Реферат на тему числовая последовательность

Обновлено: 05.07.2024

В настоящее время числовые последовательности рассматриваются как частные случаи функции. Числовая последовательность есть функция натурального аргумента. (Так, например, арифметическая прогрессия является линейной функцией натурального аргумента, а геометрическая прогрессия — показательной функцией натурального аргумента.)

Понятие числовой последовательности возникло и развилось задолго до создания учения о функции. Вот примеры бесконечных числовых последовательностей, известных еще в древности:

1, 2, 3, 4, 5, … - последовательность натуральных чисел.

2, 4, 6, 8, 10,… - последовательность чётных чисел.

1, 3, 5, 7, 9,… - последовательность нечётных чисел.

1, 4, 9, 16, 25,… - последовательность квадратов натуральных чисел.

2, 3, 5, 7, 11… - последовательность простых чисел.

1, ½, 1 /3, ¼, 1 /5,… - последовательность чисел обратных натуральным.

Идея предела последовательности восходит к V—IV вв. до н. э. Прогрессии — частные виды числовых последовательностей — встречаются в памятниках II тысячелетия до н. э.

I . Числовые последовательности.

Понятие числовых последовательностей.

Числовая последовательность – это занумерованное числовое множество.

Будем выписывать в порядке возрастания положительные чётные числа. Первое такое число равно 2, второе – 4, третье – 6, четвёртое – 8 и т.д. таким образом мы получим последовательность:

Очевидно, что на пятом месте в этой последовательности будет число 10, на десятом число – 20, на сотом число – 200. вообще для любого натурального числа n можно указать соответствующее ему положительное чётное число; оно равно 2n.

Рассмотрим ещё одну последовательность. Будем выписывать в порядке убывания правильные дроби с числителем, равным 1:

Для любого натурального числа n мы можем указать соответствующую ему дробь; она равна . Так, на шестом месте должна стоять дробь , на тридцатом - , на тысячном – дробь .

Числа образующие последовательность, называют соответственно первым, вторым, третьим, четвёртым и т.д. членами последовательности. Члены последовательности обычно обозначают буквами с индексами, указывающими порядковый номер члена.

Например: , , и т.д. вообще член последовательности с номером n, или, как говорят, n-й член последовательности, обозначают . Саму же последовательность обозначают ( ).

Последовательность может содержать, как бесконечное число членов, так и конечное. В этом случае её называют конечной.

Например: последовательность двухзначных чисел.

10; 11; 12; 13; …; 98; 99

1.2 Способы задания числовых последовательностей.

Последовательности можно задавать несколькими способами. Чтобы задать последовательность, нужно указать способ, позволяющий найти член последовательности с любым номером.

Наиболее часто последовательность задают с помощью формулы n -го члена последовательности.

Например: последовательность положительных чётных членов =2n.

Последовательность правильных дробей: = .

Рассмотрим ещё один пример: пусть последовательность задана формулой: = . Подставляем вместо n натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5, и т.д., получаем:

Рассмотрим ещё один способ задания последовательности.

Пример: Пусть первый член последовательности (а ) равен 10, а каждый следующий равен квадрату предыдущего, т.е. а =10, а = .

С помощью формулы а = можно по известному первому члену вычислить второй, затем третий и т.д.

Формулу выражающую любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие (один или несколько), называют рекуррентной (от латинского слова recurro – возвращаться).

Так же числовую последовательность можно задать простым перечислением её членов.

Развитие учения о прогрессиях.

В настоящее время мы рассматриваем прогрессии как частные случаи числовых последовательностей.

Возможно, что древние вавилоняне и другие народы той далёкой эпохи имели некоторые общие приёмы решения задач, которые дошли до нас. Однако об этих приёмах мало что известно.

Теоретические сведения связанные с прогрессиями, впервые встречаются в дошедших до нас документах Древней Греции.

Уже в V в. до н.э. греки знали следующие прогрессии и их суммы:

10,10 2 ,10 3 ,10 4 ,10 5 ,………….

И указывает на связь между ними, например:

, т.е. для умножения двух членов геометрической прогрессии достаточно сложить соответствующие члены арифметической прогрессии и взять полученную сумму в качестве показателя 10.

У греков теория геометрических прогрессий была связана с так называемой непрерывной геометрической пропорцией:

a : b = b : a , в котором числа a, b, c образуют геометрическую прогрессию со знаменателем .

Прогрессии рассматривались как бы продолжением пропорций, вот почему эпитеты арифметическая и геометрическая были перенесены от пропорций к прогрессиям.

Такой взгляд на прогрессии сохранился и у многих математиков XVII и даже XVIIIв. Именно так следует объяснить тот факт, что символ встречающийся у Барроу, а затем и у других английских учёных того времени для обозначения непрерывной геометрической пропорции, стал обозначать в английских и французских учебниках XVIII века геометрическую прогрессию. По аналогии так стали обозначать и арифметическую прогрессию.

Для решения некоторых задач из геометрии и механики Архимед вывел формулу суммы квадратов натуральных чисел, хотя её пользовались и до него.

1 2 + 2 2 +3 2 + . + n 2 = 1/6n(n+1)(2n+1)

3.1 Арифметическая прогрессия.

3.1.1 Арифметические прогрессии в древности.

В клинописных табличках вавилонян, как и в египетских папирусах, относящихся ко II тысячелетию до н.э., встречаются примеры арифметических и геометрических прогрессий.

Вот одна вавилонская задача, в которой используется арифметическая прогрессия.

Итак, мины (мина равна 60 шекелям) серебра требуется разделить между 10 братьями так, чтобы доли братьев составляли арифметическую прогрессию. Требуется найти разность прогрессии, зная, что восьмой брат получает б шекелей.

Вавилонский автор, не имевший в своем распоряжении ни современной символики, ни готовых формул, вынужден придерживаться строго арифметических рассуждений. Идея его решения следующая. Он начинает с нахождения средней арифметической (средней доли), деля мины на 10 и получая мины, ее умножает затем на два. Итак, удвоенная средняя доля есть мины. Это и есть сумма долей третьего и восьмого братьев, имея в виду, что первого от третьего, как и восьмого от десятого отделяют 2 ступени (интервала). Третьего же от восьмого отделяют 5 ступеней, а разность между их долями составляет мины. Отсюда

и находится значение одной ступени, т. е. разность прогрессии,

от мины, или + мины.

А вот египетская задача из папируса Ахмеса.

При решении этой и других аналогичных задач египтяне, видимо, пользовались правилом, которое можно записать в соврееной символике так:

Оно эквивалентно нашей формуле.

Происхождение этого правила не установлено: оно, вероятно, эмпирического характера.

Первые из дошедших до нас задач на прогрессии связаны с запросами хозяйственной жизни и общественной практики, как, например, распределение продуктов, деление наследства и т.д.

3.1.2 Понятие арифметической прогрессии.

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

Рассмотрим последовательность натуральных чисел, которые при делении на четыре дают в остатке 1:

Каждый её член, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему члену числа 4. эта последовательность является примером арифметической прогрессии.

Иначе говоря, последовательность ( ) – арифметическая прогрессия, если для любого натурального n выполняется условие.

, где d некоторое число.

Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым её членом, начиная со второго, и предыдущим членом равна d, т.е. при любом натуральном n верно равенство

Число d называют разностью арифметической прогрессии.

Чтобы задать арифметическую прогрессию достаточно указать её первый член и разность.

Например: если а =1 и d=1, то получим арифметическую прогрессию

члены которой – последовательные натуральные числа.

Если разность арифметической прогрессии – положительное число, то такая прогрессия является возрастающей; если это отрицательное число, то такая прогрессия называется убывающей. Если разность арифметической прогрессии равна нулю, то все её члены равны между собой и прогрессия является постоянной последовательностью.

Зная первый член и разность арифметической прогрессии, можно найти любой её член, вычисляя последовательно второй, третий, четвёртый и т.д. члены. Однако для нахождения члена прогрессии с большим номером такой способ не удобен. Постараемся отыскать способ, требующий меньшей вычислительной работы.

По определению арифметической прогрессии:

Точно так же находим, что а =а +5d, и вообще, чтобы найти а , нужно к а прибавить (n-1)d, т.е.

мы получим формулу n-го члена арифметической прогрессии.

Формулу n-го члена арифметической прогрессии можно записать иначе:

Отсюда ясно, что любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой вида , где k и b – некоторые числа.

При любом n справедливо равенство , и по определению последовательность (а n ) является арифметической прогрессией, причём разность этой прогрессии равна k.

3.1.3 Формула суммы n -первых членов арифметической прогрессии.

Обозначим сумму n- первых членов арифметической прогрессии (а n ) через S n и запишем эту суму дважды, расположив в первом случае слагаемые в порядке возрастания их номеров, а во втором случае в порядке убывания:

Сумма каждой пары членов прогрессии, расположенных друг под другом, равна а 1 +а n . Действительно,

число таких пар равно n. Поэтому, сложив почленно равенства, получим:

Разделив обе части последнего равенства на 2, получим формулу суммы и первых членов арифметической прогрессии:

3.2 Геометрические прогрессии.

3.2.1 Геометрические прогрессии в древности.

В папирусе Ахмеса содержится задача, в которой требуется найти сумму n членов геометрической прогрессии, зная первый её член и знаменатель.

Из одной клинописной таблички можно заключить, что, наблюдая луну от новолуния до полнолуния, вавилоняне пришли к такому выводу: в первые пять дней после новолуния рост освещения лунного диска совершается по закону геометрической прогрессии со знаменателем 2. в другой более поздней табличке речь идёт о суммировании геометрической прогрессии:

1+2+2 2 +…+2 9 . решение и ответ S=512+(512-1), данные в табличке наводят на мысль, что автор пользовался формулой.

Однако о том, как он дошёл до нее никому не известно.

Издавна большой популярностью пользуется следующая задача легенда, которая относится к началу нашей эры.

В этой задачи речь идёт о суммировании геометрической прогрессии 1, 2, 2 2 , 2 3 , … 2 63 . Её сумма равна:

2 64 -1=18 446 744 073 709 551 615.

Такое количество зёрен пшеницы можно собрать лишь с урожая планеты, поверхность которой примерно в 2000 раз больше поверхности Земли.

Суммированием геометрических прогрессий и составлением соответствующих , не всегда отвечающих практическим нуждам задач занимались многие любители математики на протяжении древних и средних веков.

3.2.2 Понятие геометрической прогрессии.

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел. Каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.

Рассмотрим последовательность, членами которой являются числа 2 с натуральными показателями:

2, 2 2 , 2 3 , 2 4 , 2 5 , ……

Каждый член этой последовательности начиная со второго, получается умножением предыдущего член ан а2. эта последовательность является примером геометрической прогрессии.

Иначе говоря, последовательность b n – геометрическая прогрессия, если для любого натурального n выполняются условия: b n не равно нулю и b n +1 =b n ·q, где q – некоторое число. Обозначим, например, через (b n ) последовательность натуральных степеней числа 2. в этом случае для любого натурального n верно равенство b n +1 = b n ·2; здесь q=2.

Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого её члена, начиная со второго, к предыдущему члену равно q, т.е. при любом натуральном n верно равенство:

Число q называют знаменателем геометрической прогрессии . Понятно, что знаменатель геометрической прогрессии всегда отличен от нуля.

Чтобы задать геометрическую прогрессию, достаточно указать её первый член и знаменатель.

Если b 1 =1 и q=0,1, то получим геометрическую прогрессию

1; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 … .

Зная первый член и знаменатель геометрической прогрессии, можно найти последовательно второй, третий и вообще любой её член:

b 3 = b 2 q = (b 1 q)q = b 1 q 2 ,

b 4 = b 3 q = (b 1 q 2 )q = b 1 q 3 ,

b 5 = b 4 q = (b 1 q 3 )q = b 1 q 4 .

Из этого следует: чтобы найти b n , мы должны b 1 умножить на q n -1 , т.е.

3.2.3 Формула суммы n -первых членов геометрической прогрессии.

Выведем формулу суммы n первых членов произвольной геометрической прогрессии.

Пусть дана геометрическая прогрессия (b n ). Обозначим сумму n первых членов её через S n . :

S n = b 1 + b 2 + b 3 + . + b n -1 + b n . (1)

Умножим обе части этого равенства на q:

S n q = b 1 q + b 2 q + b 3 q + . + b n -1 q + b n q.

Учитывая, что b 1 q = b 2 , b 2 q = b 3 , b 3 q = b 4 , . b n -1 q = b n , получим :

S n q = b 2 + b 3 + b 4 + . + b n + b n q. (2)

Вычтем почленно из равенства (2) равенство (1) и приведём подобные члены:

S n q – S n = (b 2 + b 3 + . + b n + b n q) – (b 1 + b 2 +. + b n -1 + b n ) = b n q – b 1 ,

S n (q – 1) = b n q – b 1 .

Отсюда следует, что при q не равном 1:

S n = (b n q – b 1 )/(q-1).

Мы получили формулу n первых членов геометрической прогрессии, в которой q не равно 1, если q равно 1, то все члены прогрессии равны первому её члену.

При решении задач удобно пользоваться формулой суммы n первых членов геометрической прогрессии, записанной в другом виде:

S n = (b 1 (q n – 1))/(q-1).

Изучением числовых последовательностей занимались многие ученые на протяжении многих веков. Они являются одним из ключевых понятий математики. В своей работе я постаралась отразить основные понятия связанные с числовыми последовательностями, способы их задания, рассмотрела некоторые из них. Отдельно были рассмотрены прогрессии (арифметическая и геометрическая), рассказано о истории их возникновения, о основных понятиях связанных с ними.

Список используемой литературы.

Цель настоящего реферата – изучение основных понятий, связанных с числовыми последовательностями, их применение на практике.
Задачи:

Изучить исторические аспекты развития учения о прогрессиях;
Рассмотреть способы задания и свойства числовых последовательностей;
Познакомиться с арифметической и геометрической прогрессиями.

В настоящее время числовые последовательности рассматриваются как частные случаи функции. Числовая последовательность есть функция натурального аргумента. Понятие числовой последовательности возникло и развилось задолго до создания учения о функции. Вот примеры бесконечных числовых последовательностей, известных еще в древности:

1, 2, 3, 4, 5, … - последовательность натуральных чисел.

2, 4, 6, 8, 10,… - последовательность чётных чисел.

1, 3, 5, 7, 9,… - последовательность нечётных чисел.

1, 4, 9, 16, 25,… - последовательность квадратов натуральных чисел.

2, 3, 5, 7, 11… - последовательность простых чисел.

1, ½, 1 /3, ¼, 1 /5,… - последовательность чисел обратных натуральным.

Прогрессии — частные виды числовых последовательностей — встречаются в памятниках II тысячелетия до н. э.

Существуют различные определения числовой последовательности.

Числовая последовательность – это последовательность элементов числового пространства (Википедия).

Числовая последовательность – это занумерованное числовое множество.

Функцию вида y = f (x), x называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают y = f (n) или

, , , …, Для обозначения последовательности используется запись ( ).

Будем выписывать в порядке возрастания положительные чётные числа. Первое такое число равно 2, второе – 4, третье – 6, четвёртое – 8 и т.д., таким образом мы получим последовательность: 2; 4; 6; 8; 10 ….

Числа, образующие последовательность, называют соответственно первым, вторым, третьим, четвёртым и т.д. членами последовательности. Члены последовательности обычно обозначают буквами с индексами, указывающими порядковый номер члена. Например: , , и т.д. вообще член последовательности с номером n, или, как говорят, n-й член последовательности, обозначают . Саму же последовательность обозначают ( ). Последовательность может содержать, как бесконечное число членов, так и конечное. В этом случае её называют конечной. Например: последовательность двухзначных чисел.10; 11; 12; 13; …; 98; 99

Способы задания числовых последовательностей

Последовательности можно задавать несколькими способами.

Обычно последовательность целесообразнее задавать формулой ее общего n-го члена , которая позволяет найти любой член последовательности, зная его номер. В этом случае говорят, что последовательность задана аналитически. Например: последовательность положительных чётных членов =2n.

Задача: найти формулу общего члена последовательности ( :

6; 20; 56; 144; 352;…

Решение. Запишем каждый член последовательности в следующем виде:

Как видим, члены последовательности представляют собой произведение степени двойки, умноженной на последовательные нечетные числа, причем два возводится в степень, которая равна номеру рассматриваемого элемента. Таким образом, делаем вывод, что

Ответ: формула общего члена:

Другим способом задания последовательности является задание последовательности с помощью рекуррентного соотношения . Формулу, выражающую любой член последовательности, начиная с некоторого через предыдущие (один или несколько), называют рекуррентной (от латинского слова recurro – возвращаться).

В этом случае задается один или несколько первых элементов последовательности, а остальные определяются по некоторому правилу.

Примером рекуррентно заданной последовательности является последовательность чисел Фибоначчи - 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . , в которой каждое последующее число, начиная с третьего, является суммой двух предыдущих: 2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1 и так далее. Данную последовательность можно задать рекуррентно:

Задача: последовательность задана при помощи рекуррентного соотношения + , n N, = 4. Выписать несколько первых членов этой последовательности.

Решение. Найдем третий член заданной последовательности:

Аналогично находим далее, что

При рекуррентном задании последовательностей, получаются очень громоздкими выкладки, так как, чтобы найти элементы с большими номерами, необходимо найти все предыдущие члены указанной последовательности, например, для нахождения надо найти все предыдущие 499 членов.

Описательный способ задания числовой последовательности состоит в том, что объясняется, из каких элементов строится последовательность.

Так же числовую последовательность можно задать простым перечислением её членов.

Развитие учения о прогрессиях

В настоящее время мы рассматриваем прогрессии как частные случаи числовых последовательностей.

Для решения некоторых задач из геометрии и механики Архимед вывел формулу суммы квадратов натуральных чисел, хотя ею пользовались и до него.

Из одной клинописной таблички можно заключить, что, наблюдая луну от новолуния до полнолуния, вавилоняне пришли к такому выводу: в первые пять дней после новолуния рост освещения лунного диска совершается по закону геометрической прогрессии со знаменателем 2. В другой более поздней табличке речь идёт о суммировании геометрической прогрессии:

1+2+ +…+ . решение и ответ S=512+(512-1), данные в табличке наводят на мысль, что автор пользовался формулой.

Sn= +( -1), однако о том, как он дошёл до нее никому не известно.

Суммированием геометрических прогрессий и составлением соответствующих, не всегда отвечающих практическим нуждам задач занимались многие любители математики на протяжении древних и средних веков.

Свойства числовых последовательностей

Числовая последовательность — частный случай числовой функции, а потому некоторые свойства функций (ограниченность, монотонность) рассматривают и для последовательностей.

Последовательность ( ) называется ограниченной сверху , если существует такое число M , что для любого номера n , M.

Последовательность ( ) называется ограниченной снизу , если существует такое число m , что для любого номера n , m.

Последовательность ( ) называется ограниченной , если она ограниченная сверху и ограниченная снизу, то есть существует такое число M 0 , что для любого номера n , M.

Последовательность ( ) называется неограниченной , если существует такое число M 0 , что существует такой номер n , что , M.

Задача: исследовать последовательность = на ограниченность.

Решение. Заданная последовательность является ограниченной, так как для любого натурального номера n выполняются неравенства:

То есть последовательность является ограниченной снизу нулем, и вместе с тем является ограниченной сверху единицей, а значит, является и ограниченной.

Ответ: последовательность ограничена - снизу нулем, а сверху единицей.

Возрастающие и убывающие последовательности

Последовательность ( ) называют возрастающей , если каждый ее член больше предыдущего:

Например, 1, 3, 5, 7. 2n -1. — возрастающая последовательность.

Последовательность ( ) называют убывающей , если каждый ее член меньше предыдущего:

Например, 1; - убывающая последовательность.

Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином — монотонные последовательности . Приведем еще несколько примеров.

1; - эта последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей (немонотонная последовательность).

=2n. Речь идет о последовательности 2, 4, 8, 16, 32, . — возрастающая последовательность.

Вообще, если a > 1, то последовательность = возрастает;

если 0 = убывает.

Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией , а число d – разностью арифметической прогрессии.

Таким образом, арифметическая прогрессия – это числовая последовательность заданная рекуррентно соотношениями

= = x, = = + d, (n = 2, 3, 4, …; a и d – заданные числа).

Пример 1. 1, 3, 5, 7, 9, 11, … – возрастающая арифметическая прогрессия, у которой = 1, d = 2.

Пример 2. 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, –1, –4,… – убывающая арифметическая прогрессия, у которой = 20, d = –3.

Пример 3. Рассмотрим последовательность натуральных чисел, которые при делении на четыре дают в остатке 1: 1; 5; 9; 13; 17; 21 …

Каждый её член, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему члену числа 4. Эта последовательность является примером арифметической прогрессии.

Нетрудно найти явное (формульное) выражение через n. Величина очередного элемента возрастает на d по сравнению с предыдущим, таким образом, величина n элемента возрастет на величину (n – 1)d по сравнению с первым членом арифметической прогрессии, т.е.

= + d (n – 1). Это формула n-го члена арифметической прогрессии.

- это формула суммы n членов арифметической прогрессии.

Арифметической прогрессия названа потому, что в ней каждый член, кроме первого, равен среднему арифметическому двух соседних с ним – предыдущего и последующего, действительно,

Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением на одно и то же число q, называют геометрической прогрессией , а число q – знаменателем геометрической прогрессии. Таким образом, геометрическая прогрессия – это числовая последовательность ( заданная рекуррентно соотношениями

= b, = q (n = 2, 3, 4…; b и q – заданные числа).

Пример 1. 2, 6, 18, 54, … – возрастающая геометрическая прогрессия

Пример 2. 2, –2, 2, –2, … – геометрическая прогрессия = 2, q = –1.

Одно из очевидных свойств геометрической прогрессии состоит в том, что если последовательность является геометрической прогрессией, то и последовательность квадратов, т.е. ; ;…-

является геометрической прогрессией, первый член которой равен , а знаменатель – .

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид:

Формула суммы n членов геометрической прогрессии:

Характеристическое свойство геометрической прогрессии: числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен произведению предыдущего и последующего членов,

Изучением числовых последовательностей занимались многие ученые на протяжении многих веков. Первые из дошедших до нас задач на прогрессии связаны с запросами хозяйственной жизни и общественной практики, как, например, распределение продуктов, деление наследства и т.д. Они являются одним из ключевых понятий математики. В своей работе я постаралась отразить основные понятия, связанные с числовыми последовательностями, способы их задания, свойства, рассмотрела некоторые из них. Отдельно были рассмотрены прогрессии (арифметическая и геометрическая), рассказано об основных понятиях связанных с ними.

Числовые последовательности это очень интересная и познавательная тема. Эта тема встречается в заданиях повышенной сложности, которые предлагают учащимся авторы дидактических материалов, в задачах математических олимпиад, вступительных экзаменов в Высшие Учебные Заведения и на ЕГЭ. Мне интересно узнать связь математических последовательностей с другими областями знаний.

Цель исследовательской работы: Расширить знания о числовой последовательности.

1. Рассмотреть последовательность;

2. Рассмотреть ее свойства;

3. Рассмотреть аналитическое задание последовательности;

4. Продемонстрировать ее роль в развитии других областей знаний.

5. Продемонстрировать использование ряда чисел Фибоначчи для описания живой и неживой природы.

1. Теоретическая часть.

Основные понятия и термины.

Определение. Числовая последовательность– функция вида y = f(x), x О N, где N – множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается y = f(n) или y1, y2,…, yn,…. Значения y1, y2, y3,… называют соответственно первым, вторым, третьим, … членами последовательности.

Число a называется пределом последовательности x = n >, если для произвольного заранее заданного сколь угодно малого положительного числа ε найдется такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется неравенство |x_n - a| y2 > y3 > … > yn > yn+1 > … .

Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности.

Последовательность называется периодической, если существует такое натуральное число T, что начиная с некоторого n, выполняется равенство yn = yn+T . Число T называется длиной периода.

Арифметическая прогрессия- это последовательность , каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией, а число d – разностью арифметической прогрессии.

Таким образом, арифметическая прогрессия – это числовая последовательность , заданная рекуррентно соотношениями

a1 = a, an = an–1 + d (n = 2, 3, 4, …)

Геометрическая прогрессия- это последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением на одно и то же число q.

Таким образом, геометрическая прогрессия – это числовая последовательность , заданная рекуррентно соотношениями

b1 = b, bn = bn–1 q (n = 2, 3, 4…).

1.1 Виды последовательностей.

1.1.1 Ограниченные и неограниченные последовательности.

Последовательность называют ограниченной сверху, если существует такое число М, что для любого номера n выполняется неравенство bn≤ M;

Последовательность называют ограниченной снизу, если существует такое число М, что для любого номера n выполняется неравенство bn≥ М;

Последовательности, ограниченные одновременно сверху и снизу, называются ограниченными.

1.1.2 Монотонность последовательностей.

Последовательность называют невозрастающие (неубывающей), если для любого номера n справедливо неравенство bn≥ bn+1 (bn ≤bn+1);

Последовательность называют убывающей (возрастающей), если для любого номера n справедливо неравенство bn> bn+1 (bn 0, m принадлежит N такое, что 1/m m справедливо неравенство 1/m N выполняется неравенство |x_n - a| N должны лежать в интервале (a – ε; a + ε).

Следовательно, постоянное число a есть предел числовой последовательности n >, если для любой малой окрестности с центром в точке a радиуса ε (ε – окрестности точки a) найдется такой элемент последовательности с номером N, что все последующие элементыс номерами n>N будут находиться внутри этой окрестности.

1. Пусть переменная величина x последовательно принимает значения

Докажем, что предел этой числовой последовательности равен 1. Возьмем произвольное положительное число ε. Нам нужно найти такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется неравенство |x_n - 1| 6 будем иметь

2. Используя определение предела числовой последовательности, доказать что

Возьмем произвольное ε > 0. Рассмотрим

Тогда , если или , т.е. .

Поэтому выберем любое натуральное число, удовлетворяющее неравенству

Замечание 1. Очевидно, что если все элементы числовой последовательности принимают одно и то же постоянное значение x_n = c, то предел этой последовательности будет равен самой постоянной. Действительно, при любом ε всегда выполняется неравенство

|x_n - c| = |c - c| = 0 0- произвольно и 0 1+n(1/|q|-1)> n(1/|q|-1)

1.2.1.Теоремы о пределах последовательностей.

1. Последовательность, имеющая предел, ограничена;

2. Последовательность может иметь только один предел;

3. Любая неубывающая (невозрастающая) и не ограниченная сверху (снизу) последовательность имеет предел;

4. Предел постоянной равен этой постоянной:

5.Предел суммы равен сумме пределов: ℓimn→∞(an+bn)= ℓimn→∞ an+ ℓimn→∞ bn;

6. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

ℓim n→∞ (Сan)= Cℓim n→∞ an;

7. Предел произведения равен произведению пределов:

ℓimn→∞ (an∙bn)= ℓimn→∞ an ∙ ℓimn→∞ bn;

8. Предел частного равен частному пределов, если предел делителя отличен от нуля:

ℓimn→∞ (an/bn)= ℓimn→∞ an / ℓimn→∞ bn, если

9. Если bn ≤ an ≤ cn и обе последовательности и имеют один и тот же предел α, то ℓimn→∞ an=α.

Найдем предел ℓimn→∞ ((3n-1)/(4n+5)).

ℓimn→∞ ((3n-1)/(4n+5))= ℓimn→∞(n(3-1/n))/ (n(4+5/n)= (ℓimn→∞ 3-1/n)/ (ℓimn→∞ 4+5/n)= (ℓimn→∞ 3- ℓimn→∞ 1/n)/ (ℓimn→∞ 4+ 5 ℓimn→∞ 1/n)= (3-0)/(4+5∙0)=3/4.

1.3 Арифметическая прогрессия.

Арифметическая прогрессия- это последовательность , каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d, называемым разностью прогрессии:

an+1= an+ d, n=1, 2, 3… .

Любой член последовательности может быть вычислен по формуле

1.3.1. Свойства арифметической прогрессии

1. Если d> 0, то прогрессия является возрастающей; если d a1=1;

Пустьn=2, тоS2=4∙2²-3∙2=10=a1+a2; a2=10-1=9;

Таккакa2=a1+d, то d= a2-a1=9-1=8;

При делении девятого члена арифметической прогрессии на второй член в частном получается 5, а при делении тринадцатого члена на шестой член в частном получается 2 и в остатке 5. Найти первый член и разность прогрессии.

a1, a2, a3…, an- арифметическая прогрессия

Используя формулу для n-ого члена прогрессии получим систему уравнений

Откуда 4(2d-S)=3d => Sd= 20 => d=4.

Геометрическая прогрессия- это последовательность , первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же отличное от нуля число q, называемое знаменателем прогрессии:

bn+1= bnq, n= 1, 2, 3… .

Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле:

1.4.1. Свойства геометрической прогрессии.

1. Логарифмы членов геометрической прогрессии образуют арифметическую прогрессию.

2. b²n= bn-i bn+i, i 2.

Золотая пропорция является иррациональной величиной, она отражает иррациональность в пропорциях природы. Числа Фибоначчи отражают целочисленность природы. Совокупность этих закономерностей отражают диалектическое единство двух начал: непрерывного и дискретного.

В математике известны фундаментальные числа и е, к ним возможно добавить Ф.

Оказывается все эти универсальные иррациональные числа, широко распространенные в различных закономерностях, связаны между собой.

е i + 1 = 0 - эта формула открыта Эйлером и позже де Муавром и названа в честь последнего.

Не свидетельствуют ли эти формулы об органическом единстве чисел е, , Ф?

Об их фундаментальности?

1.5.2. Использование ряда чисел Фибоначчи для описания живой и неживой природы

Мир живой и неживой природы, казалось бы между ними дистанция огромного размера, это скорее антиподы, чем родственники. Но не следует забывать, что живая природа в конечном итоге возникла из неживой (если не на нашей планете, то в космосе) и должна была по законам наследственности сохранить какие-то черты своей прародительницы.

Мир неживой природы - это прежде всего мир симметрии, придающий его творениям устойчивость и красоту. Симметрия сохранилась и в живой природе. Симметрия растений унаследована от симметрии кристаллов, симметрия которых унаследована от симметрии молекул и атомов, а симметрия атомов - от симметрии элементарных частиц.

Характерной чертой строения растений и их развития является спиральность. Спирально закручиваются усики растений, по спирали происходит рост тканей в стволах деревьев, по спирали расположены семечки в подсолнечнике. Движение протоплазмы в клетке часто спиральное, носители информации - молекулы ДНК - также скручены в спираль. Установлены и винтовое расположение атомов в некоторых кристаллах (винтовые дислокации). Кстати, кристаллы с винтовой структурой обладают сверхпрочностью. Не потому ли живая природа и предпочла этот вид структурной организации, унаследовав его от неорганических веществ?

Чем же может быть выражена данная закономерность, сходство живой и неживой природы?

Чешуйки сосновой шишки располагаются по спирали, их число равно 8 и 13 или 13 и 21. В корзинках подсолнечника семена также располагаются по спиралям, их число обычно составляет 34 и 55 или 55 и 89.

Присмотритесь к ракушкам. Когда-то они служили домиками для маленьких моллюсков, которые они выстроили сами. Моллюски давно погибли, а их домики будут существовать тысячелетия. Выступы-ребра на поверхности ракушки инженеры называют ребрами жесткости - они резко повышают прочность конструкции. Эти ребра расположены по спирали и в любой ракушке их 21.

Возьмите любую черепаху - от болотной до гигантской морской - и вы убедитесь, что рисунок на панцире у них аналогичный: на овальном поле расположено 13 сросшихся пластин - 5 пластин в центре и 8 - по краям, а на периферийной кайме около 21 пластины.

На лапах у черепах 5 пальцев, а позвоночный столб состоит из 34 позвонков. Все указанные величины отвечают числам Фибоначчи.

У ближайшего родственника черепахи - крокодила туловище покрыто 55 роговыми пластинами. На теле кавказской гадюки расположено 55 темных пятен. В ее скелете насчитывается 144 позвонка.

Следовательно, развитие черепахи, крокодила, гадюки, формирование их тел, осуществлялось по закону ряда чисел Фибоначчи.

У комара: 3 пары ног, на голове 5 усиков - антенны, брюшко делится на 8 сегментов.

У стрекозы: массивный корпус и длинный тонкий хвост. В корпусе выделяется три части: голова, грудь, брюшко.

Брюшко разделено на 5 сегментов, хвост состоит из 8 частей.

Нетрудно видеть в этих числах развертывание ряда чисел Фибоначчи. Длина хвоста, корпуса и общая длина стрекозы связаны между собой золотой пропорцией: L хвоста = L стрекозы = Ф

Высшим типом животных на планете являются млекопитающие. Число позвонков у многих домашних животных равно или близко 55, число пар ребер примерно 13, грудная кость содержит 7 + 1 элемент.

У собаки, свиньи, лошади - 21 + 1 пара зубов, у гиены - 34, у одного из видов дельфинов - 233.

Ряд чисел Фибоначчи определяет общий план развития организма, эволюции видов. Но развитие живого осуществляется не только скачками, но и непрерывно. Организм любого животного находится в постоянном изменении, постоянном приспособлении к среде своего обитания. Мутации наследственности нарушают план развития. И неудивительно, что при общем преобладающем проявлении чисел Фибоначчи в развитии организмов часто наблюдаются отклонения от дискретных величин. Это не ошибка природы, а проявление подвижности организации всего живого, его непрерывного изменения.

Числа Фибоначчи отражают основную закономерность роста организмов, следовательно, и в строении человеческого тела они должны каким-то образом проявиться.

1 - туловище, голова, сердце и т.д.

2 - руки, ноги, глаза, почки

Из 3 частей состоят ноги, руки, пальцы рук

5 пальцев на руках и ногах

8 - состав руки вместе с пальцами

12 пар ребер (одна пара атрофирована и присутствует в виде рудимента)

20 - число молочных зубов у ребенка

32- число зубов у взрослого человека

34 - число позвонков

Общее число костей скелета человека близко к 233.

Этот список частей тела человека можно продолжить. В их перечне очень часто встречаются числа Фибоначчи или близкие к ним величины. Отношение рядом стоящих чисел Фибоначчи приближается к золотой пропорции, значит, и соотношение чисел различных органов часто отвечает золотой пропорции.

Человек, как и другие живые творения природы, подчиняется всеобщим законам развития. Корни этих законов нужно искать глубоко - в строении клеток, хромосом и генов, и далеко - в возникновении самой жизни на Земле.

2. Собственные исследования.

Какое число должно стоять вместо вопросительного знака 5; 11; 23; ?; 95; 191? Как вы его нашли?

Нужно умножить предыдущее число на 2 и прибавить единицу. Так получаем:

(23∙2)+1=47 => 47- число вместо знака вопроса.

Найти сумму Sn=1/(1∙2)+1/(2∙3)+1/(3∙4)+…+1/n(n+1)

Запишем что 1/n(n+1)= 1/n - 1/(n+1). Тогда перепишем сумму в виде разности =>

Числовая последовательность — это последовательность элементов числового пространства.

Числовые последовательности являются одним из основных объектов рассмотрения в математическом анализе .

Определение

Пусть множество X — это либо множество вещественных чисел , либо множество комплексных чисел . Тогда последовательность элементов множества X называется числовой последовательностью .

Примеры

Функция является бесконечной последовательностью целых чисел . Начальные отрезки этой последовательности имеют вид .

Функция является бесконечной последовательностью рациональных чисел . Начальные отрезки этой последовательности имеют вид .

Операции над последовательностями

На множестве всех последовательностей элементов множества X можно определить арифметические и другие операции , если таковые определены на множестве X . Такие операции обычно определяют естественным образом, т. е. поэлементно.

Пусть на множестве X определена N -арная операция f :

Тогда для элементов , , …, множества всех последовательностей элементов множества X операция f будет определяться следующим образом:

Например, так определяются арифметические операции для числовых последовательностей.

Суммой числовых последовательностей ( x n ) и ( y n ) называется числовая последовательность ( z n ) такая, что z n = x n + y n .

Разностью числовых последовательностей ( x n ) и ( y n ) называется числовая последовательность ( z n ) такая, что z n = x n − y n .

Произведением числовых последовательностей x n и y n называется числовая последовательность ( z n ) такая, что .

Частным числовой последовательности x n и числовой последовательности y n , все элементы которой отличным от нуля , называется числовая последовательность . Если в последовательности y n на позиции всё же имеется нулевой элемент, то результат деления на такую последовательность всё равно может быть определён, как последовательность .

Конечно, арифметические операции могут быть определены не только на множестве числовых последовательностей, но и на любых множествах последовательностей элементов множеств, на которых определены арифметические операции, будь то поля или даже кольца .

Подпоследовательности

Подпоследовательность последовательности ( x n ) — это последовательность , где ( k n ) — возрастающая последовательность элементов множества натуральных чисел.

Иными словами, подпоследовательность получается из последовательности удалением конечного или счётного числа элементов.

Примеры

Последовательность простых чисел является подпоследовательностью последовательности натуральных чисел.

Последовательность натуральных чисел, кратных 12 , является подпоследовательностью последовательности чётных натуральных чисел.

Свойства

Всякая последовательность является своей подпоследовательностью.

Для всякой подпоследовательности верно, что .

Подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу, что и исходная последовательность.

Если все подпоследовательности некоторой исходной последовательности сходятся, то их пределы равны.

Любая подпоследовательность бесконечно большой последовательности также является бесконечно большой.

Из любой неограниченной числовой последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.

Из любой числовой последовательности можно выделить либо сходящуюся подпоследовательность, либо бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.

Предельная точка последовательности

Основная статья : Предельная точка

Предельная точка последовательности — это точка, в любой окрестности которой содержится бесконечно много элементов этой последовательности. Для сходящихся числовых последовательностей предельная точка совпадает с пределом .

Предел последовательности

Основная статья : Предел последовательности

Предел последовательности — это объект, к которому члены последовательности приближаются с ростом номера. Так в произвольном топологическом пространстве пределом последовательности называется элемент, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого. В частности для числовых последовательностей предел — это число, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности начиная с некоторого.

Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей. У сходящихся числовых последовательностей он всегда совпадает с обычным пределом.

Верхний предел последовательности — это наибольшая предельная точка этой последовательности.

Нижний предел последовательности — это наименьшая предельная точка этой последовательности.

Некоторые виды последовательностей

Стационарная последовательность — это последовательность, все члены которой, начиная с некоторого, равны.

( x n ) стационарная

Ограниченные и неограниченные последовательности

В предположении о линейной упорядоченности множества X элементов последовательности можно ввести понятия ограниченных и неограниченных последовательностией.

Ограниченная сверху последовательность — это последовательность элементов множества X , все члены которой не превышают некоторого элемента из этого множества. Этот элемент называется верхней гранью данной последовательности.

( x n ) ограниченная сверху

Ограниченная снизу последовательность — это последовательность элементов множества X , для которой в этом множестве найдётся элемент, не превышающий всех её членов. Этот элемент называется нижней гранью данной последовательности.

( x n ) ограниченная снизу

Ограниченная последовательность ( ограниченная с обеих сторон последовательность ) — это последовательность, ограниченная и сверху, и снизу.

( x n ) ограниченная

Неограниченная последовательность — это последовательность, которая не является ограниченной.

( x n ) неограниченная

Критерий ограниченности числовой последовательности

Числовая последовательность является ограниченной тогда и только тогда, когда существует такое число, что модули всех членов последовательности не превышают его.

( x n ) ограниченная

Свойства ограниченных последовательностей

Ограниченная сверху числовая последовательность имеет бесконечно много верхних граней.

Ограниченная снизу числовая последовательность имеет бесконечно много нижних граней.

Ограниченная последовательность имеет по крайней мере одну предельную точку .

У ограниченной последовательности существуют верхний и нижний пределы .

Для любого наперёд взятого положительного числа все элементы ограниченной числовой последовательности , начиная с некоторого номера, зависящего от , лежат внутри интервала .

Если за пределами интервала лежит лишь конечное число элементов ограниченной числовой последовательности , то интервал содержится в интервале .

Справедлива теорема Больцано — Вейерштрасса . Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

Бесконечно малая последовательность — это последовательность, предел которой равен нулю .

Бесконечно большая последовательность — это последовательность, предел которой равен бесконечности .

Свойства бесконечно малых последовательностей

Бесконечно малые последовательности отличаются целым рядом замечательных свойств, которые активно используются в математическом анализе , а также в смежных с ним и более общих дисциплинах.

Сумма двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.

Разность двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.

Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.

Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.

Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Любая бесконечно малая последовательность ограничена.

Если стационарная последовательность является бесконечно малой, то все её элементы, начиная с некоторого, равны нулю.

Если вся бесконечно малая последовательность состоит из одинаковых элементов, то эти элементы — нули.

Если ( x n ) — бесконечно большая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность (1 / x n ), которая является бесконечно малой. Если же ( x n ) всё же содержит нулевые элементы, то последовательность (1 / x n ) всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера n , и всё равно будет бесконечно малой.

Если (α n ) — бесконечно малая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность (1 / α n ), которая является бесконечно большой. Если же (α n ) всё же содержит нулевые элементы, то последовательность (1 / α n ) всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера n , и всё равно будет бесконечно большой.

Сходящиеся и расходящиеся последовательности

Сходящаяся последовательность — это последовательность элементов множества X , имеющая предел в этом множестве.

Расходящаяся последовательность — это последовательность, не являющаяся сходящейся.

Свойства сходящихся последовательностей

Всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся. Её предел равен нулю .

Удаление любого конечного числа элементов из бесконечной последовательности не влияет ни на сходимость, ни на предел этой последовательности.

Любая сходящаяся последовательность элементов хаусдорфова пространства имеет только один предел.

Любая сходящаяся последовательность ограничена. Однако не любая ограниченная последовательность сходится.

Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она является ограниченной и при этом её верхний и нижний пределы совпадают.

Если последовательность ( x n ) сходится, но не является бесконечно малой, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность (1 / x n ), которая является ограниченной.

Сумма сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.

Разность сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.

Произведение сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.

Частное двух сходящихся последовательностей определено, начиная с некоторого элемента, если только вторая последовательность не является бесконечно малой. Если частное двух сходящихся последовательностей определено, то оно представляет собой сходящуюся последовательность.

Если сходящаяся последовательность ограничена снизу, то никакая из её нижних граней не превышает её предела.

Если сходящаяся последовательность ограничена сверху, то её предел не превышает ни одной из её верхних граней.

Если для любого номера члены одной сходящейся последовательности не превышают членов другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности также не превышает предела второй.

Если все элементы некоторой последовательности, начиная с некоторого номера, лежат на отрезке между соответствующими элементами двух других сходящихся к одному и тому же пределу последовательностей, то и эта последовательность также сходится к такому же пределу.

Любую сходящуюся последовательность ( x n ) можно представить в виде ( x n ) = ( a + α n ), где a — предел последовательности ( x n ), а α n — некоторая бесконечно малая последовательность.

Всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной . При этом фундаментальная числовая последовательность всегда сходится (как и любая фундаментальная последовательность элементов полного пространства).

Монотонные последовательности

Основная статья : Монотонная последовательность

Монотонная последовательность — это невозрастающая, либо неубывающая последовательность. При этом предполагается, что на множестве, из которого берутся элементы последовательности, введено отношение порядка .

Фундаментальные последовательности

Основная статья : Фундаментальная последовательность

Фундаментальная последовательность ( сходящаяся в себе последовательность , последовательность Коши ) — это последовательность элементов метрического пространства , в которой для любого наперёд заданного расстояния найдётся такой элемент, расстояние от которого до любого из следующих за ним элементов не превышает заданного. Для числовых последовательностей понятия фундаментальной и сходящейся последовательностей эквивалентны, однако в общем случае это не так.

Литература

В. А. Зорич Глава III. Предел. § 1. Предел последовательности // Математический анализ, часть I. — М.: Наука, 1981. — С. 104 — 114. — 544 с.

Ю.С.Богданов - "Лекции по математическому анализу" - Часть 2 - Минск - Издательство БГУ им. В.И.Ленина - 1978.

Теория предела. Числовые последовательности.

. задать числовую последовательность, необходимо указать формулу ее общего члена. Примеры числовых последовательностей: : 2, 4, 8, …. ,…, : , , , …,, … и т.д. Предел числовой последовательности. Рассмотрим числовую последовательность .

Числовые ряды (3)

. ряд расходится. Необходимый признак сходимости числового ряда. Гармонический ряд. Нахождение . , с учетом неравенства . таким образом, последовательность () монотонно возрастает () и ограничена сверху . Но тогда, согласно свойству1 числовых рядов, ряд сходится. .

Генератор импульсных последовательностей

. случайных последовательностей, устройства формирования последовательностей Уолша, генераторы сигналов специальной формы. Генератор числовой последовательности называется .

Шпаргалка по Математическому анализу

. inf. Предел последовательности и предел функции 1.Числовой последовательностью (в дальнейшем просто последовательностью) называется . , и . Признаки существования предела последовательности *Если числовая последовательность монотонна и ограничена, то она .

Числовой ряд

. -ва сходящихся рядов Числовой ряд — бесконечная последовательность чисел соединенная знаком . поток событий Поток событий- последовательность событий которые наступают в случайные . -ва: 1. F(x) определена на всей числовой прямой R; 2.F(x) не убывает, т.е. .

Читайте также:

Реферат на тему числовая последовательность

Определение

Примеры

Операции над последовательностями

Подпоследовательности

Примеры

Свойства

Предельная точка последовательности

Предел последовательности

Некоторые виды последовательностей

Ограниченные и неограниченные последовательности

Критерий ограниченности числовой последовательности

Свойства ограниченных последовательностей

Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

Свойства бесконечно малых последовательностей

Сходящиеся и расходящиеся последовательности

Свойства сходящихся последовательностей

Монотонные последовательности

Фундаментальные последовательности

Литература

Похожие страницы:

Теория предела. Числовые последовательности.

Числовые ряды (3)

Генератор импульсных последовательностей

Шпаргалка по Математическому анализу

Числовой ряд