Реферат на тему основные свойства функции

Обновлено: 05.07.2024

Определение. Функция, заданная формулой у=а х (где а>0, а≠1), называется показательной функцией с основанием а.

Сформулируем основные свойства показательной функции :

1. Область определения — множество (R) всех действительных чисел.

2. Область значений — множество (R+) всех положительных действительных чисел.

3. При а > 1 функция возрастает на всей числовой прямой; при 0 n , где n – число Î R, называется степенной функцией. Число n может принимать раличные значения: как целые, так и дробные, как четные, так и нечетные. В зависимости от этого, степенная функция будет иметь разный вид. Рассмотрим частные случаи, которые являются степенными функциями и отражают основные свойства данного вида кривых в следующем порядке: степенная функция у=х² (функция с четным показателем степени – парабола), степенная функция у=х³ (функция с нечетным показателем степени – кубическая парабола) и функция у=√х (х в степени ½) (функция с дробным показателем степени), функция с отрицательным целым показателем (гипербола).

Степенная функция у=х²

1. D(x)=R – функция определена на все числовой оси;

2. E(y)=[0;∞) - функция принимает положительные значения на всей области определения;

3. При х=0 у=0 - функция проходит через начало координат O(0;0).

4. Функция убывает на промежутке (-∞;0] и возрастает на промежутке [0;∞).

5. Функция является четной (симметрична относительно оси Оу).

В зависимости от числового множителя, стоящего перед х², функция может быть уже/шире и направлена вверх/вниз.

Степенная функция у=х³

1. График функции у=х³ называется кубической параболой. Степенная функция у=х³ обладает следующими свойствами:

2. D(x)=R – функция определена на все числовой оси;

3. E(y)=(-∞;∞) – функция принимает все значения на своей области определения;

4. При х=0 у=0 – функция проходит через начало координат O(0;0).

5. Функция возрастает на всей области определения.

6. Функция является нечетной (симметрична относительно начала координат).

В зависимости от числового множителя, стоящего перед х³, функция может быть крутой/пологой и возрастать/убывать.

Степенная функция с целым отрицательным показателем:

Если показатель степени n является нечетным, то график такой степенной функции называется гиперболой. Степенная функция с целым отрицательным показателем степени обладает следующими свойствами:

1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) для любого n;

2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), если n – нечетное число; E(y)=(0;∞), если n – четное число;

3. Функция убывает на всей области определения, если n – нечетное число; функция возрастает на промежутке (-∞;0) и убывает на промежутке (0;∞), если n – четное число.

4. Функция является нечетной (симметрична относительно начала координат), если n – нечетное число; функция является четной, если n – четное число.

5. Функция проходит через точки (1;1) и (-1;-1), если n – нечетное число и через точки (1;1) и (-1;1), если n – четное число.

Степенная функция с дробным показателем

Степенная функция с дробным показателем вида (картинка) имеет график функции, изображенный на рисунке. Степенная функция с дробным показателем степени обладает следующими свойствами: (картинка)

1. D(x) Î R, если n – нечетное число и D(x)=[0;∞), если n – четное число ;

2. E(y) Î (-∞;0)U(0;∞), если n – нечетное число; E(y)=[0;∞), если n – четное число;

3. Функция возрастает на всей области определения для любого числа n.

4. Функция проходит через начало координат в любом случае.

Логарифмическая функция у = log_a x обладает следующими свойствами :

1. Область определения D(x) Î (0; + ∞).

2. Область значений E(y) Î ( - ∞; + ∞)

3. Функция ни четная, ни нечетная (общего вида).

4. Функция возрастает на промежутке (0; + ∞) при a > 1, убывает на (0; + ∞) при 0 х с помощью преобразования симметрии относительно прямой у = х. На рисунке 9 построен график логарифмической функции для а > 1, а на рисунке 10 - для 0

Определение. Функция, заданная формулой у=а х (где а>0, а≠1), называется показательной функцией с основанием а.

Сформулируем основные свойства показательной функции :

1. Область определения — множество (R) всех действительных чисел.

2. Область значений — множество (R+) всех положительных действительных чисел.

3. При а > 1 функция возрастает на всей числовой прямой; при 0 n , где n – число ÎR, называется степенной функцией. Число n может принимать раличные значения: как целые, так и дробные, как четные, так и нечетные. В зависимости от этого, степенная функция будет иметь разный вид. Рассмотрим частные случаи, которые являются степенными функциями и отражают основные свойства данного вида кривых в следующем порядке: степенная функция у=х² (функция с четным показателем степени – парабола), степенная функция у=х³ (функция с нечетным показателем степени – кубическая парабола) и функция у=√х (х в степени ½) (функция с дробным показателем степени), функция с отрицательным целым показателем (гипербола).

Степенная функция у=х²

1. D(x)=R – функция определена на все числовой оси;

2. E(y)=[0;∞) - функция принимает положительные значения на всей области определения;

3. При х=0 у=0 - функция проходит через начало координат O(0;0).

4. Функция убывает на промежутке (-∞;0] и возрастает на промежутке [0;∞).

5. Функция является четной (симметрична относительно оси Оу).

В зависимости от числового множителя, стоящего перед х², функция может быть уже/шире и направлена вверх/вниз.

Степенная функция у=х³

2. D(x)=R – функция определена на все числовой оси;

3. E(y)=(-∞;∞) – функция принимает все значения на своей области определения;

4. При х=0 у=0 – функция проходит через начало координат O(0;0).

5. Функция возрастает на всей области определения.

6. Функция является нечетной (симметрична относительно начала координат).

Степенная функция с целым отрицательным показателем:

1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) для любого n;

2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), если n – нечетное число; E(y)=(0;∞), если n – четное число;

5. Функция проходит через точки (1;1) и (-1;-1), если n – нечетное число и через точки (1;1) и (-1;1), если n – четное число.

Степенная функция с дробным показателем

1. D(x) ÎR, если n – нечетное число и D(x)=[0;∞), если n – четное число ;

2. E(y) Î (-∞;0)U(0;∞), если n – нечетное число; E(y)=[0;∞), если n – четное число;

3. Функция возрастает на всей области определения для любого числа n.

4. Функция проходит через начало координат в любом случае.

Логарифмическая функция у = log_a x обладает следующими свойствами :

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Определение : Числовой функцией называется соответствие, которое каждому числу х из некоторого заданного множества сопоставляет единственное число y.

где x – независимая переменная (аргумент), y – зависимая переменная (функция). Множество значений x называется областью определения функции (обозначается D(f)). Множество значений y называется областью значений функции (обозначается E(f)). Графиком функции называется множество точек плоскости с координатами (x, f(x))

Способы задания функции.

аналитический способ (с помощью математической формулы);

табличный способ (с помощью таблицы);

описательный способ (с помощью словесного описания);

графический способ (с помощью графика).

Основные свойства функции.

1. Четность и нечетность

Функция называется четной, если
– область определения функции симметрична относительно нуля
– для любого х из области определения f(-x) = f(x)

График четной функции симметричен относительно оси 0y

Функция называется нечетной, если
– область определения функции симметрична относительно нуля
– для любого х из области определения f(-x) = –f(x)

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Функция f(x) называется периодической с периодом , если для любого х из области определения f(x) = f(x+Т) = f(x-Т) .

График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов.

3. Монотонность (возрастание, убывание)

Функция f(x) возрастает на множестве Р , если для любых x ₁ и x ₂ из этого множества, таких, что x ₁ ₂ выполнено неравенство f(x ₁ ) ₂ ).

Функция f(x) убывает на множестве Р , если для любых x ₁ и x ₂ из этого множества, таких, что x ₁ ₂ выполнено неравенство f(x ₁ ) > f(x ₂ ).

Точка Х _max называется точкой максимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Х _max , выполнено неравенство f(х) f(X _max ).

Значение Y _max =f(X _max ) называется максимумом этой функции.

Х _max – точка максимума
У _max – максимум

Точка Х _min называется точкой минимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Х _min , выполнено неравенство f(х) f(X _min ).

Значение Y _min =f(X _min ) называется минимумом этой функции.

X _min – точка минимума
Y _min – минимум

X _min , Х _max – точки экстремума
Y _min , У _max – экстремумы.

Нулем функции y = f(x) называется такое значение аргумента х , при котором функция обращается в нуль: f(x) = 0.

Функция — одно из важнейших математических понятий. Функцией называют такую зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению переменной х соответствует единственное значение переменной у.

Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Переменную у называют зависимой переменной. Говорят также, что переменная у является функцией от переменной х. Значения зависимой переменной называют значениями функции.

Если зависимость переменной у от переменной х является функцией, то коротко это записывают так: y=f(x). (Читают: у равно f от х.) Символом f(x) обозначают значение функции, соответствующее значению аргумента, равному х.

Все значения независимой переменной образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции.

Если функция задана формулой и ее область определения не указана, то считают, что область определения функции состоит из всех значений аргумента, при которых формула имеет смысл.

Способы задания функции:

1. аналитический способ (функция задается с помощью математической формулы;

2. табличный способ (функция задается с помощью таблицы)

3. описательный способ (функция задается словесным описанием)

4. графический способ (функция задается с помощью графика).

Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

^ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ

Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю .

^ 2. Промежутки знакопостоянства функции

Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.

3. ^ Возрастание (убывание) функции.

Возрастающая в некотором промежутке функция - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Функция у = f (x) называется возрастающей на интервале (а; b), если для любых x1 и x2 из этого интервала таких, что x1 f(x2).

4. Четность (нечетность) функции

Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Например, у = х2 - четная функция.

Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Например: у = х3 - нечетная функция.

Функция общего вида не является четной или нечетной (у = х2+х).

Свойства некоторых функций и их графики

1. Линейной функцией называется функция вида , где k и b – числа.

Область определения линейной функции – множество R действительных чисел.

Графиком линейной функции у = kx + b (k ≠ 0) является прямая проходящая через точку (0; b) и параллельная прямой у = kx.

Прямая, не параллельная оси Оу, является графиком линейной функции.

Свойства линейной функции.

1. При k > 0 функция у = kx + b возрастающая в области определения.

2. При k 0 имеем, что у > 0, если и у 0, если и у 0, т.е. все точки параболы, кроме начала координат, лежат над осью абсцисс.

3. Множеством значений функции у = х2 является промежуток [0; + ∞).

4. Если значения аргумента отличаются только знаком, то значения функции равны, т.е. парабола симметрична относительно оси ординат (функция у = х2 - четная).

5. На промежутке [0; + ∞) функция у = х2 возрастает.

6. На промежутке (-∞; 0] функция у = х2 убывает.

7. Наименьшее значение функция принимает в точке х = 0, оно равно 0. Наибольшего значения не существует.

Область определения этой функции - промежуток [0;+∞), т. е. все неотрицательные числа.

Придавая переменной х несколько значений из области определения функции и вычисляя соответствующие значения у по формуле , изображаем график функции.

1. Если х = 0, то у = 0, т.е. график функции имеет с осями координат общую точку (0; 0) - начало координат.

2. Если х > 0, то у > 0, т.е. все точки графика функции, кроме начала координат, лежат над осью абсцисс.

3. Множеством значений функции является промежуток [0;+∞).

4. Функция не является ни четной, ни нечетной.

5. Функция возрастающая в области определения.

6. Наименьшее значение функция принимает в точке х = 0, оно равно 0. Наибольшего значения не существует.

^ 4. Функция y = x3

Область определения этой функции - множество R действительных чисел,

Придавая переменной х несколько значений из области определения функции и вычисляя соответствующие значения у по формуле у = х3, изображаем график функции.

График функции у= х3 называется кубической параболой.

^ Свойства функции y = x3.

1. Если х = 0, то у = 0, т.е. кубическая парабола пересекает оси координат в точке (0; 0) - начале координат.

2. Если х > 0, то у > 0, а если х О получим у = х, а при х 0, т.е. все точки графика функции y = |x|, кроме начала координат, лежат над осью абсцисс.

3. Множеством значений функции y = |x| является промежуток [0;+∞).

4. Если значения аргумента отличаются только знаком, то значения функции равны, т.е. график функции симметричен относительно ординат (функция y = |x| - четная).

5. На промежутке [0;+∞) функция y = |x| возрастает.

6. На промежутке (-∞;0] функция y = |x| убывает.

7. Наименьшее значение функция принимает в точке х, оно равно 0. Наибольшего значения не существует.

Область определения функции: .

Область значений функции: .

2. Промежутки знакопостоянства,

Если k > 0, то у > 0 при х > 0; у 0; у > 0 при х 0, то функция убывает при .

Если k 0, то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня.

Пусть дано квадратное уравнение ax2+bx+c = 0. Так как а≠0, то, разделив обе части данного уравнения на а, получим уравнение . Полагая и , приходим к уравнению , в котором первый коэффициент равен 1. Такое уравнение называется приведенным.

Формула корней приведенного квадратного уравнения имеет вид:

аx2 +bx = 0, ax2 + с =0, аx2 = 0

называются неполными квадратными уравнениями. Неполные квадратные уравнения решаются разложением левой части уравнения на множители.

Сумма корней квадратного уравнения равна взятому с противоположным знаком отношению второго коэффициента к первому, а произведение корней — отношению свободного члена к первому коэффициенту, т.е.

Если сумма каких-нибудь двух чисел х1 и х2 равна , а их произведение равно , то эти числа являются корнями квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0.

Функция вида ах2 +bх + с называется квадратным трехчленом. Корни этой функции являются корнями соответствующего квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0.

Если дискриминант квадратного трехчлена больше нуля, то этот трехчлен можно представить в виде:

ах2 +bх + с =а(х-х1)(х-х2)

где х1 и х2 — корни трехчлена

Если дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, то этот трехчлен можно представить в виде:

ах2 +bх + с =а(х-х1)2

где х1 — корень трехчлена.

Например, 3х2 - 12х + 12 = 3(х - 2)2.

Уравнение вида ах4 + bх2 + с = 0 называется биквадратным. С помощью замены переменной по формуле х2 = y оно приводится к квадратному уравнению аy2 + by + с = 0.

Квадратичной функцией называется функция, которую можно записать формулой вида y = ax2 + bx + c, где x – независимая переменная, a, b и c – некоторые числа, причем a≠0.

Свойства функции и вид ее графика определяются, в основном, значениями коэффициента a и дискриминанта .

^ Свойства квадратичной функции
- Область определения: R;

при а 0 два нуля: ,

при D = 0 один нуль:

при D 0, D > 0, то

если, а > 0, D = 0, то

eсли а > 0, D 0, то

при а 0 и влево при т 0 и вниз при п 0 и ах2 + bх + с 0 и ах2 + bх + с 0 или вниз при а 0 или в нижней при а 0) или ниже оси х (если решают неравенство ах2 + bх + с

Раздел 1. Постоянная функция.
Постоянная функция задается на множестве всех действительных чисел формулой y=C, где С-действительное число. График константы – это прямая, которая параллельна оси абсцисс и проходит через точку, имеющую координаты:(0, С).

область определения – все множество действительных чисел;
постоянная функция – четная;
область значений – множество, составленное из единственного числа C;
постоянная функция является невозрастающей и неубывающей;
постоянная функция – прямая линия, о выпуклости или вогнутости здесь речи быть не может;
асимптоты отсутствуют;
точка прохождения функции на координатной плоскости – ( 0 ; С)

Раздел 2. Степенная функция.

Степенная функция задается формулой вида y=x a .

Рассмотрим свойства и графики степенной функции для:

a=1; a=2; a=3; a=1/2; a=-1

a=2, то есть у=х2

область определения: x ∈ (− ∞; + ∞);
область значений: y ∈ [0; + ∞);
функция является четной;
функция является возрастающей при x ∈ [0; + ∞) и убывающей при x ∈ (− ∞; 0]
функция имеет вогнутость при x ∈ (− ∞; + ∞);
точки перегиба отсутствуют;
асимптоты отсутствуют.

а=3, то есть у=х3

область определения: x ∈ (− ∞; + ∞);
область значений: y ∈ (− ∞; + ∞);
функция является нечетной;
функция является возрастающей при x ∈ (− ∞; + ∞);
функция имеет выпуклость при x ∈ (− ∞; 0] и вогнутость при

а=1/2, то есть у=х1\2или у=

область определения: x ∈ [0; + ∞);
область значений: y ∈ [0; + ∞);
данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
функция является возрастающей при x ∈ [0; + ∞);
функция имеет выпуклость при x ∈ (0; + ∞);
точки перегиба отсутствуют;
асимптоты отсутствуют;

а=-1, то есть у=х-1или у=

область определения: x ∈ (− ∞; 0) ∪ (0; + ∞)
область значений: y ∈ (− ∞; 0) ∪ (0; + ∞);
функция является нечетной;
функция является убывающей при x ∈ (− ∞; 0) ∪ (0; + ∞);
функция имеет выпуклость при x ∈ (− ∞; 0) и вогнутость при

точки перегиба отсутствуют;
горизонтальная асимптота – прямая y = 0

Раздел 3. Показательная функция.

Показательная функция имеет вид y = a х , где а> 0 и а ≠1

Рассмотрим свойства и графики функций для:

область определения – все множество действительных чисел; область значений: y ∈ (0; + ∞);
данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
показательная функция, у которой основание меньше единицы, является убывающей на всей области определения;
функция имеет вогнутость при x ∈ (− ∞; + ∞);
точки перегиба отсутствуют;
горизонтальная асимптота – прямая y = 0 при переменной x, стремящейся к + ∞

a>1

область определения – все множество действительных чисел;
область значений: y ∈ (0; + ∞);
данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
показательная функция, у которой основание больше единицы, является возрастающей при x ∈ (− ∞; + ∞);
функция имеет вогнутость при x ∈ (− ∞; + ∞);
точки перегиба отсутствуют;
горизонтальная асимптота – прямая y = 0 при переменной x, стремящейся к − ∞;

3) у=е х

область определения – все множество действительных чисел;
область значений: y ∈ (0; + ∞);
данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
показательная функция, у которой основание больше единицы, является возрастающей при x ∈ (− ∞; + ∞);
функция имеет вогнутость при x ∈ (− ∞; + ∞);
точки перегиба отсутствуют;
горизонтальная асимптота – прямая y = 0 при переменной x, стремящейся к − ∞;

Раздел 4. Логарифмическая функция.

Логарифмическая функция имеет вид y = log _а (x), где a> 0, a ≠ 1

Рассмотрим свойства и графики функций для:

a>1

область определения: x ∈ (0; + ∞). Когда х стремится к нулю справа, значения функции стремятся к -∞;
область значений: y ∈ (− ∞; + ∞) (все множество действительных чисел);
данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
логарифмическая функция является возрастающей при x ∈ (0; + ∞);
функция имеет выпуклость при x ∈ (0; + ∞);
точки перегиба отсутствуют;
асимптоты отсутствуют;

у=lg(x)

область определения: x ∈ (0; + ∞). Когда х стремится к нулю справа, значения функции стремятся к -∞;
область значений: y ∈ (− ∞; + ∞) (все множество действительных чисел);
данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
логарифмическая функция является возрастающей при x ∈ (0; + ∞);
функция имеет выпуклость при x ∈ (0 ; + ∞) ;
точки перегиба отсутствуют;
асимптоты отсутствуют;

Аналогичны y = lg ( x )

Читайте также: