Реферат на тему квадрат суммы и квадрат разности

Обновлено: 02.07.2024

При расчёте алгебраических многочленов для упрощения вычислений используются формулы сокращенного умножения. Всего таких формул семь. Их все необходимо знать наизусть.

Разность квадратов

Запомните!

Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы.

a 2 − b 2 = (a − b)(a + b)

15 2 − 2 2 = (15 − 2)(15 + 2) = 13 · 17 = 221
9a 2 − 4b 2 с 2 = (3a − 2bc)(3a + 2bc)

Квадрат суммы

Запомните!

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Обратите внимание, что с помощью этой формулы сокращённого умножения легко находить квадраты больших чисел, не используя калькулятор или умножение в столбик. Поясним на примере:

Разложим 112 на сумму чисел, чьи квадраты мы хорошо помним.
112 = 100 + 1
Запишем сумму чисел в скобки и поставим над скобками квадрат.
112 2 = (100 + 12) 2
Воспользуемся формулой квадрата суммы:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 · 100 · 12 + 12 2 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544

Помните, что формула квадрат суммы также справедлива для любых алгебраических многочленов.

Предостережение!

Квадрат разности

Запомните!

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго числа.

(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2

Также стоит запомнить весьма полезное преобразование:

Формула выше доказывается простым раскрытием скобок:

(a − b) 2 = a 2 −2ab + b 2 = b 2 − 2ab + a 2 = (b − a) 2

Куб суммы

Запомните!

Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Как запомнить куб суммы

Предостережение!

Куб разности

Запомните!

Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго.

(a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

(a − b) 3 = + a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

Сумма кубов

Не путать с кубом суммы!

Запомните!

Сумма кубов равна произведению суммы двух чисел на неполный квадрат разности.

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2 )

Сумма кубов — это произведение двух скобок.

Первая скобка — сумма двух чисел.
Вторая скобка — неполный квадрат разности чисел. Неполным квадратом разности называют выражение:
(a 2 − ab + b 2 )
Данный квадрат неполный, так как посередине вместо удвоенного произведения обычное произведение чисел.

Разность кубов

Не путать с кубом разности!

Запомните!

Разность кубов равна произведению разности двух чисел на неполный квадрат суммы.

a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 )

Будьте внимательны при записи знаков.

Применение формул сокращенного умножения

Следует помнить, что все формулы, приведённые выше, используется также и справа налево.

Многие примеры в учебниках рассчитаны на то, что вы с помощью формул соберёте многочлен обратно.

a 2 + 2a + 1 = (a + 1) 2
(aс − 4b)(ac + 4b) = a 2 c 2 − 16b 2

ГОСТ

Квадрат суммы и разности

Иногда приходится сталкиваться с умножением одинаковых многочленов друг на друга. Например $(4a-1)(4a-1)$, $(a-c)(a-c)$. Сначала вспомним, как умножают многочлен на многочлен.

Правило умножения многочлена на многочлен

Для того чтобы умножить многочлен на многочлен, надо умножить каждый член одного многочлена поочередно на каждый член другого многочлена и полученный произведения сложить.

Не трудно заметить, что при умножении многочлена на многочлен мы столкнемся с умножением одночленов, при котором необходимо пользоваться следующим алгоритмом действий:

Алгоритм умножения одночленов

Перемножить коэффициенты одночленов - полученный результат и будет коэффициентом итогового одночлена

Перемножить переменные входящие в состав обоих одночленов. Воспользоваться при этом свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m\cdot a^n=a^$

Составить произведение из чисел и переменных, найденных в п. 1 и 2 и добавить к произведению переменные, входящие в один из одночленов

Квадрат суммы двух выражений

Найти произведение $(5a+2)(5a+2)$

Решение:

Сначала воспользуемся правилом умножения многочленов - умножим каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена и сложим результаты. Для этого сначала первый член первого многочлена - $5a$ - умножим на первый и второй член второго (на $5a$ и $2$),т.е. получим $5a\cdot 5a+2\cdot 5a$, затем второй член первого многочлена - $2$ - умножим на первый и второй члены второго многочлена (на $5a$ и $2$),т.е. получим $2\cdot 5a + 2\cdot 2$ и составим сумму получившихся выражений

$(5a+2)(5a+2)=5a\cdot 5a+2\cdot 5a+2\cdot 5a + 2\cdot 2$

Теперь воспользуемся правилом умножения одночленов, т. е умножим сначала коэффициенты одночленов, затем переменные, тогда последовательно получим:

$5a\cdot 5a=25\cdot a\cdot a=25a^2$

Тогда наш многочлен примет вид:

$(5a+2)(5a+2)=5a\cdot 5a+2\cdot 5a+2\cdot 5a + 2\cdot 2=25a^2+10a+10a+4$

Приведем подобные слагаемые, которыми в нашем многочлене будут одночлены $10a$:

$(5a+2)(5a+2)= 25a^2+10a+10a+4 = 25a^2+20a+4$

Теперь посмотрев на результат, попробуем записать его через исходные одночлены:

$^2=^2+2\cdot 5a\cdot 2+2^2$, отсюда мы можем вывести правило возведения суммы в квадрат:

Квадрат суммы двух выражений равен сумме квадратов двух выражений плюс удвоенное произведение первого на второе.

Математическая запись будет выглядеть так $^2=a^2+2ab+b^2$

Готовые работы на аналогичную тему

Алгоритм нахождения квадрата суммы двух выражений

Возвести первый и второй одночлен или числа в квадрат.

Если первое слагаемое является одночленом, то обязательно воспользоваться формулой возведения в степень произведения $^n=a^nb^n$ - при возведении в степень произведения каждый множитель возводится в эту степень

Например, $^2=3^2\cdot a^2=9a^2$

Если выражение является одночленом, степень которого больше первой так же необходимо воспользоваться и правилом возведения степени в степень: $<<(a>^n)>^m=a^$ - при возведении степени в степень основание остается без изменений, а показатели степени перемножаются

Найти удвоенное произведение первого и второго слагаемого выражения.

Составить сумму выражений найденных в п. 1,2.

Квадрат разности двух выражений

Аналогично можно вывести форму для нахождения квадрата разности двух выражений: $^2=a^2-2ab+b^2$

Квадрат разности двух выражений равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого выражения на второе

Алгоритм нахождения квадрата разности двух выражений:

Возвести первый и второй одночлен или числа в квадрат.

Например, $^2=9^2\cdot a^2=81a^2$

Найти удвоенное произведение первого и второго выражения.

Составить сумму выражений найденных в п. 1 и вычесть из найденной суммы выражение, найденное в п.2

Решение: нам необходимо найти квадрат разности двух выражений.Бедем действовать согласно алгоритму:

Возвести первый и второй одночлен или числа в квадрат

Найти удвоенное произведение первого и второго выражения.

$2\cdot 7\cdot 8a=112a$

Составить сумму выражений найденных в п. 1 и вычесть из найденной суммы выражение, найденное в п.2

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения, плюс удвоенное произведение первого и второго выражения, плюс квадрат второго выражения.

Формула помогает нам избавиться от лишней работы: не перемножать скобки каждый раз и не приводить постоянно подобные, получая из четырёх слагаемых три.

Геометрическое объяснение

Рассмотрим квадрат со стороной (a+b). Он состоит из двух квадратов и двух прямоугольников. Для площади можем записать: $$ S = (a+b)^2 = a^2+b^2+2ab $$
Откуда $$ (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 $$
И формула квадрата суммы замечательно подтверждается геометрическими соображениями.

Формула квадрата разности

Теперь возведём в квадрат разность:

$$ (a-b)^2 = (a-b)(a-b) = a(a-b)-b(a-b) = a^2-ab-ab+b^2 = a^2-2ab+b^2 $$

Мы получили формулу квадрата разности двух выражений:

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого и второго выражения, плюс квадрат второго выражения.

Геометрическое объяснение

Рассмотрим квадрат со стороной a, в один из углов которого вписан квадрат поменьше со стороной $b \lt a$.
Для его площади можем записать: $$a^2 = (a-b)^2+b^2+2(a-b)b$$ Откуда $$(a-b)^2 = a^2-b^2-2(a-b)b = $$ $$a^2-b^2-2ab+2b^2 = a^2-2ab+b^2 $$
И формула квадрата разности также подтверждается геометрией.

Не забывайте о втором слагаемом в формулах квадрата двучленов!

Неправильно: $(a+b)^2$ ≠ $a^2+b^2 или (a-b)^2 $ ≠ $ a^2-b^2$

Правильно: $(a+b)^2 = a^2+$ 2ab $+b^2 и (a-b)^2 = a^2$ -2ab+ $ b^2$

Примеры

Пример 1. Найдите квадрат суммы:

б) $(3+t)^2 = 3^2+2\cdot3t+t^2 = 9+6t+t^2$

в) $(3a+4b)^2 = (3a)^2+2\cdot3a\cdot4b+(4b)^2 = 9a^2+24ab+16b^2$

г) $(4k^2 m+5n)^2 = (4k^2 m)^2+2\cdot4k^2 m\cdot5n+(5n)^2 = 16k^4 m^2+40k^2 mn+25n^2$

Пример 2. Найдите квадрат разности:

б) $(x-5)^2 = x^2-2x\cdot5+5^2 = x^2-10x+25$

в) $(7y-9z)^2 = (7y)^2-2\cdot7y\cdot9z+(9z)^2 = 49y^2-126yz+81z^2$

г) $(3km^2-8n^2 )^2 = (3km^2 )^2-2\cdot3km^2\cdot8n^2+(8n^2 )^2 = 9k^2 m^4-48km^2 n^2+64n^4$

Пример 3. Выполните действия:

а) $(10m-1)^2+20m = (10m)^2-2\cdot10m\cdot1+1+20m =$

б) $36k^2-(1-6k)^2 = 36k^2-(1-2\cdot6k+(6k)^2 ) = 36k^2-1+12k-36k^2 = 12k-1 $

в) $4(x-1)-(2x+1)^2 = 4x-4-((2x)^2+2\cdot2x+1) = 4x-4-4x^2-4x-1 = -4x^2-5$

г) $ \frac (3y+4)^2-8y = \frac ((3y)^2+2\cdot3y\cdot4+4^2 )-8y = \frac (9y^2+24y+16)-8y =$

Знакомство с сокращенным умножением начинается впервые в седьмом классе. Тема непростая: нужно выучить наизусть много формул. Но зато вы сможете быстрее решать задачки без ошибок. Проверим?

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Формулы сокращенного умножения

Вместо букв a, b могут быть любые числа, переменные или даже целые выражения. Для быстрого решения задач лучше выучить основные 7 формул сокращенного умножения (ФСУ) наизусть. Да, алгебра такая, нужно быть готовым много запоминать.

Ниже удобная табличка, которую можно распечатать и использовать, как закладку для быстрого запоминания формул.

Как читать формулы сокращенного умножения

Учимся проговаривать формулы сокращенного выражения:

Разность квадратов двух выражений равна произведению их разности и их суммы.
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого плюс удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго.
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго.
Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго на неполный квадрат их разности.
Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго на неполный квадрат их суммы.
Куб суммы двух выражений равен кубу первого плюс утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.
Куб разности двух выражений равен кубу первого минус утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго минус куб второго.

Обучение на курсах по математике — дорога к хорошим оценкам в школе и высокому баллу на экзамене.

Доказательство формул сокращенного умножения

Напомним, что разность квадратов двух чисел a и b равна произведению их разности и их суммы: a 2 - b 2 = (a - b) * (a + b).

Иначе говоря, произведение суммы a и b на их разность равна разности их квадратов: (a - b) * (a + b) = a 2 - b 2 .

Важно знать, что разность квадратов не равна квадрату разности: a 2 - b 2 ≠ (a - b) 2 .

Докажем, что a 2 - b 2 = (a - b) * (a + b).

a 2 - b 2 = a 2 - b 2 + ab - ab

(a 2 - a * b) + (a * b - b 2 ) = a *(a - b) + b *(a - b)

Вынесем за скобки (a - b). a * (a - b) + b * (a - b) = (a - b) * (a + b)
Результат доказательства: a 2 - b 2 = (a - b) * (a + b)
Для того, чтобы доказать в обратную сторону: (a - b) * (a + b) = a 2 - b 2 , нужно раскрыть скобки: (a - b) * (a + b) = a * a + a * b - b * a - b * b = a 2 - b 2 .

Остальные ФСУ можно доказать аналогичным методом.

Дополнительные формулы сокращенного умножения

К таблице основных ФСУ следует добавить еще несколько важных тождеств, которые пригодятся для решения задач.

Бином Ньютона

Формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных. Записывается вот так:

Пример вычисления биномиальных коэффициентов, которые стоят в строке под номером n в треугольнике Паскаля:

ФСУ для квадрата и куба суммы и разности — являются частными случаями формулы бинома Ньютона при n = 2 и n = 3.

Формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и более слагаемых

Пригодится, если слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два.

Читается так: квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех этих слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых.

Формула разности n-ых степеней двух слагаемых

a n − b n = (a − b) * (a n-1 + a n-2 * b + a n-3 * b 2 + … + a * b n-2 + b n-1 ).

Для четных показателей можно записать так:

a 2*m − b 2*m = (a 2 − b 2 ) *(a 2*m−2 + a 2*m−4 * b 2 + a 2*m−6 * b 4 + … + b 2*m−2 ).

Для нечетных показателей:

a 2*m+1 − b 2*·m+1 = (a − b) * (a 2*m + a 2*m−1 * b + a 2*m−2 * b 2 + … + b 2*m ).

Частными случаями являются формулы разности квадратов и кубов при n = 2 и n = 3. Для разности кубов b можно также заменить на −b.

Решение задач

Давайте потренируемся и рассмотрим примеры с дробями.

Задание 1

Что сделать: вычислить квадрат произведения (55 + 10) 2 .

Как решаем: воспользуемся формулой квадрата суммы: (55 + 10) 2 = 55 2 + 2 * 55 * 10 + 10 2 = 3025 + 1100 + 100 = 4225.

Задание 2

Что сделать: упростить выражение 64 * с 3 – 8.

Как решаем: применим разность кубов: 64 * с 3 – 8 = (4 * с) 3 – 2 3 = (4 * с – 2)((4 * с) 2 + 4 * с * 2 + 2 2 ) = (4 * с – 2)(16 * с 2 + 8 * с + 4).

Задание 3

Что сделать: раскрыть скобки (7 * y - x) * (7 * y + x).

Как решаем:

Произведем умножение: (7 * y - x) * (7 * y + x) = 7 * y * 7 * y + 7 * y * x - x * 7 * y - x * x = 49 * y 2 + 7 * y * x - 7 * y * x - x 2 = 49 * y 2 - x 2 .
Используем формулу сокращенного умножения: (7 * y - x) * (7 * y + x) = (7 * y) 2 - x 2 = 49 * y 2 - x 2 .

Многочленов бояться не стоит, просто совершайте последовательно каждое действие. С формулами решать задачки быстрее и удобнее — сохраняйте шпаргалку, запоминайте и радуйте своих учителей :)

Читайте также: