Реферат на тему подобные треугольники
Обновлено: 05.07.2024
История развития теории подобных треугольников…..7 стр.
Различные способы нахождения высоты предмета……9 стр.
Определение расстояния до недоступного объекта…..13 стр.
Практическое применение подобия треугольников…..14 стр.
Геометрия – одна из самых древних наук. Она возникла на основе практической деятельности людей и в начале своего развития служила преимущественно практическим целям. В дальнейшем геометрия сформировалась как самостоятельная наука, занимающаяся изучением геометрических фигур.
Геометрические знания широко применяются в жизни – в быту, на производстве, в науке. При покупке обоев надо знать площадь стен комнаты; при изготовлении технических чертежей – выполнять геометрические построения; при определении расстояния до предмета, наблюдаемого с двух точек зрения, нужно пользоваться известными нам теоремами.
Геометрия всегда решала те задачи, которые перед ней ставила жизнь. Учение о подобии фигур на основе теории отношений и пропорций было создано в Древней Греции в 4-5 веках до нашей эры и существует и развивается до сих пор. Например, многие детские игрушки подобны предметам взрослого мира, обувь и одежда одного фасона выпускается различных размеров. В повседневной жизни встречаются предметы одинаковой формы, но разных размеров, например футбольный и теннисный мяч, коробки различного объема, две фотографии разного формата.
В геометрии фигуры одинаковой формы принято называть подобными.
Проблема: Как свойства подобных треугольников могут быть использованы для проведения различных измерительных работ на местности?
Цель исследования:
Исследовать области применения подобия треугольников в практической жизни человека.
Гипотеза: Применение метода подобия треугольников позволит облегчить и ускорить вычисления при решении прикладных задач на определение размеров объекта и расстояния до недоступной точки.
Задачи исследования:
Изучение исторических сведений о теории возникновения подобия;
Исследование признаков и свойств подобных треугольников;
Исследовать применение подобия треугольников на примере измерительных работ;
Решение прикладных задач, связанных с подобием;
Расширение геометрических представлений.
Актуальность: В туристическом походе, путешествии и в других случаях часто возникает потребность в определении расстояний до недоступных предметов, измерении их длин и высоты, в определении ширины реки или другого препятствия. Конечно, наиболее точно и быстро это можно сделать с помощью специальных приборов: дальномеров, биноклей. Но из-за отсутствия приборов нередко расстояния определяют с помощью подручных средств и применения метода подобия.
Методы исследования : сбор информации, систематизация и обобщение, измерительные работы на местности. Объект исследования: подобные треугольники.
Предмет исследования : применение подобия треугольников при измерительных работах.
Экспериментальное оборудование : рулетка, веревка, зеркало, угольник, калькулятор.
Понятие и признаки подобных треугольников
Определение: Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого (рис. 1)
Если треугольник ABC подобен треугольнику А 1 B 1 С 1 , то углы А, В и С равны соответственно углам A 1 , B 1 и C 1 , . Число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом подобия.
Признаки подобия треугольников:
Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Свойства подобных треугольников
Отношение соответственных линейных элементов подобных треугольников равно коэффициенту их подобия. К таким элементам подобных треугольников относятся те, которые измеряются в единицах длины. Это, например, сторона треугольника, периметр, медиана. Угол или площадь к таким элементам не относятся.
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия.
Примеры наиболее часто встречающихся подобных треугольников
Рассмотрим ключевые задачи и составим геометрические модели:
Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.
Треугольники AOD и COB, образованными отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны. Коэффициент подобия - k=AO/OC
В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных данному.
Два прямоугольных треугольника, катеты которых являются продолжениями друг друга, а два другие параллельны, образуют два подобных треугольника.
История развития теории подобных треугольников
Способ Фалеса.
В это момент высота пирамиды должна также равняться длине отбрасываемой его тени. Вот, пожалуй, единственный случай, когда человек извлек пользу из своей тени. На следующий день Фалес нашел длинную палку, воткнул ее в землю чуть поодаль пирамиды. Дождался определенного момента. Он измерил тень от палки и тень от пирамиды. Сравнивая соотношение высот реальных предметов с длинами их теней, Фалес нашел высоту пирамиды (рис. 4).
ВС – длина палки, D Е – высота пирамиды. ∆ АВС подобен ⁓ ∆ С D Е (по двум углам): ВСА= СED =90°; АВС= СDЕ, как соответственные при АВ || DС и секущей АС (солнечные лучи падают параллельно). В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны:
Таким образом, Фалес нашел высоту пирамиды. Метод Фалеса соответствует модели I ключевых задач.
Преимущества способа Фалеса: не требуются вычисления.
Недостатки: нельзя измерить высоту предмета при отсутствии солнца и, как следствие, тени.
Одинаковые по форме, но различные по величине фигуры встречаются в вавилонских и египетских памятниках. В сохранившейся погребальной камере отца фараона Рамсеса II имеется стена, покрытая сетью квадратиков, с помощью которой на стену перенесены в увеличенном виде рисунки меньших размеров (Приложение 2).
До наших дней сохранилась клинописная табличка, в которой речь идет о построении пропорциональных отрезков путем проведения в прямоугольном треугольнике параллелей к одному из катетов.
Различные способы нахождения высоты предмета
При отсутствии тени в пасмурную погоду можно воспользоваться способом измерения, который живописно представлен у Жюль Верна в известном романе "Таинственный остров" (рис. 5)
Инженер измерял высоту площадки скалы Дальнего вида. Взяв прямой шест, длиной 10 футов, он измерил его возможно точнее, сравнивая со своим ростом, который был хорошо ему известен. Герберт нёс за ним отвес, вручённый ему инженером: просто камень, привязанный к концу верёвки.
Не доходя футов 500 до гранитной стены, поднимавшейся отвесно, инженер воткнул шест фута на два в песок и, прочно укрепив его, поставил вертикально с помощью отвеса. Затем он отошёл от шеста на такое расстояние, чтобы лёжа на песке, можно было на одной прямой линии видеть и конец шеста, и край гребня. Эту точку он тщательно отметил колышком.
- Тебе знакомы зачатки геометрии? - спросил он Герберта, поднимаясь с земли.
- Помнишь свойства подобных треугольников?
- Их сходственные стороны пропорциональны.
- Правильно. Так вот: сейчас я построю 2 подобных прямоугольных треугольника. У меньшего одним катетом, будет отвесный шест, другим - расстояние от колышка до основания шеста; гипотенуза же - мой луч зрения. У другого треугольника катетами будут: отвесная стена, высоту которой мы хотим определить, и расстояние от колышка до основания этой стены; гипотенуза же - мой луч зрения, совпадающий с направлением гипотенузы первого треугольника.
- Понял! - воскликнул юноша. - Расстояние от колышка до шеста так относится к расстоянию к расстоянию от колышка до основания стены, как высота шеста к высоте стены.
- Да, и, следовательно, если мы измерим два расстояния, то зная высоту шеста, сможем вычислить четвёртый неизвестный член пропорции, т.е. высоту стены. Мы обойдёмся, таким образом, без непосредственного измерения этой высоты.
Оба расстояния были измерены. Расстояние от колышка до палки равнялось 15 футам, а от палки до скалы 485 футам (рис. 6)
По окончании измерений инженер составил следующую запись:
Значит, высота гранитной стены равнялась приблизительно 333 футам".
В данной задаче используется модель 1 ключевой задачи. Преимущества способа Жюль Верна: можно производить измерения в любую погоду, тень не нужна; простота формулы.
Недостатки: нельзя измерить, высоту предмета не испачкавшись, так как приходится ложиться на землю и визуально смотреть на вершину горы.
Способ определения высоты дерева или другого предмета по своему росту и длине тени
Например, длина тени человека d равна трем шагам. Тень дерева D равна девяти шагам. То есть тень дерева длиннее вашей тени в три раза. Если принять рост за 1,5 метра, то высота дерева будет В = 1,5 х 3 = 4,5 метра (рис. 7)
Способ определения высоты предмета с помощью лужи.
Согласно закону преломления из физики, о том, что угол падения равен углу отражения. В зеркальном отражении любой лужи можно найти верхушку объекта и зная свой рост и измерив расстояния, получим искомую высоту. Необходимо зафиксировать точку О любым предметом, брошенным в лужу. Затем измерить расстояния в шагах ОА, ОА1. Зная свой рост и все нужные величины, основываясь на свойствах подобных треугольников, получим высоту объекта (рис. 8)
В данном способе используется модель IV ключевой задачи. Точные измерения считают с помощью мерной рулетки или стальной ленты, длиной 10-20 метров. Нередко применяли длинный шнур, на котором ставится метки: белые - через каждые 2м и красные - через каждые 10 м, с закреплёнными на концах шпильками.
Определение расстояния до недоступного объекта
Дистанционно-визуальные способы измерений длин – они применяются в тех случаях, когда существует непреодолимая преграда, препятствие (река, болото, озеро, глубокий овраг, горное ущелье), но сохраняется прямая видимость, достаточная для производства измерений.
Вы находитесь на берегу реки и хотите измерить ее ширину, не имея возможности перебраться> на другой берег. Для этого вы отыскиваете глазами на противоположном берегу реки близко к воде какой-либо заметный ориентир А - камень, деревце и т. п.- и отмечаете на своем берегу точку В, расстояние от которой до точки А представляет собой, по-вашему, ширину реки. Как измерить длину отрезка АВ?
Решение: Выберем точку С на продолжении прямой АВ за точку В, а также точку D, не лежащую на прямой АВ (рис. 9). Затем выберем точки Е и F на продолжениях прямых BD и CD соответственно за точку D так, чтобы выполнялись равенства BD = DE, CD = DF. Наконец, найдем точку G пересечения прямых EF и AD. Тогда искомое расстояние между точками А а В будет равно длине отрезка EG. Действительно, из равенства треугольников BDC и EDF (по двум сторонам и углу между ними) имеем равенство углов CBD и FED. Поэтому треугольники BAD и EGD равны (по стороне и двум прилежащим к ней углам), а значит, равны и их соответствующие стороны АВ и GE. Вывод: в данном методе используется модель II ключевой задачи.
Практическое применение подобия треугольников
Эксперимент 1 Измерение высоты стены в классе с помощью зеркала.
Известна зависимость длины шага от параметров человека. Исходя из этого, можно определить длину шага, зная свой рост.
ДШ - длина одного шага в метрах
Р - рост человека в метрах.
Длина шага Романа М. ДШ = (Р/4)+0,37 = =(1,61/4)+0,37 ≈ 0,77 м
Длина шага Егора Р. ДШ = (Р/4)+0,37 = =(1,56/4)+0,37 ≈ 0,76 м
Расстояние от Романа М. до зеркала АО = 0,77 ·3,5 = 2,69 м, от зеркала до стены СО = 0,77 ·6,5 = 5,0 м
Расстояние от Егора Р. до зеркала АО = 0,76 ·4 = 3,04 м, от зеркала до стены СО = 0,76 ·7 = 5,31 м
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Всероссийский Конкурс исследовательских проектов,
выполненных школьниками при научном консультировании
ученых Международной ассоциации строительных вузов
Воронежский государственный технический университет
Номинация 9 класс
Тема проекта: Применение подобия на практике
Калачеевская СОШ № 6, г. Калач
Руководитель: учитель математики СОШ №6, г. Калач
Кашкина Антонина Владимировна
Научный консультант: доцент кафедры высшей математики ВГТУ,
к.ф.-м.н. Стенюхин Леонид Витальевич
Сведения об авторе, руководителе и
научном консультанте научной работы…………………. 3-4
научной работы, представленной на Всероссийский Конкурс исследовательских проектов, выполненных школьниками при научном консультировании ученых
Международной ассоциации строительных вузов
1.Название: Применение подобия на практике
2. Объем работы: с. 15
3.Количество приложений: 2 с. .
4.Количество иллюстраций: 14 ед.
5.Количество таблиц:1 ед.
6.Количество источников литературы:7 ед.
об авторе, руководителе и научном консультанте научной работы, представленной на Всероссийский Конкурс исследовательских проектов, выполненных школьниками и студентами при научном консультировании ученых Международной ассоциации строительных вузов
Телефон 8 951 86 02462
РУКОВОДИТЕЛЬ
Место работы Калачеевская СОШ №6
Телефон рабочий 84736322074
Адрес электронной почты shkola 6- kalach @ yandex . ru
НАУЧНЫЙ КОНСУЛЬТАНТ
Место работы ВГТУ, кафедра высшей математики
Ученая степень кандидат физико-математических наук
Ученое звание доцент
Телефон рабочий __________________________________________
ТВОРЧЕСКАЯ АКТИВНОСТЬ АВТОРА В ПРЕДШЕСТВУЮЩИЙ ПЕРИОД (участие автора работы в конкурсах и конференциях в текущем учебном году)
Научный консультант _________________________/ Стенюхин Л.В. /
Руководитель / Кашкина А. В. /
Автор работы / Коломыцева Я.А. /
I .Введение.
“ Я думаю, что никогда до настоящего
времени мы не жили в такой геометрический период. Все вокруг – геометрия”
Эти слова, сказанные великим французским архитектором Корбюзье в начале 20 века, очень точно характеризуют и наше время. Мир, в котором мы живем, наполнен геометрией домов и улиц, гор и полей, творениями природы и человека.
Как вы думаете, зачем нужна геометрия? А вы посмотрите вокруг! Все время, когда мы имеем дело с формой, размером, положением предмета в пространстве, мы вовлечены в геометрию. Куда бы мы ни повернулись в нашей жизни, повсюду мы видим применение принципов геометрии . В наше время задачи по геометрии по-прежнему находят широкое применение в строительстве, архитектуре, искусстве, а также во многих отраслях промышленности.
Цель работы: Изучение применения подобия треугольников при измерительной работе на местности.
Задачи: 1.Изучить научную литературу по данной теме.
2.Уметь применять признаки подобия треугольников при решении геометрических задач на местности.
3. Разобрать решения задач по определению высоты предмета, в которых используется подобие треугольников.
4.Показать применение подобия треугольников на примере измерительных работ.
Гипотеза: С помощью подобия треугольников можно выполнять измерения реальных объектов.
Методы исследования: Находить нужную литературу, обрабатывать информацию, выполнять и оформлять научно-исследовательскую работу с применением проектной технологии. Основной метод, который использовался в работе, - это метод систематизации и обработки данных.
II . Основная часть. Применение подобия на практике.
1.Обзор литературы
Треугольники знакомы нам с детства. Более подробно мы узнали о них в курсе геометрии с 7 класса. Эта геометрическая фигура таит в себе много интересного и загадочного. С помощью треугольника можно решать много практических задач.
1.1. Что такое подобные треугольники?
рис.1.
Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого (рис.1).
Коэффициент подобия равен отношению сходственных сторон подобных треугольников. рис.2.
Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. [6], [4].
Признаки подобия треугольников.
Теорема 1. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Теорема 2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.
Теорема 3. Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны. [4], [6].
Очень часто для применения подобия на местности, возникает необходимость построения. Такие построения нужны и при строительстве зданий, и при прокладке дорог.
Немного истории…
Способ Фалеса.
За шесть веков до нашей эры греческий мудрец Фалес Милетский вычислил высоту пирамиды, измерив длину её тени. Фалес, говорит предание, избрал день и час, когда длина собственной его тени равнялась его росту. В этот момент высота пирамиды должна равняться длине отбрасываемой тени. [6], [3].
Преимущества способа Фалеса:
-не требуют вычисления;
-не нужны сторонние приборы, достаточно обычной рулетки;
-предмет можно измерить, независимо от его размеров.
-нужна тень, измерения производят только в солнечную погоду;
-надо точно знать момент времени, когда тень равна высоте;
-нельзя измерить в ночное или вечернее время. [2], [3].
2. Задачи на определение высоты предмета.
Многие задачи, требующие нахождения расстояния на местности решаются с помощью признаков подобия треугольников, но чаще всего применяется первый признак подобия треугольников по двум углам.
Задача1. Измерение высоты дерева при помощи его тени (способ Фалеса).
Самый простой способ состоит в том, что в солнечный день можно пользоваться любой тенью, какой бы длины она ни была. Измерив свою тень или тень какого-нибудь шеста, вычисляют искомую высоту из пропорции (рис. 3) AB : ab = BC : bc т.е. высота дерева во столько раз больше вашей собственной высоты (или высоты шеста). Это вытекает из геометрического подобия треугольников ABC и abc (по двум углам.) (рис3). Рис.3 [3], [6].
Задача2. Измерение высоты дерева при помощи равнобедренного треугольника.
Для того, чтобы измерить высоту дерева BD, нужно приготовить равнобедренный прямоугольный треугольник АВ 1 C 1 (угол А = 45 0 ) и, держа его вертикально, отойти на такое расстояние, при котором, глядя вдоль гипотенузы АВ 1 , нужно увидеть верхушку дерева В . Какова высота дерева В D ? (Рис.4). [2], [5], [7].
1) Так как А общий для обоих треугольников, АС 1 В 1 = АСВ =90 о (по условию), то АС 1 В 1 и АСВ – подобные (по признаку подобия по 2-м углам).
2) Тогда АВ 1 C 1 = АВС = 45 о , => ВС = АС , но к получившейся длине надо еще прибавить рост
человека, то есть длина дерева BD = ВС + С D [2], [4], [6].
Задача 3. Определение высоты предмета при помощи булавочного прибора.
М ожно воспользоваться свойствами равнобедренного прямоугольного треугольника, обратившись к весьма простому прибору, который легко изготовить из дощечки и трех булавок. На дощечке любой формы, даже на куске коры, если у него есть плоская сторона, намечают три точки – вершины равнобедренного прямоугольного треугольника – и в них втыкают по булавке (рис. 4)
.
Если нет под рукой чертежного треугольника для построения прямого угла, нет и циркуля для отложения равных сторон, то можно перегнуть любой кусок бумаги один раз, а затем поперек первого сгиба еще раз так, чтобы обе части первого сгиба совпали, - и получим прямой угол. Та же бумага пригодится и вместо циркуля, чтобы отмерить равные расстояния. Отойдя от измеряемого дерева, нужно держать прибор так, чтобы один из катетов треугольника был направлен отвесно, для чего можно пользоваться ниточкой с грузиком, привязанным к верхней булавке. Приближаясь к дереву или удаляясь от него, всегда можно найти такое место А из которого, глядя на булавки а и с , можно увидеть, что они покрывают верхушку С дерева: это значит, что продолжение гипотенузы ас проходит через точку С . Тогда, очевидно, расстояние аВ равно СВ , так как угол а = . Следовательно, измерив расстояние аВ (или на ровном месте, одинаковое с ним расстояние АD) и прибавив BD, т.е. возвышение аА глаза над землей, получим искомую высоту дерева. [1], [2], [6].
Задача 4. Задача на определение высоты предмета с помощью шеста.
Можно обойтись даже и без булавочного прибора. Здесь нужен шест, который придется воткнуть отвесно в землю так, чтобы выступающая часть как раз равнялась росту человека. Место для шеста надо выбирать так, чтобы, лежа, как показано на рис. 6, было видно верхушку дерева на одной прямой линии с верхней точкой шеста. Так как треугольник Abc – равнобедренный и прямоугольный, то угол А= и, следовательно, АВ равно ВС , т.е. искомой высоте дерева.
Преимущества способа Жюль Верна:
-можно производить измерения в любую погоду;
- нельзя измерить высоту предмета, не испачкавшись, так как приходиться ложиться на землю. (Рис. 6), [1], [2].
Задача 5 . Определение высоты предмета с помощью записной книжки и карандаша .
В качестве прибора для приблизительной оценки недоступной высоты можно использовать карманную записную книжку и карандаш. Она поможет построить в пространстве те два подобных треугольника, из которых получается искомая высот Книжку надо держать возле глаз так, как показано на рис. 7. Она должна находиться в отвесной плоскости, а карандаш выдвигаться над верхнем обрезом книжки настолько, чтобы, глядя из точки а видеть вершину В дерева покрытой кончиком b карандаша. Тогда вследствие подобия треугольников abc и аВС высота ВС определяется из пропорции BC : bc=aC:ac
Расстояние bc, ac и аС измеряются непосредственно. К полученной величине ВС надо прибавить еще длину CD , т.е. – на ровном месте – высоту глаза над почвой. Так как ширина ас книжки неизменна, то если всегда становиться на одном и том же расстоянии от измеряемого дерева, высота дерева будет зависеть только от выдвинутой части bc карандаша . Поэтому можно заранее вычислить, какая высота соответствует тому или иному выдвижению, и нанести эти числа на карандаш. Записная книжка превратится тогда в упрощенный высотомер. [1], [2].
Задача 6 . Определение высоты предмета при помощи зеркала.
С воеобразный способ определения высоты дерева при помощи зеркала. На некотором расстоянии (рис. 8) от измеряемого дерева, на ровной земле в точке С кладут горизонтально зеркальце и отходят от него назад в такую точку D , стоя в которой наблюдатель видит в зеркальце верхушку А дерева. Тогда дерево ( АВ ) во столько раз выше роста наблюдателя ( ЕD ) , во сколько раз расстояние ВС от зеркала до дерева больше расстояния СD от зеркала до наблюдателя.
Способ основан на законе отражения света. Вершина А (рис. 9) отражается в точке А’ так что АВ=А’В. Из подобия же треугольников ВСА’ и CED следует, что
В этой пропорции остается лишь заменить А’В равным ему АВ , чтобы обосновать указанное соотношение.
-можно производить измерения в любую погоду;
-нельзя измерить высоту предмета в густом насаждении, применяется только к одиноко стоящему дереву. [1], [2].
Задача 7 . Определение высоты предмета с помощью высотомера лесника .
На рисунке 10 изображен высотомер лесника. Он представляет собой прямоугольную пластинку размером 10Х 10 см с закрепленным в точке А отвесом, шкалой на стороне ВС и визирами в точках А и D . Наведя с помощью визиров сторону AD на вершину дерева Е и заметив деление шкалы, которое показывает отвес AF , лесник с помощью несложной формулы и находит высоту дерева. Пусть, например, BF = 3 см. Докажем, что Н - h = 0,3 d
Рис. 10 где Н — высота дерева, h — высота человека на уровне глаз , d — расстояние от дерева до человека (все размеры в метрах).
Решение. Так как GEA= AFB, то прямоугольные треугольники EGA и FBA подобны. Поэтому (все размеры в см):
или [1], [2].
Итак, я рассмотрела различные методы определения расстояний, все они основаны на применении признака подобия треугольников по двум углам.
3. Исследование: «Сравнительная характеристика методов
1.Определение высоты предмета с помощью равнобедренного трегольника (на планшете – прямоугольный равнобедренный треугольник) (см. приложение 1)
Инструменты: планшет с прямоугольным равнобедренным треугольником, рулетка.
Катеты прямоугольного равнобедренного треугольника равны 19 см. Расстояние от меня до столба В D = 6,12 м, мой рост до глаз D Е= 1, 55м. Так как треугольник на планшете и треугольник ВС D подобны и оба прямоугольные равнобедренные, то ВС = В D . Значит АС = ВС + АВ = ВС + D Е = 6,12 + 1,55 = 7 ,67(м)
2.Определение высоты предмета с помощью книжки и карандаша . (см. приложение 2)
Инструменты: книга, карандаш, рулетка.
Ширина книги = 12,5 см, карандаш выдвинулся над книгой на расстояние 7см, расстояние от меня до столба АЕ = 11м, мой рост до глаз D Е = 1,55м. СВ D подобен IKD по двум углам, значит ВС : В D = IK : KD ВС : 0,07 = 11: 0,125 ВС = 6,16 АС = ВС + АВ = ВС + D Е = 6,16 + 1,55 = 7,71(м)
3.Определение высоты предмета с помощью зеркала
(см. приложение 3)
Инструменты: зеркало, рулетка.
Положив зеркало I на землю, я передвигала его до тех пор, пока не увидела в нём отражение нижнего изолятора. Измерила расстояния А I = 8,9 м, IE = 1,88м, мой рост до глаз DE = 1,55 м. АС I подобен I Е D по двум углам.
АС : DE = А I : IE АС : 1,55 = 8,9 : 1,88 АС = 7,34
Получив три значения расстояния до проводов (высота столба до первого изолятора), я составила следующую таблицу
С помощью планшета
С помощью книги и карандаша
С помощью зеркала
Наибольшую точность даёт измерение с помощью высотомера охотника, но не всегда он бывает под рукой, его нужно специально сделать. Также хорошую точность даёт метод измерения с помощью зеркала, вместо зеркала можно использовать лужицу. Этот метод предусматривает меньше вычислений, так как не нужно прибавлять рост человека. Оставшиеся два метода тоже дают небольшую погрешность, и вполне применимы для измерений. Вывод: все методы применимы для использования в повседневной жизни, но самым оптимальным является метод нахождения высоты предмета с помощью зеркала.
III. Заключение.
IV . Библиографический список:
6. Геометрия 7-9: Учебник для общеобразовательных учреждений /Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др.- М: Просвещение, 2014г.
V . Приложения
Приложение1.
Определение высоты предмета с помощью равнобедренного треугольника
Определение подобия треугольников в математике. Доказательство первого признака подобия треугольников. Теоремы второго и третьего признаков подобия и их доказательство. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике. Формулировки теоремы Фалеса.
| Рубрика | Математика |
| Вид | презентация |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 25.04.2012 |
| Размер файла | 81,4 K |
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
HTML-версии работы пока нет.
Cкачать архив работы можно перейдя по ссылке, которая находятся ниже.
Подобные документы
Преобразования подобия, их свойства. Доказательство теоремы: гомотетия есть преобразование подобия. Основные признаки подобия треугольников, решение типовых задач. Углы, вписанные в окружность. Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности.
реферат [729,0 K], добавлен 02.06.2009
Понятие подобия треугольников и его основные признаки: по двум углам, по двум сторонам и углу между ними, по трем сторонам. Подобие прямоугольных треугольников, катет как среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.
презентация [84,8 K], добавлен 21.12.2011
Доказательство теоремы Пифагора методами элементарной алгебры: методом решения параметрических уравнений в сочетании с методом замены переменных. Существование бесконечного количества троек пифагоровых чисел и, соответственно, прямоугольных треугольников.
творческая работа [17,4 K], добавлен 25.06.2009
Понятие треугольника и его роль в геометрии. Сумма углов треугольника, вычисление площади, свойства различных видов фигур. Признаки равенства и подобия треугольников, теорема Пифагора. Медианы, биссектрисы и высоты, соотношение между сторонами и углами.
курс лекций [3,7 M], добавлен 23.04.2011
Систематизация различных методов решения планиметрических задач. Обоснование рациональности решения планиметрической задачи методами дополнительных построений, подобия треугольников, векторного аппарата, соотношения углов и тригонометрической замены.
реферат [727,1 K], добавлен 19.02.2014
Теоретические сведения по теме "Признаки равенства треугольников". Методика изучения темы "Признаки равенства треугольников". Тема урока "Треугольник. Виды треугольников". "Свойства равнобедренного и равностороннего треугольников".
курсовая работа [30,5 K], добавлен 11.01.2004
История создания теоремы. Краткая биографическая справка из жизни Пифагора Самосского. Основные формулировки теоремы. Доказательство Евклида, Хоукинса. Доказательство через: подобные треугольники, равнодополняемость. Практическое применение теоремы.
Процесс знакомства с различными видами геометрических фигур сменился новым этапом знакомства с их свойствами. И здесь главную роль играли практические задачи. Поэтому я хочу рассказать, как можно применять свойства подобных треугольников.
Не переплывая реки, измерить её ширину - так же просто для знающего геометрию, как определить высоту дерева, не взбираясь на вершину. Неприступное расстояние измеряют теми же приборами, какими измеряют недоступную высоту. В обоих случаях определение искомого расстояния заменяется промером другого расстояния, легко поддающегося непосредственному измерению.
Из многих способов решения этой задачи рассмотрим наиболее простые.
Измерить ширину реки
Пусть требуется определить ширину АВ реки, стоя на том берегу, где точка В, и не перебираясь на противоположный. Став где-нибудь у точки С, держите булавочный прибор близ глаз так, чтобы, смотря одним глазом вдоль двух булавок, вы видели, как обе они покрывают точки А и В. Теперь, не двигая дощечки прибора, смотрите вдоль других двух булавок (перпендикулярно к прежнему направлению) и заметьте какую-нибудь точку D, покрываемую этими булавками, т.е. лежащую на прямой, перпендикулярной к АС. Отмерьте на прямой CD не равные расстояния, а одно в несколько раз меньше другого. Например, DE в четыре раза меньше ЕС. Далее по направлению DG, перпендикулярной к DC, отыщите такую точку Н, из которой веха Е кажется покрывающей точку А.
Треугольники АСЕ и EDH подобны, т.к. имеют равные углы при неравных сторонах. Из подобия треугольников следует пропорция
Измерив DH и умножив результат на четыре, вы получите расстояние АС, а отняв ВС, узнаете искомую ширину реки.
Пешеход на другом берегу реки
По берегу вдоль реки идёт человек. С другого берега вы отчётливо различаете его шаги. Вам необходимо определить расстояние от него до вас. У вас нет приборов, но есть глаза и руки, - этого достаточно. Вытяните руку вперед по направлению к пешеходу и смотрите на конец пальца одним правым глазом, если пешеход идет в сторону вашей правой руки, и одним левым глазом, если пешеход идет в сторону левой руки. В тот момент, когда отдаленный пешеход покроется пальцем, вы закрываете глаз, которым сейчас смотрели, и открываете другой: пешеход покажется вам словно отодвинутым назад. Сосчитайте, сколько шагов сделает он, прежде чем снова поравняется с вашим пальцем. Вы получите все данные, необходимые для приблизительного определения расстояния.
Объясним, как ими воспользоваться. Пусть а и в - ваши глаза, точка М - конец пальца вытянутой руки, точка А - первое положение пешехода, В - второе.
Треугольники аеМ и АВМ подобны. Значит, ВМ:вМ=АВ:ав - пропорция, в которой неизвестен только один член ВМ, все же остальные можно определить непосредственно. Действительно, вМ - длина вашей вытянутой руки; ав - расстояние между зрачками ваших глаз, АВ измерено шагами пешехода (шаг можно принять в среднем равным – 3/4 м). Следовательно, неизвестное расстояние от вас до пешехода на противоположном берегу реки
И.Я.Депман, Н.Л.Виленкин. За страницами учебника математики.- М. :Просвещение, 1989 -287с.
Похожие документы:
Образовательная программа основного общего образования Муниципального бюджетного общеобразовательного учреждения
. (работа исследовательского характера, реферат, проект). 1.2.3.7. Иностранный язык . эксперимента, включающего и примеры практического применения физических явлений и законов . -2ч 8 класс 1. Применение подобия треугольников при измерительных работах -3ч .
Задачи из любой области школьного курса; литературу, по которой они будут готовить собственные работы
. . Подобные треугольники. Доказательство теоремы о средней линии треугольника. Задачи на построение (практическое приложение подобия треугольников). Окружность .
Читайте также: