Реферат на тему пифагор и его теорема для 8 класса

Обновлено: 04.07.2024

* Данная работа не является научным трудом, не является выпускной квалификационной работой и представляет собой результат обработки, структурирования и форматирования собранной информации, предназначенной для использования в качестве источника материала при самостоятельной подготовки учебных работ.

Приблизительно в 530 году Пифагор наконец возвратился в Грецию и вскоре переселился в Южную Италию, в г. Кротон. В Кротоне он основал пифагорейский союз, который был одновременно философской школой, политической партией и религиозным братством. Здесь были соединены философия с жизненной практикой, указывающей человеку достойный путь к судьбе, ожидающей его после смерти. Школа жила общинами со строгой дисциплиной нравов, от учеников требовалось целомудрие и воздержание. Однако, аскетизм не был идеалом пифагорейцев; брак являлся для них священным понятием. В школу, наряду с юношами, принимались и девушки. Обучение было многоступенчатым и далеко не каждому давалось сокровенное знание. Лишь те, кто успешно прошёл все испытания, допускался во внутренний двор дома Учителя. Здесь Пифагор наставлял своих ближайших учеников. Отсюда и берут свое начало названия эзотерическое (т.е., то что внутри) и экзотерическое (т.е., то что вне) учение. Строгий образ жизни пифагорейцев, их созерцательная философия, благожелательность к человеку и стремление делать добро, оказать помощь, привлекали к ним многих людей. Союз вскоре стал центром политической и духовной жизни всего Кротона.

Школа Пифагора дала Греции целую плеяду талантливых философов, физиков и математиков. С их именем связаны в математике систематическое введение доказательств в геометрию, рассмотрение ее как абстрактной науки, создание учения о подобии, доказательство теоремы, носящей имя Пифагора, построение некоторых правильных многоугольников и многогранников, а также учение о четных и нечетных, простых и составных, о фигурных и совершенных числах, арифметических, геометрических и гармонических пропорциях и средних.

Ученики Пифагора расселились по Греции и ее колониям, где организовали школы, в которых преподавали главным образом арифметику и геометрию. Сведения об их достижениях содержатся в сочинениях позднейших ученых – Платона, Аристотеля и других.

Учения Пифагора и его учеников охватило гармонию, геометрию, теорию чисел, астрономию. Но более всего пифагорейцы ценили результаты, полученные в теории гармонии, так как они подтверждали их идею, что числа определяют все. Некоторые древние ученые считали, что понятие о золотом сечении А:Н=Р:В , где Н и Р – гармоническая и арифметическая средняя между А и В , Пифагор заимствовал у вавилонян. Теорема о соотношении между сторонами прямоугольного треугольника, открытие которой приписывают Пифагору, была известна и грекам, а еще раньше египтянам, вавилонянам, китайцам, по крайней мере для частных случаев. Вероятнее всего Пифагор нашел доказательство этой теоремы, которая до нас не дошло.

В возрасте 60 лет Пифагор женился на своей ученице Феано, девушке удивительной красоты, покорившей сердце мудрого философа своей чистой и пламенной любовью, безграничной преданностью и верой. Феано дала Пифагору двух сыновей и дочь, все они были верными последователями своего Великого отца. Один из сыновей Пифагора стал впоследствии учителем Эмпидокла и посвятил его в тайны пифагорейского учения. Дочери своей Дано Пифагор доверил хранение своих рукописей. После смерти отца и распада союза Дано жила в величайшей бедности, ей предлагали большие суммы за манускрипты, но верная воле отца, она отказалась отдать их в посторонние руки.

30 лет прожил Пифагор в Кротоне. За это время ему удалось осуществить то, что оставалось мечтою многих посвященных: он создал поверх политической власти мудрую власть высшего знания, подобную древнеегипетскому жречеству. Совет Трехсот, созданный и возглавляемый Пифагором, был регулятором политической жизни Кротона и распространял свое влияние на другие города Греции в течение четверти века. Но ничто так не раздражает посредственность, не вызывает зависть и ненависть, как владычество великого ума. Мятеж против правления аристократической партии, вспыхнувший в Сибарисе, явился началом гонения на пифагорейский союз. Многие из учеников погибли под обломками пылающего здания школы, другие погибли голодной смертью в храмах. О времени и месте смерти самого Пифагора достоверных сведений не сохранилось. Воспоминания о Великом Учителе и его учении было сохранено теми немногими, которым удалось бежать в Грецию. Мы находим его в “Золотых Стихах” Лизия, в комментариях Гераклита, в отрывках Филолая и Архита, а также в “Тимее” Платона. Прекрасная стройная система, данная миру Пифагором никогда не была забыта. Она стала основой метафизики Платона, возродилась в Александрийской школе, в трудах многих позднейших античных философов.

ПИФАГОР И ЕГО ТЕОРЕМА

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Тема работы: Пифагор и его теорема.

Цель исследования – изучить содержание теоремы Пифагора и ее доказательство в школьном учебнике, используя различные средства источников информации исследовать другие способы ее доказательства, исследовать значение теоремы Пифагора в развитии науки и техники, исследовать исторические задачи, в решении которых применяется теорема Пифагора.

Задачи исследования.

Изучение научной литературы;

Изучение других источников информации;

Изучить исторические задачи, в решении которых применяется теорема Пифагора;

Оценка полученных результатов.

Методы исследования.

Анализ научной литературы и других источников информации, оценка полученных результатов и определение важности теоремы Пифагора в развитии науки и техники.

Предметом исследования стала теорема Пифагора.

(Пифагор)

Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с теоремой Пифагора. В самом деле, теорема Пифагора проста, но не очевидна. Но, кроме того, теорема Пифагора имеет огромное значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу, и тот факт, что существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т.п.), свидетельствует о гигантском числе ее конкретных применений.

Причина такой популярности теоремы Пифагора триедина: это npocтoma – кpacoта – значимость.

2. Основная часть

Пифагор Самосский (570 - 490 гг. до н.э.) - древнегреческий философ и математик, создатель религиозно-философской школы пифагорейцев, политический деятель.

Пифагор - не только самый популярный ученый, но и самая загадочная личность. Подлинную картину его жизни и достижений восстановить трудно, так как письменных документов о Пифагоре не осталось.

Пифагор основал свою школу в Кротоне (Южная Италия) , которая просуществовала до начала IV в. до н.э., хотя гонения на нее начались практически сразу после смерти Пифагора в 500 г. По сути, это была первая философская школа, религиозно-философское аристократическое братство.

Союз отличался строгими обычаями и высокой нравственностью. Образ жизни пифагорейцев вошел в историю: как рассказывают легенды, учеников школы всегда можно было узнать по их внешнему облику и благородному поведению. Пифагорейская школа положила начало математическим наукам. В ней начали развиваться астрономия и медицина. Звездчатый пятиугольник, или пентаграмма, - пифагорейский символ здравия и тайный опознавательный знак.

Пифагору приписывается изучение свойств целых чисел и пропорций, доказательство теоремы Пифагора и др. Страсть к музыке и поэзии великого Гомера Пифагор сохранил на всю жизнь. И, будучи признанным мудрецом, окруженным толпой учеников, Пифагор начинал день с пения одной из песен Гомера. Воображению юного Пифагора очень скоро стало тесно на маленьком Самосе, и он отправляется в Милет, где встречается с другим ученым — Фалесом. По совету Фалеса Пифагор отправляется в Египет за знаниями. По его совету 22 года набирался мудрости в Египте. В Вавилон он попал не по своей воле. Во время завоевательных походов на Египет его взяли в плен и продали в рабство. Более 10 лет он жил в Вавилоне, изучал древнюю культуру и достижения науки разных стран.

Несмотря на рекомендательное письмо фараона, хитроумные жрецы не спешили раскрывать Пифагору свои тайны, предлагая ему сложные испытания. Но влекомый жаждой знаний, Пифагор преодолел их все. Научившись всему, что дали ему жрецы, он двинулся на родину в Элладу. Пифагора не устраивала жизнь придворного полураба у правителя-тирана Поликрата, и он удалился в пещеры в окрестностях Самоса. Вскоре Пифагор переселяется в Кротон, где и задумывает создать собственную философскую школу.

Только в 60 лет, уже известный учёный Пифагор, всё ещё полный сил, полюбил одну из своих учениц - умницу и красавицу Теано. Последовательница его учения, она стала ему преданной женой и родила семерых детей. Пифагор был очень счастлив в этом браке.

…Прошло 20 лет. Слава о братстве разнеслась по всему миру. Однажды к Пифагору приходит Килон, человек богатый, но злой, желая спьяну вступить в братство. Получив отказ, Килон начинает борьбу с Пифагором, воспользовавшись поджогом его дома. При пожаре пифагорейцы спасли жизнь своему учителю ценой своей жизни, после чего Пифагор затосковал и вскоре покончил жизнь самоубийством.

Важнейшей научной заслугой Пифагора считается систематическое введение доказательства в математике и, прежде всего, в геометрии.

Гениальная догадка Пифагора состоит в том, что в геометрии можно выбрать конечное число истин ( аксиом ), из которых с помощью логических правил выводимо неограниченное число предложений. Так впервые возник аксиоматический метод построения науки.

Числа, равные сумме своих делителей, воспринимались совершенными (6, 28, 496, 8128); дружественными называли пары чисел, каждое из которых равнялось сумме делителей другого (220 и 184). Пифагор впервые разделил числа на четные и нечетные, простые и составные, ввел понятие фигурного числа.

Геометрия у Пифагора была подчинена арифметике. Это ярко выражено в теореме, носящей его имя. По-видимому, уже тогда знали правильные тела: тетраэдр, куб, додекаэдр.

Пифагор считал Землю шаром, движущимися вокруг солнца. Когда в XVI церковь начала преследовать учение Коперника, это учение упорно именовалось пифагорейским.

Музыка – точная наука. Пифагор внёс немалый вклад в развитие теории музыки. Он задумывался над законами, управляющими созвучием и диссонансом. Пифагор смастерил инструмент – балку со струнами, отягощёнными гирьками разного веса.

Он выяснил, что колеблющиеся струны дают приятное для слуха звучание, когда их длины соотносятся как 3:4:6 и на основе этого вывел гармоничные музыкальные интервалы. Были получены простейшие созвучия: октава, квинта, кварта. Это позволило разработать теорию гармонических интервалов.

Открытие теоремы Пифагора окружено ореолом красивых легенд.

В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что Пифагор первым дал ее полноценное доказательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге. На протяжении последующих веков были найдены различные другие доказательства теоремы Пифагора. В настоящее время их насчитывается более пятисот, в том числе: геометрических, алгебраических, механических и др. Благодаря такому количеству доказательств, теорема Пифагора попала в Книгу рекордов Гиннеса, как теорема с наибольшим количеством доказательств.

Это говорит о неослабевающем интересе к ней со стороны широкой математической общественности. Теорема Пифагора послужила источником для множества обобщений и плодородных идей. Глубина этой древней истины, по-видимому, далеко не исчерпана.

- во времена Пифагора теорема звучала так:

Школьное доказательство

Рассмотрим прямоугольный треугольник, у которого a и b - катеты, с - гипотенуза.

Докажем, что с 2 = а 2 + b 2 .

Доказательство:

Достроим треугольник до квадрата со стороной a + bтак, как показано на рисунке.

Площадь S этого квадрата равна (а + b) 2 .

C другой стороны, этот квадрат составлен из четырех равных прямоугольных треугольников,

площадь каждого из которых равна 2ab, и квадрата со стороной c, поэтому

S = 4(1/2а 2 +с 2 ) = 2ab + с 2 .

Таким образом, (а + b) 2 = 2ab + с 2 , откуда c 2 = а 2 + b 2 .

Доказательство Евклида

Дано:

ABC-прямоугольный треугольник

Доказать:

S_ABDE=S_ACFG+S_BCHI

Доказательство:

Пусть ABDE-квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника ABC, а ACFG и BCHI-квадраты, построенные на его катетах. Опустим из вершины C прямого угла перпендикуляр CP на гипотенузу и продолжим его до пересечения со стороной DE квадрата ABDE в точке Q; соединим точки C и E, B и G.

Очевидно, что углы CAE=GAB=(A+90°); отсюда следует, что треугольники ACE и AGB( закрашенные на рисунке) равны между собой (по двум сторонам и углу, заключённому между ними). Сравним далее треугольник ACE и прямоугольник PQEA; они имеют общее основание AE и высоту AP, опущенную на это основание, следовательно

S_PQEA=2S_ACE

Точно так же квадрат FCAG и треугольник BAG имеют общее основание GA и высоту AC; значит, S_FCAG=2S_GAB

Отсюда и из равенства треугольников ACEиGBAвытекает равновеликость прямоугольникаQPBDи квадрата CFGA;аналогично доказывается и равновеликость прямоугольника QPAEи квадрата CHIB.

А отсюда, следует, что квадрат ABDEравновелик сумме квадратов ACFGи BCHI, т.е. теорема Пифагора.

Алгебраическое доказательство

Так как я ещё не знаком с синусами и косинусами углов, то это доказательство я оставлю для 8 класса.

Дано:

ABC - прямоугольный треугольник

Доказать:AB 2 =AC 2 +BC 2

Доказательство:

1) Проведем высоту CD из вершины прямого угла С.

2) По определению косинуса угла

отсюда следует , AB∙AD=AC 2 .

значит AB∙BD=BC 2 .

4) Сложив полученные равенства почленно, получим:

AC 2 +BC 2 =АВ∙(AD + DB)

AB 2 =AC 2 +BC 2 .

Что и требовалось доказать.

Геометрическое доказательство

Дано:

ABC- прямоугольный треугольник

Доказать: BC 2 =AB 2 +AC 2

Доказательство:

1) Построим отрезок CD равный отрезку AB на продолжении катета AC

прямоугольного треугольника ABC. Затем опустим перпендикуляр ED к отрезку AD, равный отрезку AC, соединим точки B и E.

2) Площадь фигуры ABED можно найти, если рассматривать её как сумму площадей трёх треугольников:

3) Фигура ABED является трапецией, значит, её площадь равна:

4) Если приравнять левые части найденных выражений, то получим:

BC 2 =AB 2 +AC 2 .

Это доказательство было опубликовано в 1882 году Гэрфилдом.

Теорема Пифагора - это одна из самых важных теорем геометрии. Значение её состоит в том, что из неё или с её помощью можно вывести большинство теорем геометрии.

Теорема Пифагора была первым утверждением, связавшим длины сторон треугольников, потом узнали, как находить стороны и углы других треугольников. Возникла целая наука – тригонометрия, которая нашла применение в землемерии. Сейчас её применяют даже для измерения расстояний между космическими кораблями.

Знание теоремы позволяет находить высоту предмета и расстояния до недоступных объектов. Подобные задачи решаются в повседневной жизни: строительстве и машиностроении при проектировании любых строительных объектов.

Предлагаю несколько задач, найденных в исторических книгах. Они настолько легкие, что я не буду объяснять их решение.

«На берегу реки рос тополь одинокий.

Вдруг ветра порыв его ствол надломал.

Бедный тополь упал. И угол прямой

С теченьем реки его ствол составлял.

Запомни теперь, что в этом месте река

В четыре лишь фута была широка

Верхушка склонилась у края реки.

Осталось три фута всего от ствола,

Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:

«Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи.

В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи.

Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его.

Задача о бамбуке из древнекитайского трактата "Гоу-гу"

Имеется бамбук высотой в 1 чжан. Вершину его согнули так, что она касается земли на расстоянии 3 чи от корня (1 чжан = 10 чи).

Какова высота бамбука после сгибания?

3. Заключение

Основной метод, который я использовал в своей работе, - это метод систематизации и обработки данных.

Используя литературу, информационные технологии, я хотел разнообразить материал различными иллюстрациями, привлечь внимание людей различных возрастов и профессий, рассказать своим одноклассникам о Пифагоре и о его очень интересной и важной теореме.

Важность теоремы состоит, прежде всего, в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии. К сожалению, невозможно привести все или даже самые красивые доказательства теоремы, однако приведенные примеры убедительно свидетельствуют об огромном интересе сегодня, да и вчера, проявляемом по отношению к ней.

Заложенная Пифагором вера в красоту и гармонию природы, в мудрую простоту и целесообразность её законов, построенных на единых математических принципах, окрыляла творчество титанов современного естествознания от Иоганна Кеплера (1571 - 1630) до Альберта Эйнштейна (1879 - 1955).

Это и есть путеводная звезда современного естествознания, тот вечный кладезь мудрости, который открыл человечеству Пифагор.

Литература.

2. Волошников А.В. Пифагор: союз истины, добра и красоты. - М.: Просвещение, 1993.

3. Геометрия. Учебник для 7-9 кл. авт. Л. С. Атанасян и др. - М.: Просвещение, 2013 г.

5. Еленьский Ш. По следам Пифагора. - М, 1961.

6. Литцман В. Теорема Пифагора. - М.: Просвещение, 1960

Собрала для вас похожие темы рефератов, посмотрите, почитайте:

Введение

Например, оптимист Михаил и Ломоносов (1711—1765) писал: «Пифагор принес в жертву сто волов за изобретение единого геометрического правила. Но если бы для современных остроумных математиков правила поведения суеверной ревности были бы найдены, то вряд ли при всем свете было бы найдено столько скота.

В старейшем трактате Китая, Чжоу-би Сюань-цзинь.Утверждается, что в 12 веке до н.экитайцы знали свойства египетского треугольника, а в 6 веке до н.э. также была известна общая форма теоремы. Несмотря на все это, название Пифагора было настолько сильно сплавлено с пифагорейской теоремой, чтпросто невозможно представить себе такое сочетание слов, которое бразрушалось. То же самое относится и к легенде об убое быков Пифагором. И вряд ли стоит препарировать красивые старые легенды историко-математическим скальпелем. Сегодня мы считаем, что Пифагор предоставил первое доказательствотеоремы, которая носит его имя. К сожалению, нет и следов этого доказательства.

Я рассмотрю некоторые классические доказательства пифагорейской теоремы, известные из старых трактатов. Это также полезно, потому что современные учебники даютиврит доказательство теоремы. В этом случае оригинальная геометрическая аура теоремы исчезает без следа, теряется нить Ариадны, которая вела древних мудрецов к истине, и этот путь почти всегда кратчайший и всегда прекрасный. Итак, теорема Пифагора.

Биография Пифагора

В 548 г. до н.э. Пифагор прибыл в Навкратис, колонию на Самосе, где можно было найти кров и пищу. Изучив язык и религию египтян, он отправился в Мемфис. Несмотря на рекомендательное письмо фараона, хитрые священники не спешили раскрывать свои секреты Пифагору и предлагали ему трудные испытания. Но склонный к жажде знаний, Пифагор победил их всех, хотя египетские священники не могли многому научить его по данным раскопок, поскольку египетская геометрия в то время была чисто прикладной наукой (которая удовлетворяла требованию того времени для расчета и измерения земных поверхностей). Поэтому, узнав все, что ему дали священники, он убежал от них и переехал к себе домой в Элладу. Тем не менее, так как Пифагор проехал часть пути, он решил совершить путешествие по суше, на которой он был захвачен Камбизом, царем Вавилона, который был на пути домой. Нет необходимости драматизировать жизнь Пифагора в Вавилоне, так как великий правитель Кир был терпим ко всем пленным. Вавилонская математика, несомненно, была более развита (одним из примеров является позиционная система анализа), чем египетская, и Пифагору было чему поучиться. Но в 530 г. до н.э. Кир отправился в поход против племен Средней Азии. И воспользовавшись волнениями в городе, Пифагор бежал на родину.

Древнее китайское доказательство

Доказательства Евклида

Доказательство пифагорейской теоремы. Пусть Т будет прямоугольным треугольником с катетерами a, b и гипотенуза c. Давайте докажем, что c2=a2+b2.

Построим квадрат Q со стороной a+b. Возьмите точки A, B, C, D по сторонам квадрата Q так, чтобы разрезы AB, BC, CD, DA были отрезаны от прямоугольных треугольников T 1, T 2, T 3, T 4 квадрата Q с катетерами a и b. Назовем квадрат ABCD буквой P . Давайте покажем, что P — это квадрат со стороной с .

Все треугольники T1, T2, T3, T4 равны треугольнику T (по двум катетам). Поэтому их гипотенузы равны гипотенузам треугольника T, . сечению с. Давайте докажем, что все углы этого квадрата прямые.

Пусть будет — размер и хныканье острых углов треугольника T. Затем, как известно,+=90°. Угол на верхнем конце A квадрата P одинаково весит с углами и делает перевернутый угол равным. P выше + = 180°. А как + = 90°, который = 90°. Точно так же доказано, чточерепица P — это прямые линии, как и другие квадраты. Следовательно, четырёхугольник P — это квадрат со стороной с.

Квадрат Q со стороной a + b состоит из квадрата P со стороной a + b и четырех треугольников, равных треугольнику T. Поэтому равенство S(Q) = S(P)+4S(T) применяется к их областям.

Так как S ( Q ) = (a+b) 2 ; S ( P ) = c2 и S(T) = 1/2(ab), то при преобразовании этих выражений в S(Q)=S(P)+4S(T) мы получаем равенство.

( a+ b ) 2=c 2+4 *(1/2)ab . Так как (a+ b ) 2= a 2+ b2+2ab, равенство (a+ b)2=c2+4*(1/2)ab может быть записано следующим образом: a2+ b2+ 2ab = c 2+2 ab.

Равенство a2+b2+2ab=c2+2ab приводит к треку, который c2=a2+b2.

Еще одно алгебраическое доказательство.

Пусть ABC будет этим прямоугольным треугольником, который не находится под прямым углом к C. Давайте нарисуем высоту компакт-диска от вершины прямого угла C.

Согласно определению углового косинуса (косинус острого угла прямоугольного треугольника — это отношение смежного катетера к гипотенузе) cSA=AD/AC=AC/AB. Поэтому AB*AD=AC2. Аналогично cSAB=BD/BC= BC/AB. Отсюда AB*BD=C2. Если сложить достигнутое равенство и обнаружить, что AD + DB = AB, то получится AD + DB = AB:

ACE 2+ ПРОТИВ 2= ACE (AD + DB)=AV2. Теорема доказана.

Заключение

В заключение я хотел бы вновь подчеркнуть важность этой теоремы. Его важность заключается главным образом в том, что большинство геометрических теорем можно вывести из него или с его помощью. К сожалению, здесь невозможно привести все или даже самые красивые доказательства этой теоремы, но я надеюсь, что приведенные примеры будут убедительно свидетельствовать о большом интересе, который проявляется к этой теореме сегодня и даже вчера.

Список литературы

Образовательный сайт для студентов и школьников

Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с теоремой Пифагора. Пожалуй, даже те, кто в своей жизни навсегда распрощался с математикой, сохраняют воспоминания о "пифагоровых штанах" - квадрате на гипотенузе, равновеликом двум квадратам на катетах.

О жизни и творчестве Пифагора сложено много легенд. Существуют пифагоровы тройки. Но все это мы узнали кратко.

В результате я поставила перед собой цель - найти подробную информацию о жизни и творчестве Пифагора.

Мне захотелось установить факты биографии великого ученого и философа. Я решила изучить различные способы доказательства знаменитой теоремы. Но неужели мы можем встречать эту теорему только в геометрии?

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо было выявить факты практического применения теоремы Пифагора.

Следующей задачей моего исследования явилось нахождение информации о пифагоровых тройках.

Так как Пифагор является философом, значит, передо мной появилась задача изучить философские труды Пифагора.

Великий ученый Пифагор родился около 570 г. до н.э. на острове Самос, одном из самых цветущих островов Ионии. Родителями Пифагора были Мнесарх и Партенида с острова Самос. Мнесарх был камнерезом (Диоген Лаэртский); по словам же Порфирия он был богатым купцом из Тира, получившим самосское гражданство за раздачу хлеба в неурожайный год. Первая версия предпочтительнее, так как Павсаний приводит генеалогию Пифагора по мужской линии от Гиппаса из пелопоннесского Флиунта, бежавшего на Самос и ставшего прадедом Пифагора.[2] Партенида, позднее переименованная мужем в Пифаиду, происходила из знатного рода Анкея, основателя греческой колонии на Самосе.

Из Мемфиса, по приказу вторгшегося в Египет Камбиза, Пифагор вместе с египетскими жрецами попадает в Вавилон, где проводит еще 12 лет. Здесь он имеет возможность изучить многие религии и культы, проникнуть в мистерии древней магии наследников Зороастра.

Приблизительно в 530 году Пифагор, наконец, возвратился в Грецию и вскоре переселился в Южную Италию, в г. Кротон. В Кротоне он основал пифагорейский союз, который был одновременно философской школой, политической партией и религиозным братством. Здесь были соединены философия с жизненной практикой, указывающей человеку достойный путь к судьбе, ожидающей его после смерти. Школа жила общинами со строгой дисциплиной нравов, от учеников требовалось целомудрие и воздержание. Однако, аскетизм не был идеалом пифагорейцев; брак являлся для них священным понятием. В школу, наряду с юношами, принимались и девушки. Обучение было многоступенчатым и далеко не каждому давалось сокровенное знание. Лишь те, кто успешно прошёл все испытания, допускался во внутренний двор дома Учителя. Здесь Пифагор наставлял своих ближайших учеников. Отсюда и берут свое начало названия эзотерическое (т.е., то что внутри) и экзотерическое (т.е., то что вне) учение. Строгий образ жизни пифагорейцев, их созерцательная философия, благожелательность к человеку и стремление делать добро, оказать помощь, привлекали к ним многих людей. Союз вскоре стал центром политической и духовной жизни всего Кротона.

У Пифагора была жена по имени Феано, сын Телавг и дочь Мня (по другой версии сын Аримнест и дочь Аригнота).[3]

Приведу различные формулировки теоремы Пифагора в переводе с греческого, латинского и немецкого языков.

У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод): "В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол". [9]

Латинский перевод арабского текста Аннаирици (около 900 г. до н. э.), сделанный Герхардом Кремонским (начало 12 в.), в переводе на русский гласит [2] :

"Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол". [9]

В Geometria Culmonensis (около 1400 г.) теорема читается так: Also, wird das vierecke Feld, gemessen an der langen Wand, so also gross ist als bei beide Vierecke, bei zwei werden gemessen von den zwei Wanden des deren, bei zwei gemeinde, tretten in dem rechten Winkel. В переводе это означает:

"Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу". [9]

В первом русском переводе евклидовых "Начал", сделанном Ф. И. Петрушевским, теорема Пифагора изложена так:

Насчитывается более пятисот доказательств теоремы. Благодаря такому количеству доказательств теорема Пифагора попала в Книгу рекордов Гиннеса как теорема с наибольшим количеством доказательств. Теорема Пифагора послужила источником для множества обобщений и плодородных идей. Причина такой популярности теоремы Пифагора триедина: это простота - красота - значимость. В самом деле, теорема Пифагора проста, но не очевидна. Это сочетание двух противоречивых начал и придает ей особую притягательную силу, делает ее красивой. Но, кроме того, теорема Пифагора имеет огромное значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу, и тот факт, что существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических и т.д.), свидетельствует о гигантском числе ее конкретных реализаций.

То же относится и к легенде о заклании быков Пифагором. Да и вряд ли нужно препарировать историко - математическим скальпелем красивые древние предания. Сегодня принято считать, что Пифагор дал первое доказательство носящей его имя теоремы. Увы, от этого доказательства также не сохранилось никаких следов.

Способ доказательства, основанный на свойстве равновеликих фигур

Если дан нам треугольник

И притом с прямым углом,

То квадрат гипотенузы

Мы всегда легко найдем:

Катеты в квадрат возводим,

Сумму степеней находим -

И таким простым путем

К результату мы придём.

Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов катетов, построенных на его катетах.

Доказать: квадрат на гипотенузе равен сумме квадратов, построенных на катетах

1. Треугольники 1 совпадают при повороте друг друга на 90° ⇒ они равны.

2. Треугольники 2 совпадают при осевом отображении относительно оси EF и параллельном переносе, т.е. они тоже равны.

3. При параллельных переносах и поворотах совпадают и все остальные треугольники, т.е. они тоже равны между собой.

4. Из всего этого следует, что квадрат на гипотенузе равен сумме квадратов, построенных на катетах.

Дано: прямоугольный треугольник АВС.

Доказать: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Построим треугольник ABC с прямым углом С; рис 3

Построим BF=CB, BF^CB; построим BE=AB, BE^AB;

Построим AD=AC, AD^AC; точки F, C, D принадлежат одной прямой.

Как мы видим, четырёхугольники ADFB и ACBE равновелики, т.к. ABF= ЕCB. Треугольники ADF и ACE равновелики.

Отнимем от обоих равновеликих четырёхугольников общий для них треугольник ABC, получим: 1/2а 2 +1/2b 2 =1/2 с 2
Соответственно: 1/2 (а 2 +b 2 )=1/2 с 2 ; а 2 + b 2 = с 2 .

Над озером тихим

С полфута размером

Высился лотоса цвет.

И ветер порывом

Отнёс его в сторону. Нет

Боле цветка над водой.

Нашёл же рыбак его

В двух футах от места, где рос.

Итак, предложу я вопрос:

"Как озера вода здесь глубока?"

Какова глубина в современных единицах
длины (1 фут приближённо равен 0,3 м)?

Решение.

Выполним чертёж к задаче и обозначим глубину озера АС =Х, тогда AD = AB = Х + 0,5 .

Из треугольника ACB по теореме Пифагора имеем AB 2 - AC 2 = BC 2 ,

(Х + 0,5) 2 - Х 2 = 2 2 ,

Х 2 + Х + 0,25 - Х 2 = 4,

Таким образом, глубина озера

составляет 3,75 фута.

3, 75 • 0,3 = 1,125 (м)

Сегодня эта задача именуется задачей Пифагора, а её решения - тройки натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению (а 2 +b 2 =c 2 )- называются пифагоровыми тройками. В силу очевидной связи теоремы Пифагора с задачей Пифагора последней можно дать геометрическую формулировку: найти все прямоугольные треугольники с целочисленными катетами а, b и целочисленной гипотенузой c.

И тем не менее вопрос об общем решении уравнения (а 2 +b 2 =c 2 ) в натуральных числах был поставлен и решён только пифагорейцами. Общая постановка, какой бы то ни было математической задачи, была чужда как древним египтянам, так и древним вавилонянам. Только с Пифагора начинается становление математики как дедуктивной науки, и одним из первых шагов на этом пути было решение задачи о пифагоровых тройках. Первые решения уравнения (а 2 +b 2 =c 2 ) античная традиция связывает с именами Пифагора и Платона. Древневавилонский клинописный текст (Приложеие 1), содержащий 15 наборов пифагоровых троек, среди которых (четвёртая строка) есть тройка

12709, 13500, 18541: 12709 2 + 13500 2 = 18541 2 .

Тема моего исследования - Великий Пифагор.

В ходе исследования я нашла подтверждения этому.

Имя Пифагора связано не только со знаменитой теоремой. Пифагор был не только математик, но и философ, литератор. О жизни и творчестве Пифагора сложено много легенд. Сам

Способ доказательства, основанный на свойстве равновеликих фигур

Теорему Пифагора мы применяем не только на уроках геометрии, но и в строительстве, архитектуре, мобильной связи. Теорема Пифагора встречается в разных областях наук. Например: в физике, астрономии и в других.

Менее чем через 100 лет после смерти Пифагора) произошло невиданное событие: в Абдерах были выпущены монеты с изображением Пифагора и подписью. Это первое на греческих монетах подписанное изображение человека. И таким человеком оказался не царь, не тиран, не полководец, а мудрец! В честь Пифагора назван кратер на Луне.

Все эти выводы подтверждают, что Пифагор - великий во всех смыслах этого слова.

Диоген Лаэртский, VIII.6

Жмудь Л. Я. Пифагор и его школа. - М.: Наука, 1990. - ISBN 5-02-027292-2

Жмудь Л. Я. Наука, философия и религия в раннем пифагореизме. - СПб., 1994. - 376 с. - ISBN 5-86050-066-1

Леонтьев А. В. К вопросу об образе Пифагора в античной традиции VI-Vвеков до н. э. // Мнемон. Исследования и публикации по истории античного мира. Под редакцией профессора Э. Д. Фролова. - Выпуск 3. - Санкт-Петербург, 2004.

Панченко Д. В. Парадокс Пифагора // Индоевропейское языкознание и классическая филология - XII: Материалы чтений, посвященных памяти проф. И. М. Тронского 23-25 июня 2008 г. С. 355-363.

В.Литцман. Теорема Пифагора - государственное издательство физико-математической литературы, Москва, 1960, с.7-16

Читайте также: