Реферат на тему математические доказательства

Обновлено: 05.07.2024

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Способы математического доказательства

В обыденной жизни часто, когда говорят о доказательстве, имеют в виду просто проверку высказанного утверждения. В математике проверка и доказательство – это разные вещи, хотя и связанные между собой. Пусть, например, требуется доказать, что если в четырехугольнике три угла прямые, то он – прямоугольник.

Если мы возьмем какой-либо четырехугольник, у которого три угла прямые, и, измерив четвертый, убедимся в том, что он действительно прямой, то эта проверка сделает данное утверждение более правдоподобным, но еще не доказанным.

Чтобы доказать данное утверждение, рассмотрим произвольный четырехугольник, в котором три угла прямые. Так как в любом выпуклом четырехугольнике сумма углов 360 ⁰ , то и в данном она составляет 360 ⁰ . Сумма трех прямых углов равна 270 ⁰ (90 ⁰ •3 = 270 ⁰ ), и, значит, четвертый имеет величину 90 ⁰ (360 ⁰ - 270 ⁰ ). Если все углы четырехугольника прямые, то он – прямоугольник Следовательно, данный четырехугольник будет прямоугольником. Что и требовалось доказать.

Заметим, что сущность проведенного доказательства состоит в построении такой последовательности истинных утверждений (теорем, аксиом, определений), из которых логически следует утверждение, которое нужно доказать.

Вообще доказать какое-либо утверждение – это значит показать, что это утверждение логически следует из системы истинных и связанных с ним утверждений.

В логике считают, что если рассматриваемое утверждение логически следует из уже доказанных утверждений, то оно обоснованно и также истинно, как и последние.

Таким образом, основой математического доказательства является дедуктивный вывод. А само доказательство – это цепочка умозаключений, причем заключение каждого из них (кроме последнего) является посылкой в одном из последующих умозаключений.

Например, в приведенном выше доказательстве можно выделить следующие умозаключения:

1. В любом выпуклом четырехугольнике сумма углов равна 360 ⁰ ; данная фигура – выпуклый четырехугольник, следовательно, сумма углов в нем 360 ⁰ .

2. Если известна сумма всех углов четырехугольника и сумма трех из них, то вычитанием можно найти величину четвертого; сумма всех углов данного четырехугольника равна 360 ⁰ , сумма трех 270 ⁰ (90 ⁰ •3 = 270 ⁰ ), то величина четвертого 360 ⁰ - 270 ⁰ = 90 ⁰ .

3. Если в четырехугольнике все углы прямые, то этот четырехугольник – прямоугольник; в данном четырехугольнике все углы прямые, следовательно, он прямоугольник.

Все приведенные умозаключения выполнены по правилу заключения и, следовательно, являются дедуктивными.

Самое простое доказательство состоит из одного умозаключения. Таким, например, является доказательство утверждения о том, что 6

Итак, говоря о структуре математического доказательства, мы должны понимать, что она, прежде всего, включает в себя утверждение, которое доказывается, и систему истинных утверждений, с помощью которых ведут доказательство.

Следует еще заметить, что математическое доказательство – это не просто набор умозаключений, это умозаключения, расположенные в определенном порядке.

По способу ведения (по форме) различают прямые и косвенные доказательства. Рассмотренное ранее доказательство было прямым – в нем, основываясь на некотором истинном предложении и с учетом условия теоремы, строилась цепочка дедуктивных умозаключений, которая приводила к истинному заключению.

Примером косвенного доказательства является доказательство методом от противного. Сущность его состоит в следующем. Пусть требуется доказать теорему

Полная индукция – это такой метод доказательства, при котором истинность утверждения следует из истинности его во всех частных случаях.

Задача 4. Доказать, что каждое составное натуральное число, большее 4, но меньшее 20, представимо в виде суммы двух простых чисел.

Задача 5. Верно ли, что если натуральное число n не кратно 3, то значение выражения n² + 2 кратно 3? Метод полной индукции.

Основные выводы

В этом пункте познакомились с понятиями: умозаключение, посылка и заключение, дедуктивные (правильные) умозаключения, неполная индукция, аналогия, прямое доказательство, косвенное доказательство, полная индукция.

Мы выяснили, что неполная индукция и аналогия тесно связаны с дедукцией: выводы, полученные с помощью неполной индукции и аналогии, надо либо доказывать, либо опровергать. С другой стороны, дедукция не возникает на пустом месте, а является результатом предварительного индуктивного изучения материала.

Дедуктивные умозаключения позволяют из уже имеющегося знания получать новые истины, и притом с помощью рассуждения, без обращения к опыту, интуиции и т.д.

Мы выяснили, что математическое доказательство – это цепочка дедуктивных умозаключений, выполняемых по определенным правилам. Познакомились с простейшими из них: правилом заключения, правилом отрицания, правилом силлогизма. Узнали, что проверять правильность умозаключений можно с помощью кругов Эйлера.

Основные понятия теории множеств. Способы задания множеств

Тема 1. Основные понятия теории множеств. Способы задания множеств. Диаграммы Венна. Операции над множествами. Свойства теоретико-множественных операций. Представление множеств в ЭВМ.

Основные понятия теории множеств. Способы задания множеств

Определение 1.1. Множество – это любая, определенная совокупность объектов. Объекты из которых составлено множество называют его элементами. Элементы множества различны и отличны друг от друга. Множества обозначают прописными буквами латинского алфавита, а их элементы – строчными. Например N , Z , Q , R – множества натуральных, целых, рациональных и действительных чисел.

Если объект х является элементом множества М, то говорят, что хÎМ. Если х не является элементом множества М, то говорят, что хÏМ.

Одно множество равно другому, если выполняется условие: A = B | A B & B A

Множество не содержащее элементов называется пустым. Его обозначают Ø.

Обычно, в конкретных обсуждениях, элементы всех множеств берутся из некоторого одного достаточно широкого множества U (своего для каждого множества), которое называется универсальным множеством или универсумом. В общем случае множества могут быть конечными и бесконечными. Конечное множество – это такое множество, для которого существует натуральное число, равное количеству элементов множества, и называемое мощностью множества и обозначаемое | A |.

Чтобы задать множество нужно указать, какие элементы ему принадлежат. Это можно сделать различными способами:

1)перечислением элементов множества А= < a 1, a 2,…, an | n =6>(перечислением можно задавать только конечное множество);

2) характеристическим предикатом M =< x | P ( x ) >, где P ( x ) – предикат.

Характеристический предикат – это некоторое условие, выраженное в форме логического утверждения, возвращаемое логическое значение. Если для данного элемента условие выполнено, т.е. P ( x ) = 1, то этот элемент принадлежит определяемому множеству, в противном случае – не принадлежит. Пример 1.1.:

P ( x ) = (11) = ( 11 & 11

3) порождающей процедурой: M =

Порождающая процедура – это процедура, которая будучи запущенной порождает некоторые объекты, являющиеся элементами порождаемого множества.

Иначе говоря, порождающая процедура – последовательность действий, которые формируют некоторые объекты по заданному правилу.

Долгое время считалось, что математическое доказательство представляет собой ясный и бесспорный процесс. В XX в. отношение к математическому доказательству изменилось вследствие нескольких обстоятельств. Прежде всего, изменились представления о лежащих в основе доказательства логических принципах. Исчезла уверенность в их единственности и непогрешимости. Возникли разногласия по поводу того, сколь… Читать ещё >

Математическое доказательство. Теория и практика аргументации ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )

Образцом доказательства, которому в той или иной мере стремятся следовать во всех науках, является математическое доказательство.

Математическое доказательство является парадигмой доказательства вообще, но и в математике оно не абсолютно и не окончательно. Новые контрпримеры подрывают старые доказательства, лишая их силы. Доказательства пересматриваются, и новые варианты ошибочно считаются окончательными. Но, как учит история, это означает лишь, что для критического пересмотра доказательства еще не настало время ["https://referat.bookap.info", 13].

Математик не полагается на строгое доказательство в такой степени, как обычно считают.

" Интуиция может оказаться более удовлетворительной и вселять большую уверенность, чем логика, — пишет математик М. Клайн. — Когда математик спрашивает себя, почему верен тот или иной результат, он ищет ответа в интуитивном понимании. Обнаружив непонимание, математик подвергает доказательство тщательнейшему критическому пересмотру. Если доказательство покажется ему правильным, то он приложит все силы, чтобы понять, почему интуиция подвела его. Математик жаждет понять внутреннюю причину, по которой успешно срабатывает цепочка силлогизмов… Прогрессу математики, несомненно, способствовали главным образом люди, наделенные не столько способностью проводить строгие доказательства, сколько необычайно сильной интуицией" .

Переоценка роли доказательств в аргументации связана с неявным допущением, что рациональная дискуссия должна иметь характер доказательства, обоснования или логического выведения из некоторых исходных принципов. Сами эти принципы следует принимать на веру, чтобы избежать бесконечного регресса, ссылок на все новые и новые принципы. Однако реальные дискуссии только в редких случаях приобретают форму выведения обсуждаемых положений из каких-то более общих истин.

Процесс доказательства теорем и геометрии выражает связь единичных суждений (чертеж) и общих (использование общих свойств фигур) поэтому при обучении доказательствам для формирования правильного представления о проблематичном характере того или иного суждения следует применять на каждом шаге вопросы “Почему?”, “На каком основании?”

В курсе планиметрии обучение доказательствам проводится конкретно-индуктивным методом. Так как ученики в курсе геометрии, по мнению Шохор-Троцкого, занимаются преимущественно решением задач. Теоремы они доказывают только такие, которые не принадлежат к числу очевидных для них и которые не требуют слишком тонких рассуждений. Поэтому целесообразно в некоторых случаях предлагать учащимся для решения задачи абстрактного характера, подготавливающие самостоятельное формирование или доказательство теорем.

Суждение – это такая форма мышления, в которой отражается наличие или отсутствие самого объекта, наличие или отсутствие его свойств, связей.

Суждение – это форма связей понятий друг с другом, которая обладает двумя свойствами: 1) что-либо утверждает или отрицает; 2) является или истинным, или ложным.

Например: 1) любой параллелограмм есть ромб – ложно; 2) любой ромб есть параллелограмм – истинно; 3) “ есть функция” – суждение выражает связь понятий по объёму, т.е. - составная часть класса функций; вместе с тем ей присуще всё то, что свойственно функциям; 4) многочлен непрерывен при всех значениях независимой переменной – истинно.

Каждая наука есть определенная система суждений об объектах , являющихся предметом ее изучения.

Например : "Сумма углов каждого треугольника равна 180 градусов" – это суждение сформулировано в виде геометрического предложения, принадлежащего евклидовой геометрии , т. к. а) состоит из геометрических (сумма углов, треугольник 180 градусов) и логических (всякого, равна) терминов или символов; б) истинно т.к. доказывается в рамках евклидовой геометрии.

Суждения образуются в мышлении 2 способами: непосредственно и опосредовано.

Например : 1. Эта фигура – круг - суждения выражает результат восприятия.

2. x 2 =-2 – не имеет действительных корней суждений опосредованное, оно возникло в результате особой мыслительной деятельности, называемой умозаключением.

Умозаключение – процесс получения нового суждения – вывода из одного или нескольких данных суждений.

Например:

1) x 2 =-2 – уравнение;

2) квадрат действительного числа больше или равен нулю;

3) корень обращает уравнение в верное числовое равенство.

Из этих трех суждений получаем новое: уравнение x 2 =-2 не имеет действительных корней.

В математической логике используют термин “высказывание”, имеющий смысл, близкий к понятию “суждение”. Под высказываниями производятся следующие операции: а) отрицание высказывания; б) конъюнкция; в) дизъюнкция; г) импликация.

Математическая логика, исходя из основных законов формальной логики, исследует закономерности логических процессов на основе применения математических методов.

Для нее характерна формализация логических операций, полное абстрагирование от конкретного содержания предложений.

Например : (все растения красные)´(все собаки – растения) =>(все собаки красные).

Математическое суждение принято называть предложением.

Например : “S есть P” - S - логическое подлежащее или субъект мысли (то, о чем идет речь в предложении); Р – логическое сказуемое или предикат мысли. Суждения часто даются в условной форме: “если есть А, то есть и В”.

Раскрыть логическую структуру составного предложения, – значит, показать, из каких элементарных предложений сконструировано данное составное предложение и как оно составлено из них, т.е. с помощью каких и в каком порядке применяемых логических связок “не”, “и”, “или”, “если…,то…”, “тогда, и только тогда”, “для всякого”, “существует”, обозначающих логические операции, с помощью которых из одних предложений образуются другие. Например :

дан DАВС; (x) АВ=ВС; (y) АД=ДС; (z) ВДДС.

1. Если АВ=ВС и АД=ДС, то ВДДС – истинное.

2. Если АВ=ВС, то АД=ДС и ВДДС – ложное.А

3. Если ДВ=ВС и ВД не перпендикулярно АС,

то АДДС – истинное.

Логические структуры для 1. и 3. выглядят так: 1) Если x и y, то z. 3) Если x и не z, то не y.

Например:

1. Если число целое и положительное, то оно натуральное;

2. Если число целое и не натуральное, то оно не положительное.

Аксиома – предложение, принимаемое без доказательства. Определенное число аксиом образует систему исходных положений некоторой научной теории, лежащую в основе доказательств других положений (теорем) этой теории, в границах которой каждая аксиома принимается без доказательства.

Постулат – это предложение, в котором выражается некоторое требование (условие), которому должно удовлетворять некоторое понятие или некоторое отношение между понятиями.

Например, понятие а||b определяется двумя постулатами:

1. (a)(b);

2. (a=b)(ab=0).

Теорема – математическое предложение, истинность которого устанавливается посредством доказательства (рассуждения), логического следствия других предложений, принимаемых за достоверные.

Можно отметить два подхода к пониманию теоремы:

А.В. Погорелов (геометрия “7-11”) “Правильность утверждения о свойстве той или иной геометрической фигуры устанавливал путем рассуждения. Это рассуждение называется доказательством. А само утверждение, которое доказывается, называется теоремой. … Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей. В одной части говорится о том, что дано. Это часть называется условием теоремы. В другой части говорится о том, что должно быть доказано. Эта часть называется заключением теоремы”.

Структура теоремы, предполагаемая В.П. Болтянским: а) разъяснительная часть; б) условие; в) заключение.

Например, “если сумма цифр числа n делится на 3, то само число n делится на 3”.

Условие: сумма цифр числа n делится на 3

Заключение: само число делится на 3.

Разъяснительная часть: n – любое натуральное число.

Используя логическую символику, теорема представляется так:

- импликация (если …, то …).

Имея прямую теорему (), можно образовать новые теоремы:

1. - обратная;

2. - противоположная;

3. -обратная противоположной или контрапозитивная.

Эти теоремы обладают следующими свойствами:

а) () и () - одновременно истинны или ложны;

б) () и () - одновременно истинны или ложны.

Высказывание p называется необходимым условием для q, если импликация () есть истинное следствие. Например, чтобы число делилось на 6, необходимо (не недостаточно), чтобы оно было чётным.

p – четное число, q – число кратно 6. Þ () – и.

Высказывание p называется достаточным условием для q, если импликация () есть истинное следствие. Например, чтобы число было кратно 5, достаточно, чтобы оно было кратно 25. (р: кратно 25; q: кратно 5) Þ(pÞq)

Замечание: Для определения необходимо условие следует подобрать контр пример, опровержение данного утверждения.

Условие р называется необходимым и достаточным для q, если истины одновременно обе импликации: (pÞq) и (qÞp), т.е. имеет место эквивалентность.

Характеристическое свойство наиболее полно определяет объект, выделяя его из некоторого множества сходных объектов, позволяет его сконструировать.

Например, характеристическое свойство арифметической прогрессии:

начиная со второго члена, все члены прогрессии удовлетворяют свойству: - быть средним арифметическим двух соседних с ним членов (или отстоять от него на равных расстояниях)

Пример необходимого и достаточного условия:

Например: установить зависимость между сторонами в треугольнике; или свойства биссектрисы угла при вершине равнобедренного треугольника эмпирически.

В процессе обучения у школьников должно быть сформировано следующее понимание термина “доказательство”:

1)допускаются истинными некоторые отношения и факты (которые составляют условие теорем);

2)от условия к заключению строится логическая последовательная цепочка предложений, каждое из них должно быть обосновано с помощью суждений, выраженных в условии, определений известных понятий, аксиом или ранее доказанных утверждений;

3)заключение является последним звеном в цепочке этих логически расположенных предложений.

Например: в курсе математики 5-6 классов этому способствуют задачи с таким содержанием: “Дополнить приведённое доказательство математических утверждений, выполняя указанные выше требования, предъявляемые к математическим доказательствам”.

“Если a:b=c, то a=bc. Доказать”

Условие: a:b=c. Заключение: a=bc.

В школьном обучении некоторые фрагменты математической теории излагаются содержательно (неформально), поэтому доказательство также содержательны, т.е. в них используются обычные рассуждения, а правила логического вывода не фиксируются. Среди таких правил можно выделить:

1)правило заключения: P; “если P, то Q” - вывод: “Q”.

2)правило введения конъюнкции: P; Q – вывод “P и Q”.

3)правило силлогизма: “если P, то Q”; “если Q, то R” - вывод “если P, то R”.

4)правило отрицания: “если A, то B”, “не B” - вывод “не А”.

5)правило контрапозиции: “если A, то B” - вывод “если не B, то не A”.

6)правило расширенной контрапозиции: “если A и B, то C” - вывод “если A и не С, то не B”.

7)Сведение к абсурду – “если Г, А=>B”, “Г, А=>не B” - вывод “Г=> не А”, где Г – список посылок.

Правило контрапозиции и сведение к абсурду широко применяется в косвенных доказательствах, примером которого может служить доказательство от противного.

Косвенное доказательство некоторой теоремы Т состоит в том, что исходит из отрицания Т, называемого допущением косвенного доказательства и выводят из него ложное заключение применением правила сведения к абсурду.

Например: если а||с, и b||с, то a||b. Допущение: a||c и b||c, но a не|| b. Согласно определению параллельных прямых получаем: если a не|| b => $с (сÎа Ù сÎb), поэтому по правилу введения конъюнкции: из а||c и b||c. $с (сÎа Ù сÎb) имеем: a||c и b||c и $с (сÎа Ù сÎb). Но по аксиоме параллельных прямых (из Т) неверно, что: a||c и b||c и $ с (сÎа Ù сÎb), т.е. из наших допущений вывели противоречие, которое и доказывает теорему.

Специальные формы косвенного доказательства:

1)доказательство методом исключения : надо доказать предложение: “если B, то Q₁ ”, иначе: Г, Р=>Q₁ : наряду с Q₁ рассматриваются все остальные возможности, которые являются: аксиомой, определением, ранее доказанной теоремой или следствием из них. Затем доказывается, что каждая из остальных возможностей, кроме Q₁ , ведёт к противоречию.

Например: если каждая плоскость, пересекающая прямую а, пересекает и прямую b, то эти прямые параллельны.

Требуется установить следование: “Г,Р” ®Q не ||; “Г” и "a (если a´a, a´b) Þa||b.

Исходим из предложений: Q₁ :a||b; Q₂ :a´b; Q₃ : a-b – скрещиваются.

Допущение Q₂ :a´b даёт $a (a´a и ) (достаточно провести произвольную плоскость α через b, отличную от плоскости определяемой пересекающимися прямыми a и b) или: так как $a (a´a и ) не для всякой плоскости a (если a´a, то a´b), получаем “если Q₂ , то ”: если a´b, то не для всякой a если a´a, то a´b).

Из “если Q₂ , то ” и “Р” по правилу отрицания имеем: :.

Аналогично допущение Q₃ : “a-b скрещиваются” приводит к не любой плоскости a (если a´a, то a´b) (достаточно через b и какую-нибудь точку прямой a провести плоскость). Получаем из: “если Q₃ , то ” и “Р” по правилу отрицания :.

Итак, получаем и, т. е. Q₂ и Q₃ – неверно, поэтому верно Q₁ : a||b.

2)Метод математической индукции – специальный метод доказательства, применяемый к предложениям типа: “"xÎNP(x)”, т.е. к предложениям, выражающим некоторое свойство, присущее любому натуральному числу.

Схематически полная логическое доказательство теоремы можно составить так: 1) точное понятие; 2) включаем все посылки; 3) не опускают никаких промежуточных рассуждений; 4) явно указывающее правила вывода.

В практике школьного обучения математики наиболее часто используется прямое доказательство, основанное на содержательном доказательстве в свернутом виде: 1) интуитивное понятие; 2) опускают некоторые в частности, общие посылки; 3) опускают отдельные шаги; 4) не фиксируют использование логики.

Например: Диагонали прямоугольника равны.

Теорему можно доказать: а) с помощью осевой симметрии; б) с помощью равенства прямоугольников. Отметим, что различные доказательства теоремы отличаются как математическими посылками, (используемыми в них истинными предложениями данной теории), так и логикой (используемыми правилами).

“Если четырёхугольник – прямоугольник, то его диагонали равны” или “Если ABCD – прямоугольник, то AC=BD”.

Точка D симметрична A; B – симметрична C относительно MN (это непосредственно следует из ранее доказанной теоремы: “Серединный перпендикуляр и сторона прямоугольника являются осью симметрии). Значит, отрезок AC и DB симметричны относительно оси MN. Поэтому AC=BD.

, т.к. они прямоугольные (), AB=CD как противоположные стороны прямоугольника; AD – общая сторона. Следовательно, AB=CD.

Методика введения теорем предполагает подготовку учащихся к восприятию ее доказательства.

1) Для того, чтобы учащиеся поняли логические части доказательства, применяют метод целесообразных задач.

Например: При доказательстве того факта, что угол между боковым ребром призмы и ее высотой равен углу между плоскостями основания и перпендикулярного сечения, необходимого предварительно решить по готовым чертежам следующие задачи:

1. По данным на рисунке найти и угол между прямыми BO и OC.

Замечание: угол между двумя прямыми (двумя плоскостями) острый.

2. Угол между плоскостями и равен , прямая OA перпендикулярна плоскости , ; прямая OB перпендикулярна плоскости , . Найти угол между прямыми OA и OB.

2) Для подготовки учащихся к восприятию доказательства теоремы можно использовать прием многократного доказательства (например, тройная прокрутка).

а) учитель излагает схему (идею, канву) доказательства. Возможно, при этом использование эвристической беседы, которая может быть или аналитико-синтетический или синтетический. Вопросы должны быть сформулированы четко, отражая наиболее важные логические этапы доказательства. После каждого вопроса необходима пауза для того, чтобы учащиеся смогли самостоятельно найти ответ:

б) учитель излагает доказательство теоремы в виде краткого рассказа, обосновывая каждый шаг;

в) повторение доказательства в полном объеме.

Еще один прием обучения доказательством – обучение учащихся составленного плана доказательства теоремы , при котором выполняются следующие этапы:

· даётся готовый план доказательства новой теоремы и учащимся предлагается самим доказать ее с помощью плана. Преимущества : 1) план разбивает доказательство теоремы на ряд простых, элементарных задач, которые учащиеся могут решить; 2) у учащихся появляется уверенность в том, что они смогут доказать новую теорему; 3) план позволяет охватить все доказательство в целом, у учащихся возникает чувство полного понимания;

· учащихся учат составлять план уже изученной теоремы . Сначала эта работа выполняется коллективно, а затем самостоятельно.

Литература

Говоря о доказательстве, в повседневной жизни, мы имеем в виду проверку сформулированного утверждения. Непосредственно в математике понятия проверка и доказательство являются разными по сути, хотя и несут в себе взаимосвязь.

Давайте докажем, что если три угла в четырехугольнике равны 90 градусов, то такой четырехугольник является прямоугольником.

Рассмотрим четырехугольник, у которого три угла равны 90 градусов. Произведем измерения четвёртого угла и найдем его градусную меру. Приходим к выводу, что он тоже будет прямым. Такого рода проверка подтверждает данное утверждение, но не является доказательством.

Для доказательства данного утверждения, необходимо рассмотреть произвольный четырехугольник, у которого три угла равны по 90⁰. Так как в любом выпуклом четырехугольнике сумма углов равна 360⁰ [1], следовательно искомый угол равен 90⁰ (360⁰ — 90⁰*3). Прямоугольником является четырехугольник, у которого все углы прямые. Значит, данный четырехугольник будет прямоугольником. Что и требовалось доказать.

Смысл выполненного доказательства заключается в следующей последовательности истинных утверждений: теорем, аксиом, определений, из которых логически вытекает утверждение, которое необходимо доказать. Доказать утверждение — это значит показать, что данное утверждение логически следует из ряда истинных и связанных с ним утверждений.

В случае, если рассматриваемое утверждение логически вытекает из уже доказанных утверждений, то оно является обоснованным и истинным. Основой математического доказательства служит дедуктивный метод. А само доказательство выступает как цепочка умозаключений, причем заключение каждого из них, кроме последнего, является посылкой в одном из последующих умозаключений.

В рассмотренном доказательстве можно выделить следующие умозаключения:

– в любом выпуклом четырехугольнике сумма углов равна 360⁰; данная фигура является выпуклым четырехугольником, следовательно, сумма углов в нём 360⁰;

– если известна сумма всех углов четырехугольника и сумма трех из них, то вычитанием можно найти величину четвертого; сумма всех углов данного четырехугольника равна 360⁰, сумма трех 270⁰(90⁰·3 = 270⁰), то определив их разность, найдем искомый угол, равный 90⁰;

– если в четырехугольнике все углы прямые, то этот четырехугольник — прямоугольник; в нашем случае в четырехугольнике все углы прямые, следовательно он прямоугольник.

Все рассмотренные умозаключения выполнены по правилу заключения и, соответственно, являются дедуктивными.

Самое простое доказательство состоит из одного умозаключения. Таким, например, является доказательство утверждения о том, что 5 10, то х ≠ 8. Метод от противного.

Задача 2. Доказать, что если у² — четное число, то у — четно. Метод от противного.

Задача 3. Даны четыре последовательных натуральных числа. Справедливо ли, что произведение средних чисел этой последовательности больше произведения крайних на 2? Метод неполной индукции.

Полная индукция является таким методом доказательства, при котором истинность утверждения вытекает из истинности его во всех частных случаях.

Таким образом, математическое доказательство является рассуждением с целью обоснования истинности какого-либо утверждения (теоремы), цепочкой логических умозаключений, показывающей, что при условии истинности некоторого набора аксиом и правил вывода утверждение верно.

Геометрия/ 7–9 классы: учеб. Для общеобразоват. Учреждений / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев]. — 21 изд. — М.: Просвещение, 2011.

Основные термины (генерируются автоматически): выпуклый четырехугольник, сумма углов, угол, утверждение, четырехугольник, искомый угол, математическое доказательство, прямоугольник, умозаключение.

Читайте также: