Реферат на тему галуа

Обновлено: 02.07.2024

Эвари́ст Галуа́ (фр. Évariste Galois; 25 октября 1811, Бур-ля-Рен, О-де-Сен, Франция — 31 мая 1832, Париж, Франция) — выдающийся французский математик, основатель современной высшей алгебры. Радикальный революционер-республиканец, он был застрелен на дуэли при неоднозначных обстоятельствах в возрасте двадцати лет.

Галуа родился в Бур-ля-Рене (Bourg-la-Reine), предместье к югу от Парижа[1]. Он был вторым среди троих детей Николя-Габриэля Галуа и Аделаиды-Мари Демант [2]. Отец был убеждённым республиканцем, и когда Эваристу исполнилось 4 года, отец стал мэром города, сохранив этот пост при реставрации монархии и далее, вплоть до 1829 года[1].

В возрасте 12 лет Эварист поступил в Королевский коллеж Луи-ле-Гран. В годы учёбы Галуа стал свидетелем попытки заговора учеников, придерживающихся республиканских взглядов, против руководства колледжа из-за слухов о возможном переформировании колледжа в иезуитское училище (коим он был до этого). Такое переформирование предположительно могло упрочить позиции сторонников Людовика XVIII. Заговор был раскрыт и более ста учащихся колледжа были с позором исключены[1].

В 1828—1829 годах на Галуа обрушивается череда несчастий: Галуа дважды, с разрывом в год, проваливает экзамен в Политехническую школу (École Polytechnique). В первый раз краткость решений и отсутствие пояснений на устном экзамене привели к тому, что Галуа не был принят. Через год, на устном экзамене он оказался в той же ситуации, и в отчаянии от непонимания экзаменатора швырнул в него тряпкой. Поступление в политехническую школу было важно для него и потому, что она была центром республиканцев[1]. Следующая неудача была в том, что одобренная Коши работа в двух частях отправленная ему на рецензию, затем была утеряна Коши и не попала в Парижскую Академию на конкурс математических работ[1]. В 1829 году священник иезуит, вновь прибывший в родной город Галуа, доводит отца Эвариста до самоубийства написанием от его имени нескольких злобных памфлетов (за Николя-Габриэль Галуа закрепилась слава остроумного писателя сатирических памфлетов). Не выдержав позора отец Галуа не увидел иного выхода кроме самоубийства[1].

В 1829 году Галуа всё же удаётся поступить в Высшую нормальную школу, в которой проучился всего год и был исключён за участие в политических выступлениях республиканского направления.

1830: июльская революция во Франции. Король Карл X свергнут, но левым не удалось добиться своего — провозгласить республику, и дело закончилось заменой короля на более либерального Луи Филиппа Орлеанского.

Роковое невезение продолжается. Галуа посылает Фурье, для участия в конкурсе на приз Академии, мемуар о своих открытиях — но спустя несколько дней Фурье неожиданно умирает, так и не успев им заняться. В оставшихся после его смерти бумагах рукопись не была обнаружена. Приз получает Абель. Всё же Галуа удаётся опубликовать 3 статьи с изложением основ своей теории. Статья, посланная Пуассону, отвергнута со следующей резолюцией[3]:

Во всяком случае, мы сделали все от нас зависящее, чтобы понять доказательство г-на Галуа. Его рассуждения не обладают ни достаточной ясностью, ни достаточной полнотой для того, чтобы мы могли судить об их точности, поэтому мы не в состоянии дать о них представление в этом докладе.

Галуа продолжает участвовать в выступлениях республиканцев, ведёт себя вызывающе. Дважды был заключён в тюрьму Сент-Пелажи. Первый раз его арестовали 10 мая 1831 года. 15 июня в суде присяжных департамента Сены начался разбор дела. Благодаря стараниям адвоката Дюпона, Галуа был оправдан и без дальнейших проволочек отпущен на свободу. Второй раз Галуа просидел в Сент-Пелажи с 14 июля 1831 года до 16 марта 1832 года, когда его заболевшего перевели в больницу, помещавшуюся в доме №86 по улице Лурсин. Есть сведения, что Галуа оставался здесь еще некоторое время после того как 29 апреля кончился срок его заключения. Эта больница — его последнее известное место жительства.

Рано утром 30 мая около пруда Гласьер в Жантийи Галуа был смертельно ранен на дуэли, формально связанной с любовной интригой, хотя имеются также подозрения, что конфликт был спровоцирован роялистами. Противники стреляли друг в друга из пистолетов на расстоянии нескольких метров. Пуля попала Галуа в живот. Несколько часов спустя один из местных жителей случайно наткнулся на раненого и отвез его в больницу Кошен. Обстоятельства дуэли выяснить не удалось, неясно даже, с кем именно был поединок. В десять часов утра 31 мая 1832 года Галуа скончался. Похоронен 2 июня 1832 года на Монпарнасском кладбище. В ночь перед дуэлью Галуа подготовил новый вариант мемуара для Академии, где кратко изложил итоги своих исследований, и переслал его своему другу Огюсту Шевалье.

2. Научные достижения

За 20 лет жизни Галуа успел сделать открытия, ставящие его на уровень крупнейших математиков XIX века. Решая задачи по теории алгебраических уравнений, он заложил основы современной алгебры, вышел на такие фундаментальные понятия, как группа (Галуа первым использовал этот термин, активно изучая симметрические группы) и поле (конечные поля носят название полей Галуа).

Галуа исследовал старую проблему, решение которой с XVI века не давалось лучшим математикам: найти общее решение уравнения произвольной степени, то есть выразить его корни через коэффициенты, используя только арифметические действия и радикалы.

Работы Галуа, немногочисленные и написанные сжато, поначалу остались непоняты современниками. Огюст Шевалье и младший брат Галуа, Альфред, послали последние работы Галуа Гауссу и Якоби, но ответа не дождались[2]. Только в 1843 году открытия Галуа заинтересовали Лиувилля, который опубликовал и прокомментировал их (1846).

Открытия Галуа произвели огромное впечатление и положили начало новому направлению — теории абстрактных алгебраических структур. Следующие 20 лет Кэли и Жордан развивали и обобщали идеи Галуа, которые совершенно преобразили облик всей математики.

1. Саймон Сингх с. 201-216

2. Стиллвелл Д. Математика и её история. - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004, стр. 361-365.

3. Инфельд, Л. Эварист Галуа. Избранник богов. М.: Молодая гвардия (Жизнь замечательных людей), 1965, С. 259—260.

Эвари́ст Галуа́ (фр. Évariste Galois ; 25 октября 1811, Бур-ля-Рен, О-де-Сен, Франция — 31 мая 1832, Париж, Франция) — выдающийся французский математик, основатель современной высшей алгебры. Радикальный революционер-республиканец, он был застрелен на дуэли при неоднозначных обстоятельствах в возрасте двадцати лет.

Галуа родился в Бур-ля-Рене (Bourg-la-Reine ), предместье к югу от Парижа[1]. Он был вторым среди троих детей Николя-Габриэля Галуа и Аделаиды-Мари Демант [2]. Отец был убеждённым республиканцем, и когда Эваристу исполнилось 4 года, отец стал мэром города, сохранив этот пост при реставрации монархии и далее, вплоть до 1829 года[1].

2. Научные достижения

1. Саймон Сингх с. 201-216

2. Стиллвелл Д. Математика и её история. - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004, стр. 361-365.

3. Инфельд, Л. Эварист Галуа. Избранник богов. М.: Молодая гвардия (Жизнь замечательных людей), 1965, С. 259—260.

Краткий очерк жизни и творчества молодого французского математика Эвариста Галуа, его роль в развитии математики XIX века. Недолгая жизнь и бесславная смерть одаренного юноши. Политическая деятельность Галуа. Влияние Лежандра на формирование Галуа.

Рубрика	Математика
Вид	биография
Язык	русский
Дата добавления	03.12.2008
Размер файла	361,4 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

ЭВАРИСТ ГАЛУА (1811-1832)

ЭВАРИСТ ГАЛУА

(1811-1832)

Он прожил двадцать лет, всего пять лет из них занимался математикой. Математические работы, обессмертившие его имя, занимают чуть более 60 страниц.

Бурные июльские дни 1830 г. застали Галуа в стенах Нормальной школы. Его все более захватывает новая страсть - политика. Галуа присоединяется к набиравшей силы республиканской партии - Обществу друзей народа, недовольной политикой Луи-Филиппа. Возникает конфликт с директором школы, всеми силами противодействовавшим росту политических интересов у учащихся, и в январе 1831 г. Галуа исключают из школы. В январе 1831 г. Галуа передал в Парижскую академию наук рукопись своего исследования о решении уравнений в радикалах. Однако академия отвергла работу Галуа - слишком новы были изложенные там идеи. В это время Галуа находился в тюрьме. После освобождения уже в июле он вновь оказывается в тюрьме Сент-Пелажи после попытки организовать манифестацию 14 июля (в годовщину взятия Бастилии), на сей раз Галуа приговорен к 9 месяцам тюрьмы. За месяц до окончания срока заключения заболевшего Галуа переводят в больницу. В тюрьме он встретил свое двадцатилетие.

За пять лет до гибели Пушкина сходная смерть на дуэли унесла молодого француза -- Эвариста Галуа. Его мало кто знал. К 20 годам он успел только поступить в Высшую Нормальную школу (это педагогический университет в Париже), но был исключен оттуда в числе прочих “бунтарей” в революционном 1830 году. Казалось, что вскоре о Галуа забудут, как о многих других несостоявшихся революционерах. Но позднее выяснилось, что Галуа успел состояться как математик -- да такой, каких Франция не рождала со времен Декарта. Этот удивительно ранний восход сделал короткую биографию Эвариста Галуа в высшей степени поучительной для братьев по мысли из последующих поколений.

Вспомним, что Декарт прославил свое имя в математике одной блестящей идеей: нало придать наглядный смысл всем алгебраическим уравнениям и их решениям! Из этой идеи вырос координатный метод в геометрии. Евклидова плоскость и пространство подчинились числам, и курс элементарной геометрии превратился в один из разделов новой алгебры. Наилучший учебник по новой “аналитической” геометрии написал в 1794 году безработный академик Адриен Лежандр для студентов Высшей Нормальной школы.

Дело в том, что годом раньше французские революционеры распустили Парижскую Академию Наук, как безнадежно монархическое учреждение. Но после свержения Робеспьера самые здравомыслящие из революционеров поняли, что народное просвещение отменить нельзя. Кто-то должен учить будущих учителей -- и вот для них была открыта Высшая Нормальная школа. Адриен Лежандр стал одним из первых ее профессоров. До рождения Эвариста Галуа оставалось 16 лет.

Следующий рывок вперед сделал через два года молодой Карл Гаусс. Он перевел привычную технику геометрических построений на новый язык алгебраических действий с комплексными числами. Оказалось, что суть дела -- в комплексных корнях разных многочленов. Добраться до такого корня с помощью линейки и циркуля можно лишь в том случае, если он достижим посредством цепочки квадратных уравнений. Поэтому, например, правильный 7-угольник нельзя построить в рамках “греческой” геометрии. Но в рамках алгебры он вполне доступен: его вершины суть комплексные корни уравнения Х.. -- 1 = 0.

Достигнув этого рубежа, Гаусс остановился, не задавая следующий вопрос: какие задачи остаются неразрешимыми в рамках алгебры комплексных чисел? Например, всякое ли уравнение-многочлен разрешимо в радикалах -- то есть, можно ли добраться до его корней с помощью арифметических действий и извлечения корня? Или: всякая ли точка на числовой оси является корнем многочлена с целыми коэффициентами? Оба эти вопроса очевидны, важны и интересны -- но Гаусс уже исчерпал свой порыв в этой области, и для новых подвигов понадобились новые богатыри.

Первый из них -- норвежец Нильс Абель -- заявил о себе в 1824 году (когда Эварист Галуа был уже школьником). Абелю удалось доказать, что большинство уравнений-многочленов степени, большей 4, НЕ РАЗРЕШИМО в радикалах. Значит, итальянцы Кардано и Феррари, решив в 16 веке уравнения степеней 3 и 4, достигли предела в этой области -- хотя сами не подозревали о таком чуде. Следующий вопрос возник сам собою: как узнать по виду уравнения, разрешимо ли оно в радикалах? Абель начал заниматься этой проблемой -- но не успел достичь цели, ибо умер от воспаления легких в 1829 году. Через год Парижская Академия Наук присудила Абелю посмертную премию за его открытия. В том же году Эварист Галуа вышел на передний край математической науки.

Его взлет начался в 16 лет, когда в руки школьнику попал учебник геометрии Лежандра. Эварист прочел эту книгу взахлеб, как роман -- за двое суток. Он был потрясен: вот как рассуждают творцы современной математики! И он все это понимает; значит, он тоже может и должен делать математические открытия! Надо раздобыть другие книги Лежандра, чтобы узнать: что в математике уже сделано, а какие задачи остались на его долю?

Сказано -- сделано: в руках Галуа оказался солидный двухтомник “Теория чисел”, где Лежандр изложил открытия Гаусса, наряду со своими находками. Тут Галуа вновь ощутил восхитительный резонанс рассуждений автора со своими мыслями и понял, чего ему хочется больше всего. Надо понять самому и объяснить другим, почему уравнения высших степеней не решаются в радикалах!

Гаусс изобрел в этой области замечательную конструкцию. Можно присоединить к полю коэффициентов многочлена его корни, и получить новое поле -- расширение прежнего поля. Эту процедуру можно повторять много раз; в итоге возникает нечто вроде растущего кристалла, оси и грани которого обладают особой симметрией. И возможно, что от этой симметрии зависит разрешимость исходного уравнения!

Такова была дерзкая догадка Галуа; она оказалась верна, поэтому автора считают гением. Но не только поэтому! Еще важнее то, что Галуа сумел довести свою гипотезу до строгой теоремы. Для этого ему пришлось создать первую математическую теорию произвольных симметрий -- так называемую Теорию Групп.

Именно Галуа ввел в науку такие понятия, как группа и подгруппа, изоморфизм и гомоморфизм групп. Он заметил, что ядро гомомоморфизма (то есть, прообраз единицы в группе) не может быть какой угодно подгруппой. Это должна быть НОРМАЛЬНАЯ подгруппа, переходящая сама в себя при внутренних изоморфизмах группы. Только при этом условии факторизация группы по ее подгруппе порождает новую группу, -- иначе получается обычное множество, без алгебраических операций среди его элементов.

Если мы хотим, чтобы все элементы большого поля F получались из элементов меньшего поля F1 с помощью арифметических действий и извлечения корней, то факторгруппа симметрий поля F по симметриям поля F1 должна не только существовать, но и быть ЦИКЛИЧЕСКОЙ. При этом группа всех симметрий поля F разложится в конечную цепочку нормальных подгрупп с циклическими факторгруппами. Таким свойством обладают группы перестановок 2, 3 или 4 символов. Поэтому все корни многочленов этих степеней выражаются через коэффициенты многочленов с помощью радикальных формул. Напротив, группы перестановок 5 или большего числа символов НЕ ИМЕЮТ цепочки подгрупп с циклическими факторгруппами. Оттого соответствующие уравнения не разрешимы в радикалах.

Такова суть теории Галуа, созданной им в 19 лет. Даже в наши дни она выглядит сложно, для неподготовленного человека. Каково же было современникам Галуа -- даже самым маститым академикам? Не удивительно, что при жизни Галуа (а жить ему оставалось два года!) никто не оценил его открытия по достоинству, хотя Эварист щедро рассылал свои тексты разным парижским математикам. Увы, -- Лежандр был уже глубокий старик, и не мог понимать новинки даже в родной ему области алгебры.

Литература

1. Бородин А.И, Бугай А.С, "Биографический словарь деятелей в области математики", Киев, "Радянська школа", 1979 г.

Реферат по математике о жизни математика Эвариста Галуа.

Вложение	Размер
galua_referat.docx	53.25 КБ
prezentatsiya.pptx	267.2 КБ

Предварительный просмотр:

МБОУ гимназия № 1

Суржикова Людмила, 5 А класс,

МБОУ гимназия № 1

Гвозденко Ольга Васильевна, учитель математики.

г. Красный Сулин

Математика - это не только формулы и теоремы, а еще и те люди, которые ей занимаются, те люди, которые всю душу вкладывают в ее развитие. И никак нельзя, говоря о математике, не упомянуть о тех, кто ей посвятил всю жизнь и донес ее до нас. Их имена нельзя забывать. Эти люди отдали свою жизнь науке. Ради нас, ради своих потомков. Так что наш долг - помнить их и продолжать их дело.

Знакомство с жизнью и деятельностью великих математиков, в частности математика Эвариста Галуа.

1.Собрать сведения из биографии Эвариста Галуа, используя различные источники.

2.Познакомиться с научной деятельностью математика.

3.Найти интересные сведения о жизни Эвариста Галуа, кем он был, что сделал для развития науки математики.

4.Учиться отбирать нужную информацию.

Детство Эвариста Галуа.

Галуа родился в Бур – ля – Рене, южном предместье Парижа. Он был вторым среди троих детей Николя – Габриэля Галуа и Аделаиды – Мари Демант. Когда Эваристу исполнилось 4 года, отец стал мэром города. В возрасте 12 лет Эварист поступил в Королевский коллеж Луи – ле – Гран. В годы учебы Галуа стал свидетем попытки заговора учеников, придерживающихся республиканских взглядов, против руководства колледжа из – за слухов о возможном преобразовании колледжа в иезуитское училище. Заговор был раскрыт, и более ста учащихся колледжа были с позором исключены!

В 1828 – 1829 годах на Галуа обрушивается череда несчастий: Галуа дважды, с разрывом в год, проваливает экзамен в Политехническую школу. В первый раз краткость решений и отсутствие пояснений на устном экзамене, привели к тому, что Галуа не был принят. Через год на устном экзамене он оказался в той же ситуации и в отчаянии от непонимания экзаменатора швырнул в него тряпкой. Поступление в Политехническую школу было важно для него, и потому, что она была центром республиканцев.

В 1829 году Галуа все же удалось поступить в Высшую нормальную школу, в которой он проучился всего год и был исключен за участие в политических выступлениях республиканского направления.

Роковое невезение продолжается. Галуа посылает Фурье для участия в конкурсе на приз академии мемуар о своих открытиях – но спустя несколько дней Фурье неожиданно умирает, так и не успев им заняться. Приз получает Абель. Все же Галуа удается опубликовать 3 статьи с изложением основ своей теории. Статья, посланная Пуассону, отвергнута со следующей революции.

29 апреля Галуа встретил Стефани, дочь Жана – Луи, одного из врачей. Возможно отказ с ее стороны стал главной причиной трагической гибели молодого революционера.

В ночь перед дуэлью Галуа подготовил новый вариант мемуара для академии, где кратко изложил итоги своих исследований, и переслал его своему другу Огюсту Шевалье.

Что сделал Галуа для математики.

Он прожил двадцать лет, всего пять из них занимался математикой.
Математические работы, обессмертившие его имя, занимают чуть более 60 страниц. (1)

После него осталось небольшое количество коротких математических работ, которые были опубликованы спустя 14 лет. Но лишь к 1870 году французский математик Жордан детально изучил работы Галуа и в своем обширном труде подробно изложил идеи и выводы убитого почти за сорок лет до этого юного гения. Только тогда ученые поняли значение открытий Эвариста Галуа. И только тогда научный мир начал осознавать масштабы потери.

Известно, например, что в семнадцать лет Галуа многое сделал для создания раздела математики, который ныне даёт возможность проникнуть в сущность таких различных областей, как теория чисел, кристаллография, физика элементарных частиц и возможные позиции кубика Рубика.

Вывод: Познакомилась с короткой биографией и с достижениями в области математики учёного Эвариста Галуа. Сохранившиеся рукописи Галуа говорят о том, что, и попав в тюрьму, он продолжал вести математические изыскания и не оставлял их вплоть до самой смерти. То, что он мог продуктивно работать в таких условиях, свидетельствует о необыкновенной силе его воображения и интеллекта. Каковы бы ни были обстоятельства, в которых жил Галуа, нет сомнения, что ему принадлежит одна из самых оригинальных идей в математике.

Галуа родился в Бур-ля-Рене (Bourg-la-Reine), предместье к югу от Парижа. Он был вторым среди троих детей Николя-Габриэля Галуа и Аделаиды-Мари Демант. Отец был убеждённым республиканцем, и когда Эваристу исполнилось 4 года, отец стал мэром города, сохранив этот пост при реставрации монархии и далее, вплоть до 1829 года. В возрасте 12 лет Эварист поступил в Королевский коллеж Луи-ле-Гран. В годы учёбы Галуа стал свидетелем попытки заговора учеников, придерживающихся республиканских взглядов, против руководства колледжа из-за слухов о возможном переформировании колледжа в иезуитское училище (коим он был до этого). Такое переформирование предположительно могло упрочить позиции сторонников Людовика XVIII.

Содержание

Эварист Галуа. Биография и научные достижения. 3
Необходимые характеристики полей 7
Поля Галуа 8
Построение и пример построения поля GF(9) 11
Список использованной литературы и интернет-ресурсов: 14

Прикрепленные файлы: 1 файл

реферат Конечные поля.docx

Министерство науки и образования Украины

Днепропетровский национальный университет имени Олеся Гончара

Выполнили: Ст. гр. ММ-12м-03

Эварист Галуа. Биография и научные достижения. 3

Необходимые характеристики полей 7

Построение и пример построения поля GF(9) 11

Список использованной литературы и интернет-ресурсов: 14

Эварист Галуа. Биография и научные достижения.

Эвари́ст Галуа́ (фр. Évariste Galois; 25 октября 1811, Бур-ля-Рен, О-де-Сен, Франция — 31 мая 1832, Париж, Франция) — выдающийся французский математик, основатель современной высшей алгебры. Радикальный революционер-республиканец, он был застрелен на дуэли при неоднозначных обстоятельствах в возрасте двадцати лет.

В 1828—1829 годах на Галуа обрушивается череда несчастий: Галуа дважды, с разрывом в год, проваливает экзамен в Политехническую школу (École Polytechnique). В первый раз краткость решений и отсутствие пояснений на устном экзамене привели к тому, что Галуа не был принят. Через год на устном экзамене он оказался в той же ситуации и в отчаянии от непонимания экзаменатора швырнул в него тряпкой. Поступление в политехническую школу было важно для него и потому, что она была центром республиканцев. Следующая неудача была в том, что одобренная Коши работа в двух частях, отправленная ему на рецензию, затем была утеряна Коши и не попала в Парижскую Академию на конкурс математических работ. В 1829 году священник иезуит, вновь прибывший в родной город Галуа, доводит отца Эвариста до самоубийства написанием от его имени нескольких злобных памфлетов (за Николя-Габриэль Галуа закрепилась слава остроумного писателя сатирических памфлетов). Не выдержав позора, отец Галуа не увидел иного выхода, кроме самоубийства.

В 1829 году Галуа всё же удаётся поступить в Высшую нормальную школу, в которой он проучился всего год и был исключён за участие в политических выступлениях республиканского направления.

1830 год: Июльская революция во Франции. Король Карл X свергнут, но левым не удалось добиться своего — провозгласить республику, и дело закончилось заменой короля на более либерального Луи Филиппа Орлеанского.

Роковое невезение продолжается. Галуа посылает Фурье для участия в конкурсе на приз Академии мемуар о своих открытиях — но спустя несколько дней Фурье неожиданно умирает, так и не успев им заняться. В оставшихся после его смерти бумагах рукопись не была обнаружена. Приз получает Абель. Всё же Галуа удаётся опубликовать 3 статьи с изложением основ своей теории. Статья, посланная Пуассону, отвергнута со следующей резолюцией:

Галуа продолжает участвовать в выступлениях республиканцев, ведёт себя вызывающе. Дважды был заключён в тюрьму Сент-Пелажи. Первый раз его арестовали 10 мая 1831 года. 15 июня в суде присяжных департамента Сены начался разбор дела. Благодаря стараниям адвоката Дюпона, Галуа был оправдан и без дальнейших проволочек отпущен на свободу. Второй раз Галуа просидел в Сент-Пелажи с 14 июля 1831 года до 16 марта 1832 года, когда его, заболевшего, перевели в больницу, помещавшуюся в доме № 86 по улице Лурсин. Есть сведения, что Галуа оставался здесь ещё некоторое время после того, как 29 апреля кончился срок его заключения. Эта больница — его последнее известное место жительства.

Здесь он встретил Стефани, дочь Жана-Луи, одного из врачей. Возможно, отказ с её стороны стал главной причиной трагической гибели молодого революционера.

Работы Галуа, немногочисленные и написанные сжато, поначалу остались непоняты современниками. Огюст Шевалье и младший брат Галуа, Альфред, послали последние работы Галуа Гауссу и Якоби, но ответа не дождались. Только в 1843 году открытия Галуа заинтересовали Лиувилля, который опубликовал и прокомментировал их (1846).

Необходимые характеристики полей

Определение 1. Поле называется совершенным, если оно либо характеристики 0, либо характеристики и совпадает со своим .

Поле характеристики совершенно тогда и только тогда, когда для каждого элемента поля существует элемент , такой, что . Этот элемент однозначно определяется элементом , так как отображение взаимно однозначно. Элемент обозначается .

Если - поле характеристики и несовершенно, то в существуют элементы, которые не являются -ми степенями элементов из . Если - такой элемент, условимся обозначать это его свойство так: .

Примером совершенного поля характеристики является простое поле .

Определение 2. Полем Галуа называется поле, содержащее конечное число элементов.

Очевидно, что характеристика поля Галуа отлична от нуля, так как любое поле характеристики нуль содержит (бесконечное) поле рациональных чисел.

Предположим, что - поле Галуа характеристики . Так как отображение - изоморфизм поля на подполе , то эти два поля имеют одно и то же (конечное) число элементов. Из того, что , следует, что .

Мы доказали таким образом следующую теорему.

Каждое поле Галуа совершенно.

Поля Галуа

Пусть - поле Галуа характеристики и - простое поле, содержащееся в . Из конечности поля сразу следует, что является конечным алгебраическим расширением поля . Пусть есть степень и - базис поля над . Тогда каждый элемент поля представим единственным образом в виде . Так как каждый элемент может независимо от других принимать значений (поскольку - является полем, содержащим в точности элементов), отсюда следует, что число элементов в равно . Таким образом, число элементов в равно . Таким образом, число элементов поля Галуа характеристики всегда является степенью .

Отметим, что подобные рассуждения можно применить для получения следующего результата: если - поле Галуа, состоящее из элементов, и - конечное расширение поля степени , то состоит из элементов (и будет поэтому также полем Галуа).

Элементы поля , отличные от 0, образуют мультипликативную группу порядка . Поэтому для всех элементов этой группы, а следовательно, для всех элементов поля , включая 0. Так как степень полинома равна числу элементов поля , мы получаем, что полином полностью разлагается на линейные множители в и что , где - все элементы поля . Отсюда следует также, что является полем разложения над полинома и будет поэтому нормальным расширением поля . Следовательно, любые два поля Галуа с одинаковым числом элементов (а поэтому с одной и той же характеристикой ) изоморфны.

Поле Галуа, имеющее элементов, обозначается через . Существование полей для любого простого числа и любого целого числа следует из существования полей разложения. Легко показать, что любое поле разложения полинома над будет на самом деле полем .

Мультипликативная группа поля Галуа - циклическая.

Простейшим примером конечного поля является — кольцо вычетов по модулю простого числа p.

Свойства конечных полей:

Характеристика конечного поля является простым числом.
Число элементов любого конечного поля есть его характеристика в натуральной степени: .
Для каждого простого числа и натурального существует конечное поле из элементов, единственное с точностью до изоморфизма. Это поле изоморфно полю разложения многочлена .
Мультипликативная группа конечного поля является циклической группой порядка .
В частности, в конечном поле всегда существует примитивный элемент , порядок которого равен , то есть и для .
Любой ненулевой элемент является некоторой степенью примитивного элемента:

Поле содержит в себе в качестве подполя тогда и только тогда, когда является делителем .

, где — простое: и так далее.
, где — главный идеал кольца , порожденный неприводимым многочленом степени .

Построение и пример построения поля GF(9)

Построение поля , где p — простое число, n — натуральное число, начинается с построения его простого подполя (которое совпадает со всем полем при n=1).

Простое поле строится как кольцо вычетов по модулю , которое в виду простоты не имеет делителей нуля и является полем.

Элементы — числа . Операции проводятся как с обычными целыми числами с приведением результата по модулю .

Поле при n>1 строится как факторкольцо , где — неприводимый многочлен степени n над полем . Таким образом, для построения поля из элементов достаточно отыскать многочлен степени , неприводимый над полем .

Читайте также: