Реферат на тему основные свойства геометрических фигур на плоскости
Обновлено: 02.07.2024
Основные понятия и термины по теме: геометрическая фигура, многоугольник, многогранник, круг, конус, окружность, перпендикулярные прямые, параллельные прямые, сфера, треугольник, угол, черырехугольник, шар,
План изучения темы:
1. Свойства геометрических фигур на плоскости (углы, параллельные и перпендикулярные прямые, треугольники, четырехугольники, окружность, круг).
2. Свойства геометрических фигур в пространстве (многогранники и тела вращения).
Краткое изложение теоретических вопросов:
1.Свойства геометрических фигур на плоскости
Планиметрия – это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры на плоскости. Геометрическую фигуру определяют как любое множество точек. Отрезок, прямая, круг – геометрические фигуры.
Если все точки геометрической фигуры принадлежат одной плоскости, она называется плоской. Например, отрезок, прямоугольник – это плоские фигуры. Существуют фигуры, не являющиеся плоскими. Это, например, куб, шар, пирамида.
Основные свойства простейших фигур на плоскости выражаются в следующих аксиомах:
1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой и не принадлежащие ей.
Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
Эта аксиома выражает основное свойство принадлежности точек и прямых на плоскости.
2. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
Этой аксиомой выражается основное свойство расположения точек на прямой.
3. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
Очевидно, что аксиома 3 выражает основное свойство измерения отрезков.
4. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.
Этим предложением выражается основное свойство расположения точек относительно прямой на плоскости.
5. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180 о . Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
Эта аксиома выражает основное свойство измерения углов.
6. На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.
7. От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180 О , и только один.
В этих аксиомах отражаются основные свойства откладывания углов и отрезков.
К основным свойствам простейших фигур относится и существование треугольника, равного данному.
8. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой
Основные свойства параллельных прямых выражается следующей аксиомой.
9. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.
2.Свойства геометрических фигур в пространстве
Простейшими фигурами в пространстве являются точка, прямая и плоскость. Свойства простейших геометрических фигур выражаются аксиомами. Наряду с данными простейшими фигурами в стереометрии рассматриваются геометрические тела и их поверхности. Многогранник представляет собой тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Эти многоугольники называются гранями многогранника, а стороны и вершины многоугольников называются соответственно ребрами и вершинами многогранника. Многогранники могут быть выпуклыми и невыпуклыми. Выпуклый многогранник расположен по одну сторону относительно плоскости, проходящей через любую его грань .
Геометрическую фигуру определяют как любое множество точек.
Отрезок, прямая, круг, шар - геометрические фигуры.
Если все точки геометрической фигуры принадлежат одной плоскости, она называется плоской.
Например, отрезок, прямоугольник - это плоские фигуры. Существуют фигуры, не являющиеся плоскими. Это, например, куб, шар, пирамида.
Так как понятие геометрической фигуры определено через понятие множества, то можно говорить о том, что одна фигура включена в другую (или содержится в другой), можно рассматривать объединение, пересечение и разность фигур.
Например, объединением двух лучей АВ и МК (рис. 1) является прямая КВ, а их пересечение есть отрезок АМ.
К А М В
Рис. 1
Различают выпуклые и невыпуклые фигуры.
Фигура называется выпуклой, если она вместе с любыми двумя своими точками содержит также соединяющий их отрезок.
Фигура F1, изображенная на рисунке 2, выпуклая, а фигура F2 - невыпуклая.
Y
Выпуклыми фигурами являются плоскость, прямая, луч, отрезок, точка. Нетрудно убедиться в том, что выпуклой фигурой является круг (рис. 3). Если продолжить отрезок XY до пересечения с окружностью, то получим хорду АВ. Так как хорда содержится в круге, то отрезок XY тоже содержится в круге и, значит, круг - выпуклая фигура.
Для многоугольников известно другое определение: многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону.
Так как равносильность этого определения и данного выше для многоугольника доказана, то можно пользоваться и тем, и другим.
Основываясь на этих понятиях, рассмотрим другие геометрические фигуры, изучаемые в школьном курсе планиметрии. Рассмотрим их определения и основные свойства, принимая их без доказательства. Знание этого материала и умение применять к решению несложных геометрических задач является той основой, на которой можно строить методику обучения младших школьников элементам геометрии.
Углы
Напомним, что угол - это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки.
Лучи называются сторонами угла, а их общее начало - его вершиной.
Угол обозначают по-разному: указывают либо его вершину, либо его стороны, либо три точки: вершину и две точки на сторонах угла: ÐА, Ð(k,l), ÐАВС.
Угол называется развернутым, если его стороны лежат на одной прямой.
Угол, составляющий половину развернутого угла, называется прямым. Угол, меньший прямого, называется острым. Угол, больший прямого, но меньший развернутого, называется тупым.
Кроме понятия угла, данного выше, в геометрии рассматривают понятие плоского угла.
Плоский угол - это часть плоскости, ограниченная двумя различными лучами, исходящими из одной точки.
Углы, которые рассматривают в планиметрии, не превосходят развернутого.
Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.
Сумма смежных углов равна 180°. Справедливость этого свойства вытекает из определения смежных углов.
Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого. Углы АОВ и СОВ, а также углы АОС и D0В - вертикальные (рис. 4).
Вертикальные углы равны.
Справедливость этого свойства вытекает из определения вертикальных углов и свойства смежных углов.
Треугольники
Треугольник - одна из простейших геометрических фигур. Но его изучение породило целую науку - тригонометрию, которая возникла из практических потребностей при измерении земельных участков, составлении карт местности, конструировании различных механизмов.
Первые упоминания о треугольнике и его свойствах содержатся в египетских папирусах. Например, в них предлагается находить площадь равнобедренного треугольника как произведение половины основания на боковую сторону, хотя для любого равнобедренного треугольника с малым углом при вершине, противоположной основанию, такой способ дает приближенное значение площади.
Многие свойства треугольников были открыты и доказаны математиками Древней Греции. Среди них - знаменитая теорема Пифагора.
Рассмотрим основные понятия, связанные с треугольником.
Треугольником называется геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех попарно соединяющих их отрезков.
Любой треугольник разделяет плоскость на две части: внутреннюю и внешнюю. Фигуру, состоящую из треугольника и его внутренней области, также называют треугольником (или плоским треугольником).
В любом треугольнике выделяют следующие элементы: стороны, углы, высоты, биссектрисы, медианы, средние линии.
Углом треугольника АВС при вершине А называется угол, образованный полупрямыми АВ и АС.
Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведенный из этой вершины к прямой, содержащей противолежащую сторону.
Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне.
Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны.
Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны и соответствующие углы равны. При этом соответствующие углы должны лежать против соответствующих сторон.
На практике и в теоретических построениях часто пользуются признаками равенства треугольников, обеспечивающими более быстрое решение вопроса об отношениях между ними. Таких признаков три.
1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
2. Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
3. Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми, а третья сторона называется основанием треугольника.
Равнобедренные треугольники обладают рядом свойств, например:
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Отметим еще несколько важных свойств треугольников.
1. Сумма углов треугольника равна 180°.Из этого свойства следует, что в любом треугольнике хотя бы два угла острые.
2. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.
3. В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон.
Для прямоугольного треугольника с углом 30° справедливо следующее свойство: катет, противолежащий этому углу, равен половине гипотенузы.
Для прямоугольного треугольника верна теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Четырехугольники
Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков, причем никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырехугольника, а соединяющие их отрезки - его сторонами.
Любой четырехугольник разделяет плоскость на две части: внутреннюю и внешнюю. Фигуру, состоящую из четырехугольника и его внутренней области, также называют четырехугольником (или плоским четырехугольником).
Вершины четырехугольника называют соседними, если они являются концами одной из его сторон. Вершины, не являющиеся соседними, называются противолежащими. Отрезки, соединяющие противолежащие вершины четырехугольника, называются диагоналями.
Стороны четырехугольника, исходящие из одной вершины, называются соседними. Стороны, не имеющие общего конца, называются противолежащими. У четырехугольника АВС D (рис. 5) вершины А и В - соседние, а вершины А и С - противолежащие; стороны АВ и ВС - соседние, ВС и А D -противолежащие; отрезки АС и В D -диагонали данного четырехугольника.
Четырехугольники бывают выпуклые и невыпуклые. Так, четырехугольник АВС D (рис. 5) - выпуклый, а четырехугольник КРМТ (рис. 6) невыпуклый. Среди выпуклых четырехугольников выделяют параллелограммы и трапеции.
Многоугольники
Обобщением понятия треугольника и четырехугольника является понятие многоугольника. Определяется оно через понятие ломаной.
Если ломаная не имеет самопересечений, то она называется простой.
Если ее концы совпадают, то она называется замкнутой. О ломаных, изображенных на рисунке 8, можно сказать, что: А1,А2,А3,А4,А5,А6 -простая; А1,А2,А3 - простая замкнутая; А1,А2,А3,А4 - замкнутая ломаная, но она не является простой, так как имеет самопересечение. Длиной ломаной называется сумма длин ее звеньев.
Известно, что длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего ее концы.
Прикрепленные файлы: 1 файл
фигурры.docx
Основные свойства простейших геометрических фигур
Всякую геометрическую фигуру мы представляем себе составленной из точек.
Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая. Основные отношения: лежать, принадлежать.
Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
ОТРЕЗОК. Отрезком называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными ее точками.
Для измерения отрезков применяют различные измерительные инструменты. Каждый отрезок имеет определенную длину, больше нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
ПОЛУПРЯМАЯ. Полупрямой или лучом называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от данной ее точки Различные полупрямые одной и той же прямой, имеющие общую начальную точку, называют дополнительными.
УГОЛ. Углом называется фигура, которая состоит из точки – вершины угла – и двух различных полупрямых, исходящих из этой точки, - сторон угла. L (а в), L(СВD) Луч проходит между сторонами данного угла, если он исходит из его вершины и пересекает какой-нибудь отрезок с концами на сторонах угла.
Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 1800. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.
От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 1800 и только один.
Измерение углов на местности проводится с помощью специальных приборов. Простейшим из них является астролябия. Она состоит из двух частей: диска, разделенного на градусы, и вращающейся вокруг центра диска линейки (алидады). На концах алидады находятся два узких окошечка, которые используются для установки ее в определенном направлении.
ТРЕУГОЛЬНИК. Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки.
Два отрезка называются равными, если они имеют одинаковую длину. Два угла называются равными, если они имеют одинаковую угловую меру в градусах.
Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны.
Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной прямой.
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ. Две прямые называются параллельными если они не пересекаются.
Утверждения, принимаемые без доказательств, называются аксиомами. Утверждение, истинность которого необходимо доказать, называется теоремой. Доказательство – это рассуждения, опирающееся на аксиомы и ранее доказанные теоремы, устанавливающее истинность данного факта. Никакими другими свойствами фигур, даже если они нам кажутся очевидными, пользоваться нельзя. При доказательстве разрешается пользоваться чертежом как геометрической записью того, что мы выражаем словами. Определение – словесное описание геометрического объекта, объясняющее, что это такое.
ТЕОРЕМА: Если прямая, не проходящая ни через одну из вершин треугольника, пересекает одну из его сторон, то она пересекает только одну из двух других сторон.
Цель – показать необходимость изучения этой науки (геометрии), которая дает возможность понять, а также рассмотреть значение геометрических законов и закономерностей, их практическое применение при проектировании и постройке сооружений.
Фигура – это произвольное множество точек на плоскости. Точка, прямая, отрезок, луч, треугольник, круг, квадрат и так далее – всё это примеры геометрических фигур.
Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая. Этим фигурам в геометрии не даётся определений. Неопределяемыми геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая. Точки принято обозначать прописными латинскими буквами: А, В, С, D …. Прямые обозначаются строчными латинскими буквами: а, b, с, d ….
1.Основные геометрические понятия.
Основные геометрические понятия возникли еще в доисторические времена. Наблюдая за формами растений и животных, гор и извилинами рек, за особенностями ландшафта и далекими планетами, человек заимствовал у природы ее правильные формы, размеры и свойства. Материальные потребности побуждали человека строить жилища, изготавливать орудия труда и охоты, лепить из глины посуду и прочее. Все это постепенно способствовало тому, что человек пришел к осознанию основных геометрических понятий. Одним из первых достижений абстрактного мышления древнего человека стало понимание прямой линии.
Прямая не проходит через точку, если точка не принадлежит ей.
Пряма́я — одно из фундаментальных понятий геометрии.
При систематическом изложении геометрии прямая линия обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии (евклидовой).Если основой построения геометрии служит понятие расстояния между двумя точками пространства, то прямую линию можно определить как линию, путь вдоль которой равен расстоянию между двумя точками. Аналитически прямая задаётся уравнением (в трёхмерном пространстве — системой уравнений) первой степени.
К основным свойствам прямой относятся:
Черед две различные точки проходит одна единственная прямая. Следовательно две прямые не могут иметь более одной общей точки.
Две разные прямые, имеющие общую точку, пересекаются в ней. В связи с тем, что две точки определяют прямую, проходящую через них, прямую обозначают сочетанием букв, к примеру, прямая АВ, прямая PQ.
Точка М, лежащая на прямой а, разбивает её на две части. Каждая из которых называется полупрямой или лучом. Точка М служит началом каждого их этих лучей. Две точки М и N разбивают прямую на три части: два луча МР и NQ и отрезок MN.
Прямая разбивает плоскость на 2 части. Часть плоскости лежащая по одну сторону от этой прямой, называется полуплоскостью.
Если прямые не имеют общих точек, говорят, что они параллельны.
Если две прямые имеют одну общую точку, говорят, что они пересекаются в этой точке.
Две прямые в трёхмерном евклидовом пространстве скрещиваются, если не существует плоскости, их содержащей. Иначе говоря, две прямые в пространстве, не имеющие общих точек, и не являющиеся параллельными.
2. Параллелограмм.
Параллелограмм (др.-греч. παραλληλόγραμμον от παράλληλος — параллельный и γραμμή — черта, линия) — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых.
Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.
Признаки параллелограмма:
Четырёхугольник является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий:
1. Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то четырёхугольник - параллелограмм
2. Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник - параллелограмм
3. Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник - параллелограмм
Параллелограмм, у которого все углы прямые, называется прямоугольником.
Теорема. Если в параллелограмме диагонали равны, то он является прямоугольником.
Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом.
Теорема. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то он является ромбом.
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции. Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований.
В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.
Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой или равнобедренной.
Свойства равнобедренной трапеции.
Прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции.
В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.
В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.
Если трапецию можно вписать в окружность, то она равнобедренная.
Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.
Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.
Трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.
4.Окружность.
Окружность – это плоская замкнутая линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от некоторой точки (точки О), которая называется центром окружности.
(Окружность — геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.)
Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью. Точка О также называется центром круга. Расстояние от точки окружности до её центра, а также отрезок, соединяющий центр окружности с её точкой, называется радиусом окружности/круга.
Хорда - греческое - струна, стягивающая что-то
Диаметр - "измерение через"
Углы могут встречаться во все более возрастающем количестве, приобретать, соответственно, все больший разворот – пока не исчезнут окончательно и плоскость не станет кругом. Это очень простой и одновременно очень сложный случай, о котором мне хотелось бы поговорить подробно. Здесь необходимо отметить, что как простота, так и сложность обусловлены отсутствием углов. Круг прост, поскольку давление его границ, в сравнении с прямоугольными формами, нивелировано – различия здесь не так велики. Он сложен, поскольку верх неощутимо перетекает в левое и правое, а левое и правое – в низ.
В Древней Греции круг и окружность считались венцом совершенства. Действительно, в каждой своей точке окружность устроена одинаковым образом, что позволяет ей двигаться самой по себе. Это свойство окружности сделало возможным возникновение колеса, поскольку ось и втулка колеса должны все время быть в соприкосновении. В школе изучается много полезных свойств окружности. Одной из самых красивых теорем является следующая: проведем через заданную точку прямую, пересекающую заданную окружность, тогда произведение расстояний от этой точки до точек пересечения окружности с прямой не зависит от того, как именно была проведена прямая. Этой теореме около двух тысяч лет. Эта фигура получается, если провести дуги окружностей с центрами в вершинах равностороннего треугольника, соединяющие две другие вершины. Если провести к этой фигуре две параллельные касательные, то расстояние между ними будет равно длине стороны исходного равностороннего треугольника, так что такие катки ничем не хуже круглых. В дальнейшем были придуманы и другие фигуры, способные выполнять роль катков.
У каждого треугольника имеется, и притом единственная, окружность девяти точек. Это окружность, проходящая через следующие три тройки точек, положение которых определено для треугольника : основания его высот D1 D2 и D3, основания его медиан D4, D5 и D6 середины D7, D8 и D9 отрезков прямых от точки пересечения его высот Н до его вершин. Эта окружность, найденная в XVIII в. великим ученым Л. Эйлером (поэтому ее часто также называют окружностью Эйлера), была заново открыта в следующем столетии учителем провинциальной гимназии в Германии. Звали этого учителя Карл Фейербах (он был родным братом известного философа Людвига Фейербаха). Дополнительно К. Фейербах выяснил, что окружность девяти точек имеет еще четыре точки, тесно связанные с геометрией любого данного треугольника. Это -точки ее касания с четырьмя окружностями специального вида. Одна из этих окружностей вписанная, остальные три - вневписанные. Они вписаны в углы треугольника и касаются внешним образом его сторон. Точки касания этих окружностей с окружностью девяти точек D10, D11, D12 и D13 называются точками Фейербаха. Таким образом, окружность девяти точек является в действительности окружностью тринадцати точек. Окружность эту очень легко построить, если знать два ее свойства. Во-первых, центр окружности девяти точек лежит в середине отрезка, соединяющего центр описанной около треугольника окружности с точкой Н- его ортоцентром (точка пересечения его высот). Во-вторых, ее радиус для данного треугольника равен половине радиуса описанной около него окружности.
5.Треугольник.
Треуго́льник (в евклидовом пространстве) — это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три не лежащие на одной прямой точки. Три точки, образующие треугольник, называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами треугольника.
Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника три угла. Другими словами, треугольник — это многоугольник, у которого имеется ровно три угла.
Вершины — три точки А, В и С. Стороны — отрезки АВ, ВС и СА.
Углы — ∟ ВАС, ∟ СВА и ∟ АСВ.
Периметр треугольника — сумма длин трех сторон треугольника.
Медиана треугольника (m)— отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Биссектриса треугольника (b) — отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны. Высота треугольника (h)— перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке, биссектрисы пересекаются в одной точке, высоты или их продолжения также пересекаются в одной точке.
Теорема. Сумма углов треугольника 180°. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
1) против большей стороны лежит больший угол.
2) против большего угла лежит большая сторона.
В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета
Классификация треугольников по углам. В треугольнике может быть только один тупой угол. В треугольнике может быть только один прямой угол. По сторонам.
Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.
Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием равнобедренного треугольника.
5.1. Теоремы треугольника.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Теорема
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
Равносторонний треугольник — все стороны и углы равны.
Если два треугольника равны, то элементы (т. е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника.
В равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы.
5.2.Признаки треугольника.
ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Теорема:
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
ВТОРОЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Теорема. Если сторона и два прилежащих угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
ТРЕТИЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Теорема. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
5.3.Прямоугольный треугольник.
СВОЙСТВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
• Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
• Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
• Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.
ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.
Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету.
5.4. История изучения треугольника.
6.Многоугольник.
Многоугольник — фигура, составленная из отрезков так, что смежные отрезки не лежат на одной прямой, а несмежные отрезки не имеют общих точек.
Точки А, В, С, D, Е… — вершины многоугольника. Отрезки АВ, ВС, CD, DE, ЕА,… - стороны многоугольника.
Периметр многоугольника (гречечкое пери - вокруг, около) — сумма длин всех сторон.
Многоугольник с n вершинами называется n-угольником; он имеет n сторон.
Две вершины многоугольника, принадлежащие одной стороне, называются соседними.
Диагональ многоугольника (греческое dia - через, gonia - угол, т.е. проходящая через углы) — отрезок, соединяющий любые две несоседние вершины.
Любой многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней, а другая — внешней областью многоугольника. Фигуру, состоящую из сторон многоугольника и его внутренней области, также называют многоугольником.
Многоугольник называется выпуклым:
1) если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины
2) если вместе с любыми своими 2 точками он содержит и соединяющий их отрезок.
Сумма углов выпуклого п-угольника равна (n- 2) 180°.
Многоугольником может называться замкнутая ломаная с самопресечениями и правильные звёздчатые многоугольники.
Площадь многоугольника — это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник.
1) равные многоугольники имеют равные площади;
2) если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников;
3) площадь квадрата равна квадрату его стороны.
7. Многранники. Виды многранников
В современном мире нас окружает множество построек состоящих из сложных геометрических фигур, большинство из которых являются многогранниками. Примеров тому очень много, достаточно посмотреть по сторонам и мы заметим что здания, в которых мы живём, магазины, в которые ходим, школы и детские сады и т.д. представлены в виде многогранников.
Призма – это многогранник, две грани которой ABCDE и abcde ( основания призмы ) – равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами, а остальные грани ( AabB, BbcC и т.д. ) - параллелограммы, плоскости которых параллельны прямой ( Aa, или Bb, или Cc и т.д. По основанию:
-Небоскрёб Flat Iron (Утюг) на пересечении Бродвея и Пятого Авеню. Построен в 1902 году. 21 этаж, 87 метров
-Пентагон — здание Министерства обороны США в форме пятиугольника. Находится в штате Вирджиния недалеко от Вашингтона.
-Наклонная призма – боковое ребро наклонено к основанию под углом отличны от 90є.
Прямая призма – боковое ребро расположено перпендикулярно к основанию.
7.2. Параллелепипед
Параллелепипед - призма, в основании которой находится параллелограмм.
Наклонный, Прямой, Прямоугольный – это прямой параллелепипед,
в основании которого прямоугольник.
Куб – это прямой параллелепипед,
все грани которого квадраты
7.3. Пирамида
Пирамида – это многогранник, одна из граней которого – произвольный n-угольник, а остальные “n” граней – треугольники, имеющие общую вершину.
-Университетский волейбольно-баскетбольный стадион в Калифорнии
В основании - Квадрат
-Торговый центр в Турции
Цилиндр – это тело, ограниченное частью замкнутой цилиндрической поверхности и частью двух плоскостей, параллельных между собой
Водонапорная башня в Минске, Нефтехранилища, Небоскреб в США
Конус - это геометрическое тело, ограниченное частью конической поверхности, расположенной по одну сторону от вершины и частью пересекающей её плоскости.
Как самостоятельные сооружения конусы в строительстве не используются. Практически всегда они составляют какую-то часть здания, например крыши и архитектурные украшающие детали.
Также в строительстве используют конические сваи.
7.6. Сфера и шар.
Сфера – это множество всех точек пространства, находящихся на положительном расстоянии R от данной точки О, называемой центром сферы.
Шар – это множество всех точек пространства, расстояние которых от данной точки не превосходит заданного положительного числа R. Шар получается при вращении полукруга относительно диаметра.
Шаровой слой – это часть шара, заключенная между двумя параллельными плоскостями.
Шаровой сегмент – это часть шара, отсекаемая от него плоскостью.
ТРК Вояж, г. Санкт-Петербург, Здание в Париже (Франция)
Здание Национального Конгресса в США
Итак, при постройке, как современных зданий, так и зданий прошлых веков необходимы знания геометрии. Архитектурное формообразование с помощью геометрических построений сохраняется во всех случаях. Эта проблема стояла перед архитекторами прошлых веков, не исчезла она и сегодня.
7.7. Двойной квадрат
Два квадрата, сложенные вместе, образуют двойной квадрат. Сложив два двойных квадрата, получим квадрат, повторяющий своими очертаниями исходный квадрат. Это простое аддитивное свойство квадрата широко использовалось в архитектуре эпохи Возрождения.
7.8. Восьмиугольные звезды.
Использование восьмиугольных звезд в архитектурных конструкциях не вызывает никаких сомнений. Автором этого проекта является Леонардо да Винчи.
Золото́е сече́ние (золотая пропорция, деление в крайнем и среднем отношении) — деление непрерывной величины на две части в таком отношении, при котором меньшая часть так относится к большей, как большая ко всей величине.
Читайте также: