Реферат на тему гармонический осциллятор
Обновлено: 02.07.2024
Эта статья о гармоническом осцилляторе в классической механике. Для его использования в квантовой механике см квантовый гармонический осциллятор .
В классической механике , А гармонический осциллятор представляет собой система , которая, при смещении из его равновесного положения, испытывает восстанавливающую силу F , пропорциональную смещению х :
где k - положительная постоянная .
Если F - единственная сила, действующая на систему, система называется простым гармоническим осциллятором , и она совершает простое гармоническое движение : синусоидальные колебания около точки равновесия с постоянной амплитудой и постоянной частотой (которая не зависит от амплитуды ).
Если также присутствует сила трения ( демпфирование ), пропорциональная скорости , гармонический осциллятор описывается как затухающий осциллятор . В зависимости от коэффициента трения система может:
- Колебаться с частотой ниже, чем в незатухающем случае, и с уменьшающейся со временем амплитудой ( недемпфированный осциллятор).
- Распад в положение равновесия без колебаний ( передемпфированный осциллятор).
Граничное решение между осциллятором с недостаточным демпфированием и осциллятором с избыточным демпфированием возникает при определенном значении коэффициента трения и называется критически демпфированным .
Если присутствует внешняя сила, зависящая от времени, гармонический осциллятор описывается как управляемый осциллятор .
Примеры механики включают маятники (с небольшими углами смещения ), массы, связанные с пружинами , и акустические системы . Другие аналогичные системы включают в себя генераторы электрических гармоник, такие как цепи RLC . Модель гармонического осциллятора очень важна в физике, потому что любая масса, подверженная действию силы в устойчивом равновесии, действует как гармонический осциллятор для малых колебаний. Гармонические генераторы широко распространены в природе и используются во многих искусственных устройствах, таких как часы и радиосхемы. Они являются источником практически всех синусоидальных колебаний и волн.
Содержание
Простой гармонический осциллятор - это осциллятор, который не управляется и не затухает . Он состоит из массы m , на которую действует единственная сила F , которая тянет массу в направлении точки x = 0 и зависит только от положения x массы и константы k . Баланс сил ( второй закон Ньютона ) для системы равен
F знак равно м а знак равно м d 2 Икс d т 2 знак равно м Икс ¨ знак равно - k Икс . ^ x> t ^ >> = m > = - kx.>
Решая это дифференциальное уравнение , находим, что движение описывается функцией
Движение периодическое , повторяется в синусоидальном моде с постоянной амплитудой A . Помимо амплитуды, движение простого гармонического осциллятора характеризуется периодом , временем одиночного колебания или его частотой , числом циклов в единицу времени. Положение в данный момент времени t также зависит от фазы φ , которая определяет начальную точку синусоидальной волны. Период и частота определяются размером массы m и силовой постоянной k , а амплитуда и фаза определяются исходным положением и скоростью . Т знак равно 2 π / ω ж знак равно 1 / Т
Скорость и ускорение простого гармонического осциллятора колеблются с той же частотой, что и положение, но со сдвинутыми фазами. Скорость максимальна при нулевом смещении, а ускорение - в направлении, противоположном смещению.
Потенциальная энергия, запасенная в простом гармоническом осцилляторе в позиции x, равна
"> Воспроизвести медиа
Видеоклип, демонстрирующий затухающий гармонический осциллятор, состоящий из динамической тележки между двумя пружинами. Акселерометр на верхней части тележки показывает величину и направление ускорения.
В реальных осцилляторах трение или демпфирование замедляет движение системы. Из-за силы трения скорость уменьшается пропорционально действующей силе трения. В то время как в простом неприводном гармоническом осцилляторе единственной силой, действующей на массу, является возвращающая сила, в затухающем гармоническом осцилляторе дополнительно присутствует сила трения, которая всегда направлена против движения. Во многих вибрирующих системах сила трения F f может быть смоделирована как пропорциональная скорости v объекта: F f = - cv , где c называется коэффициентом вязкого демпфирования .
Тогда баланс сил ( второй закон Ньютона ) для затухающих гармонических осцилляторов равен
который можно переписать в виде
Переходная характеристика затухающего гармонического осциллятора; кривые построены для трех значений μ = ω 1 = ω 0 √ 1 - ζ 2 . Время в единицах времени затухания τ = 1 / ( ζω 0 ) .
Значение коэффициента демпфирования ζ критически определяет поведение системы. Затухающий гармонический осциллятор может быть:
- Сверхдемпфирование ( ζ > 1): система возвращается ( экспоненциально затухает ) в устойчивое состояние без колебаний. Большие значения коэффициента демпфирования ζ возвращаются к равновесию медленнее.
- Критическое демпфирование ( ζ = 1): система возвращается в установившееся состояние как можно быстрее без колебаний (хотя может произойти выброс, если начальная скорость отлична от нуля). Это часто требуется для демпфирования таких систем, как двери.
- Недемпфирование ( ζУгловая частота от underdamped гармонического осциллятора задаются в экспоненциальном затухании от underdamped гармонического осциллятора задается ω 1 = ω 0 1 − ζ 2 , =\omega _>>,> λ = ω 0 ζ . <\displaystyle \lambda =\omega _\zeta .>
Коэффициент добротности затухающего осциллятора определяется как
Q связано с коэффициентом демпфирования уравнением Q = 1 2 ζ . >.>
Управляемые гармонические генераторы - это демпфированные генераторы, на которые дополнительно действует приложенная извне сила F ( t ).
Обычно его переписывают в виде
Это уравнение может быть решено точно для любой движущей силы, используя решения z ( t ), которые удовлетворяют невынужденному уравнению
и которые можно выразить как затухающие синусоидальные колебания:
в случае, когда ζ ≤ 1. Амплитуда A и фаза φ определяют поведение, необходимое для согласования начальных условий.
В случае ζ x (0) = 0:
с фазой φ, задаваемой формулой
Время, необходимое осциллятору для адаптации к изменившимся внешним условиям, составляет порядка τ = 1 / ( ζω 0 ). В физике адаптация называется релаксацией , а τ - временем релаксации.
Установившееся изменение амплитуды с относительной частотой и затуханием управляемого простого гармонического осциллятора . Этот график также называют спектром гармонического осциллятора или спектром движения. ω / ω 0 > ζ
В случае синусоидальной движущей силы:
где - амплитуда возбуждения, а - частота возбуждения для механизма возбуждения синусоидальной формы. Этот тип системы появляется в цепях RLC, управляемых переменным током ( резистор - индуктор - конденсатор ) и системах с управляемыми пружинами, имеющими внутреннее механическое сопротивление или внешнее сопротивление воздуха . F 0 > ω
Общее решение представляет собой сумму переходного решения, которое зависит от начальных условий, и установившегося состояния, которое не зависит от начальных условий и зависит только от амплитуды возбуждения , частоты возбуждения, незатухающей угловой частоты и коэффициента демпфирования . F 0 > ω ω 0 > ζ
Стационарное решение пропорционально движущей силе с индуцированным изменением фазы : φ
- фаза колебаний относительно движущей силы. Значение фазы обычно принимается от -180 ° до 0 (то есть оно представляет собой фазовое отставание как для положительных, так и для отрицательных значений аргумента arctan).
Для определенной частоты возбуждения , называемой резонансом , или резонансной частотой , амплитуда (для данного ) является максимальной. Этот резонансный эффект возникает только тогда , когда , то есть для систем со значительно слабым демпфированием. Для систем с сильным демпфированием значение амплитуды может стать довольно большим вблизи резонансной частоты. ω r = ω 0 1 − 2 ζ 2 =\omega _>>> F 0 <\displaystyle F_> ζ 1 / 2
Переходные решения такие же, как и для незатухающего гармонического осциллятора с принудительным затуханием ( ), и представляют реакцию системы на другие события, которые произошли ранее. Переходные решения обычно умирают достаточно быстро, чтобы их можно было игнорировать. F 0 = 0 =0>
Параметрические генераторы были разработаны как малошумящие усилители, особенно в радио- и микроволновом диапазоне частот. Тепловой шум минимален, так как изменяется реактивное сопротивление (не сопротивление). Другое распространенное использование - преобразование частоты, например преобразование аудио в радиочастоты. Например, оптический параметрический генератор преобразует входную лазерную волну в две выходные волны более низкой частоты ( ). ω s , ω i ,\omega _>
Параметрический резонанс возникает в механической системе, когда система параметрически возбуждается и колеблется на одной из своих резонансных частот. Параметрическое возбуждение отличается от принуждения, поскольку действие проявляется как изменяющееся во времени изменение системного параметра. Этот эффект отличается от обычного резонанса тем, что демонстрирует явление нестабильности .
известно как уравнение универсального осциллятора , поскольку все линейные колебательные системы второго порядка могут быть приведены к этой форме. [ необходима цитата ] Это делается посредством обезразмеривания .
Если вынуждающая функция равна f ( t ) = cos ( ωt ) = cos ( ωt c τ ) = cos ( ωτ ), где ω = ωt c , уравнение принимает вид
Решение, основанное на решении обыкновенного дифференциального уравнения , для произвольных постоянных c 1 и c 2
Переходное решение не зависит от функции принуждения.
Предположим, что решение имеет вид
Его производные от нулевого до второго порядка равны
Подставляя эти величины в дифференциальное уравнение, получаем
Деление на экспоненциальный член слева дает
Приравнивание действительной и мнимой частей приводит к двум независимым уравнениям
Возведение обоих уравнений в квадрат и их сложение дает
Чтобы решить для φ , разделите оба уравнения, чтобы получить
Эта фазовая функция особенно важна для анализа и понимания частотной характеристики систем второго порядка.
Объединение амплитудной и фазовой частей приводит к стационарному решению.
Решение исходного уравнения универсального осциллятора представляет собой суперпозицию (сумму) переходного и установившегося решений:
Для более полного описания того, как решить вышеуказанное уравнение, см. Линейные ОДУ с постоянными коэффициентами .
Гармонические осцилляторы, встречающиеся в ряде областей техники, эквивалентны в том смысле, что их математические модели идентичны (см. Уравнение универсального осциллятора выше). Ниже приведена таблица, в которой показаны аналогичные величины в системах с четырьмя гармоническими осцилляторами в механике и электронике. Если аналогичные параметры в одной строке таблицы имеют равные численные значения, поведение осцилляторов - их форма выходного сигнала, резонансная частота, коэффициент затухания и т. Д. - одинаковы.
| Трансляционная механика | Вращательный механический | Последовательная цепь RLC | Параллельная цепь RLC |
|---|---|---|---|
| Позиция x | Угол θ | Обвинять q | Потоковая связь φ |
| Скорость d x d t x> <\mathrm | Угловая скорость d θ d t \theta > <\mathrm | Текущий d q d t q> <\mathrm | Напряжение d φ d t \varphi > <\mathrm |
| Масса m | Момент инерции I | Индуктивность L | Емкость C |
| Импульс p | Угловой момент L | Потоковая связь φ | Обвинять q |
| Постоянная пружины k | Постоянная кручения μ | Эластичность 1 / C | Магнитное сопротивление 1 / L |
| Демпфирование c | Вращательное трение Γ | Сопротивление R | Проводимость G = 1 / R |
| Движущая сила F ( t ) | Крутящий момент привода τ ( t ) | Напряжение e | Текущий i |
| Незатухающая резонансная частота : f n > | |||
| 1 2 π k m <2\pi >>>>> | 1 2 π μ I <2\pi >>>>> | 1 2 π 1 L C <2\pi >>>>> | 1 2 π 1 L C <2\pi >>>>> |
| Коэффициент демпфирования : ζ | |||
| c 2 1 k m >>>> | Γ 2 1 I μ > | R 2 C L >>>> | G 2 L C ><\sqrt <\frac >>> |
| Дифференциальное уравнение: | |||
| m x ¨ + c x ˙ + k x = F >+c>+kx=F> | I θ ¨ + Γ θ ˙ + μ θ = τ >+\Gamma >+\mu \theta =\tau > | L q ¨ + R q ˙ + q / C = e >+R>+q/C=e> | C φ ¨ + G φ ˙ + φ / L = i >+G>+\varphi /L=i> |
Проблема простого гармонического осциллятора часто возникает в физике, потому что масса в состоянии равновесия под действием любой консервативной силы в пределе малых движений ведет себя как простой гармонический осциллятор.
Консервативная сила - это сила, связанная с потенциальной энергией . Функция потенциальной энергии гармонического осциллятора равна
Для произвольной функции потенциальной энергии можно выполнить разложение Тейлора в терминах минимума энергии ( ), чтобы смоделировать поведение малых возмущений от состояния равновесия. V ( x ) x x = x 0 >
Поскольку это минимум, первая производная должна быть равна нулю, поэтому линейный член выпадает: V ( x 0 ) )> x 0 >
Термин константы V ( х 0 ) является произвольной и , следовательно , может быть отброшена, и преобразование координат позволяет форма простого гармонического осциллятора должны быть получена:
Таким образом, имея произвольную функцию потенциальной энергии с ненулевой второй производной, можно использовать решение простого гармонического осциллятора, чтобы обеспечить приближенное решение для малых возмущений вокруг точки равновесия. V ( x )
Простой маятник имеет приблизительно простое гармоническое движение в условиях не демпфирующей и малой амплитуды.
В предположении отсутствия демпфирования дифференциальное уравнение, описывающее простой маятник длиной , где - локальное ускорение свободного падения , имеет вид l g
Если максимальное смещение маятника мало, мы можем использовать приближение и вместо этого рассматривать уравнение sin θ ≈ θ
Общее решение этого дифференциального уравнения:
где - наибольший угол, достигаемый маятником (т. е. амплитуда маятника). Период , время одного полного колебания, дается выражением θ 0 > θ 0 >
что является хорошим приближением к фактическому периоду, когда он мал. Обратите внимание, что в этом приближении период не зависит от амплитуды . В приведенном выше уравнении представляет собой угловую частоту. θ 0 > τ θ 0 > ω
Когда пружина растягивается или сжимается массой, пружина развивает возвращающую силу. Закон Гука дает соотношение силы, прилагаемой пружиной, когда пружина сжимается или растягивается на определенную длину:
где F - сила, k - жесткость пружины, а x - смещение массы относительно положения равновесия. Знак минус в уравнении указывает, что сила, прилагаемая пружиной, всегда действует в направлении, противоположном смещению (т. Е. Сила всегда действует в направлении нулевого положения), и, таким образом, предотвращает улетание массы на бесконечность.
Используя баланс сил или метод энергии, легко показать, что движение этой системы задается следующим дифференциальным уравнением:
Если начальное смещение равно A , а начальная скорость отсутствует, решение этого уравнения дается формулой
Дана идеальная безмассовая пружина - это масса на конце пружины. Если сама пружина имеет массу, ее эффективная масса должна быть включена . m m
Что касается энергии, все системы имеют два типа энергии: потенциальную энергию и кинетическую энергию . Когда пружина растягивается или сжимается, она накапливает упругую потенциальную энергию, которая затем преобразуется в кинетическую энергию. Потенциальная энергия пружины определяется уравнением U = k x 2 / 2. /2.>
Когда пружина растягивается или сжимается, кинетическая энергия массы преобразуется в потенциальную энергию пружины. По закону сохранения энергии, если исходная точка задана в положении равновесия, когда пружина достигает своей максимальной потенциальной энергии, кинетическая энергия массы равна нулю. Когда пружина отпускается, она пытается вернуться в состояние равновесия, и вся ее потенциальная энергия преобразуется в кинетическую энергию массы.
Вернемся теперь к основному состоянию. Наличие энергии нулевых колебаний связано с неуничтожимостью движения. Это принципиально отражено в соотношении неопределенностей Гейзенберга. В самом деле, если бы в основном состоянии осциллятора его энергия была бы равна нулю, то это означало бы, что частица покоится, т. е. ее импульс равен нулю. Но тогда одновременно можно было бы точно определить также… Читать ещё >
Линейный гармонический осциллятор ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )
Модель линейного гармонического осциллятора играет особую роль в физике. На ее основе объясняют многие явления механики, электромагнетизма, оптики и т. д. Известно, что электромагнитное поле в вакууме может быть представлено как совокупность бесконечного числа осцилляторов. С помощью модели гармонического осциллятора и гипотезы о квантованных значениях его энергии Макс Планк в 1900 г. вывел закон распределения энергии в спектре абсолютно черного тела, который объяснил все экспериментальные факты равновесного излучения. Согласно гипотезе Планка квантовый осциллятор характеризуется дискретным набором значений энергии: = лЛо), где л=0, 1, 2,…
Рассмотрим задачу об одномерном осцилляторе с помощью уравнения Шредингера (2.18). Колебания осциллятора происходят под действием квазиупругой силы. При достаточно малых отклонениях х от положения равновесия х = 0 колебания являются гармоническими, так что потенциальная энергия колебаний изменяется по параболическому закону (рис. 2.13) и равна:
При больших отклонениях формула (2.71) теряет силу, так как в этом случае становятся существенными эффекты ангармонизма. Модельный характер рассматриваемой задачи состоит в том, что этими эффектами пренебрегают. Согласно (2.71), значения х могут быть бесконечно большими. Это значит, что для волновой функции необходимо выбирать естественное граничное условие:
" d 2 ‘ф Обозначая ф =—f и вводя также обозначения: dx
запишем уравнение Шредингера (2.18) с потенциальной энергией (2.71) в виде:
Решение этого уравнения, удовлетворяющее условию (2.72), ищут в виде:
где функцию fix) необходимо найти. Предполагаемый вид волновой функции (2.75) диктуется характером ее асимптотического поведения, вытекающего из (2.74), при больших значениях аргумента. Подставляя (2.75) в (2.74), получаем уравнение.
Решение уравнений такого типа ищут в виде ряда.
где as — постоянные коэффициенты.
После дифференцирования (2.77) и подстановки в (2.76) необходимо далее приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х. Так можно получить рекуррентное соотношение между коэффициентами as:
Анализ сходимости бесконечного ряда (2.77) с коэффициентами.
- (2.78) показывает, что этот ряд расходится, т. е. растет быстрее, чем exp (ax 2 /2). Это значит, что волновая функция (2.75) также расходится, т. е. принимает бесконечно большие значения при х—> ±оо. Но это противоречит естественному граничному условию. Для существования волновой функции, убывающей при бесконечно больших значениях ее аргумента, необходимо потребовать, чтобы функция f (x) в (2.77) представляла собой не бесконечный ряд, а полином некоторой конечной степени п. Тогда функция (2.75) будет убывать при х—>±оо, так как экспоненциальный множитель убывает быстрее, чем возрастает полином любой степени. Таким образом, допустим, что ряд (2.77) является полиномом степени п. В этом случае отличны от нуля коэффициенты а0, а19…, ап, а все другие коэффициенты этого ряда a, я2,… должны обращаться в нуль. Для этого согласно
- (2.78) необходимо, чтобы выполнялось условие 2a/i-X + a = 0. Отсюда, учитывая обозначения (2.73), получаем формулу для энергетического спектра гармонического осциллятора
Необходимо подчеркнуть, что квантование энергии здесь автоматически возникает в результате требования ограниченности и естественного убывания волновой функции на бесконечности. Формула (2.79) принципиально отличается от постулированной Планком формулы для энергии осциллятора. По Планку энергия осциллятора в основном состоянии (л = 0) равна нулю. Согласно же (2.79) в основном состоянии энергия Е0 =йсо/2. Эту величину называют энергией нулевых колебании.
Значениям энергии (2.79) отвечают собственные функции.
Полиномы/"(*), удовлетворяющие уравнению (2.76), называют полиномами ЧебышеваЭрмита. Их обозначают как Hn
где Nn — постоянная нормировки. Полиномы Чебышева-Эрмита определяются формулой:
Плотность вероятности того, что квантовый осциллятор находится в п-м состоянии в интервале отд: до x + dx равна:
В качестве классического осциллятора рассмотрим математический маятник — материальную точку, колеблющуюся около положения равновесия. Вероятность пребывания этой точки вблизи некоторого положения определяется отношением времени пребывания к периоду колебаний: dV = dt/T = dx/vT, где v — скорость точки. Отсюда видно, что плотность вероятностей для классического осциллятора обратно пропорциональна его скорости:
где? = x>/a. Сопоставим классическую и квантовую плотности вероятностей, изображая w^ пунктирной кривой (рис. 2.14, 2.15). Основ;
классического осциллятора наиболее вероятно найти его на концах допустимой области, тогда как для квантового максимум вероятности приходится на середину области.
В возбужденных состояниях квантовые и классические вероятности также отличаются друг от друга (см. рис. 2.15). Однако с увеличением квантового числа п число максимумов квантовых вероят;
ностей возрастает, и в пределе очень больших значений п огибающая максимумов повторяет характер классической кривой вероятности (см. рис. 2.15, г). В этом проявляется принцип соответствия.
Вернемся теперь к основному состоянию. Наличие энергии нулевых колебаний связано с неуничтожимостью движения. Это принципиально отражено в соотношении неопределенностей Гейзенберга. В самом деле, если бы в основном состоянии осциллятора его энергия была бы равна нулю, то это означало бы, что частица покоится, т. е. ее импульс равен нулю. Но тогда одновременно можно было бы точно определить также положение частицы, что противоречит соотношению неопределенностей.
Если потенциальная энергия осциллятора отличается от (2.71), то возникают эффекты ангармонизма: U (x) = m (D 2 x 2 /2 + U. В случае, когда величина ?/, является малой, поправки к энергии осциллятора могут быть рассчитаны по теории возмущений. Если.
U =е, (х/а^ + е2 (х/д) 4 , то в первом приближении первое слагаемое не вносит вклада в изменение энергии осциллятора, поскольку приводит лишь к небольшой асимметрии параболы. В то же время слагаемое е2(х/д) 4 симметрично поднимает (или опускает) обе ветви параболы, т. е. уменьшает (или увеличивает) ее ширину. Это приводит к изменению энергии осциллятора. Вычисления показывают, что в первом приближении теории возмущений энергия п-го состояния изменяется на величину (Зе2/4)(2л 2 + 2л+ l).
1. Показать, что дисперсии координаты и импульса осциллятора в основном состоянии удовлетворяют соотношению неопределенностей (1.98).
Решение. Волновая функция основного состояния равна: |>0(д;)= (а/я) ,/4 ехр (-ах 2 /2). По определению средних величин:
2. В модели классического гармонического осциллятора показать, что нулевым колебаниям соответствует минимальная энергия, допускаемая соотношением неопределенностей. 2 22.
Решение. Энергия осциллятора Е = ^ х . В классическом случае: flcos (a)/ +.
0), p (f)= -max?sin (o>/ + (p0), Е-—-—.Средние значения за период колебаний: 3с = 0, р = 0, х 2 =^-, р 2 = т ^ а . Таким образом, -?.^А Отсюда следует Е = 4? •.
- 2 0) 2 min 2
- 3. Вычислить среднее значение потенциальной энергии осциллятора в состояниях с п = 1 и п = 2.
Решение. Используя приведенные в тексте выражения для квантовой плотности вероятностей в этих состояниях, находим для первого возбужден;
_ ос ного состояния: mw> 2 x 2 /2 = (то) 2 /2 2 (a^ 2 /yfn^J х 4 ехр-ax 2 J*fc = ЗЛо)/4 .
— оо Полная энергия осциллятора в этом состоянии ?, = Зйсо/2. Таким образом, средняя потенциальная энергия равна половине полной энергии. В следующем состоянии средняя потенциальная энергия также равна половине полной энергии Е2 = 5йо)/2. Этот результат является общим для всех состояний и означает, как и в классическом случае, что средняя энергия осциллятора делится поровну между кинетической и потенциальной (теорема вириала).
4. Используя соотношение (2.57), оценить энергетический спектр осциллятора.
Решение. Характерный масштаб длины можно определить условием а (Еп^=Уп/о>, где vn — скорость осциллятора. Таким образом,.
- —- =— =?. Отсюда а" =J2EJти). Тогда из (2.57) получаем
- 2 2 п у т
Еп = Anhw, где A- const. Из принципа соответствия следует, что А = 1.
5. Показать, что ряд (2.77) с коэффициентами (2.78) растет как ехр (ах 2 ).
Решение. При s—>оо из (2.78) получаем ^±2-—>2 a/s. Рассмотрим.
+64х +. + ?,* + k.2x + … Отсюда находим: -7^ = 7−1—нт =.
3.5.1. Периодические смещения ядер молекулы относительно некоторых равновесных положений называют молекулярными колебаниями. Этот вид внутримолекулярного движения при некоторых упрощениях можно представить в виде совокупности однономерных движений, каждому из которых отвечает своя колебательная степень свободы.
3.5.2. Пространственным перемещениям центра масс молекулы отвечают 3 поступательные степени свободы. Движениям ее как целого относительно центра масс соответствуют вращательные степени свободы. Их число определяется минимально необходимым количеством плоских поворотов, требуемых для перевода молекулы в любую пространственную ориентацию относительно закрепленной системы координат, исходящей из центра масс. У молекулы с нелинейной равновесной геометрией ядерного остова таких поворотов 3 и столько же вращательных степеней свободы, а у молекул с линейной геометрией – достаточно лишь двух поворотов и вращательных степеней свободы две.
Всего же внешних механических степеней свободы, к которым относятся поступательные и вращательные, у молекул либо 6, либо 5. Если молекула содержит N -атомов, то для полного механического описания ядерных перемещений требуется 3N степеней свободы и на долю колебательных остается 3N-6 у нелинейных молекул и 3 N -5 у линейных.
3.5.3. Простейшая, очень эффективная модель молекулярного одномерного коле бания описывает колебание гармоническое, называемое линейным вибратором или линейным осциллятором . Для простоты, далее везде будем называть его просто осциллятором, за исключением специально оговариваемых ситуаций.
Из элементарной физики известно, что гармонические колебания классической системы порождаются упругой силой, линейно зависящей от смещения колеблющейся массы относительно равновесного положения, т.е. (сила Гука). Потенциальная энергия упругих сил квадратично зависит от смещения:
Напомним также, что константа упругости k связана с колеблющейся приведенной массой μ и собственной круговой частотой ω формулой
так что потенциальная энергия имеет вид:
3.5.4. Решение уравнение Шредингера для гармонического осциллятора довольно сложно и требует специальных сведений из теории дифференциальных уравнений, хотя при этом не добавляется качественно новой информации по сравнению с задачами “ящика” и “ротатора”. Возможен иной, значительно более простой путь расчета уровней и волновых функций осциллятора, основанный на использовании только элементов алгебры операторов. Этот путь основан на совместном анализе уравнения Шредингера (колебательного гамильтониана) и коммутационного соотношения Гейзенберга (3.67). При этом мы получаем возможность как бы “пересчитывать” уровни и состояния, “перемещаясь” по их лесенке, с помощью специально вводимых операторов сдвига уровней-состояний.
3.5.5. Итак, рассмотрим систему операторных выражений, а именно:
коммутационное соотношение . (3.73а)
Введем подстановки, не влияющие на смысл формул, а лишь изменяю-щие “масштабы” переменных
Умножая выражение (3.73) на 2 μ , а (3.73а) на μω и используя подста-новки (3.74), можно упростить формулы (3.73) и (3.73а)
и для любого из дискретных уровней с номером υ уравнение Шредингера при-обретает вид:
3.5.6. Гамильтониан (3.75) представлен в виде суммы квадратов двух операторов и , связанных коммутационным соотношением (3.76). Используя схему алгебры комплексных чисел (см. раздел 1.3.2 .), попытаемся разложить гамильтониан (3.75) на сомножители, содержащие только первые степени составляющих его операторов
3.5.7. Произведения комплексных чисел коммутативны, поэтому безразличен порядок записи комплексно-сопряженных сомножителей:
( a + ib ) ( a - ib ) = ( a - ib ) ( a + ib ) = C·C* =|C| 2 . (3.80)
Так как операторы не обладают свойством коммутативности следует ожидать, что операторные произведения и различны и не равны гамильтониану, поэтому требуется исследовать их связь с гамильтонианом. При этом следует помнить, что в силу линейности операторов, слагаемые операторных сумм можно переставлять, а отдельные группы сомножителей можно объединять, так как операторные произведения обладают свойством ассоциативности.
Таким образом, произведения операторов и отличаются от гамильтониана на постоянную величину соответственно.
Подставим найденные в (3.81) и (3.82) выражения гамильтониана в уравнение Шредингера (3.77) и перенесем постоянные множители в правую часть полученных уравнений :
3.5.8. Для выяснения смысла операторов и еще раз подействуем первым из них на обе части уравнения (3.83), а вторым – на уравнение (3.84), т.е. домножим эти уравнения слева на и соответственно:
Подставим вместо произведений операторов ( ) и ( ) их выражения (3.82) и (3.81) и опять перенесем постоянные величины Ω в правую часть уравнений:
В итоге каждое из уравнений (3.87) и (3.88) приобрело стандартный вид уравнения Шредингера, но собственные функции в них ( ) и ( ) отличны от волновой функции исходного состояния Ψ υ , а собственные значения отличаются от исходного ε υ на постоянную величину. Функции ( ) отвечает уровень , на величину 2Ω сдвинутый вниз по отношению к уровню состояния Ψ υ , т.е. оператор произвел понижение уровня на один номер:
Аналогично оператор сдвигает номер уровня и состояния Ψ υ на еди- ницу вверх:
Функции и , полученные с помощью операторов и по формулам (3.89) и (3.90), не нормированы; но в дальнейших расчетах это несу-ественно. Состоянию отвечает уровень , а – уровень , т.е.
3.5.9. Переход к обычной энергетической шкале с использованием подста-новок (3.74б и 3.74в) дает
Согласно формуле (3.92), уровни гармонического осциллятора эквидис-тантны , и интервал между.ними равен .
3.5.10. Продолжая исследование лесенки уровней, учтем, что сверху она неограничена, но нижняя граница определена уровнем основного состояния Ψ 0 , ниже которого не существует состояний системы. Поэтому попытка подействовать оператором понижения на волновую функцию основного состояния должна дать нулевой результат, т.е. применительно к волновой функции основного уровня оператор понижения сыграет роль ее “уничтожителя” – аннигилятора:
Здесь целесообразно вернуться к переменной х . С учетом выражения для (3.80) и подстановки (3.74а) формулу (3.93) после простых преобразований приводим к дифференциальному уравнению для :
при интегрировании которого получим волновую функцию основного состояния:
Далее находим нормировочный множитель А 0 :
При раскрытии выражения (3.96) использован интеграл Пуассона:
3.5.11. Волновая функция является собственной функцией гамильто-ниана. Поэтому для расчета основного уровня достаточно подействовать по-следним на и определить собственное значение
Энергия искомого основного уровня равна . (3.99)
Последовательными сдвигами на вверх, согласно уравнению (3.92), получается вся лесенка энергетических уровней, и схема квантования энергии осциллятора передается формулой:
3.5.12. Оператор повышения позволяет получить весь спектр волновых функций из . Если υ раз подействовать оператором на , то получится с точностью до постоянного множителя. Иными словами, генератор волновой функции υ -го состояния – это оператор повышения, возведенный в степень υ :
Напомним, что любое преобразование волновой функции, в общем случае, порождает необходимость новой нормировки.
3.5.13. Обсудим вид волновых функций осциллятора. Для этого удобно произвести еще одно упрощение за счет замены переменной путем подстановки:
благодаря чему и оператор повышения , необходимый для полу-чения , примут вид:
Постоянный коэффициент в выражении (3.104) ие играет роли, так как к функции Ψ υ , генерируемой по формуле (3.105), он добавляет лишь множитель , который далее автоматически входит в состав нормировочного множителя А υ , и поэтому Ψ υ передается формулой:
Оператор представляет собой бином, составленный из степеней переменной s и оператора дифференцирования , который в свою очередь извлекает из гауссовой экспоненты степенные множители, в результате выражение (3.105) преобразуется к виду:
где – многочлен степени υ , называемый полиномом Эрмита . Нетрудно убедиться, что эти полиномы можно представить выражением, которое легко запоминается, благодаря своей симметричности:
Последовательно придавая υ значения 0, 1, 2, 3 …, читатель легко может вывести формулы полиномов Эрмита разных порядков. Для того, чтобы читатель смог проверить свои расчеты, приведем в табл.2 несколько первых полиномов Эрмита вместе с их корнями и графиками. В табл.2 также изображены графики ненормированных волновых функций
У волновых функций имеется один и тот же множитель – экспонента ; эта быстро спадающая к нулю функция при удалении от начала координат “прижимает” к оси абсцисс расходящиеся было ветви полиномов. В результате получается картина, очень напоминающая поведение волновых функции “ящика”.
Периодические смещения ядер молекулы относительно некоторых равновесных положений называют молекулярными колебаниями. Простейшая модель молекулярного одномерного колебания описывает колебание гармоническое, называемое линейным вибратором или осциллятором.
Подобные документы
Углеводы - гидраты углерода. Простейшие углеводы называют моносахаридами, а при гидролизе которых образуются две молекулы моносахаридов, называют дисахаридами. Распространенным моносахаридом является D-глюкоза. Превращение углеводов - эпимеризацией.
реферат, добавлен 03.02.2009
Гармонические и ангармонические колебания. Кривая потенциальной энергии и уровни энергии гармонического осциллятора. Колебания многоатомных молекул. Инфракрасные спектры полимеров. Схема инфракрасного двухлучевого спектрофотометра. ИК-Фурье спектрометр.
реферат, добавлен 15.11.2013
Понятие аммиакатов, их использование в химическом анализе. Характеристика и свойства азота, строение молекулы. Степени окисления азота в соединениях. Форма молекулы аммиака. Проведение эксперимента по исследованию свойств аммиакатов, меди, никеля.
курсовая работа, добавлен 02.10.2013
Уравнение Шрёдингера для простейшей схемы одноэлектронной теории. Система приближений. Базис и его свойства. Базисные функции. Эффективный гамильтониан. Простейшее упрощение молекулярного гамильтониана. Математическая схема квантовой механики по Дираку.
реферат, добавлен 31.01.2009
Электронная модель молекулы. Теория отталкивания электронных пар валентной оболочки. Реакционная способность молекул. Классификация химических реакций. Степени свободы молекулы, их вращательное движение. Описание симметрии колебаний, их взаимодействие.
презентация, добавлен 15.10.2013
Электронные термы двухатомной молекулы. Переходы между электронно-колебательно-вращательными уровнями, правила отбора. Спектр поглощения йода при увеличении спектрального разрешения. Основные типы многокристальных сборок. Таблица спектральных линий ртути.
контрольная работа, добавлен 08.07.2012
Возможности применения химической реакции в виде звуковых колебаний. Состав для покрытия автомобилей, который изменяет цвет в зависимости от скорости автомобиля. Метод упаковки-введения-распаковки молекулы ДНК без повреждения клеточной мембраны.
контрольная работа, добавлен 27.12.2010
Атомно-молекулярное учение Ломоносова о строении вещества. Молекула как наименьшая частица вещества, сохраняющая его состав и химические свойства. Современное изложение основных положений атомно-молекулярного учения. Открытие катодных лучей Круксом.
презентация, добавлен 14.04.2012
Электронная модель молекулы. Распаривание неподеленных электронных пар. Недостаток модели Косселя. Поляризация связи и индуктивная поляризация. Виды мезомерии. Количественная оценка влияния заместителей. Уравнение Гаммета. Геометрическая форма молекул.
презентация, добавлен 22.10.2013
Методика расчета молярной массы эквивалентов воды при реакции с металлическим натрием, а также с оксидом натрия. Уравнения реакций, доказывающих амфотерность гидроксида цинка. Составление молекулярного и ионно-молекулярного уравнения заданных реакций.
Читайте также: