Реферат на тему иррациональные уравнения

Обновлено: 07.07.2024

Иррациональным называется уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня.
Решаются такие уравнения возведением обеих частей в степень. При возведении в четную степень возможно расширение области определения заданного уравнения. Поэтому при решении таких иррациональных уравнений обязательны проверка или нахождение области допустимых значений уравнений. При возведении в нечетную степень обеих частей иррационального уравнения область определения не меняется.
Реферат помог мне научиться решать иррациональные уравнения и неравенства следующих типов: стандартные, показательные, содержащие знак модуля, логарифмические, повышенного уровня.
Примеры взяты и подробно разобраны не только из школьной программы, но и из вступительных экзаменов в школу А.Н. Колмогорова при МГУ, из сборника задач по математике под редакцией М.И. Сканави.
Этот материал может быть интересен и полезен выпуск – никам школ и абитуриентам технических вузов.

Список использованной литературы:

1. Алгебра и начала анализа. Под редакцией А.Н. Колмогорова
2. 3000 конкурсных задач по математике. Авторы: Е.Д. Куланин, В.П. Норин
3. Справочные материалы по математике. Авторы: В.А. Гусев, А.Г. Мордкович
4. Сборник задач по математике. Под редакцией М.И. Сканави
5. Справочный материал Бесплатно скачать реферат "Иррациональные уравнения и неравенства" в полном объеме

Поиск рефератов по алфавиту

2. Реферат: Инфузионные среды и коллоидные растворы
Инфузионные среды – препараты, применяемые для парентеральной жидкостной терапии. Все инфузионные среды, или растворы, в зависимости от свойств и назначения делятся на следующие г.

3. Реферат: Инфузория, как вид простейших
К типу Инфузории относят около 6000 видов простейших, органеллами движения которых служит большое количество ресничек. Для большинства инфузорий характерно присутствие двух ядер: к.

4. Реферат: Иоганн Себастьян Бах
Итальянское музыкальное искусство в семнадцатой и в первой половине восемнадцатого веков по праву занимало ведущее место в мире. Италия была не только родиной оперы, на итальянской.

5. Реферат: Иоганнес Брамс
Брамс – крупнейший композитор 2-й половины 19-го века, который жил в то же время, что и Вагнер, Лист, и был их антиподом. Очень своеобразный композитор. Отрицал крайности романтизм.

6. Реферат: Ионизирующие излучение и радиоактивность
Ионизирующее излучение – поток заряженных или нейтральных частиц и квантов электромагнитного излучения, прохождение которых через вещество приводит к иониза-ции и возбуждению атомо.

7. Реферат: Иран
Иран — многонациональная страна. Около 50% населения составляют персы, 24% — азербайджанцы, 8% — гилянцы и мазандеранцы, 7% — курды, 3% — арабы, по 2% — луры и белуджи и др. Наибол.

8. Реферат: Ирано-Иракская война
Холодная война. Однако победа оказалась неполной. Неожиданно для Запада абсолютному контролю над миром помешал Советский Союз. Вопреки расчетам проектировщиков миропорядка СССР выж.

9. Реферат: Ирландский вопрос
В настоящее время установлен срок окончательного разоружения экстремистских группировок Северной Ирландии – это 2007 г. Несмотря на ведущийся процесс разоружения, в провинции продо.

11. Реферат: Иррациональные уравнения и неравенства
Иррациональным называется уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня. Решаются такие уравнения возведением обеих частей в степень. При возведении в четную степень.

12. Реферат: Искусственные водоемы
Водохранилища — искусственные водоемы, образованные при перекрытии русла рек. Многим из них свойственно суточное колебание уровня воды, достигающее иногда 1,5—2 м, характерен также.

13. Реферат: Искусственные и синтетические волокна
Издавна для изготовления своей одежды человек пользовался природными волокнами, получаемыми из хлопка, льна, шерсти некоторых животных, из нитей, выпрядаемых гусеницей тутового шел.

14. Реферат: Искусство Германии
Исторический период, в течение которого Германия не существовала как целостное государство, оказал большое влияние на формирование культуры немецкой нации. К началу XVI в. Герман.

15. Реферат: Искусство Древнего Рима
Искусство Рима не только последний этап в развитии античности. Многое в нём превосходит культуру средневековья. Уже в Древнем мире формировались новое понимание мира и многие худож.

16. Реферат: Искусство Рима
Искусство древнего Рима, как и древней Греции, развивалось в рамках рабовладельческого общества, поэтому именно эти два основных компонента имеют в виду, когда говорят об «античном.

17. Реферат: Искусство эстампа
С незапамятных времен человек старается привнести в свой быт гармонию и красоту. Еще древние греки украшали однотонные стены яркими ковриками и рисунками. В XVII веке в домашний о.

18. Реферат: Искусство Японии
Первые упоминания о Японии Европа услышала ещё в эпоху Средневековья, познав её вместе со смелыми путешественниками как страну неслыханной вежливости и сказочного богатства. Эти .

19. Реферат: Испания
Испания — южно-европейская страна. Она занимает пять шестых Пиренейского полуострова, Балеарские и Питиузские острова в Средиземном море и Канарские острова в Атлантическом океане.

20. Реферат: Испанская инквизиция
Сотни тысяч сгоревших на костре, миллионы томившихся в тюрьмах, искалеченных, отверженных, лишенных имущества и доброго имени – таков общий итог деятельности инквизиции. Среди ее ж.

21. Реферат: Использование JAVA-технологий для разработки графических приложений
Последние несколько лет разработчики прилагали массу усилий, чтобы интегрировать графику и анимацию в свои апплеты и приложения Java. Однако первоначально включенные в Java графиче.

В школьном курсе алгебры рассматриваются различные виды уравнений – линейные, квадратные, биквадратные, кубические, рациональные, с параметрами, иррациональные и другие. Данная курсовая работа посвящена иррациональным уравнениям, методам их решения. Кроме того, в работе введены понятия уравнений следствий и равносильных уравнений, а также приведены примеры задач, математическими моделями которых служат иррациональные уравнения. В данной работе содержится небольшая историческая справка, посвященная введению иррациональных чисел.

1. ИЗ ИСТОРИИ

В современных учебных руководствах основа определения иррационального числа опирается на идеи ал-Каши, Стевина и Декарта об измерении отрезков и о неограниченном приближении к искомому числу с помощью бесконечных десятичных дробей. Однако обоснованием свойств действительных чисел и полная теория их была разработана лишь в XIX в.

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Равносильные уравнения. Следствия уравнений.

При решении уравнений выполняются различные тождественные преобразования над выражениями, входящими в уравнение. При этом исходное уравнение изменяется другими, имеющими те же корни. Такие уравнения называются равносильными.

Определение: Уравнение f(x)=g(x) равносильно уравнению f1(x)=g1(x), если каждый корень первого уравнения является корнем второго и обратно, каждый корень второго уравнения является корнем первого, т.е. их решения совпадают.

Например, уравнения 3x-6=0; 2х–1=3 равносильны, т.к. каждое из уравнений имеет один корень х=2.

Любые два уравнения, имеющие пустое множество корней, считают равносильными.

Тот факт, что уравнения f(x)=g(x) и f1(x)=g1(x) равносильны, обозначают так:

f(x)=g(x) f1(x)=g1(x)

В процессе решения уравнений важно знать, при каких преобразованиях данное уравнение переходит в равносильное ему уравнение.

Теорема 1: Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак, то получим уравнение, равносильное данному.

Доказательство:
Докажем, что уравнение f(x) = g(x)+q(x) (1)
равносильно уравнению

Пусть х=а – корень уравнения. Значит имеет место числовое равенство f(a)=g(a)+q(a) . Но тогда по свойству действительных чисел будет выполняться и числовое равенство f(a)-q(a)=g(a) показывающее, что а – корень уравнения (2). Аналогично доказывается, что каждый корень уравнения (2) является и корнем уравнения (1).

Что и требовалось доказатью.

Теорема 2: Если обе части уравнения умножить или разделить на отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному.

Доказательство: докажем, что уравнение 6х–3=0 равносильно уравнению 2х–1=0

решим уравнение 6х–3=0 и уравнение 2х–1=0

так как корни уравнений равны, то уравнения равносильны.

Что и требовалось доказать.

ОДЗ этого уравнения

Мы знаем, что дробь равна нулю в том случае, когда ее числитель равен нулю, т.е. х²+х–2=0, а знаменатель не равен 0. Решая уравнение х²+х–2=0, находим корни х1=1, х2 = –2 . Но число 1 не входит в ОДЗ данного уравнения и значит, исходное уравнение имеет один корень х=-2.

В этом случае говорят, что уравнение х²+х–2=0, есть следствие уравнения

пусть даны два уравнения:

Если каждый корень уравнения (3) является корнем уравнения (4), то уравнение (4) называют следствием уравнения (3).

Этот факт записывают так:

В том случае, когда уравнение (3) - есть также следствие уравнения (4), эти уравнения равносильны.

Два уравнения равносильны в том, и только в том случае, когда каждое из них является следствием другого.

В приведенном выше примере уравнение – следствие
х²+х–2=0, имеет два корня x1=1 и х2 =-2, а исходное уравнение имеет один корень х=-2. В этом случае корень х=1 называют посторонним для исходного уравнения

В общем случае корни уравнения-следствия, не являющиеся корнями исходного уравнения, называют посторонними.

Итак, если при решении уравнения происходит переход к уравнению – следствию, то могли появиться посторонние корни. В этом случае все корни уравнения-следствия нужно проверить, подставляя их в исходное уравнение. В некоторых случаях выявление посторонних корней облегчается знанием ОДЗ исходного уравнения – корни, не принадлежащие ОДЗ, можно сразу отбросить. Так, в приведенном примере посторонний корень х=1 не входит в ОДЗ уравнения и потому отброшен.

Иногда посторонние корни могут появиться и при тождественных преобразованиях, если они приводят к изменению ОДЗ уравнения. Например, после приведения подобных членов в левой части уравнения

получим уравнение следствие х²-4=0 имеющее два корня х1 = 2, х2 = -2 корень х2 = -2 – посторонний, так как не входит в ОДЗ исходного уравнения.

В тех случаях, когда в результате преобразований произошел переход от исходного уравнения к уравнению, не являющемуся его следствием, возможна потеря корней.

Например, уравнение (х+1)(х+3)= х+1 (5)

Имеет два корня. Действительно, перенося все члены уравнения в левую часть и вынося х+1 за скобки, получим (х+1)(х+2)=0, откуда находим х1=-1, х2=-2 .

Для того, чтобы в процессе решения уравнения избежать потери корней, необходимо следить за тем, чтобы переход осуществлялся либо к равносильным уравнениям, либо к уравнениям-следствиям.

2.2. Определение иррациональных уравнений.

Иррациональными называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня или под знаком операции возведения в дробную степень.

3. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.

3.1. Решение иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень.

Решить уравнение

Возведем обе части уравнения (1) в квадрат:

далее последовательно имеем:

5х – 16 = х² - 4х + 4

х² - 4х + 4 – 5х + 16 = 0

Проверка: Подставив х=5 в уравнение (1), получим – верное равенство. Подставив х= 4 в уравнение (1), получим – верное равенство. Значит оба найденных

значения – корни уравнения.

Преобразуем уравнение к виду:

и применим метод возведения в квадрат:

далее последовательно получаем.

Разделим обе части последнего уравнения почленно на 2:

еще раз применим метод возведения в квадрат:

х1 х2 = -14 х2 = -1

по теореме, обратной теореме Виета, х1=14, х2 = -1

корни уравнения х²-13х–14 =0

Проверка: подставив значение х=-14 в уравнение (2), получим–

- не верное равенство. Поэтому х = -14 – не корень уравнения (2).

Подставив значение x=-1 в уравнение (2), получим-

- верное равенство. Поэтому x=-1- корень уравнения (2).

3.2 Метод введения новых переменных.

Конечно, можно решить это уравнение методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Но можно решить и другим способом – методом введения новых переменных.

Введем новую переменную Тогда получим 2y²+y–3=0 – квадратное уравнение относительно переменной y. Найдем его корни:

Т.к. , то – не корень уравнения, т.к. не

может быть отрицательным числом . А - верное равенство, значит x=1- корень уравнения.

Искусственные приёмы решения иррациональных уравнений.

Умножим обе части заданного уравнения на выражение

То уравнение (1) примет вид:

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом известен. Тогда x1=0.Остаётся решить уравнение:

Сложив уравнения (1) и (2), придём к уравнению

Решая уравнение (3) методом возведения в квадрат, получим:

x1=0, x2=4, x3= -4 подставим в уравнение

- не верное равенство, значит x1=0- не корень уравнения.

- верное равенство, значит x2=4- корень уравнения.

- не верное равенство, значит x3= -4- не корень уравнения.

Итак, уравнения, которые содержат переменную под знаком корня, называются иррациональными. Иррациональные уравнения решаются в основном возведением обеих частей уравнения в квадрат (или n-ую степень) или введением новой переменной. Кроме того, пользуются и искусственными приемами решения иррациональных уравнений.

Список литературы

Особенности решения иррациональных уравнений и неравенств стандартного типа и повышенной сложности. Исторические аспекты изучения данного вопроса. Возведение обоих частей уравнений в соответствующую натуральную степень. Введение новых переменных.

Рубрика	Математика
Вид	реферат
Язык	русский
Дата добавления	14.04.2010
Размер файла	89,7 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Математика. выявляет порядок,

симметрию и определенность,

а это - важнейшие виды прекрасного.

Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Практически все, что окружает современного человека, так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо уметь решать.

В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. "Ищется куча, которая вместе с двумя третями ее, половиной и одной седьмой составляет 37. ", - поучал во II тысячелетии до новой эры египетский писец Ахмес. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.

Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: "Смотри!", "Делай так!", "Ты правильно нашел". В этом смысле исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) - собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.

Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово "аль-джебр" из арабского названия этого трактата - "Китаб аль-джебер валь-мукабала" ("Книга о восстановлении и противопоставлении") - со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово "алгебра", а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.

В школьном курсе алгебры рассматриваются различные виды уравнений и неравенств - линейные, квадратные, биквадратные, кубические, рациональные, с параметрами и другие. Но в школьном курсе на изучение и решение иррациональных уравнений отводится очень мало времени. А иррациональные неравенства в школьном курсе вообще не рассматривают, а на вступительных экзаменах в ВУЗы и разные институты эти задания часто дают. Я самостоятельно изучил правила решения иррациональных уравнений и неравенств и хочу рассказать вам что у меня вышло.

В моей научной работе рассматриваются решения как иррациональных уравнений и неравенств стандартного типа, так и повышенной сложности. Поэтому реферат можно использовать как учебное пособие для подготовки к ЕГЭ, а также при поступлении в ВУЗ. Кроме того, рефератом можно пользоваться при изучении этой темы на факультативных занятиях.

“Источником алгебраических иррациональностей является двузначность или многозначность задачи;

ибо было бы невозможно выразить одним и тем же вычислением многие значения, удовлетворяющие

одной и той же задаче, иначе, чем при помощи корней…;

они же разве только в частных случаях могут быть

сведены к рациональностям”.

Одной из конкретных причин появления математических теорий явилось открытие иррациональностей. Вначале это произошло в пределах геометрических изысканий в виде установления факта несоизмеримости двух отрезков прямой. Значение этого открытия в математике трудно переоценить. В математику, едва ли не впервые, вошла сложная теоретическая абстракция, не имеющая аналога в донаучном общечеловеческом опыте. Вероятно, самой первой иррациональностью, открытой древнегреческими математиками, было число . Можно с определённой уверенностью считать, что исходным пунктом этого открытия были попытки найти общую меру с помощью алгоритма попеременного вычитания, известного сейчас как алгоритм Евклида. Возможно также, что некоторую роль сыграла задача математической теории музыки: деление октава, приводящее к пропорции 1:п=п:2. Не последнюю роль сыграл и характерный для пифагорейской школы общий интерес к теоретико-числовым проблемам.

С появлением иррациональностей в древнегреческой математике возникли серьёзные трудности как в теоретико-числовом, так и в геометрическом плане.

Уравнение, содержащее неизвестное (либо рациональное алгебраическое выражение от неизвестного) под знаком радикала, называют иррациональным уравнением. Вот примеры иррационального уравнения:

В элементарной математике решения иррациональных уравнений отыскивается в множестве действительных чисел.

Всякое иррациональное уравнение с помощью элементарных алгебраических операций (умножение, деление, возведение в целую степень обеих частей уравнения) может быть сведено к рациональному алгебраическому уравнению. При этом следует иметь в виду, что полученное рациональное алгебраическое уравнение может оказаться неэквивалентным исходному иррациональному уравнению, а именно может содержать "лишние" корни, которые не будут корнями исходного иррационального уравнения. Поэтому, найдя корни полученного рационального алгебраического уравнения, необходимо проверить, а будут ли все корни рационального уравнения корнями иррационального уравнения.

В общем случае трудно указать какой-либо универсальный метод решения любого иррационального уравнения, так как желательно, чтобы в результате преобразований исходного иррационального уравнения получилось не просто какое-то рациональное алгебраическое уравнение, среди корней которого будут и корни данного иррационального уравнения, а рациональное алгебраическое уравнение, образованное из многочленов как можно меньшей степени. Желание получить то рациональное алгебраическое уравнение, образованное из многочленов как можно меньшей степени, вполне естественно, так как нахождение всех корней рационального алгебраического уравнения само по себе может оказаться довольно трудной задачей, решить которую полностью мы можем лишь в весьма ограниченном числе случаев.

Возведение обоих частей уравнений в соответствующую натуральную степень

Одним из самых простых приемов решения иррациональных уравнений является метод освобождения от радикалов путем последовательного возведения обеих частей уравнения в соответствующую натуральную степень. При этом следует иметь в виду, что при возведении обеих частей уравнения в нечетную степень полученное уравнение, эквивалентное исходному, а при возведении обеих частей уравнения в четную степень полученное уравнение будет, вообще говоря, неэквивалентным исходному уравнению. В этом легко убедиться, возведя обе части уравнения f(x)=g(x) в любую четную степень. В результате этой операции получается уравнение [f(x)] 2 n =[g(x)] 2 n множество решений, которого представляет собой объединение множеств решений:

Однако, несмотря на этот недостаток, именно процедура возведения обеих частей уравнения в некоторую (часто четную) степень является самой распространенной процедурой сведения иррационального уравнения к рациональному уравнению.

Допустим, мы решаем уравнение , где P(x), Q(x) и R(x) - некоторые неотрицательные многочлены. Возведя обе части уравнения в квадрат, получим уравнение

После повторного возведения в квадрат это уравнение превращается в алгебраическое уравнение

Так как обе части уравнения возводились в квадрат, может оказаться, что не все корни уравнения этого будут являться решениями исходного уравнения. Необходима проверка корней.

Приведу несколько примеров.

Пример 1. Решим уравнение .

Возведём обе части этого уравнения в квадрат и получим , откуда следует, что . Проверим, что полученные числа являются решениями уравнения. Действительно, при подстановке их в данное уравнение получаются верные равенства:

Следовательно, полученные значения являются решениями данного уравнения.

Пример 2. Решим уравнение .

Возведя в квадрат обе части уравнения, получим . После преобразований приходим к квадратному уравнению , корни которого x = 1, и x = 4.

Проверим, являются ли найденные числа решениями данного уравнения. При подстановке в него числа 4 получим верное равенство, значит, 4 - решение данного уравнения. При подстановке же числа 1 получаем в правой части -1, а в левой части число 1. Следовательно, 1 не является решением уравнения. Говорят, что это посторонний корень, полученный в результате принятого способа решения.

Пример 3. Решим уравнение .

Возведём обе части этого уравнения в квадрат: , откуда получаем уравнение , корни которого и . Сразу ясно, что это посторонний корень. При подстановке же в уравнение числа 2 получаем верное равенство , следовательно, решением данного уравнения является, только число 2.

Пример 4. Решим уравнение .

Сразу видно, что ОДЗ левой и правой частей этого уравнения не пересекаются. В левой части неизвестное может принимать значения, которые больше или равны 6. А в правой, - меньше или равны четырём. Поэтому уравнение корней не имеет.

Ответ: уравнение корней не имеет.

Пример 5. Решим уравнение .

По определению - это такое неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному выражению. Другими словами, уравнение равносильно системе:

Решая первое уравнение системы, равносильное уравнению , получим корни 11 и 6, но условие выполняется только для . Поэтому данное уравнение имеет один корень .

Пример 6. Решим уравнение .

В отличие от других примеров, здесь неизвестное содержится под радикалом третьей степени. Следовательно, возводить уравнение надо не в квадрат, а в куб.

При подстановке в уравнение первого корня, мы получаем верное равенство . При подстановке же второго, неверное - . Значит, x =-3 - посторонний корень.

Пример 7. Решим уравнение .

По определению квадратного корня, .

Корень x = -5 - посторонний. Значит, уравнение имеет только один корень.

Пример 8. Решим уравнение .

При непосредственном возведении в квадрат обеих частей уравнения, уравнение должно быть сначала преобразовано так, чтобы в одной части стояли только радикалы, а в другой - остальные члены исходного уравнения. Так поступают, если радикалов в уравнении два. Если же их три, то два из них оставляют в одной части уравнения, а третий переносят в другую. Затем обе части уравнения возводят в квадрат и проводятся необходимые преобразования (приведение подобных и т.п.). Далее все члены уравнения, не содержащие радикалов, снова переносятся в одну сторону уравнения, а оставшийся радикал (теперь он будет только один!) - в другую. Полученное уравнение вновь возводят в квадрат, и в итоге получается уравнение, не содержащее радикалов.

Введение новых переменных

Другим способом решения иррациональных уравнений является способ введения новых неизвестных, относительно которых получается либо более простое иррациональное уравнение, либо рациональное уравнение.

Пример 1. Решим уравнение .

Пусть , тогда , где t > 0.

Но t > 0, значит - посторонний корень. Сделаем обратную замену: и возведем обе части в квадрат.

Пример 2. Решим уравнение .

Пусть , значит , где t > 0.

Но t > 0, значит, t = -3 - посторонний корень. Сделаем обратную замену , и возведём обе части уравнения в квадрат.

Пример 3. Решим уравнение .

Пусть , где t > 0.

Сделаем обратную замену: , и возведем обе части уравнения в квадрат.

Пример 4. Решим уравнение .

Возведём обе части уравнения сначала в куб, потом в квадрат.

Сделаем обратную замену.

не является корнем исходного уравнениё, в отличие от .

В заключение заметим, что при решении иррациональных уравнений не следует начинать решение уравнения с возведения обеих его частей в натуральную степень, пытаясь свести решение иррационального уравнения к решению рационального алгебраического уравнения. Сначала необходимо посмотреть, нельзя ли сделать какое-нибудь тождественное преобразование уравнения, которое может существенно упростить его решение.

Произведём обратную замену.

Решение систем иррациональных уравнений

Иногда попадаются системы уравнений с неизвестными под знаком корня. Очень важно уметь решать и такие системы уравнений.

Пример 1. Решим систему

Подставляем полученное значение x в первое уравнение системы.

Пример 2. Решим систему

Подставляем полученное значение x в первое уравнение системы.

Пример 3. Решим систему

Подобные документы

Сведения из истории математики о решении уравнений. Применение на практике методов решения уравнений и неравенств, основанных на использовании свойств функции. Исследование уравнения на промежутках действительной оси. Угадывание корня уравнения.

курсовая работа [1,4 M], добавлен 07.09.2010

Методы решений иррациональных уравнений. Метод замены переменных. Линейные комбинации двух и более радикалов. Уравнение с одним радикалом. Умножение на сопряженное выражение. Метод решения уравнений путем выделения полных квадратов под знаком радикала.

контрольная работа [116,6 K], добавлен 15.02.2016

Понятие Диофантовых уравнений, их сущность и особенности, методика и этапы решения. Великая теорема Ферма и порядок ее доказательства. Алгоритм решения иррациональных уравнений. Метод поиска Пифагоровых троек. особенности решения уравнения Каталана.

учебное пособие [330,2 K], добавлен 23.04.2009

Историческая справка об иррациональных уравнениях. Решение иррациональных уравнений. Преобразование иррациональных выражений. Уравнения с радикалом третьей степени. Введение нового неизвестного.

реферат [81,3 K], добавлен 09.04.2005

Понятие иррационального уравнения. Применение формул сокращённого умножения. Посторонние корни и причины их появления. Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Метод замены переменной. Иррациональные уравнения, не имеющие решений.

презентация [94,6 K], добавлен 08.11.2011

Стандартные методы решений уравнений и неравенств. Алгоритм решения уравнения с параметром. Область определения уравнения. Решение неравенств с параметрами. Влияние параметра на результат. Допустимые значения переменной. Точки пересечения графиков.

контрольная работа [209,4 K], добавлен 15.12.2011

Основные направления развертывания линии уравнений и неравенств в школьном курсе математики, ее связь с числовой и функциональной системой. Особенности изучения, аналитический и графический методы решения уравнений и неравенств, содержащих параметры.

* Данная работа не является научным трудом, не является выпускной квалификационной работой и представляет собой результат обработки, структурирования и форматирования собранной информации, предназначенной для использования в качестве источника материала при самостоятельной подготовки учебных работ.

Иррациональные

уравнения и неравенства

реферат по алгебре

Решение иррациональных уравнений стандартного вида.

Решение иррациональных уравнений смешанного вида.

Решение сложных иррациональных уравнений.

Решение иррациональных неравенств стандартного вида.

Решение нестандартных иррациональных неравенств.

Решение иррациональных неравенств смешанного вида.

I. Введение

Особенностью моей работы является то, что в школьном курсе на решение иррациональных уравнений отводится очень мало времени, а ВУЗовские задания вообще не решаются. Решение иррациональных неравенств в школьном курсе не рассматри- вают, а на вступительных экзаменах эти задания часто дают.

Я самостоятельно изучил правила решения иррациональных уравнений и неравенств.

В реферате показаны решения как иррациональных уравнений и неравенств стандартного типа, так и повышенной сложности. Поэтому реферат можно использовать как учебное пособие для подготовки в ВУЗ, также рефератом можно пользоваться при изучении этой темы на факультативных занятиях.

II. Иррациональные уравнения

Иррациональным называется уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня.

Решаются такие уравнения возведением обеих частей в степень. При возведении в четную степень возможно расширение области определения заданного уравнения. Поэтому при решении таких иррациональных уравнений обязательны проверка или нахождение области допустимых значений уравнений. При возведении в нечетную степень обеих частей иррационального уравнения область определения не меняется.

Иррациональные уравнения стандартного вида можно решить пользуясь следующим правилом:

2x – 1 = x 2 – 4x + 4, Проверка:

x 2 – 6x + 5 = 0, х = 5, = 5 – 2,

x₂ = 1 – постор. корень х = 1, 1 – 2 ,

Ответ: 5 пост. к. 1 -1.

б) Решить уравнение

Учитывая ноль подкоренного выражения, данное уравнение равносильно двум системам:

б) Решить уравнение

Учитывая ноль подкоренного выражения, данное уравнение равносильно двум системам:

МОУ “Ульканская средняя общеобразовательная школа №2”.

Решение иррациональных уравнений.

Верхошанской Светланой Александровной,

ученица 9”Г” класса.

Высоцкая Лидия Степановна,

Глава I. Историческая справка ………………………………….………………..2

Глава II §1. Решение иррациональных уравнений ………………………..……..3

§2. Преобразование иррациональных выражений ………………….….5

§3. Уравнения с радикалом третьей степени …………………………. 6

§4. Введение нового неизвестного …………………………………. …7

Историческая справка

об иррациональных уравнениях.

“Источником алгебраических иррациональностей является двузначность или многозначность задачи; ибо было бы невозможно выразить одним и тем же вычислением многие значения, удовлетворяющие одной и той же задаче, иначе, чем при помощи корней…; они же разве только в частных случаях могут быть сведены к рациональностям”.

Одной из конкретных причин появления математических теорий явилось открытие иррациональностей. Вначале это произошло в пределах геометрических изысканий в виде установления факта несоизмеримости двух отрезков прямой. Значение этого открытия в математике трудно переоценить. В математику, едва ли не впервые, вошла сложная теоретическая абстракция, не имеющая аналога в донаучном общечеловеческом опыте. Вероятно, самой первой иррациональностью, открытой древнегреческими математиками, было число . Можно с определённой уверенностью считать, что исходным пунктом этого открытия были попытки найти общую меру с помощью алгоритма попеременного вычитания, известного сейчас как алгоритм Евклида. Возможно также, что некоторую роль сыграла задача математической теории музыки: деление октава, приводящее к пропорции 1:п=п:2. Не последнюю роль сыграл и характерный для пифагорейской школы общий интерес к теоретико-числовым проблемам.

Древние математики нашли довольно быстро логически строгое доказательство иррациональности числа путём сведения этого доказательства к формальному противоречию. Пусть , где m и n - взаимно простые числа. Тогда m 2 =2n 2 , откуда следует, что т 2 чётное и, следовательно, п 2 чётное. Чётно, следовательно и п. Получающееся противоречие (п не может быть одновременно и чётным и нечётным) указывает на неверность посылки, что число рационально.

Для исследования вновь открываемых квадратичных иррациональностей сразу же оказалось необходимым разрабатывать теорию делимости чисел. В самом деле, пусть , где p и g - взаимно просты, а п является произведением только первых степеней сомножителей отсюда р 2 =пg 2 . Если t - простой делитель п, то р 2 (а значит, и р) делится на t. Следовательно, р 2 делится на t 2 . Но в п содержится только первая степень t. Значит g 2 (равно как и g) делится на t. Но этот результат формально противоречит предположению, что р и g взаимно просты.

Решение иррациональных уравнений.

Уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называют иррациональными. Таково, например, уравнение .

При решении иррациональных уравнений полученные решения требуют проверки, потому, например, что неверное равенство при возведении в квадрат может дать верное равенство. В самом деле, неверное равенство при возведении в квадрат даёт верное равенство 1 2 = (-1) 2 , 1=1.

Иногда удобнее решать иррациональные уравнения, используя равносильные переходы.

Пример 1. Решим уравнение .

Возведём обе части этого уравнения в квадрат и получим , откуда следует, что , т.е. .

Проверим, что полученные числа являются решениями уравнения. Действительно, при подстановке их в данное уравнение получаются верные равенства:

Следовательно, x=3 или x=-3 - решение данного уравнения.

Пример 2. Решим уравнение .

Возведя в квадрат обе части уравнения, получим . После преобразований приходим к квадратному уравнению , корни которого и .

Проверим, являются ли найденные числа решениями данного уравнения. При подстановке в него числа 4 получим верное равенство , т.е. 4 - решение данного уравнения. При подстановке же числа 1 получаем в правой части -1, а в левой части число 1. Следовательно, 1 не является решением уравнения; говорят, что это посторонний корень, полученный в результате принятого способа решения.

Пример 3. Решим уравнение .

Возведём обе части этого уравнения в квадрат: , откуда получаем уравнение , корни которого и . Сразу ясно, что число -1 не является корнем данного уравнения, т.к. обе части его не определены при . При подстановке в уравнение числа 2 получаем верное равенство , следовательно, решением данного уравнения является только число 2.

Пример 4. Решим уравнение .

Возведя в квадрат обе части этого уравнения, получаем , , . Подстановкой убеждаемся, что число 5 не является корнем данного уравнения. Поэтому уравнение не имеет решений.

Пример 5. Решим уравнение .

Пример 6. Решим уравнение .

В отличие от рассмотренных ранее примеров данное иррациональное уравнение содержит не квадратный корень, а корень третьей степени. Поэтому для того, чтобы “избавиться от радикала”, надо возвести обе части уравнения не в квадрат, а в куб: . После преобразований получаем:

Пример 7. Решим систему уравнений:

Положив и , приходим к системе

Разложим левую часть второго уравнения на множители: - и подставим в него из первого уравнения . Тогда получим систему, равносильную второй:

Подставляя во второе уравнение значение v, найденное из первого , приходим к уравнению , т.е. .

Полученное квадратное уравнение имеет два корня: и .

Соответствующие значения v таковы: и . Переходя к переменным х и у, получаем: , т.е. , , , .

Преобразование иррациональных выражений.

Если знаменатель дроби содержит иррациональное выражение, то часто целесообразно избавиться от последнего.

Рассмотрим некоторые типичные случаи:

При непосредственном возведении в квадрат обеих частей уравнения уравнение должно быть сначала преобразовано так, чтобы в одной части стояли только радикалы, а в другой - остальные члены исходного уравнения. Так поступают, если радикалов в уравнении два. Если же их три, то два из них оставляют в одной части уравнения, а третий переносят в другую. Затем обе части уравнения возводят в квадрат и проводятся необходимые преобразования (приведение подобных и т.п.). Далее все члены уравнения, не содержащие радикалов, снова переносятся в одну сторону уравнения, а оставшийся радикал (теперь он будет только один!) - в другую. Полученное уравнение вновь возводят в квадрат, и в итоге получается уравнение, не содержащее радикалов.

Пример. Введение новой переменной:

Решение: Обозначим , тогда

Уравнение примет вид:

Возведём его в квадрат:

Это уравнение так же возводим в квадрат:

Проверка: полученные значения t мы должны проверить в уравнении (1), так как именно оно возводилось в квадрат. Проверка показывает, что - посторонний корень, а - действительно корень уравнения (1). Отсюда получим:

Уравнения с радикалом третьей степени.

При решении уравнений, содержащих радикалы 3-й степени, бывает полезно пользоваться сложением тождествами:

Возведём обе части этого уравнения в 3-ю степень и воспользуемся выше приведённым тождеством:

Заметим, что выражение стоящее в скобках равно 1, что следует из первоначального уравнения. Учитывая это и приводя подобные члены, получим:

Раскроем скобки, приведём подобные члены и решим квадратное уравнение. Его корни и . Если считать (по определению), что корень нечётной степени можно извлекать и из отрицательных чисел, то оба полученных числа являются решениями исходного уравнения.

Возведём две новые переменные и , тогда ,

В итоге получим систему уравнений:

Используя первоначальные уравнения системы, преобразуем вторые, заменив первую скобку единицей, а вторую подставим вместо неизвестного у выражение , также полученное из первого .

Приведём подобные члены, раскрыв предварительно скобки и решив полученное квадратное уравнение. Его корни и . Вернёмся теперь к начальной подстановке и получим искомые решения:

Введение нового неизвестного.

Решив эти уравнения, найдём радикалы более высоких степеней, но наиболее часто использовавшийся способ их решения - введение нового(новых) неизвестного.

Уравнение примет вид:

Корень не удовлетворяет условию

Методы решения иррациональных уравнений.

Методы решения иррациональных уравнений, как правило основаны на возможности замены (с помощью некоторых преобразований) иррационального уравнения рациональным уравнением, которое либо равносильно исходному, либо является его следствием. Поэтому существуют два пути при решении иррациональных уравнений:

1) переход к выводным уравнениям (следствиям) с последующей проверкой корней;

2) переход к равносильным системам.

Второй подход избавляет от подстановки полученных корней в исходное уравнение (иногда такую проверку осуществить нелегко) и, вообще говоря, является более предпочтительным. Однако если в ходе решения оказалось, что проверка полученных корней не представляет труда, то можно не выяснять источники появления посторонних корней и не переходить к равносильным системам.

Возведём в 6 степень:

, т.е. - верное равенство.

Преобразуем уравнение к виду:

и возведём обе части в квадрат:

Ещё раз возведём обе части в квадрат:

Положим . Тогда и мы получаем уравнение , откуда , .

Теперь задача свелась к решению двух уравнений:

; . Возводя обе части уравнения в 5-ю степень, получим , откуда .

Уравнение - не имеет корней, поскольку под знаком возведения в дробную степень может содержаться неотрицательное число, а любая степень неотрицательного числа неотрицательна.

Читайте также: