Реферат на тему корни и степени
Обновлено: 02.07.2024
Данная статья представляет собой совокупность детальной информации, которая касается темы свойства корней. Рассматривая тему, мы начнем со свойств , изучим все формулировки и приведем доказательства. Для закрепления темы мы рассмотрим свойства n -ой степени.
Свойства корней
Мы поговорим о свойствах .
- Свойство умноженных чисел a и b , которое представляется как равенство a · b = a · b . Его можно представить в виде множителей, положительных или равных нулю a 1 , a 2 , … , a k как a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k ;
- из частного a : b = a : b , a ≥ 0 , b > 0 , он также может записываться в таком виде a b = a b ;
- Свойство из степени числа a с четным показателем a 2 · m = a m при любом числе a , например, свойство из квадрата числа a 2 = a .
В любом из представленных уравнений можно поменять части до и после знака тире местами, например, равенство a · b = a · b трансформируется как a · b = a · b . Свойства для равенства часто используются для упрощения сложных уравнений.
Доказательство первых свойств основано на определении квадратного корня и свойствах степеней с натуральным показателем. Чтобы обосновать третье свойство, необходимо обратиться к определению модуля числа.
Первым делом, необходимо доказать свойства квадратного корня a · b = a · b . Согласно определению , необходимо рассмотреть, что a · b - число, положительное или равное нулю, которое будет равно a · b при возведении в квадрат. Значение выражения a · b положительно или равно нулю как произведение неотрицательных чисел. Свойство степени умноженных чисел позволяет представить равенство в виде ( a · b ) 2 = a 2 · b 2 . По определению квадратного корня a 2 = a и b 2 = b , то a · b 2 = a 2 · b 2 = a · b .
Аналогичным способом можно доказать, что из произведения k множителей a 1 , a 2 , … , a k будет равняться произведению квадратных корней из этих множителей. Действительно, a 1 · a 2 · … · a k 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · a k 2 = a 1 · a 2 · … · a k .
Из этого равенства следует, что a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k .
Рассмотрим несколько примеров для закрепления темы.
3 · 5 2 5 = 3 · 5 2 5 , 4 , 2 · 13 1 2 = 4 , 2 · 13 1 2 и 2 , 7 · 4 · 12 17 · 0 , 2 ( 1 ) = 2 , 7 · 4 · 12 17 · 0 , 2 ( 1 ) .
Необходимо доказать свойство арифметического квадратного корня из частного: a : b = a : b , a ≥ 0 , b > 0 . Свойство позволяет записать равенство a : b 2 = a 2 : b 2 , а a 2 : b 2 = a : b , при этом a : b является положительным числом или равно нулю. Данное выражение и станет доказательством.
Например, 0 : 16 = 0 : 16 , 80 : 5 = 80 : 5 и 3 0 , 121 = 3 0 , 121 .
Рассмотрим свойство квадратного корня из квадрата числа. Его можно записать в виде равенства как a 2 = a Чтобы доказать данное свойство, необходимо подробно рассмотреть несколько равенств при a ≥ 0 и при a 0 .
Очевидно, что при a ≥ 0 справедливо равенство a 2 = a . При a 0 будет верно равенство a 2 = - a . На самом деле, в этом случае − a > 0 и ( − a ) 2 = a 2 . Можно сделать вывод, a 2 = a , a ≥ 0 - a , a 0 = a . Именно это и требовалось доказать.
Рассмотрим несколько примеров.
5 2 = 5 = 5 и - 0 , 36 2 = - 0 , 36 = 0 , 36 .
Доказанное свойство поможет дать обоснование a 2 · m = a m , где a – действительное, а m –натуральное число. Действительно, свойство возведения степени позволяет заменить степень a 2 · m выражением ( a m ) 2 , тогда a 2 · m = ( a m ) 2 = a m .
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ
Для самостоятельной работы студентов
По дисциплине: МАТЕМАТИКА: алгебра и начало математического анализа; геометрия
Специальность: 34.02.01 Сестринское дело Курс: 1
Рассмотрено на заседании предметной цикловой
Методической комиссии по общеобразовательным дисциплинам,
общему гуманитарному и социально-экономическому, математическому и
Автор – составитель: преподаватель математики высшей категории Тюменцева О.Н.
Пояснительная записка к методическому пособию
Методическое пособие предназначено для повторения теоретических и практических знаний по теме.
Данное пособие рекомендовано для студентов первого курса специальности 34.02.01 Сестринское дело. Пособие содержит определения и свойства корней и степеней по теме Корни и степени, тест для самоконтроля и ключи к тесту.
Пособие направлено на формирование навыков самостоятельной работы с учебным материалом, формирование навыков решения задач, формирование и развитие творческого потенциала, повышение интереса к дисциплине.
Корни и степени
Из практики решения-все более сложных алгебраических задач и оперирования со степенями возникла необходимость обобщения понятия степени и расширения его посредством введения в качестве показателя нуля, отрицательных и дробных чисел.
Равенство а 0 = 1 (для ) применял в своих трудах в начале XV в. самаркандский ученый ал-Каши. Независимо от него нулевой показатель был введен Н. Шюке в XV в. Последний ввел и отрицательные показатели степени. Идея дробных показателей содержится у французского математика Н. Орема (XIV в.) в его
О целесообразности введения нулевого, отрицательных и дробных показателей и современных символов впервые подробно писал в 1665 г, английский математик Джон Валлис. Его дело завершил И. Ньютон, который стал систематически применять новые символы, после чего они вошли в общий обиход.
Введение степени с рациональным показателем является одним из многих примеров обобщения понятия математического действия. Степень с нулевым, отрицательным и дробным показателями определяется таким образом, чтобы к ней были применимы те же правила действий, которые имеют место для степени с натуральным показателем, т. е. чтобы сохранились основные свойства первоначально определенного понятия степени, а именно:
Новое определение степени с рациональным показателем не противоречит старому определению степени с натуральным показателем, т. е. смысл нового определения степени с рациональным показателем сохраняется и для частного случая степени с натуральным показателем. Этот принцип, соблюдаемый при обобщении математических понятий, называется принципом перманентности (сохранения, постоянства). В несовершенной форме его высказал в 1830 г. английский математик Дж. Пикок, полностью и четко его установил немецкий математик Г. Ганкель в 1867 г. Принцип перманентности соблюдается и при обобщении понятии числа и расширении его до понятия действительного числа, а до этого — при введении понятия умножения на дробь и т. п.
Степенная функция и графическое решение уравнений и неравенств
Благодаря открытию метода координат и аналитической геометрии начинай с XVII в. стало возможным общеприменимое графическое исследование функций и графическое решение уравнений.
Степенной функцией называют функцию вида
, (1)
где α— постоянное вещественное число. Вначале мы ограничимся, однако, лишь рациональными значениями α и вместо равенства (1) запишем:
, (2)
где — рациональное число. Для и по определению соответственно имеем:
у =1, у =х.
Графиком первой из этих функций на плоскости является прямая, параллельная оси Ох, а второй — биссектриса 1-го и 3-го координатных углов.
При графиком функций является парабола . Декарт, который первое неизвестное обозначал через z , второе — через у, третье — через x :, записывал уравнение параболы так: ( z — абсцисса). Параболой он часто пользовался для решения уравнений. Чтобы решить, например, уравнение 4-й степени
(3)
Декарт с помощью подстановки
(4)
получил квадратное уравнение с двумя неизвестными:
(5)
изображающее окружность, расположенную в одной плоскости (zх) с параболой (4). Таким образом, Декарт, вводя вторую неизвестную (х), разбивает уравнение (3) на два уравнения (4) и (5), каждое из которых представляет определенное геометрическое место точек. Ординаты точек их пересечения и дают корни уравнения (3).
И мы сегодня будем пытаться, пробовать, чтобы прийти к правильному решению.
1. С каким математическим понятием связаны слова:
Показатель (Ответ в конспект)
2. Какими словами можно объединить слова:
Иррациональное число (Ответ в конспект)
3. Итак, а р , где р – число действительное.
Приведите примеры (выберете из выражений 5 –2 , , 43, ) степени
– с натуральным показателем
– с целым показателем
– с рациональным показателем
– с иррациональным показателем (Ответ в конспект)
4. Какие действия (математические операции) можно выполнять со степенями? Установите соответствие:
Вариант №1 [Вариант №2].
2) Упростить выражение при а
;
3) Сократить дробь
4) Сравнить числа и
Квадратный корень из a (корень 2-й степени) – это решение x уравнения вида . Несмотря на то, что в первую очередь под x и a подразумеваются числа, в различных рассмотрениях они могут быть математическими объектами различной природы, в том числе такими как матрицы и операторы. При использовании термина следует уточнять его значение в конкретном разделе математики. В ходе решения некоторых математических задач приходится оперировать с квадратными корнями. Поэтому важно знать правила действий с квадратными корнями и научиться преобразовывать выражения, их содержащие.
Цель моего реферата познакомиться с квадратными корнями и изучить их более углубленно.
2. Изучить алгоритмы вычисления арифметического корня;
3. Узнать историю происхождения квадратного корня;
4. Ознакомится со свойствами и применениями на практике извлечения квадратного корня.
1. Теоретические основы квадратного корня.
Чтобы обеспечить однозначность, вводится понятие арифметического корня, значение которого всегда неотрицательно.
Стоит помнить, что квадратный корень является элементарной функцией.
2. История возникновения квадратного корня.
2.1 Процесс вычислений в разные века
Математика на глиняных табличках (рис. 1).
Рис. 1. Глиняная табличка с нанесенными знаками
Город Вавилон (Врата Бога) с населением полтора тысяч человек был основан в Междуречье более 3000 лет до н. э. На раскопках этого древнего поселения были найдены глиняные таблички с нанесенными на них знаками. Их возраст превышает 5000 лет. Когда были расшифрованы символы клинописи, археологи с изумлением прочитали уравнения вычисления различных площадей с помощью квадратных корней. Не известие об открытии, а уже его использование. Имя великого математика, первым догадавшегося извлечь квадратный корень, утеряно для истории.
Первые задачи, связанные с извлечением квадратного корня, обнаружены в трудах вавилонских математиков (о достижениях древнего Египта в этом отношении ничего не известно). Среди таких задач:
применение теоремы Пифагора для нахождения стороны прямоугольного треугольника по известным двум другим сторонам;
нахождение стороны квадрата, площадь которого задана;
решение квадратных уравнений.
Квадратный корень из пирамиды Хеопса (рис. 2).
Рис. 2. Пирамида Хеопса для вычисления квадратного корня
Как любое великое открытие, оно возникло одновременно в нескольких местах в головах разных гениальных людей. Например, в 2500 гг. до н. э. в Древнем Египте возводились пирамиды – усыпальницы фараонов. Археологи просчитали, что без знания числа р и квадратного корня построить такие сооружения с четко выстроенными коридорами и строгой ориентацией помещений по сторонам света было просто невозможно. И снова даже граффити на стенах каменных блоков не донесли до современности имен гениальных математиков.
Геометрия племен майя (рис. 3).
Рис. 3. Геометрия племен майа
Если Шумерская цивилизация еще могла как-то перетечь на Африканский континент, то математика племен майя в Южной Америке в это же время развивалась совершенно обособленно. Дворцы, возводимые в южноамериканских джунглях, не могли быть построены без знаний математики (квадратного корня в том числе), астрономии и даже основ оптики.
Великие ученые не нашей эры.
Алгоритмы извлечения корней любой степени из целого числа, разработанные индийскими и исламскими математиками, были усовершенствованы в средневековой Европе. Николай Орем (XIV век) впервые истолковал корень 2-й степени как возведение в степень.
Комплексные корни произвольной степени в начале XIX века глубоко исследовал Гаусс, хотя первые результаты принадлежат Эйлеру. Чрезвычайно важным открытием (Галуа) стало доказательство того факта, что не все алгебраические числа (корни многочленов) могут быть получены из натуральных с помощью четырёх действий арифметики и извлечения корня.
2.2. Происхождение термина и символики.
Из всей истории появления в математике квадратного корня получается, что патент на изобретение квадратичных исчислений, так же, как и на изобретение колеса, выдавать некому.
3. Квадратный корень в 21 веке
3.1. Применение операции корня к числам
Числа делятся на несколько видов (рис. 5):
- натуральные;
- целые;
- рациональные;
- действительные;
- комплексные.
Рис. 5. Виды чисел
Рассмотрим понятие квадратного корня и возможность его извлечения из некоторых приведенных видов чисел.
Квадратный корень из числа a – это такое число, квадрат которого (результат умножения на себя) равен a , то есть решение уравнения относительно переменной x .
Корень из рационального числа является рациональным числом, только если p и q (после сокращения общих множителей) являются квадратами натуральных чисел.
Непрерывная дробь корня из рационального числа всегда является периодической (возможно с предпериодом) что позволяет с одной стороны легко вычислять хорошие рациональные приближения к ним с помощью линейных рекуррент, а с другой стороны ограничивает точность приближения. Верно и обратное: любая периодическая цепная дробь является квадратичной иррациональностью.
При натуральных a уравнение x 2 =a не всегда разрешимо в рациональных числах, что и привело к появлению новых числовых полей. Древнейшее из таких расширений – поле вещественных (действительных) чисел.
Теорема. Для любого положительного числа a существует ровно два вещественных корня, которые равны по модулю и противоположны по знаку.
Неотрицательный квадратный корень из положительного числа a называется арифметическим квадратным корнем и обозначается с использованием знака радикала .
3.2. Квадратный корень как элементарная функция в алгебре
График функции представлен на рисунке 2.
Рис. 2. График функции
Квадратным корнем называют также функцию вещественной переменной x , которая каждому x ≥ 0 ставит в соответствие арифметическое значение корня. Эта функция является частным случаем степенной функции , где .
3.3. Квадратный корень в элементарной геометрии
Квадратные корни тесно связаны с элементарной геометрией: если дан отрезок длины 1, то с помощью циркуля и линейки можно построить те и только те отрезки, длина которых записывается выражениями, содержащими целые числа, знаки четырёх действий арифметики, квадратные корни и ничего сверх того.
3.4. Квадратный корень в информатике
Рис. 3. Решение задачи нахождения корней квадратного уравнения с помощью заданных коэффициентов a,b,c с помощью блок-схемы
4. Алгоритмы нахождения квадратного корня
4.1. Арифметическое и геометрическое извлечение квадратного корня
Арифметическое извлечение квадратного корня подразумевает под собой, что для квадратов чисел верны следующие равенства:
Такой способ вполне доступен детям, решающим простейшие математические задачи, требующие извлечения квадратного корня.
Геометрическое извлечение квадратного корня подразумевает под собой выполнение следующего равенства:
В частности, если , а , то .
Этот способ позволяет найти приближённое значение корня из любого действительного числа с любой наперёд заданной точностью. Такой способ может быть освоен даже школьником. К недостаткам способа можно отнести увеличивающуюся сложность вычисления с увеличением количества найденных цифр.
Для ручного извлечения корня применяется запись, похожая на деление столбиком. Выписывается число, корень которого ищем. Справа от него будем постепенно получать цифры искомого корня. Пусть извлекается корень из целого числа N . Для начала мысленно или метками разобьём число N на группы по две цифры слева и справа от десятичной точки. При необходимости, группы дополняются нулями – целая часть дополняется слева, десятичная справа. Так 31234.567 можно представить, как 03 12 34 . 56 70. В отличие от деления снос производится такими группами по 2 цифры.
* Данная работа не является научным трудом, не является выпускной квалификационной работой и представляет собой результат обработки, структурирования и форматирования собранной информации, предназначенной для использования в качестве источника материала при самостоятельной подготовки учебных работ.
¦ 1Корень n-й степени и его свойства 0. ¦
¦ 1 Решим неравенство 0 х 56 0>20 ¦
¦ 1 Это неравенство равносильно неравенству 0 х 56 0-20>0. 1Так как функция 0 ¦
¦f(x)=х 56 0-20 1непрерывна, можно воспользоваться методом интервалов. 0 ¦
¦ 1Уравнение 0 х 56 0-20=0 1имеет два корня 0 : 7 ? 1 20 и - 0 7? 1 20 0 . 1Эти числа разби- 0 ¦
¦ 1вают числовую 0 1прямую на три промежутка. 0 1Решение данного неравенства - 0 ¦
¦ 1объединение двух из них 0 : (- 74 0; - 7? 1 20 0 7 0) 7 0( 7? 1 20 0 7 0; 74 0) ¦
¦ 1Пример 2. 7 03 7|\\ 0 5 7|\\ 0 ¦
¦ 1 Сравним числа 7 ? 0 2 7 0 и 7 ? 0 3 ¦
¦ 1Представим 0 7? 0 2 7 0и 7? 0 3 1в виде корней с одним и тем же показателем: 0 ¦
¦ 13 7|\\ 0 115 7|\\ 0 1 15 7|\\ 0 15 7|\\ 0 115 7|\\ 0 15 7|\\ 0 ¦
¦ 7? 0 12 7 0 = 7 ? 0 12 55 1= 0 7? 132 7 0 1а 0 7 ? 0 13 = 0 7? 0 13 53 0 = 7 ? 0 27 1из неравенства 0 ¦
¦ 15 7|\\ 0 15 7|\\ 0 3 7|\\ 0 5 7|\\ 0 ¦
¦ 32 > 27 1следует, что 0 7? 032 7 0 и 7 ? 0 27 1,и значит, 0 7? 0 2 7 0 > 7 ? 0 3 ¦
¦ 1 Иррациональные уравнения. 0 ¦
¦ 1 Пример 1. 7 |\\\\\\\ 0 ¦
¦ 1 Решим уравнение 7 ? 1 x 52 1 - 5 = 2 0 ¦
¦ 1Возведем в квадрат обе части уравнения и получим х 52 1 - 5 = 4, отсюда 0 ¦
¦ 1следует, что х 52 1=9 х=3 или -3. 0 ¦
¦ 1Проверим, что полученные части являются решениями уравнения. 0 ¦
¦ 1Действительно, при подстановке их в данное уравнение получаются верные 0 ¦
¦ 7? 1 3 52 1-5 = 2 и 0 7? 1 (-3) 52 1-5 = 2 0 ¦
¦ 1Решим уравнение 7 ? 1 х = х - 2 0 ¦
¦ 1Возведя в квадрат обе части уравнения, получим х = х 52 1 - 4х + 4 0 ¦
¦ 1После преобразований приходим к квадратному уравнению х 52 1 - 5х + 4 = 0 0 ¦
¦ 1корни которого х=1 и х=4. Проверим являются ли найденные числа реше- 0 ¦
¦ 1ниями данного у _ра .внения. При подстановке в него числа 4 получаем вер- 0 ¦
¦ 1ное равенство 7 ? 14 0 = 4-2 1т 0. 1е. 4 - решение данного уравнения. При подста- 0 ¦
¦ 1новке же числа 1 получаем в правой части -1, а в левой 1. Следователь- 0 ¦
¦ 1но, 1 не является решением уравнения ; говорят, что это посторонний 0 ¦
¦ 1корень, полученный в результате принятого способа решения . 0 ¦
¦ 1О Т В Е Т : Х=4 0 ¦
¦ 1Степень с рациональным показателем 0. ¦
¦ 13 7|\\\ 1 7 14 7|\\\\ 14 7|\\ 0 ¦
¦ 1Найдем значение выражения 8 51/3 1 = 7 ? 1 8 = 2 ; 81 53/4 = 7 ? 1 81 53 = 1 ( 7? 181) 53 1= 3 53 1= 0 ¦
¦ 1Сравним числа 2 5300 1 и 3 5200 1 . Запишем эти числа в виде степени с ра- 0 ¦
¦ 1циональным показателем : 0 ¦
¦ 12 5300 1 = (2 53 1) 5100 1 = 8 5100 1 ; 3 5200 1 = (3 52 1) 5100 1 = 9 5100 0 ¦
Читайте также: