Реферат на тему метод крамера
Обновлено: 04.07.2024
Определение метода решения квадратной системы линейных алгебраических уравнений. Разбор языковых средств в системе Крамера и Гаусса. Блок-схема программы и характеристика ее компонентов и переменных. Описание принципа работы созданной программы.
| Рубрика | Программирование, компьютеры и кибернетика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 06.07.2016 |
| Размер файла | 163,5 K |
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ИНСТИТУТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И
ТЕМА: Решение системы линейных уравнений методом Крамера
Доценткаф. ПОВТиАС, к.ф.-м.н.
Введение
Матрицы служат для решения уравнений в математики и в решении задач на движения в физики.
На практике в большинстве случаев найти точной решение возникшей математической задачи не удается. Это происходит главным образом не потому, что мы не умеем этого сделать, а поскольку искомое решение обычно не выражается в привычных для нас элементарных или других известных функциях. Поэтому большое значение приобрели численные методы, особенно в связи с возрастанием роли математических методов в различных областях науки и техники и с появлением высокопроизводительных ЭВМ. Это и стало целью курсовой работы, разработать программу, решающую системы линейных уравнений методом Крамера. программа линейный алгебраический уравнение
Цельразработать программу для решения систем уравнений методом Крамера
В ходе выполнения курсовой работы были поставленные следующие задачи:
1. Изучить решение систем линейных уравнений методом Крамера;
2. Создания алгоритма;
3. Выбор языков программирования;
4. Создание программы
Актуальность данной курсовой работы представлена тем что вычислениес помощью данной программы поможет сэкономить время.
В данной курсовой работе первой части представлен разбор метода решения систем линейных уравнений также разбор языковых средств и выбор подходящего. Во второй части представлена разработка алгоритма и процесс создания программы;А также заключение описание и список литературы.
1. Теоретическая часть
1.1 Метод решения линейных уравнений
Квадратная система линейных уравнений -- система, у которой количество уравнений совпадает с числом неизвестных (m=n). Система, у которой число неизвестных больше числа уравнений является не доопределённой, такие системы линейных алгебраических уравнений также называютсяпрямоугольными. Если уравнений больше, чем неизвестных, то система является переопределённой.[1]
Прямые методы дают алгоритм, по которому можно найти точное решение систем линейных алгебраических уравнений. Итерационные методы основаны на использовании повторяющегося процесса и позволяют получить решение в результате последовательных приближений.
Некоторые прямые методы:
1. Метод Гаусса -- классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру), находятся все переменные системы.
2. Метод Гаусса -- (метод полного исключения неизвестных) -- метод, который используется для решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений, нахождения обратной матрицы, нахождения координат вектора в заданном базисе или отыскания ранга матрицы. Метод является модификацией метода Гаусса. Назван в честь К. Ф. Гаусса и немецкого геодезиста и математика Вильгельма Йордана.
Текст отформатируй везде размер 14, кроме: титульника, задания, рецензии и приложения
3. Метод Крамера-- способ решения систем линейных алгебраических уравнений с числом уравнений равным числу неизвестных с ненулевым главным определителем матрицы коэффициентов системы (причём для таких уравнений решение существует и единственно).
4. Метод прогонки (для трёхдиагональных матриц) или алгоритм Томаса используется для решения систем линейных уравнений вида Ax=F, где A -- трёхдиагональная матрица. Представляет собой вариант метода последовательного исключения неизвестных. Метод прогонки был предложен И. М. Гельфандом и О. В. Локуциевским (в 1952 году; опубликовано в 1960 и 1962 годах), а также независимо другими авторами.
Разложение Холецкого или метод квадратных корней (для положительно-определённых симметричных и эрмитовых матриц)
5. Метод вращений
Системы линейных уравнений широко используются в задачах экономики в химии и физике в основном в задачах на движение.
Самый подходящий способ решения это метод Крамера так как это маиый простой и удобный метод решений систем уравнений.
К решению систем линейных уравнений сводятся многочисленные практические задачи. Можно с полным основанием утверждать, что решение линейных систем является одной из самых распространенных и важных задач вычислительной математики.[2]
Общий вид системы линейных алгебраических уравнений
Совокупность коэффициентов этой системы запишем в виде таблицы:
Запишем систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными.
Данная таблица n2 элементов, состоящая из n строк и n столбцов, называется квадратной матрицей порядка n. Если подобная таблица содержит nm элементов, расположенных в n строках и m столбцах, то она называется прямоугольной матрицей.
Используя понятие матрицы А, систему уравнений можно записать в векторно-матричном виде:
Матричный вид уравнения
или, в более компактной записи,
Компактный матричный вид
где х и b -- вектор-столбец неизвестных и вектор-столбец правых частей соответственно.
Метод Крамера Алгоритм Крамера, выражается формулами:
Алгоритм Крамера для нахождения detA1
Алгоритм Крамера для нахождения detA2
Алгоритм Крамера для нахождения detAn
При этом необходимым и достаточным условием существование единственного решения, является не равенство нулю главного определителя системы .[3]
1.2 Разбор языковых средств
Перед тем как начать разработку следует выбрать подходящий язык программирования разберём наиболее популярные из них.
2 Java -- объектно-ориентированный язык программирования, разработанный компанией SunMicrosystems. Приложения Java обычно транслируются в специальный байт-код, поэтому они могут работать на любой виртуальной Java-машине вне зависимости от компьютерной архитектуры.[5]
3 C++ -- компилируемый, статически типизированный язык программирования общего назначения.
Поддерживает такие парадигмы программирования, как процедурное программирование, объектно-ориентированное программирование, обобщённое программирование, обеспечивает модульность, раздельную компиляцию, обработку исключений, абстракцию данных, объявление типов (классов) объектов, виртуальные функции.[6]
Для написания программы был выбран язык программирывания высокого уровня Pascal.
Система PascalABS имеет современный пользовательский интерфейс, с необходимыми программисту инструментами, такими как редактор, поиск, отладчик и т.п. С другой стороны система лишена излишеств (отвлекающих начинающих программистов и вводящих в заблуждение), таких как сложные настройки интерфейса, компилятора и среды.
Pascal ABC поддерживает создание нескольких типов приложений типы приложений:
Консольные приложения, графические приложения, приложения для электронного задачника, приложения для Исполнителя Робот, приложения для Исполнителя Чертежник и большое количество модулей. [7]
2. Практическая часть
Блок-схема --распространенный тип схем (графических моделей), описывающих алгоритмы или процессы, в которых отдельные шаги изображаются в виде блоков различной формы, соединенных между собой линиями, указывающими направление последовательности.
2.2 Описание компонентов, переменных программы
Вводим размерность матрицы n потом по очерёдно коэффициенты при неизвестных a[i;j] следующим этапом вводим свободный член b[i;j] и получаем решение системы x1,x2..xn
Миллионы людей занимаются математическими расчетами, иногда в силу влечения к таинствам математики и ее внутренней красоте, а чаще в силу профессиональной или иной необходимости, не говоря уже об учебе.
Многие задачи практики приводят к необходимости решать системы линейных уравнений. При конструировании инженерных сооружений, обработке результатов измерений, решении задач планирования производственного процесса и ряда других задач техники, экономики, научного эксперимента приходится решать системы линейных уравнений. Все ли системы удобно решать способами, известными из школьного курса алгебры 7 класса? Автор данной работы, изучив дополнительную литературу, посчитал наиболее рациональным для решения систем линейных уравнений второго порядка метод Крамера.
Цель. Изучение метода Крамера для решения систем линейных уравнений второго порядка и возможности овладения этим методом учащимися 8 класса.
В работе представлен вывод формул Крамера, примеры решения систем линейных уравнений второго порядка, а также систем, содержащих параметр. Приведено сравнение вывода о количестве решений системы уравнений методом Крамера и графическим способом.
В процессе выполнения работы был проведён обучающий эксперимент. Его цель: выяснить, доступен ли метод Крамера для изучения одноклассникам. Результаты эксперимента представлены в таблице и на диаграммах.
Вывод: Ученики 8 класса овладели методом Крамера для решения систем линейных уравнений не хуже, чем методами подстановки и сложения. Более того, если есть возможность выбора способа решения, то 80% учащихся остановились на новом методе.
В завершении работы составлена компьютерная программа на языке программирования Delphi. Программа одобрена учителем информатики. Может быть использована как учителем для проверки решений учеников (даже, если решение было другим способом), так и для решения каких-либо задач практики.
Вектор -строка íx1 , x2 , . , xn ý - называется решением системы (1), если при подстановке этих чисел вместо переменных все уравнения системы (1) обращаются в верное равенство.
Определитель n-го порядка D=çAê=ça ij ç, составленный из коэффициентов при неизвестных , называется определителем системы (1). В зависимости от определителя системы (1) различают следующие случаи.
a). Если D¹0, то система (1) имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам Крамера : x1=, где
определитель n-го порядка Di ( i=1,2. n) получается из определителя системы путем замены i-го столбца свободными членами b1 , b2 . bn.
б). Если D=0 , то система (1) либо имеет бесконечное множество решений , либо несовместна ,т.е. решений нет.
2. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
1. Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными.
(2).
1. В данной системе составим определитель и вычислим.
2. Составить и вычислить следующие определители :
.
3. Воспользоваться формулами Крамера.
1. .
.
Ответ: ( 3 ; -1 ).
2.
Системы уравнений встречаются в древних текстах II тысячелетия до н. э. Системы уравнений применяли для решения задач в Вавилоне и Египте. Уже тогда люди умели составлять своеобразные системы уравнений и решать их. Многие системы становились громоздкими, и их запись в общем виде была трудной к восприятию. Решение этой проблемы предложил в 1675 г. немецкий математик Г.В. Лейбниц (1646 – 1716) – он ввёл нижние индексы при буквах. Ещё Г.В. Лейбниц в 1693 году обратил внимание на то, что при изучении систем линейных уравнений наиболее существенной является таблица, состоящая из коэффициентов, и показал, как из этих коэффициентов (в случае m=n) строить так называемые определители, при помощи которых исследуются системы линейных уравнений.
Г. Крамером в 1750 году было установлено правило, применимое к любой системе n линейных уравнений c n неизвестными. Оно носит название правило Крамера. Построение полной теории произвольных систем линейных уравнений было закончено только спустя 100 лет Л. Кронекером.
Применение правила Крамера при практическом решении большого числа линейных уравнений может встретить различные трудности, так как нахождение определителей высокого порядка связано с весьма большими вычислениями. Поэтому были разработаны методы приближённого решения систем линейных уравнений, наиболее известным из которых является метод Гаусса.
Система линейных уравнений может иметь как одно единственное решение (определённая система), так и несколько и даже бесконечное множество решений (неопределённая система); может также оказаться, что система линейных уравнений не имеет ни одного решения (несовместная система).
Способы решения систем линейных уравнений – очень интересная и важная тема. Системы уравнений и методы их решения рассматриваются в школьном курсе математики начиная с 7 класса, но недостаточно широко. Многие математические модели построены на основе ситуаций из реальной жизни, одной из таких моделей являются системы уравнений. Системы уравнений – это инструмент для решения многих задач из смежных дисциплин, связанных с математикой. Для того, чтобы перейти к исследованию данной темы, также нужно было познакомиться с темой матриц и определителей. Этот же материал вообще в школьной программе не изучается.
Цель моей работы заключается в том, чтобы изучить метод Крамера для решения систем линейных уравнений для дальнейшего применения на практике. Для достижения любой цели необходимо выполнить какие-то определенные задачи. Мне нужно выполнить следующие задачи: исследовать литературу по данной теме; научиться решать системы линейных уравнений методом Крамера; отобрать и классифицировать материал по теме, а также провести практическую часть работы: разработать и провести занятия с одноклассниками по знакомству с методом Крамера и определить уровень освоения данной темы.
Для решения задач были использованы следующие методы исследования: анализ методической литературы (поиск информации из разных источников); практическая работа; обработка полученных данных (составление обобщающих таблиц, диаграмм); работа в компьютерных программах Microsoft Word, Excel, Microsoft PowerPoint.
Гипотеза: С помощью данного метода увеличивается скорость решения систем линейных уравнений.
Объект исследования: Метод Крамера.
Предмет исследования: Системы линейных уравнений.
Обзор литературы.
Выполнение научно-практической работы позволило мне более подробно изучить метод Крамера для решения систем линейных уравнений.
Читайте также: