Реферат на тему показательные уравнения и неравенства

Обновлено: 08.07.2024

Показательные уравнения и неравенства — это уравнения и неравенства, в которых пере- менная величина входит в аргумент показательных функций. В настоящей статье мы изучим основные приёмы решения показательных уравнений и неравенств.

Начнём со следующего простого вопроса. Уравнение 3x = 9 имеет очевидный корень x = 2. Имеются ли у этого уравнения другие корни?

Легко понять, что других корней нет, поскольку функция y = 3x является монотонно воз- растающей. Каждое своё значение эта функция принимает ровно один раз. Следовательно, если отметить на оси ординат точку y = 9, то ей будет соответствовать единственная точка x = 3 на оси абсцисс (рис. 1).

log34 2 Рис.1.Корниуравнений3x =9и3x =4

На рисунке показан также единственный корень уравнения 3x = 4. Он уже не выражается целым числом и равен log3 4.

Вообще, рассмотрим простейшее показательное уравнение

при a > 0 и a ̸= 1. Показательная функция y = ax монотонна и принимает только положитель- ные значения. Поэтому:

• при любом b > 0 уравнение (1) имеет единственный корень x = loga b; • при b 0 уравнение (1) не имеет корней.

При решении показательных уравнений мы постоянно пользуемся упомянутыми выше свой- ствами показательной функции: она монотонна и принимает только положительные значения.

Задача 1. Решить уравнение: 8x+2 = 321−x. Решение. Заметим, что 8 = 23 и 32 = 25:

23 x+2 = 25 1−x , 23(x+2) = 25(1−x).

Поскольку функция y = 2x монотонно возрастает, равенство 2a = 2b эквивалентно равенству

a = b. Следовательно, откуда x = −1/8.

Задача 2. Решить уравнение: 3x+1 + 3x − 3x−2 = 35.

Решение. Метод решения уравнений такого вида — вынести за скобки степень с наименьшим

показателем. В данном случае выносим за скобки 3x−2:

3x−2(33 +32 −1)=35 ⇔ 3x−2 ·35=35 ⇔ 3x−2 =1.

Последнее равенство запишем как 3x−2 = 30 и ввиду монотонности показательной функции заключаем, что x − 2 = 0, то есть x = 2.

Задача 3. Решить уравнение: 4x − 2x+1 − 8 = 0.

Решение. Перепишем уравнение следующим образом: 22x −2·2x −8 = 0.

Вводя замену t = 2x, получим квадратное уравнение относительно t: t2 −2t−8=0.

Находим его корни: t1 = 4, t2 = −2. Остаётся сделать обратную замену.

Уравнение 2x = 4 имеет единственный корень x = 2. Уравнение 2x = −2 корней не имеет, так как показательная функция y = 2x не может принимать отрицательных значений.

Ответ: 2. Задача4.Решитьуравнение:2·4x+6·9x =7·6x.

Решение.Подставимвуравнение4=22,9=32 и6=2·3: 2·22x −7·2x ·3x +6·32x = 0.

Поделим обе части уравнения на величину 32x, которая ни при каких x не обращается в нуль. В результате получим равносильное уравнение:

Дальше действуем так же, как в предыдущей задаче. Замена t = 2 x приводит к квадрат- 3

Его корни равны 2 и 3/2. Обратная замена:

Ответ: log2 2, −1. 3

Задача 5. Решить уравнение: 2 + √3 x + 2 − √3 x = 4. Решение. Заметим, что

√ x √ x √ 2 x 2+32−3=22−3 =1x=1.

Поэтому делаем замену t = 2 + √3 x и получаем: t + 1 = 4.

Приходим к квадратному уравнению t2 − 4t + 1 = 0 с корнями 2 ± √3. Обратная замена:

Определение понятия показательной функции, ее основные свойства. Решение уравнений путем равносильных преобразований с использованием правил умножения и деления степеней. Правила упрощения уравнений до элементарного путем равносильных преобразований.

Рубрика	Математика
Вид	контрольная работа
Язык	русский
Дата добавления	18.05.2017
Размер файла	278,7 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Показательные уравнения и неравенства это уравнения и неравенства, в которых переменная величина входит в аргумент показательных функций.

Прежде чем приступить к разбору конкретных показательных уравнений и неравенств,вспомни что такое показательная функция. Функцию вида y = a x , где a > 0 и a ? 1, называют показательной функцией.

Основные свойства показательной функции y = a x :

0 f(x) = a d(x) , где а - положительное число, отличное от 1.

Уравнения, сводящиеся к этому виду, тоже считаются показательными.

Для решения показательных уравнений требуется знать и уметь использовать следующую несложную теорему:

Теорема 1. Показательное уравнение af(x) = ag(x) (где a > 0, a ? 1) равносильно уравнению f(x) = g(x). Помимо этого, полезно помнить об основных формулах и действиях со степенями:

Решим уравнение 2 2х - 4 = 64.

Представим 64 в виде 2 6 . Тогда:

Мы получили одинаковое значение основания в левой и правой частях уравнения число значит, можем убрать основания, получив равносильное уравнение, и решить его:

Уравнение тогда принимает вид:

Дискриминант полученного квадратного уравнения положителен:

Это означает, что данное уравнение имеет два корня. Находим их:

Переходя к обратной подстановке, получаем:

Второе уравнение корней не имеет, поскольку показательная функция строго положительна на всей области определения. Решаем второе:

С учетом сказанного в теореме 1 переходим к эквивалентному уравнению: x = 3. Это и будет яв ляться ответом к заданию.

Пример 2. Решите уравнение:

Решение: ограничений на область допустимых значений у уравнения нет, так как подкоренное выражение имеет смысл при любом значении x (показательная функция y = 9 4 -x положительна и не равна нулю).

Решаем уравнение путем равносильных преобразований с использованием правил умножения и деления степеней:

Последний переход был осуществлен в соответствии с теоремой 1.

Пример 3. Решите уравнение:

Решение: обе части исходного уравнения можно поделить на 0,2 x . Данный переход будет являться равносильным, поскольку это выражение больше нуля при любом значении x (показательная функция строго положительна на своей области определения). Тогда уравнение принимает вид:

Пример 4. Решите уравнение:

Решение: упрощаем уравнение до элементарного путем равносильных преобразований с использованием приведенных в начале статьи правил деления и умножения степеней:

Деление обеих частей уравнения на 4 x , как и в предыдущем примере, является равносильным преобразованием, поскольку данное выражение не равно нулю ни при каких значениях x.

Пример 5. Решите уравнение:

Решение: функция y = 3 x , стоящая в левой части уравнения, является возрастающей. Функция y = --x-2/3, стоящая в правой части уравнения, является убывающей. Это означает, что если графики этих функций пересекаются, то не более чем в одной точке. В данном случае нетрудно догадаться, что графики пересекаются в точке x = -1. Других корней не будет.

Пример 6. Решите уравнение:

Решение: упрощаем уравнение путем равносильных преобразований, имея в виду везде, что показательная функция строго больше нуля при любом значении x и используя правила вычисления произведения и частного степеней

Показательными называются неравенства, в которых неизвестное содержится в показателе степени.

Для решения показательных неравенств требуется знание следующей теоремы: функция уравнение степень преобразование

Теорема 2. Если a > 1, то неравенство af(x) > ag(x) равносильно неравенству того же смысла: f(x) > g(x). Если 0 ag(x) равносильно неравенству противоположного смысла: f(x) 1, неравенство a f ( x ) > a g ( x ) , где а - положительное число, отличное от 1. равносильно неравенству f(x) > g(x). Аналогично, a f ( x ) g ( x ) ; f(x) 4

Очевидно, что число справа можно переписать в виде степени двойки: 4=22

Таким образом, исходное неравенство перепишется в очень удобной форме:

Но перед тем как что там зачёркивать, давайте вспомним степени двойки:

Как видим, чем большее число стоит в показателе степени, тем больше получается число на выходе.

Тут тоже всё логично: чем больше степень, тем больше раз число 0,5 умножается само на себя (т.е. делится пополам). Таким образом, полученная последовательность чисел убывает, а разница между первой и второй последовательностью состоит лишь в основании:

Если основание степени a>1, то по мере роста показателя n число an тоже будет расти;

И наоборот, если 0

Если a>1 , то неравенство ax>an равносильно неравенству x>n. Если 0an равносильно неравенству x 3?

Единица в любой степени снова даст единицу -- мы никогда не получим тройку или больше. Т.е. решений нет.

В общем, ещё раз запомните главное правило: если основание в показательном уравнении больше единицы, его можно просто убрать; а если основание меньше единицы, его тоже можно убрать, но при этом поменяется знак неравенства.

Пример Решим неравенство 3 х + 2 > 81

Представим 81 в виде 3 4 . Тогда:

Теперь в обеих частях неравенства одинаковое основание 3. Оно больше 1. Значит, заменяем неравенство равносильным неравенством того же смысла и решаем его:

х + 2 f ( x ) > a g ( x ) равносильно неравенству f(x) f ( x ) g ( x ) ; f(x) > g(x).

Решим неравенство 0,5 х - 3 2 . Тогда:

Теперь у нас одинаковое основание в обеих частях неравенства: 0,5. Это число меньше 1. Значит, заменяем неравенство на равносильное неравенство с противоположным смыслом и решаем его:

[h(x)] f ( x ) > [h(x)] g ( x )

равносильно совокупности систем неравенств

0 f ( x ) f ( x ) > b является x D(f). A.6. Если a > 1, b > 0, неравенство a f ( x ) > b равносильно неравенству f(x) > log_ab. Аналогично, a f ( x ) 0, неравенство a f ( x ) > b равносильно неравенству f(x) f ( x ) log_ab.

ПРИМЕР . Решите неравенство:

Решение: представим исходное неравенство в виде:

Разделим обе части этого неравенства на 3 2 x , при этом (в силу положительности функции y = 3 2 x ) знак неравенства не изменится:

Тогда неравенство примет вид:

Итак, решением неравенства является промежуток: переходя к обратной подстановке, получаем

Левое неравенства в силу положительности показательной функции выполняется автоматически. Воспользовавшись известным свойством логарифма, переходим к эквивалентному неравенству:

Поскольку в основании степени стоит число, большее единицы, эквивалентным (по теореме 2) будет переход к следующему неравенству:

Итак, окончательно получаем ответ:

Решение показательных неравенств

Пример1..Решить неравенство: (методом вынесения общего множителя за скобки). Решение: Вынесем за скобки в левой части неравенства , в правой части неравенства и разделим обе части неравенства на (-2), поменяв знак неравенства на противоположный:

Так как , то при переходе к неравенству показателей знак неравенства опять меняется на противоположный. Получаем . Таким образом, множество всех решений данного неравенства есть интервал .

Пример2.Решить неравенство (методом введения новой переменной).

Решение: Пусть . Тогда данное неравенство примет вид: или , решением которого является интервал .

Отсюда . Поскольку функция возрастает, то .

Решение: используя свойства умножения и деления степеней, перепишем неравенство в виде:

Введем новую переменную:

С учетом этой подстановки неравенство принимает вид:

Умножим числитель и знаменатель дроби на 7, получаем следующее равносильное неравенство:

Итак, неравенству удовлетворяют следующие значения переменной t:

Тогда, переходя к обратной подстановке, получаем:

Поскольку основание степени здесь больше единицы, равносильным (по теореме 2) будет переход к неравенству:

Окончательно получаем ответ:

Пример 4. Решите неравенство:

Делим обе части неравенства на выражение:

Оно всегда больше нуля (из-за положительности показательной функции), поэтому знак неравенства изменять не нужно. Получаем:

Воспользуемся заменой переменной:

Исходное уравнение тогда принимает вид:

Итак, неравенству удовлетворяют значения t, находящиеся в промежутке:

Переходя к обратной подстановке получаем, что исходное неравенство распадается на два случая:

Первое неравенство решений не имеет в силу положительности показательной функции. Решаем второе:

Поскольку основание степени в данном случае оказалось меньше единицы, но больше нуля, равносильным (по теореме 2) будет переход к следующему неравенству:

Итак, окончательный ответ:

Пример 5. Решите неравенство:

Ветви параболы y = 2x+2-x 2 направлены вниз, следовательно она ограничена сверху значением, которое она достигает в своей вершине:

Ветви параболы y = x 2 -2x+2, стоящей в показателе, направлены вверх, значит она ограничена снизу значением, которое она достигает в своей вершине:

Вместе с этим ограниченной снизу оказывается и функция y = 3 x 2-2 x +2 , стоящая в правой части уравнения. Она достигает своего наименьшего значения в той же точке, что и парабола, стоящая в показателе, и это значение равно 3 1 = 3. Итак, исходное неравенство может оказаться верным только в том случае, если функция слева и функция справа принимают в одной точке значение, равное 3 (пересечением областей значений этих функций является только это число). Это условие выполняется в единственной точке x = 1.

Решение большинства математических задач так или иначе связано с преобразованием числовых, алгебраических или функциональных выражений. Сказанное в особенности относится к решению показательных уравнений и неравенств. Показательным называется уравнение, в котором неизвестное содержится только в показателе степени при постоянных основаниях.

Простейшим показательным уравнением является уравнение вида

Показательными называются неравенства, в которых неизвестное содержится в показателе степени. Решение показательных неравенств основано на строгой монотонности показательной функции. Известно, что:

· при основании, большем единицы, показательная функция возрастает;

· при положительном основании, меньшем единицы, показательная функция убывает.

· При решении простейших показательных неравенств прежде чем сравнивать выражения, стоящие в показателе степени, нужно сравнить с единицей основание степеней.

· Если основание степени больше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства сохраняется.

· Если основание степени больше нуля, но меньше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства меняется на противоположный.

Для того, чтобы научиться решать показательные уравнения и неравенства, необходимо постоянно тренироваться в их решении.

5. Клово А.Т., Калашников В.Ю. и др

Подобные документы

Понятие и содержание равносильных уравнений, факторы их оценивания. Теорема о равносильности уравнений и ее доказательство. Причины и пути приобретения посторонних корней при разрешении данных уравнений. Нахождение и сравнение множества решений.

презентация [16,0 K], добавлен 26.01.2011

Понятие и характерные признаки равносильных уравнений, требования к множеству их решений. Теорема о равносильности уравнений и порядок ее доказательства, значение в современной математике. Порядок и основные этапы нахождения корней уравнения-следствия.

презентация [15,1 K], добавлен 17.03.2011

Определение понятия уравнения с параметрами. Принцип решения данных уравнений при общих случаях. Решение уравнений с параметрами, связанных со свойствами показательной, логарифмической и тригонометрической функциями. Девять примеров решения уравнений.

реферат [67,0 K], добавлен 09.02.2009

Функции и их свойства, используемые при решении показательно-степенных уравнений и неравенств. Степенные и показательные функции и их свойства. Опыт проведения занятий со школьниками по теме: "Решение показательно-степенных уравнений и неравенств".

дипломная работа [595,4 K], добавлен 24.11.2007

Базовые действия над матрицами. Решение матричных уравнений с помощью обратной матрицы и с помощью элементарных преобразований. Понятия обратной и транспонированной матриц. Решение матричных уравнений различных видов: АХ=В, ХА=В, АХВ=С, АХ+ХВ=С, АХ=ХА.

курсовая работа [172,0 K], добавлен 09.09.2013

Культ античной Греции. Вопросы элементарной геометрии. Книга Диофанта "Арифметика". Решение неопределенных уравнений, диофантовых уравнений высоких степеней. Составление системы уравнений. Нахождение корней квадратного уравнения, метод Крамера.

реферат [49,0 K], добавлен 18.01.2011

Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными, однородных, линейных уравнений первого порядка и уравнений допускающего понижение порядка. Введение функций в решение уравнений. Интегрирование заданных линейных неоднородных уравнений.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

ГЛАВА I . ТЕОРИТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ИЗУЧЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ……………………………………………………………………. 5

1.2 Показательные уравнения и методы их решения …….…………………….8

ГЛАВА II . МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, НЕРАВЕНСТВ И ИХ СИСТЕМ . ……………………..…………..15

2.1 Анализ заданий на решение показательных уравнений и неравенств в составе ЕГЭ……..………………………………………………………. ……. 15

2.2 Методические особенности изучения показательных уравнений и неравенств…. ……………………………………………………….…………..18

Актуальность работы . В школьном курсе математики важное место отводится решению показательных уравнений и неравенств и системам, содержащие показательные уравнения. Впервые ученики встречаются с показательными уравнениями и неравенствами в 10 классе после того, как познакомятся с показательной функцией и ее свойствами, а системы, содержащие показательные уравнения и неравенства в 11 классе. Показательные уравнения, неравенства, системы, содержащие показательные уравнения, встречаются в заданиях ЕГЭ. Поэтому изучению методов их решения должно быть уделено значительное внимание, т.к. в заданиях ЕГЭ системы, содержащие показательные уравнения и неравенства могут быть и комбинированными. И для того, чтобы решить правильно систему уравнений или неравенств, нужно правильно решить показательное уравнение или неравенство.

При решении показательных уравнений и неравенств часто возникают трудности, связанные со следующими особенностями:

- незнание четкого алгоритма решения показательных уравнений, неравенств и их систем;

- при решении показательных уравнений и неравенств, ученики производят преобразования, которые не равносильны исходным уравнениям и неравенствам;

- при решении показательного уравнения и неравенства введением новой переменной забывают возвращаться к обратной замене.

Объектом является процесс обучения математике в старшей школе.

Предметом являются методические особенности изучения показательных уравнений, неравенств и их систем в старших классах средней школы.

Цель данной работы: изучить теоретический материал по теме, проанализировать данную тему в учебниках по алгебре и началам анализа, систематизировать задания ЕГЭ на решение показательных уравнений и неравенств, систематизировать и обобщить методические рекомендации по решению показательных уравнений и неравенств.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

· проанализировать материал по теме в учебниках алгебры и начал анализа;

· систематизировать методы решения показательных уравнений и неравенств;

· систематизировать и обобщить методические особенности изучения данной темы.

В процессе работы используются следующие методы исследования: изучение и анализ теоретических и методологических источников по теме исследования, качественный и количественный анализ данных.

Структура: работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Работа составляет 31 страницы.

ГЛАВА I . ТЕОРИТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ИЗУЧЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

В данном параграфе мы проведем анализ школьных учебников алгебра и начал анализа для того, чтобы узнать в каком классе изучают показательные уравнения и как преподносится эта тема в каждых из учебников. Для сравнения возьмем 3 учебника алгебры для старших классов общеобразовательной школы.

- А.Г. Мордкович, Алгебра и начала анализа 10-11 классы, учебник для общеобразовательных учреждений;

- А.Н. Колмогоров, Алгебра и начала математического анализа, учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений;

- Ш.В. Алимов, Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, учебник для общеобразовательных учреждений.

Учебник алгебры А.Г. Мордковича дает цельное и полное представление о школьном курсе алгебры и начала анализа, отвечает требованиям обязательного минимума содержания образования. Изложение теоретического материала ведется очень подробно. Построение курса алгебры осуществляется на основе приоритетной функциональной линии.

Сначала вводится понятие показательного уравнения, как

показательным называют уравнения вида: , где –

положительное число, отличное от 1, и уравнения сводящиеся к нему. Далее приведена теорема о решении показательного уравнения с одинаковыми основаниями. В учебнике предложены методы решения показательных уравнений: метод уравнивания показателей, функционально-графический метод и метод введения новой переменной.

В каждом параграфе представлено большое количества заданий. Упражнения сконцентрированы по двум блокам. Первый блок содержит задания базового и среднего уровня сложности, второй блок включает задания среднего и повышенного уровня.

По данной теме предлагаются задания:

· решить систему уравнений;

Теоретический материал иллюстрируется большим количеством примеров. Задания для учащихся делаться на две части. Первая часть заданий обязательный минимум для учеников, который они должны уметь решать. В следующей части задания чуть сложнее. Также в конце каждой темы можно увидеть задания и вопросы на повторение, что помогает к подготовки к контрольной работе.

В учебники хорошо изложен дополнительный материал, интересные факты, биография ученных, происхождение терминов. Это позволяет развить интерес к предмету и окружающему миру.

Содержание учебника Колмогорова мы сначала изучаем главу функции, в которой изучаем показательную функцию. Затем в следующей главе, переходим к решению показательных уравнений и неравенств. Однако, четкого определения показательного уравнения и неравенства в учебнике нет.

В учебнике представлены следующие задания:

- решите систему уравнений;

Задания, предоставляемые в параграфе, разделены на два уровня: средний и высокий. В конце учебника к каждому параграфу есть дополнительные задачи, которые помогают подготовиться к контрольной работе.

Прежде чем перейти к решению показательных уравнений и неравенств автор предлагает сначала познакомиться с показательной функцией, ее графиком и свойствами. В учебнике представлены методы: метод уравнивания показателей, вынесения общего множителя за скобки, метод введения новой переменной. При решении показательных неравенств, также автор предлагает обратить внимание на возрастание и убывание функции. В учебнике предлагается пример решения показательного неравенства графическим методом. После изучения методов решения показательных уравнений и неравенств, сразу дается решение систем, содержащих показательные уравнения и неравенств.

Задания, представленные в учебнике:

- решить графически уравнения;

- найти целые значения неравенства на отрезке;

- решить графически неравенства;

Проанализировав учебники, можно сделать вывод о том, что во всех трех учебниках почти одинаковый порядок изучения темы, но методы решения показательных уравнений представлены по-разному. Теоретическое изложение этой темы, задания представленные в учебнике алгебры и начал анализа изложены лучше под редакцией А.Г. Мордковича.

1.2 Показательные уравнения и методы их решения

Пример показательных уравнений:

При решении показательных уравнений необходимо помнить, что решение любого показательного уравнения сводиться к решению простейших показательных уравнений.

Методы решения показательных уравнений:

· Ме т од уравнивания показателей;

· Метод введения новой переменной;

· метод вынесения общего множителя за скобки;

· метод почленного деления ;

Метод уравнивания показателей

Алгоритм решения уравнения методом уравнивания показателей:

· представить обе части показательного уравнения в виде степеней с одинаковыми основаниями;

· на основании теоремы, если где , равносильно уравнению вида ,приравниваем показатели степеней;

· решаем полученное уравнение, согласно его виду(линейное, квадратное и т.д.);

· записываем ответ. [ 1 c.105]

Решение. Представим 27 как . Наше показательное уравнение имеет одинаковое основание 3: . Данное уравнение равносильно уравнению .

Решение. Упростим показательное уравнение , т.к. в показательном уравнении основания одинаковы, следует, что оно равносильно уравнению: . Решаем это линейное уравнение и получаем: .

Метод введения новой переменно

Способ подстановки применяется в более сложных примерах. Он заключается в следующем. Показательное уравнение можно решить, введя новое обозначение. После подстановки в исходное уравнение нового обозначения получим новое, более простое уравнение, решив которое, возвращаемся к подстановке и находим корни исходного уравнения.

Алгоритм решения показательного уравнения методом введения новой переменной:

· определить возможность переписать данное уравнение в новом виде, позволяющем ввести новую переменную;

· решаем уравнение относительно новой переменной;

· записываем ответ. [1 c.109]

Решение. Упростим показательное уравнение . Применим метод введения новой переменной, пусть . Данное уравнение можно записать в виде . Решая это квадратное уравнение, получаем . Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений ⇒

Метод вынесения общего множителя за скобки

Вынесение множителя за скобки применяется для разложения многочлена на множители. Для этого нужно сначала каждое слагаемое многочлена заменить произведением двух множителей. Например, в многочлене у каждого слагаемого есть общий множитель . Поэтому этот многочлен можно представить так: .

Теперь это выражение можно представить в виде произведения двух множителей, один из которых общий множитель , а второй - сумма , которая заключается в скобки: .

Вынесение общего множителя за скобки применяется, например, при тождественных преобразованиях дробей (сокращение дробей, приведение к общему знаменателю), при решении уравнений и в других задачах. [3 c .170]

Решение показательных уравнений методом вынесения общего множителя за скобки

Решение: , т.к. равносильно , запишем как . Вынесем за скобку: . Отсюда

. Представим 27 как .Тогда получимуравнение . Следовательно, .

Функционально-графический метод

Метод основан на использовании графических иллюстраций или каких-либо свойств функций.

В одной системе координат строим графики функций, записанные в левой и в правой частях уравнения, затем находим точку (точки) их пересечения. Абсцисса найденной точки является решением уравнения.

· левую и правую части уравнения представить в виде функций;

· построить графики обеих функций в одной системе координат;

· найти точки пересечения графиков, если они есть;

· указать абсциссы точек пересечения, это корни уравнения[3 c . 118]

На тему: Показательные уравнения, неравенство и их системы.

Студента (ки) ________ курса, группы _________

Имя _____________ Отчество _________________

_______ ________________ 20 ___ г.

Петропавловск-Камчатский – 2020

СОДЕРЖАНИЕ

Название глав, разделов	Стр.
Введение	3
ГЛАВА 1 ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ИХ МЕТОДЫ	5
1.1 Метод уравнивания показателей	5
1.2 Метод введения новой переменной	6
1.3 Метод вынесения общего множителя за скобки	7
1.4 Функционально-графический метод	7
1.5 Метод почленного деления	8
1.6 Метод группировки	9
ГЛАВА 2 ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА И ИХ МЕТОДЫ	10
2.1 Метод приведение к простейшим	11
2.2 Решение неравенств, содержащих однородные функции относительно показательных функций	12
2.3 Решение неравенств, сводящиеся к квадратным	12
2.4 Решение неравенств, сводящиеся к рациональным	13
2.5 Решение неравенств, решаемые графическим методом	14
ГЛАВА 3 СИСТЕМЫ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ	15
3.1 Системы, содержащие одно или два показательных уравнений	15
3.2 Системы неравенств. Совокупность неравенств	16
Заключение	17
Список источников и литературы	18

ВВЕДЕНИЕ

Решение большинства математических задач так или иначе связано с преобразованием числовых, алгебраических или функциональных выражений. Сказанное в особенности относится к решению показательных уравнений и неравенств .

- незнание четкого алгоритма решения показательных уравнений, неравенств и их систем;

Вышесказанное определяет актуальность выбранной темы и полезность ее изучения для будущей педагогической практики.

Цель данной работы:

- проанализировать материал по теме в учебниках алгебры;

- систематизировать методы решения показательных уравнений и неравенств.

Объектом исследования является процесс обучения математике в старшей школе.

Гипотеза исследования: учащиеся при решении различного рода задач получают первые навыки в исследовательской работе. У учащихся при этом развивается логическое мышление, повышается уровень математической культуры. А также развивают качества личности такие как: самостоятельность, целеустремленность, любознательность, интеллектуальное совершенствование.

Узнать, что такое показательные уравнение и принцип их решения.
Узнать, что такое показательные неравенства и принцип их решения.
Узнать, что такое системы показательных уравнений и неравенств.

Теоретическая и практическая значимость исследования: данные материалы по показательным уравнениям, неравенствам и их систем, можно использовать, как в школе, так и для индивидуального обучения, при подготовке к сдаче ЕГЭ, а также для тех, кто хочет углубить свои знания по этой теме.

Структура работы: состоит из трех глав, введения, заключения и списка литературы, и содержит 18 страниц.

ГЛАВА 1 ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ИХ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Показательным уравнением называется уравнение, содержащее переменную в показателе степени [2].

Простейшим показательным уравнением называется уравнение вида:

Показательное уравнение:

Методы решения показательных уравнений:

- метод уравнивания показателей;

- метод введения новой переменной;

- метод вынесения общего множителя за скобки;

- метод почленного деления;

- метод группировки.
1.1 Метод уравнивания показателей

Алгоритм решения уравнения методом уравнивания показателей [3].:

- представить обе части показательного уравнения в виде степеней с одинаковыми основаниями;

- на основании теоремы, если , где равносильно уравнению вида , приравнивнять показатели степеней;

- решить полученное уравнение, согласно его виду (линейное, квадратное и т.д.).

Задача. Решить уравнение:

Решение: Представим 27 как . Данное показательное уравнение имеет одинаковое основание 3.

Данное уравнение равносильно уравнению

Ответ:
1.2 Метод введения новой переменной

Алгоритм решения показательного уравнения методом введения новой переменной:

- определить возможность переписать данное уравнение в новом виде, позволяющем ввести новую переменную;

- ввести новую переменную;

- решить уравнение относительно новой переменной [4]..

Задача. Решить уравнение:

Решение: Пусть , получим квадратное уравнение:

Найдем корни квадратного уравнения — не удовлетворяет условию .

1.3 Метод вынесения общего множителя за скобки

Решение показательных уравнений методом вынесения общего множителя за скобки [1].

Задача. Решить уравнение:

Т.к. равносильно , запишем как:

27 представим, как , тогда получим . Следовательно,

Ответ: 3.
1.4 Функционально-графический метод

Алгоритм решения показательного уравнения методом функционально-графическим методом:

- левую и правую части уравнения представить в виде функций;

- построить графики обеих функций в одной системе координат;

- найти точки пересечения графиков, если они есть;

- указать абсциссы точек пересечения, это корни уравнения.

Задача: Решить уравнение:

Строим таблицы значений:

График 1. Функций и

1.5 Метод почленного деления

Данный метод заключается в том, чтобы разделить каждый член уравнения содержащий степени с одинаковыми показателями, но разными основаниями, на одну из степеней. Этот метод применяется для решения однородных показательных уравнений.

Задача. Решить уравнение:

Разделим обе части уравнения почленно на , получим равносильное ему уравнение:

1.6 Метод группировки

Способ группировки заключается в том, чтобы собрать степени с разными основаниями в разных частях уравнения, а затем разделить обе части уравнения на одну из степеней [6].

Задача. Решить уравнение:

ГЛАВА 2 ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА И ИХ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Неравенства, содержащие переменные в показателе степени, называются показательными.

Решение показательных неравенств основано на строгой монотонности показательной функции. Известно, что o при основании, большем единицы, показательная функция возрастает, при положительном основании, меньшем единицы, показательная функция убывает [3].
Неравенства вида

Решение неравенств подобного вида основано на следующих утверждениях:

При то неравенство равносильно ;

При , то неравенство равносильно неравенству .

При решении неравенств подобного вида применяют логарифмирование обеих частей по основанию a или b. Учитывая свойства показательной функции, получаем:

Чтобы пользоваться свойством монотонности показательной функции следует путем надлежащих преобразований добиться одинаковых оснований в левой и правой частях неравенства.

Методы решения показательных неравенств:

- Показательные неравенства, сводящиеся к простейшим

- Однородные показательные неравенства

- Показательные неравенства, сводящиеся к квадратным

- Показательные неравенства, сводящиеся к рациональным

- Неравенства, решаемые графическим методом
2.1 Метод приведение к простейшим

Задача. Решить неравенство :

Перепишем неравенство следующим образом:

А далее вот так:

Так как – возрастающая функция, то знак неравенства остается без изменения при переходе к новому неравенству:

2.2 Решение неравенств, содержащих однородные функции относительно показательных функций

Задание. Решить неравенство: .

Решение: Вынесем за скобку

Тогда переходим к следующему неравенству (в силу того, что основание степени больше 1, знак неравенства не меняется):

Ответ: .
2.3 Решение неравенств, сводящиеся к квадратным

Задание. Решить неравенство

Разделим обе части неравенства на 3:

Мы видим квадратное неравенство относительно которое будем решать методом интервалов.

2.4 Решение неравенств, сводящиеся к рациональным

Задание [2] .

Переносим все в левую сторону неравенства и приводим к общему знаменателю:

Неравенство равносильно следующему:

2.5 Решение неравенств, решаемые графическим методом

Рассмотрим функции и . Обе они определены на . Первая – возрастает, вторая – убывает. Значит, уравнение имеет не более одного решения. Несложно заметить, что является корнем указанного уравнения.

А значит, если вернуться к неравенству и посмотреть на него с графической точки зрения, мы должны взять те значения , которые отвечают за ту часть графика , что лежит выше графика , то есть .

Ответ: .
ГЛАВА 3 СИСТЕМЫ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ

3.1 Системы, содержащие одно или два показательных уравнений

При решении систем уравнений, содержащих показательные функции, чаще всего используют традиционные методы решения систем уравнений: метод подстановки и метод замены переменных [8].

Напомним, что систему двух уравнений с двумя переменными обозначают фигурными скобками и обычно записывают в виде:

Несколько уравнений с двумя (или более) переменными образуют систему уравнений, если ставиться задача найти множество общих решений этих уравнений .

Множество упорядоченных пар, точек (в случае систем с тремя переменными) и т.д. значений переменных, обращающих в истинное равенство каждое уравнение системы, называется решением системы уравнений.

Решить систему уравнений – значит найти все ее решения или доказать, что решений нет. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Система уравнений называется определенной, если она имеет конечное число решений, и неопределенной, если она имеет бесчисленное множество решений.

Две системы называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.

3.2 Системы неравенств. Совокупность неравенств

Несколько неравенств с одной переменной образуют систему неравенств, если ставиться задача об отыскании всех тех значений переменной, которые удовлетворяют одновременно каждому из этих неравенств (т.е. если отыскиваются все общие решения исходных неравенств).

Значение переменной, при котором каждое неравенство системы обращается в верное числовое неравенство, называется решением системы неравенств.

Две системы неравенств называются равносильными, если они имеют общее множество решений, удовлетворяющих этим неравенствам [7].

Очевидно, что решением системы неравенств является пересечение решений неравенств, образующих систему, а решением совокупности неравенств является объединение решений неравенств, образующих совокупность.

Несколько неравенств с одной переменной образуют совокупность неравенств, если ставится задача об отыскании всех тех значений переменной, каждое из которых удовлетворяет по крайней мере одному их этих неравенств.

Подводя итоги данного исследования, можно сделать следующие выводы:

1. Показательные уравнения и неравенства представляют интерес для учащихся. При решении показательных уравнений и неравенств развиваются навыки систематизации, логического мышления при выборе правильного метода решения, повышает творческие и умственные способности.

2. Для решения каждого вида уравнений и неравенств в работе представлен наиболее удобный способ. Трудности могут возникнуть при решении систем, содержащие одно или два показательных уравнения, т.к. нужно правильно определить метод решения.

В ходе исследования были решены следующие задачи:

- подробно рассмотрен теоретический материал;

- изучены различные методы решения показательных уравнений, неравенств и их систем (методы уравнивания показателей, введения новой переменной, функционально-графический, почленного деления, вынесения общего множителя за скобки, группировки).

Показательным называется уравнение, в котором неизвестная Х
содержится в показателе степени.
_{Примеры:}

Методы решения показательных уравнений

Метод приведения к одному основанию

если в уравнении имеется два слагаемых в виде степеней, которые можно привести к одному основанию, то надо:
1- перенести слагаемые в разные стороны
2- привести степени к одному основанию т.е. получить уравнение вида

3- приравнять показатели степеней т.е.
4- решить получившееся уравнение

Пример 1:

Ответ:

Метод вынесения общего множителя за скобки

если в уравнении несколько слагаемых в виде степеней с одинаковым основанием и коэффициенты перед переменной Х одинаковые, то надо:
1- слагаемое без Х перенести в другую часть уравнения
2- найти наименьший показатель степени
3- выделить у каждой степени наименьший показатель ( если его там нет)
4- раскрыть сумму в показателе степени по формуле

5- выделить у каждого слагаемого степень с наименьшим показателем и вынести этот общий
множитель за скобки
6- упростить получившееся уравнение и привести его к виду

7- приравнять показатели степеней т.е. и решить получившееся уравнение

Пример 2:

Ответ:

Метод приведения к квадратному уравнению

если в уравнении три слагаемых, два из которых это степени с одинаковым основанием и коэффициенты перед Х в два раза больше ( или противоположные по знаку), то надо:
1- найти степень с наименьшим показателем и заменить её на новую переменную
2- записать получившееся квадратное уравнение относительно новой переменной
3- решить квадратное уравнение (относительно новой переменной)
4- вернуться к замене и решить получившиеся простые уравнения вида

Пример 3:

Вернемся к замене

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА

Показательным называется неравенство, в котором неизвестная Х
содержится в показателе степени

План решения показательных неравенств:

Перенести слагаемые в разные стороны неравенства

Привести степени к одному основанию т.е. к виду

Читайте также: