Реферат на тему координаты

Обновлено: 02.07.2024

История возникновения координат и системы координат начинается очень давно, первоначально идея метода координат возникла ещё в древнем мире в связи с потребностями астрономии, географии, живописи. Древнегреческого ученого Анаксимандра Милетского (ок. 610-546 до н. э.) считают составителем первой географической карты. Он четко описывал широту и долготу места, используя прямоугольные проекции.
Более чем за 100 лет до н.э греческий ученый Гиппарх предложил опоясать на карте земной шар параллелями и меридианами и ввести теперь хорошо известные географические координаты: широту и долготу и обозначить их числами.

Работа содержит 1 файл

Реферат Системы координат.docx

История возникновения координат на плоскости

Что такое система координат?

Система координат — комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки.

В математике координаты — совокупность чисел, сопоставленных точкам многообразия в некоторой карте определённого атласа.

В элементарной геометрии координаты — величины, определяющие положение точки на плоскости и в пространстве. На плоскости положение точки чаще всего определяется расстояниями от двух прямых (координатных осей), пересекающихся в одной точке (начале координат) под прямым углом; одна из координат называется ординатой, а другая — абсциссой. В пространстве по системе Декарта положение точки определяется расстояниями от трёх плоскостей координат, пересекающихся в одной точке под прямыми углами друг к другу, или сферическими координатами, где начало координат находится в центре сферы.

В географии координаты — широта, долгота и высота над известным общим уровнем (например, океана). См. географические координаты.

В астрономии координаты — величины, при помощи которых определяется положение звезды, например, прямое восхождение и склонение.

Небесные координаты — числа, с помощью которых определяют положение светил и вспомогательных точек на небесной сфере. В астрономии употребляют различные системы небесных координат. Каждая из них по существу представляет собой систему полярных координат на сфере с соответствующим образом выбранным полюсом. Систему небесных координат задают большим кругом небесной сферы (или его полюсом, отстоящим на 90° от любой точки этого круга) с указанием на нём начальной точки отсчёта одной из координат. В зависимости от выбора этого круга системы небесных координат называлась горизонтальной, экваториальной, эклиптической и галактической.

Наиболее используемая система координат — прямоугольная система координат (также известная как декартова система координат).

Координаты на плоскости и в пространстве можно вводить бесконечным числом разных способов. Решая ту или иную математическую или физическую задачу методом координат, можно использовать различные координатные системы, выбирая ту из них, в которой задача решается проще или удобнее в данном конкретном случае. Известным обобщением системы координат являются системы отсчёта и системы референции.

Виды систем координат:

Положение любой точки P в пространстве (в частности, на плоскости) может быть определено при помощи той или иной системы координат. Числа, определяющие положение точки, называются координатами этой точки.

Наиболее употребительные координатные системы - декартовы прямоугольные. Кроме прямоугольных систем координат существуют косоугольные системы. Т.к. я не встречал примеров применения косоугольных систем, то я их не рассматриваю. Прямоугольные и косоугольные координатные системы объединяются под названием декартовых систем координат. Иногда на плоскости применяют полярные системы координат, а в пространстве - цилиндрические или сферические системы координат. Обобщением всех перечисленных систем координат являются криволинейные системы координат.

Криволинейные системы координат

В двухмерном пространстве задаются два семейства линий (координатных линий), зависящих каждое от одного параметра, причем через каждую точку проходит только по одной линии каждого семейства. Значения параметров, соответствующие этим кривым, являются криволинейными координатами этой точки.

В трехмерном пространстве задаются три семейства координатных поверхностей, таких, что через каждую точку проходит по одной поверхности каждого семейства. Положение точки в такой системе определяется значениями параметров координатных поверхностей, проходящих через эту точку.

Декартовы прямоугольные системы координат

Для задания декартовой прямоугольной системы координат нужно выбрать несколько взаимноперпендикулярных прямых, называемых осями. Точка пересечения осей O называется началом координат.

На каждой оси нужно задать положительное направление и выбрать единицу масштаба. Координаты точки P считаются положительными или отрицательными в зависимости от того, на какую полуось попадает проекция точки P.

Полярные системы координат

Полярными координатами точки P называются радиус-вектор ρ - расстояние от точки P до заданной точки O (полюса) и полярный угол φ - угол между прямой OP и заданной прямой, проходящей через полюс (полярной осью). Полярный угол считается положительным при отсчете от полярной оси против часовой стрелки и отрицательным при отсчете в обратную сторону.

Координатные линии в полярных системах - окружности с центром в полюсе и лучи.

Формулы для перехода от полярных координат к декартовым

Цилиндрические системы координат

ρ и φ - полярные координаты проекции точки P на основную плоскость (обычно xOy), z - аппликата - расстояние от точки P до основной плоскости.

Для цилиндрических координат координатными поверхностями являются плоскости, перпендикулярные к оси Oz (z=const), полуплоскости, ограниченные осью z (φ=const) и цилиндрические поверхности, осью которых является ось z (ρ=const). Координатные линии - линии пересечения этих поверхностей.

Формулы для перехода от цилиндрических координат к декартовым

x=ρ*cos(φ), y=ρ*sin(φ), z=z

Сферические системы координат

r - длина радиус-вектора, φ - долгота, θ - полярное расстояние. Положительные направления отсчета показаны на рисунке 6. Если давать сферическим координатам значения в следующих пределах:

0 ≤ r системы координат: локальную и глобальную.

Начало системы отсчета (точка Р) для локальной прямоугольной системы координат выберем в точке наблюдения, лежащей на поверхности эллипсоида. Ось РХ направим на Север, ось РУ? на Восток, а ось по нормали к поверхности эллипсоида вниз (по внутренней нормали). В этой системе координат "горизонтальная" плоскость ХРУ не совпадает с плоскостью астрономического горизонта.

Глобальную декартову геодезическую систему координат Oxyz строят так:

начало отсчета совмещают с центром ОЗЭ (не путать с центром масс Земли!), плоскость xOy -- c плоскостью экватора. Ось Ox совмещают с линией пересечения плоскости нулевого меридиана и плоскости экватора. Ось Oy пересекает экватор в точке с долготой 90°. Ось Oz совпадает с осью вращения ОЗЭ. Эта ось не обязательно совпадает с осью вращения Земли. Для трехосного ОЗЭ начало координат берут в центре масс Земли, а оси -- совпадающими с главными осями инерции. В этом случае плоскость xOy, вообще говоря, не будет лежать в плоскости экватора.

2.2 Сферическая система координат

Телом отсчета для сферической системы координат является сфера с радиусом . Начало этой системы координат совмещают с центром сферы. Координатами являются геоцентрическая широта , долгота и радиус-вектор . Широтой называется угол между радиусом-вектором и плоскостью экватора. Долгота есть угол между плоскостью, проходящей через заданную точку и осью вращения (плоскость меридиана) и плоскостью меридиана, принятого в качестве нулевого. Связь между сферической системой и глобальной декартовой определяется формулами

В том случае, когда широта определяется как угол между плоскостью экватора и отвесной линией, сферическая система координат называется астрономической. Широта и долгота, определенные в этой системе мы будем обозначать через и .

2.3 Геодезическая система координат

С геодезической системой координат связывают понятия геодезической широты, долготы и высоты. Геодезическая широта В есть угол, под которым пересекается нормаль к поверхности эллипсоида с плоскостью экватора. Долгота -- двугранный угол между плоскостью нулевого меридиана и плоскостью меридиана, проходящего через заданную точку.

Геодезические широта и долгота отличаются от соответствующих астрономических координат, связанных с отвесной линией, так как отвесная линия не совпадает с нормалью к эллипсоиду. Отклонение отвесной линии можно спроецировать на две плоскости: плоскость меридиана и плоскость первого вертикала. Нетрудно понять, что обе эти составляющие можно определить через разности между астрономическими и геодезическими координатами

Системы координат в Древнем Египте.

Следы применения идеи прямоугольных координат в виде квадратной сетки (палетки) изображены на стене одной из погребальных камер Древнего Египта.

Пирамиды в Гизе. На первом плане пирамида Хефрена, далее пирамида Хеопса. Строительство пирамид относится к периоду правления IV династии

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

3.Декартова система координат

4.История возникновения системы координат

5. Системы координат и спектр их применения

7. Список используемой литературы и интернет ресурсов

Математика очень важная наука, которая применяется почти во всех сферах нашей жизни: начиная от бытовых задач и заканчивая всевозможными делами, решающимися во многих областях деятельности человека.

Сегодня нет такой отрасли знаний, где в той или иной степени не использовались бы математические понятия и методы.

Математика всегда была неотъемлемой и важной составной частью человеческой культуры, она является ключом к познанию окружающего мира, базой научно-технического прогресса и важной компонентой развития личности.

Меня заинтересовал один из великих математиков, а именно Рене Декарт и его система координат, поэтому целью моей работы является нахождение и анализ необходимой информации по данной теме. В соответствии с поставленной целью, моей задачей является детальное рассмотрение сфер применения на практике систем координат.

РЕНЕ ДЕКАРТ

Благодаря Декарту алгебра, как в своих основных методах, так и в символике приняла тот характер, который ей присущ и в настоящее время. Декарт придавал особое значение математике. Он исходил из того убеждения, что математика должна быть образцом для всякой другой науки. По его мнению, только та наука может считаться истинной, которая в своем построении следует математике, так как все выводы математики являются логически необходимыми, дающими полную достоверность.

ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООДИНАТ

Труды великого математика Рене Декарта, внесли неоценимый вклад в развитие математики, а именно, он создал знаменитую систему координат, которая имеет широкий спектр применения и неоценимо помогает людям в решении разнообразных профессиональных задач.

Декартова система координат – это система координат на плоскости или в пространстве, обычно с взаимно перпендикулярными осями и одинаковыми масштабами по осям — прямоугольные декартовы координаты. Названы по имени Р. Декарта. Возьмём две взаимно перпендикулярные координатные прямые Ох и Оу с равными единичными отрезками. Точка пересечения координатных прямых О называется началом координат, координатная прямая Ох называется осью абсцисс, а Оу- ординат. Таким образом, мы задали систему координат. Плоскость, на которой задана система координат, называется координатной плоскостью.

В элементарной математике чаще всего рассматривается двухмерная или трехмерная декартова система координат; координаты обычно обозначаются латинскими буквами x , y , z и называются, соответственно, абсциссой, ординатой и аппликатой. Координатная ось OX называется осью абсцисс, ось OY – осью ординат, ось OZ – осью аппликат. Положительные направления отсчета по каждой из осей обозначаются стрелками.

ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

История возникновения координат и системы координат уходит в глубокую древность. Идея метода возникла ещё в древнем мире в связи с потребностями астрономии, географии, живописи. Первым составителем географической карты считают древнегреческого учёного Анаксимандра Милетского (610-546 г .до н.э.). Он чётко описывал широту и долготу места, используя прямоугольные проекции.

Более чем за 100 лет до н.э. греческий учёный Гиппарх предложил опоясать на карте земной шар параллелями и меридианами и ввести теперь хорошо известные географические координаты: широту и долготу и обозначить их числами.

Идея изображать числа точками, а точкам давать числовые обозначения возникла очень давно. Первоначально применение координат связано с потребностью определять положение светил на небе и определённых пунктов на поверхности Земли, при составлении календаря, звёздных и географических карт. Следы применения идеи прямоугольных координат изображены на стене одной из погребальных камер Древнего Египта.

Основная заслуга в создании современного метода координат принадлежит Рене Декарту. Широко известна история, которая подтолкнула его к открытию. Занимая места в зрительном зале, согласно купленным билетам, мы даже не подозреваем, кто и когда предложил ставшим обычным в нашей жизни метод нумерации кресел по рядам и местам. Оказывается эта идея осенила знаменитого философа и математика Рене Декарта (1596-1650) – того самого, чьим именем названы прямоугольные координаты. Когда он посещал парижские театры, то не уставал удивляться путанице, перебранкам, а порой и вызовам на дуэль, которые возникали из-за отсутствия элементарного порядка распределения публики в зрительном зале. Он предложил систему нумерации, в которой каждое место получало номер ряда и порядковый номер от края. Это сразу сняло все поводы для раздоров и произвело настоящий фурор в парижском высшем обществе.

СИСТЕМЫ КООРДИНАТ И СПЕКТР ИХ ПРИМЕНЕНИЯ

Координатные системы применяются во всех сферах профессиональной деятельности человека.

Одна из важнейших сфер, где математика демонстрирует себя во всей своей силе - это описание законов, решение задач, и применяя при этом чертежи, от самых простых до самых сложных, нельзя обойтись без той или иной системы координат.

Рисунки, схемы, чертежи, графики – графические формы представления информации. Метод кодирования – это один из удобных способов представления числовой информации с помощью графиков, которые строятся в различных системах координат.

Построение схем молекул ДНК, построение диаграмм и графиков, прослеживающих эволюцию развития. Экологические проблемы и проблемы биосферы все эти вопросы рассматриваются при помощи различных координатных систем.

Координатная система нужна, чтобы определить взаимное расположение – координацию – тел в пространстве. Физики же сделали свою систему координат настолько простой, что нельзя и помыслить проще.

Деление на части света - это та же система координат.

Координатные системы разных видов применяют при моделирование эскизов промышленных машин, оборудования, объектов на местности.

Системы координат применяются для составления карт местности, разработка военных стратегий, и тактики.

Разнообразные системы координат применяются для построения графика спроса и предложения. При графическом изображении разнообразных зависимых величин.

В медицине используют координатную систему, в кардиологии - снимают кардиограмму. Делают анализы, готовят различные лекарства. Проведение медицинских исследований – флюорография, разнообразные снимки органов. В области хирургии - лазерные операции.

В астрономии постоянно работают с системой координат. Расположение звезд на небе, составление карт. Запуски спутников и космических кораблей, любые виды прогноза основываются на применение различных систем координат.

В машиностроении нельзя обойтись без системы координат, ведь прежде, чем что-то создать необходимо, сделать чертеж, а он строится по координатам на определенной системе.

Созданная Декартом система координат используется во всём мире и известна каждому школьнику. Используя эту систему можно на плоскости изобразить любой рисунок заданный координатами.

Соедините последовательно точки:

Это очень интересная и в тоже время очень трудная и кропотливая работа, требующая внимания и аккуратности, т.к. каждая неточность, ошибка приведут к искажению рисунка.

Все что находится вокруг нас, имеет свои координаты в пространстве. Мы движемся, постоянно меняем свои координаты. Жизнь это тоже определенная система и нам необходимо найти в ней свою, единственно верную координату, к которой необходимо стремится.

Математические идеи Декарта и в наши дни продолжают оставаться плодотворным оружием познания тайн природы и человеческого мышления.

Но это далеко не всё, что можно рассказать о системах координат. Наука неисчерпаема, этим она и интересна. Познание её приносит человеку настоящую, ни с чем несравнимую радость!

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ И ИНТЕРНЕТ РЕСУРСОВ

1.Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия. - М., 2006.

2. Матвиевская Г.П. Рене Декарт. - М.: Просвещение, 1987., 105с.

4. Энциклопедия для детей. Т 11: Математика.- М.: Аванта +, 2002., С. 375 - 410.

Системы небесных координат используются в астрономии для описания положения светил на небе или точек на воображаемой небесной сфере. Небесные координаты вводятся на геометрически правильной поверхности небесной сферы координатной сеткой, подобной сетке меридианов и параллелей на Земле. Координатная сетка определяется двумя плоскостями: плоскостью экватора системы и связанными с ним двумя полюсами, а также плоскостью начального меридиана.

В астрономии применяют несколько систем небесных координат, удобных для решения различных научных и практических задач. При этом используются известные плоскости, круги и точки небесной сферы.

В зависимости от стоящей задачи, может быть более удобным использовать ту или иную систему. Наиболее часто используются горизонтальная и экваториальные системы координат . Реже — эклиптическая , галактическая и другие.

1. Горизонтальная система небесных координат

Аналогом географической долготы в горизонтальной системе координат служит азимут , представляющий собой двугранный угол между плоскостью вертикала, проходящего через зенит и рассматриваемую точку, и плоскостью небесного меридиана.

Поскольку обе указанные плоскости перпендикулярны плоскости математического горизонта, мерой двугранного угла может служить соответствующий угол между их следами в горизонтальной плоскости (альфа). В геодезии принято отсчитывать азимуты от направления на точку севера по часовой стрелке (через точки востока, юга и запада) от 0 до 360°. В астрономии азимуты отсчитываются в том же направлении, однако часто начиная от точки юга. Тем самым астрономические и геодезические азимуты отличаются друг от друга на 180°, поэтому важно при решении той или иной задачи на небесной сфере выявить, с каким именно азимутом приходится иметь дело.

2. Экваториальная система небесных координат

Другая координата в экваториальной системе вводится двумя способами .

В первом случае начальной плоскостью служит плоскость небесного меридиана места наблюдений; координата, аналогичная земной долготе, в этом случае называется часовым углом и измеряется в часовой мере — часах, минутах и секундах. Часовой угол отсчитывается от южной части небесного меридиана в направлении суточного вращения неба до часового круга светила. Вследствие вращения небосвода часовой угол одного и того же светила в течение суток меняется в пределах от 0 до 24 ч. Такая система небесных координат носит название первой экваториальной . Часовой угол зависит не только от времени наблюдений, но и от места наблюдений на земной поверхности.

Во втором случае начальной плоскостью служит плоскость, проходящая через ось мира и точку весеннего равноденствия, которая вращается вместе со всей небесной сферой. Координата, аналогичная земной долготе, в этом случае называется прямым восxождением (альфа) и отсчитывается в часовой мере в направлении, обратном направлению вращения звездного неба. Для разных светил она имеет значения от 0 до 24 ч. Однако, в отличие от часовых углов, величина прямого восхождения одного и того же светила не меняется вследствие суточного вращения небосвода и не зависит от места наблюдений на поверхности Земли. Склонения и прямые восхождения называются второй экваториальной системой небесных координат. Эта система используется в звездных каталогах и на звездных картах.

3. Эклиптическая система небесных координат

Эклиптическая система исторически появилась раньше второй экваториальной. Она была удобной потому, что древние угломерные инструменты, такие, например, как армиллярная сфера, были приспособлены для измерения непосредственно эклиптических координат Солнца, планет и звезд. В связи с этим эклиптическая система является основой всех старинных звездных каталогов и атласов звездного неба.

4. Галактическая система небесных координат

Системы небесных координат подразделены также в зависимости от положения их центра в пространстве. Так, топоцентрической называют систему небесных координат, центр которой находится в какой-либо точке на поверхности Земли. Если для решения поставленной задачи используется система координат с центром в центре Земли, то ее называют геоцентрической системой небесных координат . Аналогичным образом систему с центром в центре Луны называют селеноцентрической , с центром в одной из планет — планетоцентрической (или более детально: для Марса — а р е о-центрической , для Венеры — афро-центрической и т. п.). Система небесных координат с центром в центре Солнца называется гелиоцентрической .

5. Изменения координат при вращении небесной сферы

Высота h , зенитное расстояние z , азимут A и часовой угол t светил постоянно изменяются вследствие вращения небесной сферы, так как отсчитываются от точек, не связанных с этим вращением.

Склонение δ , полярное расстояние p и прямое восхождение α светил при вращении небесной сферы не изменяются, но они могут меняться из-за движений светил, не связанных с суточным вращением.

6. Использование различных систем координат

Горизонтальная система координат используется для определения направления на светило с помощью угломерных инструментов и при наблюдениях в телескоп, смонтированный на азимутальной установке.

Первая экваториальная система координат используется для определения точного времени и при наблюдениях в телескоп, смонтированный на экваториальной установке.

Вторая экваториальная система координат является общепринятой в астрометрии. В этой системе составляются звёздные карты и описываются положения светил в каталогах.

Эклиптическая система координат используется в теоретической астрономии при определении орбит небесных тел.

Список используемой литературы

Учебная литература:

1. Подобед В.В.Фундаментальная астрометрия. Установление фундаментальной системы небесных координат. – М.: Наука, 1968 г.

Цель нашей работы: провести анализ литературы и изучить историю возникновения координат; показать использование программного обеспечения для построения точек на плоскости; рассмотреть использование координатной плоскости в практических целях и в жизни человека.

Собственный интерес автора к математическим открытиям французского математика, физика и философа Декарта является одной из центральных причин обращения к данной теме.

Актуальность темы исследования диктуется тем, что введённые в 17 веке Рене Декартом координаты на плоскости в настоящее время позволяют создавать на ней рисунки. Существует возможность использовать для этого программное обеспечение.

Задачи: - познакомиться с историей возникновения координат на плоскости;

- расширить область познания в рамках выбранной темы;

- создать рисунки на плоскости с указанными координатами точек.

Выводы:

- Рене Декарт ввел координатную прямую с положительными и отрицательными числами (1637 год), систему таких прямых;

- комбинации точек на плоскости, соединённые в определённом порядке, позволяют создавать рисунки;

- системы координат пронизывают всю практическую жизнь человека.

ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ……… ….7

РЕНЕ ДЕКАРТ- ФИЛОСОФ, МАТЕМАТИК, ФИЗИК…………………… …. 9

2.2 Влияние Декарта на развитие науки и философии………………………11

РИСУНКИ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ……………………………….….13

3.1 Стать художником может каждый……………………………………… 13

3.2 Использование программного обеспечения …………………….14

ПРИМЕНЕНИЕ КООРДИНАТ В ПРАКТИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ЧЕЛОВЕКА………………………………………………………………………17

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ……………….…..21

На этих уроках мы поняли, что из абстрактных точек можно получить знакомый рисунок: изображали не только отдельные точки, отрезки, но и любые предметы, животных, растения, даже целые сюжеты.

Работа в прямоугольной системе координат предполагает ее вычерчивание, а построение единичного отрезка – работу с измерительными приборами, что позволяет сочетать зрительную и мыслительную деятельность.

Данная тема заинтересовала автора, который поставил перед собой следующие вопросы:

Зачем нужны координаты в жизни человека?
Кто ввел координаты и создал систему координат?
Какие построения можно выполнять в прямоугольной системе координат?
Можно ли для этого использовать компьютерные программы?
Как применяются координаты в практической деятельности человека?

Умение выполнять построения в прямоугольной системе координат от игровой формы в 6 классе переходит в применение полученных умений и навыков при построении графиков функций, рассматриваемых в курсе алгебры средней и старшей школы.

При написании исследовательской работы были использованы следующие методы научного исследования:

Цель нашей работы:

- провести анализ литературы и изучить историю возникновения координат;

- показать использование программного обеспечения для построения точек на плоскости;

- рассмотреть использование координатной плоскости в практических целях и в жизни человека.

Актуальность темы исследования диктуется тем, что введённые в 17 веке Рене Декартом координаты на плоскости в настоящее время позволяют создавать рисунки. Существует возможность использовать для этого программное обеспечение.

Задачи:

- познакомиться с историей возникновения координат на плоскости;

- расширить область познания в рамках выбранной темы;

- создать рисунки на плоскости с указанными координатами точек.

ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ

История возникновения координат и системы координат начинается очень давно. Первоначально идея метода координат возникла ещё в древнем мире в связи с потребностями живописи, с необходимостью определять положение светил на небе и определенных пунктов на поверхности Земли, при составлении календаря, звездных и географических карт. Следы применения идеи прямоугольных координат в виде квадратной сетки (палетки) изображены на стене одной из погребальных камер Древнего Египта. [7]

Древнегреческого ученого Анаксимандра Милетского (ок. 610-546 до н. э.) считают составителем первой географической карты. Он четко описывал широту и долготу места, используя прямоугольные проекции. Более чем за 100 лет до н.э греческий ученый Гиппарх предложил опоясать на карте земной шар параллелями и меридианами и ввести теперь хорошо известные географические координаты: широту и долготу, обозначая их числами.

С помощью этих двух чисел можно точно определить положение острова, поселка, горы или колодца в пустыне и нанести их на карту или глобус. Научившись определять в открытом море широту и долготу местонахождения корабля, моряки получили возможность выбирать нужное им направление.

Долгое время лишь география- "землеописание" - пользовалась этим замечательным изобретением, и только в 14 веке французский математик Никола Орсем (1323-1382) попытался приложить его к "землеизмерению" - геометрии. Он предложил покрыть плоскость прямоугольной сеткой и называть широтой и долготой то, что мы теперь называем абсциссой и ординатой. [8]

Основная заслуга в создании метода координат принадлежит великому французскому математику Рене Декарту (1596 - 1650). В его честь такая система координат называется декартовой, обозначающая место любой точки плоскости расстояниями от этой точки до "нулевой широты" - оси абсцисс " и "нулевого меридиана" - оси ординат.

РИСУНКИ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ

3.1 Стать художником может каждый

Горизонтальная ось называется осью ОХ- абсцисс, вертикальная- осью OY- ординат. Место пересечения осей ОХ и OY называется началом координат, которое обозначают цифрой 0. Каждая точка на координатной плоскости имеет свой точный адрес. Это пара чисел: первое число по оси ОХ, второе — по оси OY. Эти числа называются координатами точки.[2]

В системе координат решаются две задачи:

построение точек на плоскости по заданным координатам;

нахождение координат точек, расположенных на плоскости.

Оказалось, что создание таких рисунков - интересное и увлекательное занятие. В свободное время я и мои друзья становимся художниками.

3.2 Использование программного обеспечения

Программа может работать в трёх режимах.

1-й режим. Построение точки.

2-й режим. Конкурс художников (режим конструктора).

Работа заключается в построении рисунка, а программа сама записывает координаты в координатное поле. При нажатии точки на координатной плоскости последние точки соединяются автоматически. Если есть необходимость не соединять соседние точки, необходимо нажать соответствующую кнопку Не соединять точки. Также существует кнопка Очистка, которая очищает координатную плоскость и координатное поле. Имеются компоненты выбора цвета точек и линий, изменения цвета фона и флажок включения и выключения подсказок.

Координатное поле можно редактировать. Для этого в координатном поле необходимо выбрать контекстное меню Режим редактирования.

Режим редактирования

После этого вид контекстного меню изменяется и координатное поле становится доступным для редактирования.

Для того, чтобы все изменения в координатном поле вошли в силу, необходимо нажать кнопку Построить.

Построенный рисунок можно сохранить или повторно открыть. Все файлы сохраняются с расширением *.кооr.

В дальнейшем построенные рисунки могут применяться в следующем режиме.

3-й режим. Конкурс художников (режим построения).

Большинство компонентов программы остались теми же, но теперь основной целью является построение рисунка по координатам точек. Первоначально ученик должен выбрать соответствующий файл с расширением *.кооr для построения.

Выбор файлов для построения

После выбора в координатном поле появляются координаты. Ученик последовательно строит данные точки, а программа проверяет правильность построения и выставляет оценку.

ПРИМЕНЕНИЕ КООРДИНАТ В ПРАКТИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ЧЕЛОВЕКА

На координатной системе основаны многие способы указания места. Например, на билете в кинотеатр стоят два числа: ряд и место — их можно рассматривать как координаты места в зале.

Подобные координаты приняты в шахматах. Вместо одного из чисел берется буква: вертикальные ряды клеток обозначаются буквами латинского алфавита, а горизонтальные — цифрами. Таким образом, каждой клетке шахматной доски ставится в соответствие пара из буквы и числа, и шахматисты получают возможность записывать свои партии.

Тот же принцип применяется на планах городов. План города разбивают на квадраты, занумерованные с помощью букв и цифр, а на оборотной стороне перечисляют все изображенные улицы в алфавитном порядке и указывают, в каком квадрате они находятся.[10]

Существуют также координаты, задаваемые одним числом. Это координаты на прямой. Достаточно задать одно число - расстояние от точки до начала отсчета, чтобы указать на прямой положение этой точки. В жизни мы очень часто сталкиваемся с такими координатами. Например, железная дорога с километровыми столбами вдоль нее или номера домов на улице.

Системы координат пронизывают всю практическую жизнь человека.

Математика. Одна из важнейших сфер, где математика демонстрирует себя во всей своей силе,- это описание законов, решение задач. Применяя чертежи от самых простых до самых сложных, нельзя обойтись без той или иной системы координат.[6]

Информатика. Рисунки, схемы, чертежи, графики – графические формы представления информации. Метод кодирования – это один из удобных способов представления числовой информации с помощью графиков, которые строятся в различных системах координат.

Биология: построение схем молекул ДНК, построение диаграмм и графиков, прослеживающих эволюцию развития.

Медицина: – проведение медицинских исследований в области хирургии; - флюорография; - разнообразные снимки органов; - кардиология (кардиограммы).

Экономика. Разнообразные системы координат применяются для построения графика спроса и предложения, при графическом изображении разнообразных зависимых величин.[9]

Химия: – построение таблицы Менделеева (изменение показателей происходит в горизонтальной и вертикальной плоскости); - взаимное расположение молекул.

Инженерная графика. Координатные системы разных видов применяют для моделирования эскизов промышленных машин, оборудования, объектов на местности.[10]

В географии положение точек на земной поверхности также определяется двумя числами – географическими координатами: широтой и долготой, которые также записываются в круглых скобках. По аналогии с математикой получаем: широта – это абсцисса, долгота – это ордината.

Проведя анализ литературы, Интернет - ресурсов, мы изучили историю возникновения координат. Мы узнали, что первоначально идея метода координат возникла ещё в древнем мире в связи с потребностями живописи, с необходимостью определять положение светил на небе, при составлении календаря, звездных и географических карт.

Но Рене Декарт был не только математиком. Он внёс большой вклад и в развитие физики, философии.

Проанализировав справочную литературу, проведя опрос представителей различных профессий, мы узнали, что системы координат пронизывают всю практическую жизнь человека. Это и математика, и информатика, и биология, и медицина, а также – экономика, химия, инженерная графика, география. А это означает, что усвоив школьную программу о координатной плоскости, мы в будущем сможем выбрать и успешно овладеть одной из перечисленных профессий.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Боголюбов А. Н. Математики, механики: Биографический справочник - К.: Наукова думка, 1999, с. 161-163

2. Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков С. И. Математика: Учебник для 6 кл. общеобразовательных учреждений.- М.: Мнемозина, 2002, с. 160

3. Глейзер Г.И. История математики в школе. - М., 1983, с. 157-160

4. Матвиевская Г.П. Рене Декарт. - М.: Просвещение, 1987, с. 158

5. Нешков К. И., Чесноков А. С. Дидактический материал по математике для 6 класса.-М.: Просвещение, 2002, 160 с.

6. Погорелов А.В. Геометрия: Учебник для 7-11 кл. средней школы- 3 изд. – М.: Просвещение, 1992, с. 270-271.

7. Просветов Г. И. История математики -М.:Альфа-пресс, 2011, с. 96

8. Рыбников К.А. Возникновение и развитие математической науки. М.: Наука, 1987, с. 140

9. Математическая энциклопедия (в 5 томах). - М.: Советска Энциклопедия, 2002. - Т. 1, с. 149 10. Новейший справочник школьника/ Сост. Волин М.Д.- М.: ДОМ XXI век, 2008, с.330

11. Энциклопедический словарь юного математика/Сост. А.П. Савин.-М.: Педагогика, 1985, с. 151-152.

В жизни мы встречаем так много очень красивых кривых линий, что порой невозможно оторвать от них глаз. Они так часто встречаем нами, что мы уже настолько привыкли к ним, что не замечаем их. Также все эти замечательные кривые можно построить в различных системах координат, которые мы и рассмотрим в данной работе.

Вложение	Размер
nauchno_prakt_rabota.docx	553.52 КБ

Предварительный просмотр:

"Особенности основных систем

в аналитической геометрии

Тип проекта: информационный

Марчик Светлана Артуровна

г.Саяногорск 2016-2017 уч.г.

Цель: охарактеризовать особенности основных систем координат, применяемых в аналитической геометрии на плоскости.

Гипотеза: Если рассмотреть особенности построения в основных системах координат, то можно выявить определенные закономерности построения красивых кривых линий.

Нами были выдвинуты задачи исследования:

Рассмотреть теоретические основы построения объектов в основных системах координат на плоскости;
Провести анализ особенностей основных систем координат на плоскости;
Выявить применение основных систем координат в жизни человека.

Теоретическая значимость: в работе представлена теоретическое обоснование построения зависимостей замечательных кривых на плоскости в основных системах координат.

Практическая значимость: в работе представлена практическое применение построения линий в основных системах координат на плоскости в форме плана дома и график использования электроэнергии.

1. Теоретические основы построения объектов в основных системах координат на плоскости

1.1 Понятия и виды систем координат на плоскости

Аналитическая геометрия – область математики, изучающая геометрические образы алгебраическими методами. Основным понятием в аналитической геометрии является понятие системы координат [6, с. 34].

Координаты точки – это величины, которые определяют положение этой точки (в пространстве, на плоскости или на кривой поверхности, на прямой или кривой линии) [1, с. 18].

Система координат – это комплекс определений, который задает положение тела или точки с помощью чисел или же других символов [8].

Классифицировать различные системы координат можно по разным признакам. Однако, в самом общем виде, все системы координат условно можно разделить на две группы:

К прямолинейным системам координат относятся системы, в которых координатными линиями являются прямые. Примером таких систем могут служить декартовы прямоугольные координаты.

Если в системах координат координатные линии не прямые, а кривые, то они относятся к криволинейным. Примером таких систем координат могут служить полярные системы координат сферы и эллипсоида [5, с. 51 – 52].

Классификация систем координат приведена на рисунке 1.1.

Рисунок 1.1 – Классификация систем координат

Аффинная система координат (косоугольная система координат) – прямолинейная система координат в аффинном пространстве. В n-мерном пространстве она задаётся упорядоченной системой линейно независимых векторов , выходящих из одной точки O. Аффинными координатами точки M называют такие числа x i , что (рисунок 1.2).

Рисунок 1.2 – Афинная система координат

Биангулярные координаты – система координат на плоскости с двумя фиксированными точками С 1 и С 2 , в которой положение точки Р, лежащей не на прямой С 1 С 2 , задаётся двумя углами: РС 1 С 2 и РС 2 С 1 (рисунок 1.3).

Рисунок 1.3 – Биангулярная система координат

Параболические координаты – криволинейная система координат на плоскости, в которой координатные линии являются конфокальными параболами (рисунок 1.4).

Рисунок 1.4 – Параболическая система координат

Биполярные координаты – криволинейная система координат на плоскости, основанная на кругах Аполлония (рисунок 1.5).

Рисунок 1.5 – Биполярная система координат

Далее необходимо рассмотреть две основные системы координат: прямоугольную (декартову) и полярную.

1.2 Декартова система координат

Еще в XVII в. французским математиком Р. Декартом был разработан метод координат, являющийся аппаратом аналитической геометрии, поэтому она и называется декартова [6, с. 34].

Положение точки на плоскости определяется двумя координатами. Простейший способ таков.

Проводятся две взаимно перпендикулярные прямые Х’Х и Y’Y (рисунок 1.6). Они называются осями координат.

Рисунок 1.6 – Прямоугольная система координат

Одна из этих прямых Х’Х (обычно ее проводят горизонтально) называется осью абсцисс, другая Y’Y – осью ординат. Точка О их пересечение называется началом координат. Для измерения отрезков на осях координат выбирается некоторая единица масштаба, произвольная, но одна и та же для обеих осей.

На каждой оси выбирается положительное направление, которое обозначается стрелкой. На рисунке 1.2 луч ОХ дает положительное направление на оси абсцисс, а луч ОY на оси ординат.

Принято выбирать положительные направления так, чтобы положительный луч ОХ после поворота на 90 о против часовой стрелки совмещался с положительным лучом ОY.

Оси координат Х’Х и Y’Y с установленными положительными направлениями и выбранным масштабом образуют декартову прямоугольную систему координат [1, с. 18 – 19].

1.3 Полярная система координат

Возьмем на плоскости произвольную точку О (полюс) и проведем луч ОХ (полярная ось). примем какой-либо отрезок ОА за единицу длины и какой-либо угол (обычно берется радиан) за единицу измерения углов. Тогда положение любой точки М на плоскости можно задать двумя числами:

1) положительным числом ρ, выражающим длину отрезка ОМ (полярный радиус);

2) числом φ, выражающим величину угла ХОМ (полярный угол).

Числа φ и ρ называются полярными координатами точки М (рисунок 1.7) [1, с. 108].

Рисунок 1.7 – Полярная система координат

Таким образом, существует много различных систем координат, но основными являются две: декартова и полярная системы координат.

В следующей главе будет проведен анализ особенностей основных систем координат на плоскости.

2. Анализ особенностей основных систем координат на плоскости

2.1 Организация и методы анализа особенностей основных систем координат на плоскости

Приступая к работе было выявлено, что существуют различные линии на плоскости, построение которых в декартовой системе координат выполнить сложно. Поэтому можно выдвинуть предположение, что существуют другие системы координат, в которых построение данных линий упрощаются.

Работа состояла из двух этапов:

изучение литературы о различных системах координат на плоскости;
построение различных линий в основных системах координат;
построение плана нашего дома в декартовой системе координат и график использования электроэнергии в нашем доме в полярной системе координат.

С целью исследования различных кривых были применины аналитические и графические методы. Также рассмотрен перевод аналитических выражений из одной системы координат в другую.

2.2 Построение различных линий в основных системах координат

Положение точки М на плоскости в прямоугольной системе координат определяется следующем образом. Проводим от точки М перпендикуляр к оси Х (точка х 1 ) и к оси Y (точка у 1 ) (рисунок 2.1). Числа х 1 и у 1 , измеряющие отрезки от осей до точки М в избранном масштабе, называются прямоугольными координатами или просто координатами точки М, Эти числа берем положительными или отрицательными в зависимости от расположения точки М на плоскости. Число х 1 называется абсциссой точки М, число у 1 – ее ординатой.

Рисунок 2.1– Прямоугольная система координат

На рисунке 2.1 тоска М имеет абсциссу х 1 = 2, и ординату у 1 = 3. Это записывается так: М(2;3). Вообще запись М(а;b) означает, что точка М имеет абсциссу х 1 = а и ординату у 1 = b [1, с. 19].

Для того, чтобы построить прямую линию в декартовой системе координат, нужно отметить две точки и соединить их прямой линией (рисунок 2.2).

Рисунок 2.2 – Графики функций в прямоугольной системе координат

Для того, чтобы построить график функции у = f(х), составляют таблицу значений функции при некоторых значениях аргумента, наносят на плоскость соответствующие точки и соединяют полученные точки линией (рисунок 2.2). При этом предполагают, что график функции является плавной линией, а найденные точки достаточно точно показывают ход изменения функции [3, с. 67].

В полярной системе координат каждой паре значений ρ и φ отвечает только одна точка, но одной и той же точке М отвечает бесчисленное значение полярного угла, отличающихся друг от друга на число, кратное 2π. Если же точка М совпадает с полюсом, то значение полярного угла остается совершенно произвольным.

Условлено выделять только одно из значений полярного угла, например брать φ в пределах:

Такое значение полярного угла называют главным.

Например, точке N (рисунок 2.3) соответствуют полярные координаты ρ = 3, ; главное значение полярного угла есть .

Рисунок 2.3 – Полярная система координат

Точке L соответствуют полярные координаты ρ = 2, ; главное значение полярного угла есть π [1, с. 109].

Точка М имеет полярные координаты ρ = 5, ; главное значение полярного угла есть .

Существует связь между полярными координатами точки и ее прямоугольными координатами. При этом можно предположить, что начало прямоугольной системы координат находится в полюсе, а положительная ось абсцисс совпадает с полярной осью. Как было показано выше, точка М имеет прямоугольные координаты х и у, и полярные координаты ρ и φ, тогда

х = ρ соs φ, у = ρ sin φ.

В этих формулах прямоугольные координаты выражают через полярные. Полярные координаты можно выразить через прямоугольные следующим образом:

Можно видеть, что формула определяет два значения полярного угла φ, т. к. φ изменяется от 0 до 2π. Из этих двух значений угла φ выбирают то, при котором удовлетворяются равенства, выражающие прямоугольные координаты через полярные [6, с. 38].

2.3 Некоторые замечательные кривые

Существует множество замечательных кривых, трем из них будет дана характеристика в данной работе.

Строфоида – это алгебраическая кривая 3-го порядка, площадь которой ограниченна петлей (Рисунок 2.4).

Рисунок 2.3 – Строфоида

Параметрическое уравнение строфоиды:

Следующей замечательной кривой будет лемниската Бернулли. Лемниската Бернулли – это плоская алгебраическая кривая, показанная на рисунке 2.4.

Рисунок 2.4 – Лемниската Бернулли

Параметрическое уравнение лемнискаты Бернулли:

Эвольвента или развертка круга – это траектория любой точки прямой линии, перекатываемой по окружности без скольжения (Рисунок 2.5).

Рисунок 2.5 – Эвольвента круга

Параметрические уравнения эвольвенты круга:

Также к замечательным кривым относятся: циклоида, эпициклоида и гипоциклоида.

3. Применение основных систем координат в жизни человека

3.1 Применение декартовой системы координат в жизни человека

Системы координат используются во многих областях науки, например, в математике координаты являются совокупностью чисел, которые сопоставлены точкам в некоторой карте заранее определенного атласа. В геометрии координаты – это величины, которые определяют расположение точки в пространстве и на плоскости. В географии координаты обозначают широту, долготу и высоту над общим уровнем моря, океана или другой заранее известной величины. В астрономии координаты являются величинами, которые дают возможность определить положение звезды, например, склонение и прямое восхождение [8].

Основное применение декартовой системы координат – в математике. Одна из важнейших сфер, где математика демонстрирует себя во всей своей силе, – это описание законов, решение задач. Применяя чертежи от самых простых до самых сложных, нельзя обойтись без декартовой системы координат.

В информатике Рисунки, схемы, чертежи, графики – графические формы представления информации. Метод кодирования – это один из удобных способов представления числовой информации с помощью графиков.

В медицине с помощью графиков выполняется: проведение медицинских исследований в области хирургии; флюорография; разнообразные снимки органов; кардиология – кардиограммы.

В экономике прямоугольная системы координат применяется для построения графика спроса и предложения. При графическом изображении разнообразных зависимых величин.

В химии – периодическая система химических элементов Д. И. Менделеева построена по принципу декартовой прямоугольной системы координат, т. к. изменение показателей происходит в горизонтальной и вертикальной плоскости.

Также прямоугольная система координат используется в инженерной графике для моделирования эскизов промышленных машин, оборудования, объектов на местности [7].

Я начертила планы первого и цокольного этажей нашего дома в декартовой системе координат в программе Microsoft Visio Drawing 2003 (Приложение А). Первый этаж состоит из трех комнат, кухни и коридора, а на цокольном этаже находятся туалет, ванная комната, котельная и две кладовые.

3.2 Применение полярной системы координат в жизни человека

Полярная система координат двумерная и поэтому может применяться только в тех случаях, когда местонахождение точки определяется на плоскости, или для случая однородности свойств системы в третьем измерении, например, при рассмотрении течения в круглой трубе. Лучшим контекстом применения полярных координат являются случаи, тесно связанные с направлением и расстоянием от некоторого центра. Например, простых уравнений в полярных координатах достаточно для определения таких кривых как спираль Архимеда, уравнения которых в прямоугольной системе координат гораздо сложнее. Кроме того, многие физических системы – такие, которые содержат тела, движущиеся вокруг центра, либо явления, распространяющиеся из некоторого центра – гораздо проще моделировать в полярных координатах. Причиной создания полярной системы координат было исследование орбитального и движения по кругу.

В биологии полярные координаты применяются при построении схем молекул ДНК.

Полярную систему координат часто применяют в навигации, поскольку пункт назначения можно задать как расстояние и направление движения от отправной точки. Например, в авиации, для навигации применяют несколько изменённую версию полярных координат. В этой системе, обычно используемой для навигации, луч 0° называют направлением 360, а углы отсчитываются в направлении по часовой стрелке. Направление 360 соответствует магнитному северу, а направления 90, 180, и 270 соответствуют магнитным востоку, югу и западу.

Системы с радиальной симметрией очень хорошо подходят для описания в радиальных координатах, где полюс системы координат совпадает с центром симметрии. В качестве примера можно привести уравнение тока грунтовых вод в случае радиально симметричных колодцев. Системы с центральными силами также подходят для моделирования в полярных координатах. К таким системам относятся гравитационные поля, подчиняющиеся закону обратно-квадратичной зависимости, так и системы с точечными источниками энергии, такие как радиоантенны .

Мы взяли данные расхода электроэнергии нашего дома за 12 месяцев 2015 года, по этим данным мы построили график изменения в полярной системе координат в программе Microsoft Excel 2003 (Приложение Б). По графику видно, что расход электроэнергии в нашем доме зимой больше чем летом почти в три раза, это связано с тем, что отопление в нашем доме электрическое.

Ниже представлены основные выводы по данной работе, соответствующие поставленным задачам.

В первой задаче необходимо было рассмотреть теоретические основы построения объектов в основных системах координат на плоскости. Система координат – это комплекс определений, который задает положение тела или точки с помощью чисел или же других символов. Существуют два основных вида систем координат: прямолинейные и криволинейные. Декартова система координат относится к прямолинейным, а полярная – к криволинейным. В этих системах координат положение точек на плоскости определяется двумя координатами (в декартовой – х и у, в полярной – ρ и φ).

Второй задачей было провести анализ особенностей основных систем координат на плоскости. Для решения данной задачи были рассмотрены организация и методы анализа особенностей основных систем координат на плоскости, выполнено построение различных линий в основных системах координат и построены некоторые замечательные кривые.

Третьей задачей необходимо было выявить применение основных систем координат в жизни человека. Декартова система координат применяется в математике, в геометрии, а географии, в астрономии, в информатике, в медицине, в экономике, в физике, в химии, в инженерной графике. Полярная система координат – в физике, в биологии, в навигации. Также был начерчен план первого и цокольного этажей нашего дома в декартовой системе координат и график использования электроэнергии нашего дома в полярной системе координат.

Таким образом, с помощью решения поставленных задач была достигнута цель исследования, то есть, охарактеризованы особенности основных систем координат, применяемых в аналитической геометрии на плоскости.

Читайте также: