*(11-4/4+1)*(0,411/1-0,411)=0,227

6 вызовов: P₆= 0,277*(11-5/5+1)*(0,411/1-0,411)=0,158

7 вызовов: P₇= 0,158*(11-6/6+1)*(0,411/1-0,411)=0,078

8 вызовов: P₈= 0,078*(11-7/7+1)*(0,411/1-0,411)=0,027

9 вызовов: P₉= 0,027*(11-8/8+1)*(0,411/1-0,411)=0,004

10 вызовов: P₁₀= 0,004*(11-9/9+1)*(0,411/1-0,411)=0,0005

1. Дайте формулировку детерминированным и случайным потокам вызовов

Детерминированный поток вызовов: совокупность моментов поступления вызовов строго определена и заранее известна (поток сеансов связи со спутниками, конвейерное производство и др). На практике встречается редко

Случайный поток вызовов: совокупность моментов поступления вызовов невозможно заранее определить точно (поток вызовов в телефонной связи, телеграмм, и др.)

2. Каковы способы задания детерминированных потоков вызовов.

Детерминированный поток вызовов может быть определен тремя способами:

- последовательностью вызывающих моментов t1, t2, …, tk, где k – порядковый номер вызова а равенство tk–1 = tk означает одновременное поступление (k – 1)-го и k-го вызовов;

- последовательностью промежутков времени между вызывающими моментами z1, z2, …, zk, где zk = tk– tk–1;

- последовательностью чисел n1, n2, …, nk определяющих количество вызовов, поступающих в течение заданных отрезков времени [t0, t1), [t0, t2), …, [t0, tk)

3. Каковы способы задания случайных потоков вызовов.

Случайный поток: задается вероятностными законами распределения случайных величин tk, zk и n

4. Каковы характеристики случайных потоков вызовов.

- параметр потока вызовов

5. Дайте определение параметру потока вызовов.

Параметр потока определяет плотность вероятности поступления вызовов в момент времени t

6. Чем определяется интенсивность случайных потоков вызовов.

Мгновенной интенсивностью потока, определяемой в момент времени t

7. Перечислите свойства случайных потоков вызовов.

8. Стационарные потоки вызовов.

Стационарный поток: вероятность поступления i вызовов за промежуток времени z зависит от длины этого промежутка и не зависит от его начала (независимо от того, где на оси времени расположен промежуток времени z, вероятность поступления i вызовов одна и та же)

9. Ординарные потоки вызовов.

10. Последействие и отсутствие последействия при поступлении потоков вызовов.

Поток без последействия: вероятность поступления вызовов за промежуток времени [t0, ti) при i = 1, 2, …, k не зависит от вероятностного процесса поступления вызовов до момента t0 . Это означает независимость течения случайного потока вызовов после какого-либо момента времени от его течения до этого момента (пример: поток телефонных вызовов, поступающих от большой группы источников )

Поток с последействием: вероятность поступления вызовов за некоторый промежуток времени зависит от процесса поступления вызовов до начала этого промежутка (примеры: потоки от спаренных телефонных аппаратов, от малых абонентских групп, к интенсивно загруженным абонентам и при неудовлетворительном качестве обслуживания вызовов (при большой вероятности потерь)

11. Простейший поток вызовов и его свойства.

Простейший поток: стационарный ординарный поток без последействия

- Является потоком от большой группы абонентов и наиболее распространен в телефонных системах

- Рассматривается на ограниченном промежутке времени (1…3 часа)

12. Пуассоновский поток вызовов. Вероятность поступления точно i- вызовов.

Формула Пуассона: задает простейший поток

- Простейший поток задается семейством вероятностей поступления P_i(t) вызовов в промежутке t (формула Пуассона): Pk(t)= (λt k /k!)e -λ t

- Поступление вызовов не зависит ни от времени, ни от предыдущих событий и определяется случаем (стационарный пуассоновский поток)

Вероятность поступления ровно k вызовов: P_k=C_N k a k (1-a) N - k

13. Распределение простейшего потока вызовов. Вероятность поступления не более i- вызовов.

Случайные потоки вызовов классифицируются в зависимости от наличия или отсутствия следующих трех свойств:

Стационарность означает однородность процесса поступления вызовов, т.е. вероятность поступления некоторого числа вызовов за какой - то промежуток времени зависит от длины этого промежутка и не зависит от его расположения на оси времени.

Стационарный поток характеризуется функциями – вероятность того, что за промежуток времени , поступит точно вызовов. Реально поступивший на АТС поток вызовов имеет явно выраженный не стационарный характер, интенсивность потока вызовов существенно зависит от времени суток, дня недели и даже времени года. Однако внутри суток всегда можно выделить одночасовые промежутки времени, в течении которых поступающий поток вызовов близок к стационарному.

Ординарность - невозможность группового поступления вызовов, т.е. вероятность поступления двух или более вызовов за любой промежуток времени ,есь величина бесконечно малая: , при

Последействие– зависимость вероятностных характеристик потока вызовов от предыдущих событий. То есть, вероятность поступления вызовов в промежутке зависит от числа, времени поступления и длительности обслуживания вызовов до момента времени .

Поток вызовов, поступающий от достаточно большой группы источников близок по своим свойствам поток беспоследействия (если не учитывать повторные вызовы).

Поток от малой группы источников наоборот обладает заметным последействием. Так при емкости группы источников вероятность поступления вызовов существенно зависит от числа свободных источников и будет заметно больше, если , чем при . Число свободных источников в свою очередь зависит от предыдущих событий, что и определяет последствие потока.

С ростом емкости группы источников вызовов, постепенно уменьшается доля занятых источников по отношению к общему их числу соответственно и ослабевает последействие потока, и при его уже можно не учитывать.

Последействие может быть:

1) ограниченное - когда промежутки между вызовами , ,… ,образуют последовательность взаимно независимых случайных величин;

2) простое – означает, что вероятность поступления вызовов за бесконечно малый промежуток времени определяется состоянием коммутационной системы в момент времени t.

Основные характеристики потоков вызовов

Ведущая функция потока -математическое ожидание числа вызовов в промежутке . Данная функция: неотрицательная, неубывающая, в практических задачах ТТ непрерывна, принимает только конечные значения.

Средняя интенсивность потока вызова в промежутке - есть математическое ожидание числа вызовов в этом промежутке в единицу времени т.е.

. (2.1)

Мгновенная интенсивность определяется выражением:

. (2.2)

Для стационарного потока, ведущая функция за промежуток времени равна интенсивности потока т.е.:

. (2.3)

Следовательно, интенсивность стационарного потока есть математическое ожидание числа вызовов, поступающих единицу времени. Чаще всего за единицу времени выбирается средняя длительность одного занятия.

Параметр потока - в момент времени t,есть предел отношения вероятности поступления не менее одного вызова в промежутке времени к величине этого промежутка если :

(2.4)

Для ординарных потоков существует равенство:

Для стационарных потоков параметр потока не зависит от времени: , таким образом, для случайного потока, обладающего свойствами стационарности и ординарности можно записать:

. (2.5)

Простейший поток вызовов

Случайный поток вызовов, одновременно обладающий свойствами стационарности, ординарности и отсутствием последействия называется простейшим. Простейший поток полностью определяется функцией и подчиняется законам Пуассона:

(2.6)

Пуассоном на основании формулы (2.6) составлены таблицы, которые позволяют определить вероятность поступления не менее k-вызовов за время :

(2.7)

Из формул (2.6) и (2.7) видно, что при у.е.в.(условная единица времени) вероятности и зависят только от и . С возрастанием закон Пуассона стремиться к нормальному закону распределения непрерывной случайной величины (при совпадают с нормальным законом распределения случайной величины). На рисунке 2.2 показаны изменения зависимости от значения и

Рисунок 2.2 – Зависимость от значения и .

Из рисунков видно, что максимум достигается:

1. При целом в двух точках и ;

2. При дробном в одной точке когда

Свойства простейшего потока

Вероятность поступления точно вызовов за время определяется формулой Пуассона, а параметр потока формулой (2.8).

2.Сумма вероятностей всех возможных значений числа поступающих вызовов за промежуток времени равна единице:

3.Математическое ожидание и дисперсия числа вызовов за промежуток времени совпадают и равны:

(2.10)

Таким образом, для простейшего потока

Примитивный поток вызовов

Случайный ординарный поток вызовов параметр, которого - прямо пропорционален числу свободных источников нагрузки в данный момент времени называется примитивным:

, (2.11)

где – общее число источников вызовов;

– число занятых источников;

-параметр источника в свободном состоянии.

Примитивный поток, часто называют Пуассоновским потоком 2-го рода (простейший – Пуассоновским пот оком 1-го рода), или Энгсетовским.

Примитивный поток является более общим понятием по сравнению с простейшим потоком и переходит в простейший при .

Математической моделью примитивного потока вызовов является распределение Бернулли - вероятность поступления вызовов за время t от источников:

, (2.12)

где -интенсивность нагрузки от одного источника:

. (2.13)

Время обслуживания

Время обслуживания поступившего вызова может быть фиксированным или случайным. Фиксированное время задается последовательностью величин h_k, характеризующих длительность обслуживания k-ого вызова или k-ой группы вызовов. Время обслуживания будет постоянным, если h_k равно какой-то величине h.

Случайная длительность обслуживания вызова задается функцией распределения соответствующей случайной величины. Самым простым и наиболее распространенным является распределительный закон:

, (2.14)

где h- математическое ожидание времени обслуживания.

Выбор показательного закона распределения объясняется тем, что он обладает свойствами полного отсутствия последействия.

С целью упрощения математических выражений часто за единицу измерения длительности обслуживания принимается математическое ожидание длительности обслуживания, т.е. h=1 у.е.в.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:

2.1.Какой поток называется детерминированным?

2.2.Чем может быть определен (задан) детерминированный поток вызовов?

2.3.Чем может быть определен (задан) случайный поток вызовов ?

2.7. Что определяет интенсивность потока вызовов?

2.8.Что определяет параметр потока вызовов ?

2.9.Дайте определение простейшего потока вызовов.

2.10.Какой поток вызовов называется примитивным ?

2.11.Какой поток вызовов называется простейшим?

2.12.Что позволяет определить формула ?

Потоки вызовов – последовательность моментов поступления вызовов в систему обслуживания.

t1-момент поступления 1-го вызова;

ti-момент поступления i-го вызова;

Способы задания потоков:

Ø Последовательностью моментов времени, когда поступают вызовы.

Ø Последовательностью промежутков между вызовами.

Ø Последовательностью чисел, определяющих количество вызовов в течение отрезка времени:

Классификация : детерминированные и случайные.

Детерминированными - потоки, в которых вызовы поступают в строго фиксированные моменты времени,.

Случайными -потоки, в которых вызовы поступают в случайные моменты времени, я

Рассмотрим потоки, в которых в любой момент времени может поступить не более одного вызова.

Такие потоки могут задаваться:

1. Последовательностью моментов поступления вызовов.

Рис. 1.2 – Первый способ задания потоков вызовов.

2. Поток вызовов задается последовательностью промежутков между вызовами

Рис. 1.3 – Второй способ задания детерминированных потоков.

3. Поток вызовов задается последовательностью чисел, представляющих собой количество вызовов, поступивших в течение отрезка времени. Введем функцию x(t) – число вызовов, поступивших от начала отсчета до момента времени t .

На практике обычно имеют место не детерминированные потоки, а случайные. В случайных потоках вызовы поступают через случайные промежутки времени и в случайные моменты времени.

Свойства потоков: стационарности, ординарности и последействия.

1. Стационарность потока.

стационарный, если вероятность того, что за время(,t₁) поступит x(t₀,t₁) вызовов.

Вероятность зависит от промежутков времени и не зависит от временного положения общего начала отсчета – t₀ .

вероятность поступления зависит только от отрезка времени [t₀,t_i); вероятность поступления того или иного числа вызовов зависит от длины временного промежутка и не зависит от его местоположения на оси времени.

Рис. 1.9 – Среднее число вызовов по часам суток.

В ЧНН считают поступающий поток стационарным.

Нестационарным, если вероятность поступления того или иного числа вызовов зависит как от длины отрезка, так и от момента его начала.

2. Последействие потока.

поток с последействием, если вероятность поступления того или иного числа вызовов за некоторый промежуток времени зависит от процесса поступления вызовов до начала рассматриваемого промежутка времени.

потоком без последействия, если вероятность поступления вызова не зависит от процесса поступления вызовов до момента времени t .

3. Ординарность потока.

ординарный, если вероятность поступления 2-х и более вызовов в течение отрезка времени есть бесконечно малая более высокого порядка малости,

Практически ординарность потока означает, что в любой момент времени может поступить не более одного вызова.

Основные характеристики потоков вызовов.

1. Ведущая функция потока вызовов (L);

2. Интенсивность потока вызовов (m);

3. Параметр потока вызовов (l).

Ведущая функция потока L(t1,t2). – среднее число вызовов,поступающих в интервале времени [t1; t2),

Интенсивность потока вызовов m - среднее число вызовов, поступающих в единицу времени.

За единицу времени принимают среднее время обслуживания одного вызова.

Параметр потока l в момент времени t понимается предел отношения вероятности поступления 1-го и более вызовов за отрезок времени [t, t+t] при t ®0 к этому промежутку времени при t® 0

Это плотность вероятности поступления вызовов в момент времени [t,t+t].

Параметр характеризует число вызывающих моментов.

Какова связь между m и l? (теорема Королюка - Зитека)

Для стационарных потоков m.³l

Для стационарных ординарных потоков m=l

Рис.1.11 - Иллюстрация теоремы Королюка-Зитека .

Пусть на первой оси стационарный ординарный поток с m.₁ и l₁. В силу выше изложенного m₁=l_1.

На второй оси показан неординарный поток, т.к. в каждый момент поступает 2 вызова

В каждый момент времени

Моменты поступления вызовов зависят от l и определяются им, но l не зависит от того, сколько вызовов поступит в момент времени.

Математических моделей много, на практике используются два потока:

Читайте также: