Реферат на тему гипербола

Обновлено: 05.07.2024

Общее понятие и признаки гиперболы. Асимптоты гиперболы как прямые, проходящие через начало координат и имеющие угловые коэффициенты. Общее понятие и формула эксцентриситета как отношения фокусного расстояния к длине действительной оси гиперболы.

Рубрика	Математика
Вид	презентация
Язык	русский
Дата добавления	21.09.2013
Размер файла	79,0 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

HTML-версии работы пока нет.
Cкачать архив работы можно перейдя по ссылке, которая находятся ниже.

Подобные документы

Гипербола и ее свойства. Каноническая система координат. Понятие эксцентриситета, его зависимость от отношения мнимой и действительной полуосей. Уравнение директрис. Определение центра, оси, вершин, фокусов, эксцентриситета и асимптоты заданной гиперболы.

презентация [3,9 M], добавлен 02.06.2016

Математическое понятие кривой. Общее уравнение кривой второго порядка. Уравнения окружности, эллипса, гиперболы и параболы. Оси симметрии гиперболы. Исследование формы параболы. Кривые третьего и четвертого порядка. Анъези локон, декартов лист.

дипломная работа [877,9 K], добавлен 14.10.2011

Общее уравнение кривой второго порядка. Составление уравнений эллипса, окружности, гиперболы и параболы. Эксцентриситет гиперболы. Фокус и директриса параболы. Преобразование общего уравнения к каноническому виду. Зависимость вида кривой от инвариантов.

презентация [301,4 K], добавлен 10.11.2014

Понятие матрицы, эллипса, гиперболы и параболы. Системы уравнений с матрицами. Проекция вектора на ось и действия с векторами. Плоскость и прямые линии в пространстве, их взаимное расположение. Прямоугольная декартова система координат на плоскости.

контрольная работа [98,8 K], добавлен 30.11.2010

Нормальное и каноническое уравнение окружности и эллипса. Понятие эксцентриситета как отношения фокусного расстояния к длине большой оси эллипса. Уравнение и координаты точки, принадлежащей эллипсу. Влияние отношение малой и большой полуосей на фигуру.

презентация [184,4 K], добавлен 21.09.2013

Определение связи между полярными и прямоугольными координатами. Рассмотрение уравнений прямой, окружности, эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах. Представление в исследуемой системе координат спирали Архимеда. Построение графиков функций.

курсовая работа [1,2 M], добавлен 10.02.2012

Нахождение уравнения гиперболы при заданном значении вещественной полуоси. Вычисление предела функции и ее производных. Составление уравнения нормали к кривой. Решение системы алгебраических уравнений методом Гаусса и при помощи формулы Крамера.

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Южно-Уральский государственный университет.

По дисциплине Высшая математика.

Пермина Александра Николаевна

студент группы 131

Кравченко Ольга Владимировна

Кривые второго порядка: эллипс, окружность, парабола, гипербола.

Кривыми второго порядка на плоскости называются линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершину.

Если такая плоскость пересекает все образующие одной полости конуса, то в сечении получается эллипс , при пересечении образующих обеих полостей – гипербола , а если секущая плоскость параллельна какой-либо образующей, то сечением конуса является парабола .

Кривая второго порядка на плоскости в прямоугольной системе координат описывается уравнением:

Множество всех точек на плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F ₁ и F ₂ есть заданная постоянная величина, называется эллипсом .

Каноническое уравнение эллипса.

Для любого эллипса можно найти декартову систему координат такую, что эллипс будет описываться уравнением (каноническое уравнение эллипса):

Оно описывает эллипс с центром в начале координат, оси которого совпадают с осями координат. Число a называют большой полуосью эллипса , а число b – его малой полуосью .

Свойства эллипса:

Фокальное свойство. Если F₁ и F₂ — фокусы эллипса, то для любой точки X, принадлежащей эллипсу, угол между касательной в этой точке и прямой ( F₁X ) равен углу между этой касательной и прямой ( F₂X ) .
Прямая, проведённая через середины отрезков, отсечённых двумя параллельными прямыми, пересекающими эллипс, всегда будет проходить через центр эллипса. Это позволяет построением с помощью циркуля и линейки легко получить центр эллипса, а в дальнейшем оси, вершины и фокусы.
Эволютой эллипса является астроида.
Эксцентриситетом эллипса называется отношение . Эксцентриситет характеризует вытянутость эллипса. Чем эксцентриситет ближе к нулю, тем эллипс больше напоминает окружность и наоборот, чем эксцентриситет ближе к единице, тем он более вытянут.

Эллипс также можно описать как

фигуру, которую можно получить из окружности, применяя аффинное преобразование
ортогональную проекцию окружность на плоскость.
Пересечение плоскости и кругового цилиндра.

Окружность — геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой её центром, на заданное ненулевое расстояние, называемое её радиусом.

Каноническое уравнение окружности.

Общее уравнение окружности записывается как:

Точка — центр окружности, R — её радиус.

Уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат:

Свойства окружности:

Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку (касательная); иметь с ней две общие точки (секущая).
Касательная к окружности всегда перпендикулярна её диаметру, один из концов которого является точкой касания.
Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.
Длину окружности с радиусом R можно вычислить по формуле C = 2π R .
Вписанный угол либо равен половине центрального угла, опирающегося на его дугу, либо дополняет половину этого угла до 180°.
- Два вписанных угла, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
- Вписанный угол, опирающийся на дугу длиной в половину окружности равен 90°.
Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.

Каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат:

(или , если поменять местами оси)

где р (фокальный параметр) - расстояние от фокуса до директрисы

Свойства параболы:
- Парабола — кривая второго порядка.
- Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы . Ось проходит через фокус и перпендикулярна директрисе.
- Пучок лучей параллельных оси, отражаясь в параболе, собирается в её фокусе. Для параболы с вершиной в начале координат (0; 0) и положительным направлением ветвей фокус находится в точке (0; 0,25).
- Если фокус параболы отразить относительно касательной, то его образ будет лежать на директрисе.
- Парабола является антиподерой прямой.
- Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб.
- При вращении параболы вокруг оси симметрии получается эллиптический параболоид.
· Прямая пересекает параболу не более чем в двух точках.

· Эксцентриситет параболы е =1.

Геометрическое место точек плоскости, для которых разность расстояний до двух фиксированных точек есть величина постоянная, называют гиперболой .

Для любой гиперболы можно найти декартову систему координат такую, что гипербола будет описываться уравнением :

Числа и называются соответственно вещественной и мнимой полуосями гиперболы.

Свойства гиперболы:

· Гипербола имеет две оси симметрии (главные оси гиперболы) и центр симметрии (центр гиперболы). При этом одна из этих осей пересекается с гиперболой в двух точках, называемых вершинами гиперболы. Она называется действительной осью гиперболы (ось Ох для канонического выбора координатной системы). Другая ось не имеет общих точек с гиперболой и называется ее мнимой осью (в канонических координатах – ось Оу ). По обе стороны от нее расположены правая и левая ветви гиперболы. Фокусы гиперболы располагаются на ее действительной оси.

· Каждая гипербола имеет пару асимптот: и .

· Расстояние от начала координат до одного из фокусов гиперболы называют фокусным расстоянием гиперболы .

· Эксцентриситетом гиперболы называется величина е = с / а. Эксцентриситет гиперболы e > 1

· Расстояние от вершины гиперболы до асимптоты вдоль направления параллельного оси ординат называется малой или мнимой полуосью гиперболы .

· Расстояние от фокуса до гиперболы вдоль прямой, параллельной оси ординат называется фокальным параметром ..

Список литературы:

Канатиков А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия: Учеб. для вузов. 2-е изд. / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000 – 388с.(Сер. Математика в техническом университете; Вып. III ).

* Данная работа не является научным трудом, не является выпускной квалификационной работой и представляет собой результат обработки, структурирования и форматирования собранной информации, предназначенной для использования в качестве источника материала при самостоятельной подготовки учебных работ.

Гипербола в искусстве

Один из способов создания художественного образа — это гипербола, то есть преувеличение.

Гипербола очень часто использовалась в устном народном творчестве: сказках, былинах, песнях. Так в былине "Илья Муромец и Соловей-разбойник" для яркой характеристика образа Соловья-разбойника, изображения его силы использована такая гипербола:

Засвистел тут Соловей по-соловьиному,

Закричал, собака, по-звериному,

Зашипел, проклятый, по-змеиному,

Так все травушки-муравушки уплеталися,

Все лазоревы цветочки осыпалися,

А что есть людей вблизи, так все мертвы лежат.

Когда нужно показать нечто могучее, сильное, превосходящее обычное, используется гипербола. Так Н. В. Гоголь, указывая на богатырскую силу Тараса Бульбы, пишет: "У крыльца стояли осёдланные кони. Бульба вскочил на своего Чёрта, который бешено отшатнулся, почувствовав на себе двадцатипудовое бремя, потому что Тарас был чрезвычайно тяжёл и толст". Собираясь в Запорожскую Сечь, Бульба дал сыновьям богатую казацкую одежду, часть которой составляли шаровары "шириною в Чёрное море". Теперь представьте Бульбу весом в 320 килограмм и его сыновей, носивших шаровары, шириною с Чёрное море. Вот что такое гипербола.

А теперь обратимся к "Песне о Роланде" — французскому героическому эпосу. Описывая схватку Роланда с могучим мавром Вальдаброном, безымянный автор говорит, что Роланд одним ударом своего меча рассёк не только шлем и голову противника, но и всё тело его до седла, и само седло, и хребет коня, так что "убил и мавра и коня под ним" (кантилена CXIX).

Гипербола широко используется и в живописи. Рассмотрим "Портрет Ф. И. Шаляпина" работы Кустодиева. Для Кустодиева Шаляпин — воплощение русского богатырства, духовного и физического. Поэтому Шаляпин нарисован во весь рост и в сопоставлении с веселящимся народом, который изображён на заднем плане картины, выглядит как гигант, великан. Можно было Шаляпина изобразить только на фоне деревьев, домов, и всё равно этот гиперболический образ богатыря сохранился бы, но Кустодиеву понадобилось показать ещё и народ, потому что Шаляпин — плоть от плоти этого народа. Он как бы корнями врос в народную культуру. За спиной Шаляпина изображены сцены народного гуляния с балаганным представлением. А балаган — это народный театр. Он напоминает, во-первых, о том, что Шаляпин — артист, во-вторых, о том, что истоки искусства Шаляпина — в народной культуре и служит оно народу. Художник показывает нам, что Шаляпин — концентрированное выражение духовных сил народа.

Шуба Шаляпина распахнута. Это указывает на его горячий и открытый характер, широту его русской души.

Вот ещё один образец гиперболы у того же Кустодиева. Творчество Кустодиева вообще проникнуто народным духом, поэтому в своих картинах он особенно охотно использовал гиперболу. Взгляните на его акварель "Купец в шубе": громадный купчина занимает как будто весь город, ему тесно. Это богатырь, хозяин жизни, опора государства.

Гипербола и в картине Кустодиева "Большевик", которого художник изобразил на фоне города. Большевик выше домов, выше церкви, а знамя в его руке заслоняет всё небо, прямо по Маяковскому: "Флагами небо оклеивай!" Народ же в ногах у большевика по сравнению с ним ничтожно мелок, что отражает преувеличение большевиками роли личности в истории и их пренебрежительное отношение к народу как аморфной "массе", с которой можно делать все, что угодно. Кустодиев выразил то представление о твердокаменных большевиках, которое они старались внушить о себе народу.

Если вглядеться в лицо большевика, фанатичное и ожесточённо-беспощадное, его сокрушительную поступь, его готовность снести стоящий на пути храм, то можно предположить, что у художника было весьма скептическое отношение к революции, по крайней мере, во время создания этой картины. Тем более, что действие происходит на закате дня, что очень символично.

Великолепный образец гиперболы — "Святой Себастьян" Антонелло да Мессины из Дрезденской галереи. Святой Себастьян изображён во весь рост на переднем плане картины, и всё вокруг него кажется маленьким и незначительным в сравнении с ним: и красивые здания города, и люди, жители его, погружённые в свои повседневные труды и заботы. Герой не корчится от боли, причиняемой пронзившими его стрелами, молящий взор его обращён к Богу, и в лице едва заметны следы переносимых страданий. Это могучий титан духа.

И как было художнику обойтись тут без гиперболы, если он прославляет мученические страдания героя за веру христианскую, противопоставив этот поступок святого Себастьяна будничному поведению остальных персонажей картины. А на то, что это страдания за веру и что подвиг героя не был напрасным, указывает нам обломок античной колонны у его ног — символ побеждённого язычества.

Есть в этой картине ещё и мысль о бескорыстии подвига. Обратите внимание на то, что вокруг святого нет сочувствующих и сострадающих ему, но все заняты своими делами, не обращая внимания на него. А ведь легче переносить страдания, когда рядом те, кто могут помочь, утешить, ободрить; когда знаешь, что твои страдания и жертвы оценят, не забудут, почтят. Но истинно добродетельный человек, творя добро, даже не помышляет ни о каком вознаграждении за него. И Христос учит нас творить добро тайно, а значит и бескорыстно, не выставляя напоказ своих добродетелей и не трубя о них.

В одном из своих чудных и мудрых стихотворений мысль о том, что доброе дело должно быть бескорыстным, выразил и А. С. Пушкин:

Торгуя совестью пред бледной нищетою,

Не сыпь своих даров расчётливой рукою:

Щедрота полная угодна небесам.

В день грозного суда, подобно ниве тучной,

О сеятель благополучный,

Сторицею воздаст она твоим трудам.

Но если, пожалев трудов земных стяжанье,

Вручая нищему скупое подаянье,

Сжимаешь ты свою завистливую длань,

Знай: все твои дары, подобно горсти пыльной,

Что с камня моет дождь обильный,

Исчезнут, господом отверженная дань.

Гипербола широко используется в произведениях скульптуры. Вообще почти каждое произведение скульптуры, которое мы видим на улицах городов, — это гипербола. Остановитесь у любого памятника великому человеку. Изображённый герой (государь, полководец, писатель и т. п.) намного крупнее, чем обычный человек, да ещё помещён на пьедестал, высоко вознесён над нами. Всё это указывает, что тот, кому установлен памятник, превосходил большинство людей своими талантами, характером, трудолюбием и смог больше их послужить родине и народу. Иногда скульптуру делают столь гиперболичной, что это даже трудно себе представить. Такова, например, огромная по размерам скульптура "Родина-Мать", установленная в Волгограде. Она производит впечатление непомерной мощи, какого-то сказочного величия. И огромные размеры этой скульптуры вполне оправданы: ведь она посвящена не отдельному человеку, пусть и самому гениальному и всеми любимому, а нашей героической Родине, которая в трагические минуты своей истории выдвигала из народной среды несметное количество героев, совершавших невероятные подвиги. Так что огромные размеры Родины-Матери обусловлены её идейным содержанием. Огромность монумента выражает величие страны и народа.

А возьмите знаменитую скульптуру Микеланджело "Давид". Кажется, что этого прекрасного, стройного и мужественного юношу, каким изобразил его скульптор, этого героя, патриота, освободившего от грозного врага свой народ, трудно после Микеланджело представить себе иным, как только пятиметровой высоты мраморным гигантом, готовым к бою, спокойно и твёрдо вышедшим навстречу врагу. Тут без гиперболы, без сильного преувеличения невозможно было добиться впечатления невозмутимой мощи, непобедимой и гордой силы.

Вообще трудно вообразить, как без гиперболы передать в искусстве, особенно в живописи и скульптуре, идею великого, могучего, грозного и т. д. — всего того, что намного превосходит наши привычные понятия, представления и возможности.

В геометрии большинство задач можно решить при помощи логических рассуждений. А там, где есть графики и кривые потребуется еще и скрупулезность. В этой статье рассмотрим часто встречающуюся кривую — гиперболу.

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие гиперболы

Каноническое уравнение гиперболы в алгебре выглядит так:

, где a и b — положительные действительные числа.

Кстати, канонический значит принятый за образец.

В отличие от эллипса, здесь не соблюдается условие a > b, значит а может быть меньше b. А если a = b, то гипербола будет равносторонней.

Мы помним, что гипербола в математике выглядит так y = 1/x, что значительно отличается от канонической записи.

Вспомним особенности математической гиперболы:
- Две симметричные ветви.
- Две асимптоты. Асимптота — это прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в бесконечность. Их значение помогает найти специальное уравнение асимптот гиперболы.
Если гипербола задана каноническим уравнением, то асимптоты можно найти так:

Пример 1. Построить гиперболу, которая задана уравнением 5(x^2) - 4(y^2) = 20.
Можно было сделать проще и дроби левой части 5(x^2)/20 - 4(y^2)/20 = 1 сразу сократить и получить (x^2)/4 - (y^2)/5 = 1. Нам повезло с примером, потому что число 20 делится и на 4 и на 5. Рассмотрим пример посложнее.

Если y = 0, то каноническое уравнение (x^2)/(a^2) - (y^2)/(b^2) = 1 превращается в (x^2)/(a^2) = 1, из чего следует, что x^2 = a^2 -> x = a, x = -a.

Данная гипербола имеет вершины A1(2; 0), A2(-2; 0).

В каноническом положении гипербола симметрична относительно начала координат и обеих координатных осей, поэтому вычисления достаточно провести для одной координатной четверти.

Способ такой же, как при построении эллипса. Из полученного канонического уравнения

на черновике выражаем:

Уравнение распадается на две функции:

— определяет верхние дуги гиперболы (то, что ищем);

— определяет нижние дуги гиперболы.

Далее найдем точки с абсциссами x = 3, x = 4:

Может возникнуть техническая трудность с иррациональным угловым коэффициентом √5/2 ≈ 1,12, но это вполне преодолимая проблема.

Действительная ось гиперболы — отрезок А1А2.

Расстояние между вершинами — длина |A1A2| = 2a.

Действительная полуось гиперболы — число a = |OA1| = |OA2|.

Мнимая полуось гиперболы — число b.

В нашем примере: а = 2, b = √5, |А1А2| = 4. И если такую гиперболу повернуть вокруг центра симметрии или переместить, то значения не изменятся.

Форма гиперболы

Повторим основные термины и узнаем, какие у гиперболы бывают формы.

Гипербола симметрична относительно точки О — середины отрезка F’F. Она также симметрична относительно прямой F’F и прямой Y’Y, проведенной через О перпендикулярно F’F. Точка О — это центр гиперболы.

Прямая F’F пересекает гиперболу в двух точках: A (a; 0) и A’ (-a; 0). Эти точки — вершины гиперболы. Отрезок А’А = 2a — это действительная ось гиперболы.

Несмотря на то, что прямая Y’Y не пересекает гиперболу, на ней принято откладывать отрезки B’O = OB = b. Такой отрезок B’B = 2b (также и прямую Y’Y) можно назвать мнимой осью гиперболы.

Так как AB^2 = OA^2 + OB^2 = a^2 + b^2, то из равенства следует: AB = c, то есть расстояние от вершины гиперболы до конца мнимой оси равно полуфокусному расстоянию.

Мнимая ось 2b может быть больше, меньше или равна действительной оси 2а. Если действительная и мнимая оси равны (a = b) — это равносторонняя гипербола.

Отношение F’F/А’А фокусного расстояния к действительной оси называется эксцентриситетом гиперболы и обозначается e. Эксцентриситет равносторонней гиперболы равен √2.

Гипербола лежит целиком вне полосы, ограниченной прямыми PQ и RS, параллельными Y’Y и отстоящими от Y’Y на расстояние OA =A’O = a. Вправо и влево от этой полосы гипербола продолжается неограниченно.

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.

Фокальное свойство гиперболы

Точки F1 и F2 называют фокусами гиперболы, расстояние 2c = F1F2 между ними — фокусным расстоянием, середина O отрезка F1F2 — центром гиперболы, число 2а — длиной действительной оси гиперболы (соответственно, а — действительной полуосью гиперболы).

Отрезки F1M и F2M, которые соединяют произвольную точку M гиперболы с ее фокусами, называются фокальными радиусами точки M. Отрезок, соединяющий две точки гиперболы, называется хордой гиперболы.

Отношение e = a/c, где c = √(a^2 + b^2), называется эксцентриситетом гиперболы. Из определения (2a 1 .

Геометрическое определение гиперболы, которое выражает ее фокальное свойство, аналогично ее аналитическому определению — линии, которая задана каноническим уравнением гиперболы:

Рассмотрим, как это выглядит на прямоугольной системе координат:
- пусть центр O гиперболы будет началом системы координат;
- прямую, которая проходит через фокусы (фокальную ось), примем за ось абсцисс (положительное направление на ней от точки F1 к точке F2);
- прямую, перпендикулярную оси абсцисс и проходящую через центр гиперболы, примем за ось ординат (направление на оси ординат выбирается так, чтобы прямоугольная система координат Oxy оказалась правой).
Воспользуемся геометрическим определением и составим уравнение гиперболы, которое выразит фокальное свойство. В выбранной системе координат определяем координаты фокусов F1(-c, 0) и F2(c, 0). Для произвольной точки M(x, y), принадлежащей параболе, имеем:

Запишем это уравнение в координатной форме:

Избавимся от иррациональности и придем к каноническому уравнению гиперболы:

, т.е. выбранная система координат является канонической.

Если рассуждать в обратном порядке, можно убедиться, что все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (x^2)/(a^2) - (y^2)/(b^2) = 1, и только они, принадлежат геометрическому месту точек, называемому гиперболой. Именно поэтому аналитическое определение гиперболы эквивалентно его геометрическому определению.

Директориальное свойство гиперболы

Директрисы гиперболы — это две прямые, которые проходят параллельно оси.

ординат канонической системы координат на одинаковом расстоянии (a^2)/c от нее. Если а = 0, гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых, и директрисы совпадают.

Директориальное свойство гиперболы звучит так:

Гиперболу с эксцентриситетом e = 1 можно определить, как геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния до заданной точки F (фокуса) к расстоянию до заданной прямой d (директрисы), не проходящей через заданную точку, постоянно и равно эксцентриситету e.

Здесь F и d — один из фокусов гиперболы и одна из ее директрис, расположенные по одну сторону от оси ординат канонической системы координат.

На самом деле для фокуса F2 и директрисы d2 условие

можно записать в координатной форме так:

Избавляясь от иррациональности и заменяя e = a/c, c^2 - a^2 = b^2, мы придем к каноническому уравнению гиперболы. Аналогичные рассуждения можно провести для фокуса F1 и директрисы d1:

Построение гиперболы

Чтобы запомнить алгоритм построения гиперболы, рассмотрим чертёж и комментарии к нему.

Построим основной прямоугольник гиперболы и проведем его диагонали. Если продолжим диагонали прямоугольника за его пределы, получим асимптоты гиперболы.

В силу симметрии достаточно построить гиперболу в первой четверти, где она является графиком функции:

Важно учесть, что данная функция возрастает на промежутке [a; ∞], при x = a, y = 0 и ее график приближается снизу к асимптоте y = (b/a) * x. Рисуем график:

Далее построенный в первой четверти график симметрично отображаем относительно оси Ох и получаем правую ветвь гиперболы. Теперь отобразим правую ветвь гиперболы относительно оси Оу.

По определению эксцентриситет гиперболы равен

Зафиксируем действительную ось 2а и начнем изменять фокусное расстояние 2с.

Так как b^2 = c^2 - a^2, то величина b изменится.

При этом ε -> 1, b -> 0 и мнимые вершины B1, B2 стремятся к началу координат, асимптоты приближаются к оси Ох. Основной прямоугольник гиперболы выражается в пределе в отрезок A1A2, а сама гипербола выражается в два луча на оси абсцисс: (-∞; -a] и [a; ∞).

При этом ε -> ∞, b -> ∞ и мнимые вершины B1B2 стремятся к бесконечности, асимптоты приближаются к оси Оу. Основной прямоугольник гиперболы вытягивается вдоль оси ординат и ветви гиперболы приближаются к прямым x = +-a и в пределе сливаются с ними. Гипербола выражается в две прямые x = +-a, которые параллельны оси Оу.

При этом ε -> ∞, b -> ∞ и мнимые вершины B1B2 стремятся к бесконечности, асимптоты приближаются к оси Оу. Основной прямоугольник гиперболы вытягивается вдоль оси ординат и ветви гиперболы приближаются к прямым x = +-a и в пределе сливаются с ними. Гипербола выражается в две прямые x = +-a, которые параллельны оси Оу.

Равносторонняя гипербола это такая гипербола, у которой эксцентриситет равен √2. Ее еще называют равнобочной.

Из определения следует, что в равносторонняя гиперболе a = b, поэтому ее каноническое уравнение выглядит так: x^2 - y^2 = a^2

Действительно, ε = c/a = √2, откуда c^2 = 2a^2 и b^2 = c^2 - a^2 = a^2. И так как а и b положительные числа, получаем a = b.

Читайте также: