Реферат на тему обратная матрица

Обновлено: 04.07.2024

Процесс вычисления обратной матрицы достаточно трудоемкий. Решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы не является самым удобным, но такой способ есть. Данный метод применим, если определитель, составленный из коэффициентов при переменных, не равен нулю.

Содержимое работы - 1 файл

Метод обратной матрицы.docx

Метод обратной матрицы. (Решение систем линейных уравнений)

Введите исходные данные
целые числа и ( или ) десятичные дроби ( например -0.125 -5 2.12 10 )

Обратную матрицу найти

Решение вашей системы методом Гаусса .

Решение вашей системы методом Крамера .

Решим систему уравнений

Запишем систему уравнений в матричной форме

Найдем матицу A -1 , обратную к матрице А, методом алгебраических дополнений

Будем обозначать элементы матрицы A маленькими буквами а_ij. Первый индекс i обозначает номер строки , а второй j - номер столбца, где находится элемент матрицы а_ij.

Обратную матрицу A -1 , будем искать в следующем виде:

Обратите внимание на множитель 1 / det A - стоящей перед матрицей. Очевидно, если определитель матрицы А равен нулю , то обратной матрицы не существует.

М _ij это минор элемента а _ij, т.е. определитель , полученный вычеркиванием из матрицы А строки с номером i и столбца с номером j. А _ij - это алгебраическое дополнение элемента а _ij, или, проще говоря, минор взятый с определенным знаком. Если сумма номера строки и номера столбца элемента а_ij четная , то алгебраическое дополнение это минор. Если сумма номера строки и номера столбца элемента а_ij нечетная , то алгебраическое дополнение это минор, взятый со знаком минус. Математически это выражается выражением ( -1 ) i+j . Не забудьте обратить внимание на индексы алгебраических дополнений в обратной матрице.

Обратная матрица, её свойства, определитель, транспонирование. Характеристика способов нахождения обратной матрицы: точечные, итерационные. Метод Гаусса-Жордана, разложение, использование союзных матриц. Методы Шульца, выбор начального приближения.

Рубрика	Математика
Вид	реферат
Язык	русский
Дата добавления	25.03.2016
Размер файла	69,7 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

«Чебоксарский кооперативный институт (филиал)

Кафедра математических и инструментальных

на тему: Обратная матрица

матрица обратный итерационный

1. Свойства обратной матрицы

2. Способы нахождения обратной матрицы

2.1 Точные (прямые) методы

2.2 Итерационные методы

Список используемой литературы

Введение

Обратная матрица -- такая матрица A ?1 , при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам.

1. Свойства обратной матрицы

для любых двух обратимых матриц A и B.

где * T обозначает транспонированную матрицу.

для любого коэффициента .

Если необходимо решить систему линейных уравнений Ax = b, (b -- ненулевой вектор) где x -- искомый вектор, и если A - 1 существует, то x = A ? 1 b. В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.

2. Способы нахождения обратной матрицы

Если матрица обратима, то для нахождения обратной матрицы можно воспользоваться одним из следующих способов:

2.1 Точные (прямые) методы

Метод Гаусса--Жордана

Возьмём две матрицы: саму A и единичную E. Приведём матрицу A к единичной матрице методом Гаусса--Жордана. После применения каждой операции к первой матрице применим ту же операцию ко второй. Когда приведение первой матрицы к единичному виду будет завершено, вторая матрица окажется равной A ?1 .

При использовании метода Гаусса первая матрица будет умножаться слева на одну из элементарных матриц Л_i (трансвекцию или диагональную матрицу с единицами на главной диагонали, кроме одной позиции):

Вторая матрица после применения всех операций станет равна Л, то есть будет искомой. Сложность алгоритма -- O(n 3 ).

С помощью союзной матрицы

C * T -- транспонированная союзная матрица;

Полученная матрица A ?1 и будет обратной. Сложность алгоритма зависит от сложности алгоритма расчета определителя O_det и равна O(nІ)·O_det.

Иначе говоря, обратная матрица равна единице, делённой на определитель исходной матрицы и умноженной на транспонированную матрицу алгебраических дополнений элементов исходной матрицы.

Использование LU/LUP-разложения

Матричное уравнение AX = I_n для обратной матрицы X можно рассматривать как совокупность n систем вида Ax = b. Обозначим i-ый столбец матрицы X через X_i; тогда AX_i = e_i, ,поскольку i-м столбцом матрицы I_n является единичный вектор e_i. другими словами, нахождение обратной матрицы сводится к решению n уравнений с одной матрицей и разными правыми частями. После выполнения LUP-разложения (время O(nі)) на решение каждого из n уравнений нужно время O(nІ), так что и эта часть работы требует времени O(nі) [1] .

Если матрица A невырождена, то для неё можно рассчитать LUP-разложение PA = LU. Пусть PA = B, B ? 1 = D. Тогда из свойств обратной матрицы можно записать: D = U ? 1 L ? 1 . Если умножить это равенство на U и L то можно получить два равенства вида UD = L ? 1 и DL = U ? 1 . Первое из этих равенств представляет собой систему из nІ линейных уравнений для из которых известны правые части (из свойств треугольных матриц). Второе представляет также систему из nІ линейных уравнений для из которых известны правые части (также из свойств треугольных матриц). Вместе они представляют собой систему из nІ равенств. С помощью этих равенств можно реккурентно определить все nІ элементов матрицы D. Тогда из равенства (PA) ?1 = A ?1 P ?1 = B ?1 = D. получаем равенство A ? 1 = DP. В случае использования LU-разложения не требуется перестановки столбцов матрицы D но решение может разойтись даже если матрица A невырождена.

Сложность алгоритма -- O(nі).

2.2 Итерационные методы

Методы Шульца

Оценка погрешности

Выбор начального приближения

Проблема выбора начального приближения в рассматриваемых здесь процессах итерационного обращения матриц не позволяет относиться к ним как к самостоятельным универсальным методам, конкурирующими с прямыми методами обращения, основанными, например, на LU-разложении матриц. Имеются некоторые рекомендации по выбору , обеспечивающие выполнение условия (спектральный радиус матрицы меньше единицы), являющегося необходимым и достаточным для сходимости процесса. Однако при этом, во-первых, требуется знать сверху оценку спектра обращаемой матрицы A либо матрицы (а именно, если A -- симметричная положительно определённая матрица и , то можно взять , где ; если же A -- произвольная невырожденная матрица и , то полагают , где также ; можно конечно упростить ситуацию и, воспользовавшись тем, что , положить ). Во-вторых, при таком задании начальной матрицы нет гарантии, что будет малой (возможно, даже окажется ), и высокий порядок скорости сходимости обнаружится далеко не сразу.

3. Примеры

Обращение матрицы 2х2 возможно только при условии, что .

Задание. Матричным способом решить систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Находим обратную к (1234-123312). Вычисляем определитель

|1234-123312| = 1 · (-1) · 2 + 2 · 23 · 3 + 4 · 1 · 3 - 3 · (-1) · 3 - 2 · 4 · 2 - 23 · 1 · 1 = (-2) + 138 + 12 - (-9) - 16 - 23 = 118

Вычисляем миноры Mij и алгебраические дополнения Aij всех элементов таблицы.

|-12312| = -1 · 2 - 23 · 1 = -2 - 23 = -25

|2312| = 2 · 2 - 3 · 1 = 4 - 3 = 1

|23-123| = 2 · 23 - 3 · (-1) = 46 - (-3) = 49

|42332| = 4 · 2 - 23 · 3 = 8 - 69 = -61

|1332| = 1 · 2 - 3 · 3 = 2 - 9 = -7

|13423| = 1 · 23 - 3 · 4 = 23 - 12 = 11

|4-131| = 4 · 1 - (-1) · 3 = 4 - (-3) = 7

|1231| = 1 · 1 - 2 · 3 = 1 - 6 = -5

|124-1| = 1 · (-1) - 2 · 4 = -1 - 8 = -9

Умножаем присоединенную матрицу на столбец свободных коэффициентов (-25-14961-7-1175-9) · (056) = (289-101-29)

В ходе вычислений были выполнены следующие действия

Умножаем 1 строку на 1 столбец (-25) · 0 + (-1) · 5 + 49 · 6 = 289

Умножаем 2 строку на 1 столбец 61 · 0 + (-7) · 5 + (-11) · 6 = -101

Умножаем 3 строку на 1 столбец 7 · 0 + 5 · 5 + (-9) · 6 = -29

Делим произведение на определитель основной матрицы системы и записываем ответ.

Список используемой литературы

1. Беллман Р. Введение в теорию матриц. - М.: Мир, 1969

2. Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун. Матричные вычисления. - М.: Мир, 1999.

3. Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р., Штайн К. Алгоритмы: построение и анализ, -- М.: Вильямс, 2006 (стр. 700)

Подобные документы

Прямоугольная таблица, составленная из чисел или матрица. Произвольная квадратная матрица, ее численная характеристика (определитель). Определители первого и второго порядка. Понятие минора элемента матрицы. Свойства определителей, транспонирование.

реферат [56,8 K], добавлен 19.08.2009

Правила произведения матрицы и вектора, нахождения обратной матрицы и ее определителя. Элементарные преобразования матрицы: умножение на число, прибавление, перестановка и удаление строк, транспонирование. Решение системы уравнений методом Гаусса.

контрольная работа [462,6 K], добавлен 12.11.2010

Основные операции над матрицами и их свойства. Произведение матриц или перемножение матриц. Блочные матрицы. Понятие определителя. Панель инструментов Матрицы. Транспонирование. Умножение. Определитель квадратной матрицы. Модуль вектора.

реферат [109,2 K], добавлен 06.04.2003

Классификация способов нахождения обратной матрицы, полученной в системе MathCAD с помощью миноров и алгебраических дополнений: разбиения ее на клетки и на произведение 2-х треугольных матриц; с помощью модели Гаусса. Вычисление погрешности методов.

лабораторная работа [380,9 K], добавлен 31.10.2012

Задачи и методы линейной алгебры. Свойства определителей и порядок их вычисления. Нахождение обратной матрицы методом Гаусса. Разработка вычислительного алгоритма в программе Pascal ABC для вычисления определителей и нахождения обратной матрицы.

Матрица A-1 - обратная для матрицы A, если
AA-1=A-1A=I
Для квадратной матрицы A обратная существует
тогда и только тогда, когда detA0.

где Aij - алгебраические дополнения элэментов aij
матрицы A. Свойства: (A-1)-1=A,
(AB)-1=B-1A-1, detA-1=1/detA

Решение квадратной системы:
Ax=b
если |A|0, то x=A-1b

Матричные уравнения.
XA=B  X=BA-1
AX=B  X=A-1B

Некоторые св-ва определителей:
1.* Величина определителя не изменится, если каждую
строку заменить столбцом с тем же номером.
2. Если матрица B получена из матрицы A
перестановкой двух каких-либо ее строк
(столбцов*), то detB=detA.
3. Общий множитель всех элементов произвольной
строки (столбца*) определителя можно вынести за
знак определителя.
4.* Определитель, содержащий две пропор-
циональные строки (столбца), равен нулю.
5. Определитель не меняется от прибавления к
какой-либо его строке (столбцу*) другой его строки
(столбца), умноженной на произвольное число.
6.* Если какая-либо строка (столбец) определителя
есть линейная комбинация других его строк
(столбцов), то определитель равен 0.
7. Если матрица имеет треугольный вид, то ее
определитель равен произведению элементов на
главной диагонали.
*-неизученные свойства.

Фундаментальная система решений.
Фундаментальной системой решений называется
система из (n-r) линейно независимых решений, где
n-число неизвестных, r-ранг матрицы системы:
ФСР: l1,l2. ln-r
ФСР может быть бесконечное множество.
Если l1,l2. ln-r-ФСР однородной системы, то
xоо = с1l1+с2l2+. +сn-r ln-r
xон = xоо + xчн

Метод Крамера:
Если =0 и не все xj=0, то система несовместна.
Если 0, то система имеет единственное решение,

где xj - определитель, полученный заменой j-го
столбца в определителе системы столбцом
свободных членов.

Квадратная матрица А называется невырожденной , или неособенной , если её определитель отличен от нуля и вырожденной , или особенной , если её определитель равен нулю.

Квадратная матрица В называется обратной для квадратной матрицы А того же порядка, если их произведение

АВ= ВА=Е ,

где Е – единичная матрица того же порядка, что и матрицы А и В.

Теорема. Для того, чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был отличен от нуля.

Матрица, обратная к А , обозначается через А -1 , так что В= А -1 . Для матрицы А обратная ей матрица А -1 определяется однозначно.

Справедливы следующие равенства:

1) D (А -1 )=( D А) -1 ;

2) (А -1 ) -1 =А ;

4) (А Т ) -1 =(А -1 ) Т .

Существую несколько способов нахождения обратной матрицы. Рассмотрим один из них – нахождение обратной матрицы путём вычисления алгебраических дополнений. Заключается он в следующем:

пусть нам дана матрица А , имеющая следующий вид:

Предположим, что D А ¹ 0 . Построим следующую матрицу С следующим образом:

где А _ij – алгебраическое дополнение элемента а _ij в определителе матрицы А . Очевидно, что для построения матрицы С необходимо сначала заменить элементы матрицы А соответствующими им алгебраическими дополнениями, а затем полученную матрицу транспонировать.

Полученная таким образом матрица С называется присоединённой к матрице А , или союзной с А .

Чтобы получить матрицу А -1 , обратную для матрицы А , необходимо каждый элемент присоединённой матрицы С поделить на D А , т.е. матрица А -1 будет иметь следующий вид:

Пусть матрица А , имеет следующий вид:

Чтобы найти матрицу А -1 , обратную для матрицы А , необходимо:

- вычислить определитель матрицы (D А= -3 );

- найти алгебраические дополнения элементов а _ij в определителе матрицы А :

- составить присоединённую матрицу С по формуле (2);

- разделить все элементы матрицы С на D А .

Реализуем вышеизложенный алгоритм нахождения обратной матрицы следующим образом: вначале запишем в редакторе Word присоединенную матрицу С по формуле (2), после чего в программе Excel найдём обратную матрицу А -1 (по формуле (3)) для матрицы А .

1. Включите компьютер.

2. Подождите пока загрузится операционная система Windows , после чего откройте окно Microsoft Word .

3. Вставьте объект Microsoft Equation 3 . 0.

4. Перепишем алгебраические дополнения в формульный редактор. Для этого:

·запишите алгебраическоедополнение А₁₂ ., используя шаблон нижних индексов;

·вставьте шаблон определителя 3-го порядка в формульном редакторе;

·занесите числовые значения определителя в свободные поля;

Повтором предыдущих действий, запишите в редакторе формул дополнения А₁₂ -А₄₄ (см. рис. 8.1)

В качестве вычислительного средства воспользуемся инструментами программы Excel .

5. Откройте окно Microsoft Excel .

6. Перепишите матрицу А и формулу (4) из Word в Excel (см. рис. 8.2).

7. Используя функцию МОПРЕД, которая находится в мастере функций ƒ_х , посчитаем, чему будут равны все алгебраические дополнения. Для этого:

·активизируйте ячейку D9;

·выполните нажатие ЛКМ на кнопке ƒ_х в стандартной панели задач;

·в окне КАТЕГОРИЯ нажатием ЛКМ выберите МАТЕМАТИЧЕСКИЕ, а в окне ФУНКЦИЯ – МОПРЕД;

·выделите область A6¸C8;

Аналогичные действия проделайте со всеми остальными алгебраическими дополнениями, не забывая при этом некоторые из них умножать на число (-1). В результате проделанных действий получим: А₁₁ = -45, А₁₂ = 20, А₁₃ =1, А₁₄ =-17, А₂₁ =63, А₂₂ = -31, А₂₃ =1, А₂₄ =25, А₃₁ = -6, А₃₂ =3, А₃₃ =3,33Е-16, А₃₄ = -3, А₄₁ =12, А₄₂ = -5, А₄₃ = -1, А₄₄ =5.

Как вы видите, значение дополнения А₃₃ записано в виде числа с мантиссой. Приведём это число к виду обыкновенной десятичной дроби. Для этого:

· активизируйте ячейку L17, после чего нажатие ПКМ;

· на экране компьютера появится контекстное меню;

· выполните нажатие ЛКМ на слове ФОРМАТ ЯЧЕЕК (рис. 8.4);

·после появления диалогового окна ФОРМАТ ЯЧЕЕК в окне ЧИСЛОВЫЕ ФОРМАТЫ нажмите ЛКМ на ДРОБНЫЙ, а в окне ТИП – на ПРОСТЫЕ ДРОБИ (рис. 8.5);

·выполните нажатие ЛКМ на кнопке ОК . После чего алгебраическое дополнение А₃₃ =0 см. рис. 8.6

-Далее, в тексте задачника, если будут встречаться числа с мантиссой или бесконечные десятичные дроби, то будем пользоваться диалоговым окном ФОРМАТ ЯЧЕЕК, а данную операцию будем обозначать : поменяйте формат ячейки. на ДРОБНЫЙ.

8. Найдём в Excel матрицу А -1 , обратную для А . Для этого:

·заполните ячейки А22¸D26 значениями алгебраических дополнений, используя формулу (2), т.е., в ячейках А23¸D26 записана присоединённая матрица С (рис. 8.7).

·активизируйте ячейку А28 и запишите с клавиатуры в неё формулу: =А23/-3, после чего результат занесите автозаполнением в ячейки В28¸D28; А29¸А31 и В29¸D31 (рис. 8.8).

·Выделите область А28¸D31, после чего поменяйте формат выделенных ячеек на ДРОБНЫЙ (см. рис. 8.9).

9. Проверку проделанных вычислений произведём следующим образом:

·выделите область F28¸I31;

·воспользуйтесь функцией МОБР, которая находится в мастере функций ƒ_х ( категория – МАТЕМАТИЧЕСКИЕ);

·на клавиатуре одновременно нажмите следующую комбинацию клавиш: Shift + Ctrl + Enter .

В результате чего в ячейках появятся следующие значения (рис. 8.10). Полученные значения доказывают правильность произведённых вычислений.

Матрица называется обратной к матрице если AB =BA= I; при этом пишут Матрица А имеет обратную только в том случае, если она невырожденная, то есть если .

Если – невырожденная матрица, то

где алгебраические дополнения элементов

Пример 4. Найти если

Решение., следовательно, существует

Найдем алгебраические дополнения:

Выберем в матрице k строк и k столбцов. Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель k-го порядка, который назовем минором k-го порядка матрицы A.

Пример 5. Найти минор 2-го порядка матрицы

Решение. Имеем

Рангом матрицы Aназывается неотрицательное целое число r, удовлетворяющее двум условиям:

1) существует по крайней мере один минор порядка r матрицы A, отличный от нуля;

2) все миноры порядка матрицы A равны нулю.

При этом пишут rank A = r. Если rankA= r, то любой отличный от нуля минор порядка r матрицы Aназывается базисным минором.

Теорема 2. Максимальное число линейно независимых столбцов матрицы A равно максимальному числу линейно независимых строк матрицы A. Более того, это число равно рангу матрицы A.

Не изменяют ранга матрицы следующие операции:

1) перестановка столбцов или строк;

2) умножение столбца (строки) на число, отличное от нуля;

3) прибавление к столбцу (строке) другого столбца (другой строки), умноженного предварительно на некоторое число;

4) зачеркивание нулевого столбца (строки);

Трапецеидальной матрицей называется матрица имеющая вид

где Другими словами, матрица является трапецеидальной, если при i > j и

Ранг трапецеидальной матрицы равен m. Для нахождения ранга матрицы достаточно, пользуясь преобразованиями
1- 4, называемыми элементарными, привести матрицу к трапецеидальному виду.

Пример 6. Найти ранг матрицы

Решение. С помощью элементарных преобразований приведем матрицу A к трапецеидальному виду:

Ранг последней матрицы, являющейся трапецеидальной, равен 3; следовательно, rank A= 3.

Из определения ранга следует, что матрица является невырожденной в том и только в том случае, если rangА = n.

5. Системы линейных алгебраических уравнений

Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система уравнений вида

Система (3) называется однородной, если свободные члены равны нулю: Однородная система всегда является совместной — она имеет решение (возможно, не единственное).

называются матрицей системы (3) и расширенной матрицей системы (3) соответственно; столбцы

называются столбцом неизвестных и столбцом свободных членов соответственно. С учетом этих обозначений систему (3) можно записать в матричной форме

Рассмотрим отдельно случай квадратной системы, когда и общий случай.

1. Квадратная система. Существует три основных метода решения совместной СЛАУ

а) правило Крамера;

б) матричный способ;

а) Правило Крамера. Обозначим

(определитель получается из D заменой i-го столбца на столбец свободных членов). Правило Крамера состоит в том, что при СЛАУ (5) совместна и имеет единственное решение

б) Матричный способ. Система (5) совместна при и имеет единственное решение – столбец

В этом и состоит матричный способ решения системы (5).

в) Метод Гаусса. При решении методом Гаусса расширенную матрицу системы (5) элементарными преобразованиями приводят к треугольному виду.

Пример 7. Решить систему

а) по правилу Крамера;

б) матричным способом;

в) методом Гаусса.

Решение.а) Имеем

в) Решим систему методом Гаусса:

Последней матрице, имеющей треугольный вид (если исключить столбец свободных членов), соответствует следующая СЛАУ, равносильная исходной системе:

Из последнего уравнения находим, подставив его во второе уравнение, найдем и, наконец, подставив найденные и в первое уравнение, найдем :

Следует иметь в виду, что при решении СЛАУ методом Гаусса перестановка столбцов приводит к перенумерации неизвестных.

2. Общий случай.

Теорема 3 (Кронекер–Капелли).Система (3) совместна в том и только в том случае, если ранг матрицыA равен рангу расширенной матрицы .

Пример 8.Решить системы уравнений:

Решение.Во всех трех системах воспользуемся методом Гаусса.

Степень свободы системы равна двум, значит решение системы выразится через два параметра. Положив и решив систему из трех уравнений с неизвестными найдем

где произвольные числа.

в результате преобразований появилась строка следовательно, система несовместна.

Ранг трапецеидальной матрицы равен 2, значит степень свободы равна Объявляем неизвестные свободными.

Таким образом, решением системы является

где произвольные числа (параметры).

Комплексные СЛАУ решаются, как и действительные. Комплексную систему порядка можно свести к действительной системе порядка путем разделения действительной и мнимой частей.

Пример 9.Решить систему:

Решение.Будем искать неизвестные в алгебраической форме Система примет вид

Приравняв действительные и мнимые части, получим систему из шести уравнений с шестью неизвестными

Читайте также: