Реферат на тему числа фибоначчи

Обновлено: 05.07.2024

Цель работы. Определить ряд Фибоначчи и изучить наиболее важные ее свойства.
Задачи работы.
Рассмотреть задачу о кроликах из “Книги об абаке”;
Дать определение ряда Фибоначчи и вывести формулу для общего члена;
Рассмотреть основные свойства чисел Фибоначчи;
Рассмотреть геометрические приложения чисел Фибоначчи.

Содержание

Введение……………………………………………………………………….. 5
1. Фибоначчи: "Книга об абаке" (1202) и задача о кроликах………………. 7
2. Определение последовательности Фибоначчи и формула общего
члена (формула Бине)…………………………………………………………

10
3. Основные теоретико-числовые свойства последовательности Фибоначчи………………………………………………………………………
16
4. Числа Фибоначчи и цепные дроби………………………………………… 18
5. Геометрические приложения чисел Фибоначчи………………………….. 20
Заключение…………………………………………………………………….. 25
Список литературы……

Работа состоит из 1 файл

реферат Числа Фибоначчи.doc

Введение………………………………………………………… ……………..	5
1. Фибоначчи: "Книга об абаке" (1202) и задача о кроликах……………….	7
2. Определение последовательности Фибоначчи и формула общего

Числа Фибоначчи обладают целым рядом интересных и важных свойств, рассмотрению которых и посвящена данная курсовая работа.

Имя Леонардо Фибоначчи (Леонардо Пизанского) – крупного итальянского математика, автора “Книги об абаке” (1202), которая несколько веков оставалась основным хранилищем сведений по арифметики и алгебре, сейчас встречается чаще всего в связи с замечательной числовой последовательностью 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …. Эта последовательность определяется условиями: u₁=1, u₂=1, u_n+1=u_n+u_n-1 (для каждого натурального n>1). Ее члены называются числами Фибоначчи. Они возникают в самых разных математических ситуациях – комбинаторных, числовых, геометрических.

Актуальность. Трудно недооценить массовость применения чисел Фибоначчи в нашей жизни: данный ряд применяется в архитектуре, рекламе, киноиндустрии, живописи и т. д. В природе расстояния между листьями (ветками) на стволе растения относятся примерно как числа Фибоначчи. Черенки листьев примыкают к стеблю по спирали, которая проходит между двумя соседними листьями: 1/3 полного оборота – у орешника, 2/5 – у дуба, 3/8 – у тополя и груши, 5/13 – у ивы. В интерьерном и ландшафтном дизайне ряд используется для вычисления гармоничных пропорций: соотношение высоты помещения к высоте декорирования стен различными материалами. Человек подсознательно ищет Божественную пpопоpцию: она нужна для удовлетворения его потребности в комфорте. Не преувеличивая, можно сказать, что последовательности Фибоначчи и числу Фибоначчи на планете подчиняется всё.

Цель работы. Определить ряд Фибоначчи и изучить наиболее важные ее свойства.

Рассмотреть задачу о кроликах из “Книги об абаке”;
Дать определение ряда Фибоначчи и вывести формулу для общего члена;
Рассмотреть основные свойства чисел Фибоначчи;
Рассмотреть геометрические приложения чисел Фибоначчи.

Структура работы. Во введении дается обоснование актуальности темы курсовой работы, формулируются цель и задачи. В теоретической части рассматривается задача о кроликах, вводится определение последовательности Фибоначчи и изучаются основные свойства данной последовательности. В заключении подводятся итоги и выводы по работе.

1. Фибоначчи: "Книга об абаке" (1202) и задача о кроликах

Древняя история богата выдающимися математиками. Многие достижения древней математической науки до сих пор вызывают восхищение остротой ума их авторов, а имена Евклида, Архимеда, Герона известны каждому образованному человеку.

Иначе обстоит дело с математикой средневековья. Кроме Виеты, жившего, впрочем, уже в шестнадцатом столетии, и математиков более близких нам времен школьный курс математики не называет ни одного имени, относящегося к средним векам. Это, конечно, не случайно. Математика в эту эпоху развивалась чрезвычайно медленно, и крупных математиков тогда было очень мало.

Рассмотрим одну такую задачу, помещенную на стр. 123 – 124 рукописи 1228 г.

Пара
1
Первый
2
Второй
3
Третий
5
Четвертый
8
Пятый
13
Шестой
21
Седьмой
34
Восьмой
55
Девятый
89
Десятый
144
Одиннадцатый
233
Двенадцатый
377

«Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течение года, если природа кроликов такова что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения. Так как первая пара в первом месяце дает потомство, удвой, и в этом месяце окажутся 2 пары; из них одна пара, а именно первая, рождает и в следующем месяце, так что во втором месяце оказывается 3 пары; из них в следующем месяце 2 пары будут давать потомство, так что в третьем месяце родятся еще 2 пары кроликов, и число пар кроликов

в этом месяце достигнет 5, из них в этом же месяце будут давать потомство 3 пары, и число пар кроликов в четвертом месяце

достигнет 8; из них 5 пар произведут другие 5 пар, которые, сложенные с 8 парами, дадут в пятом месяце 13 пар; из них 5 пар, рожденных в этом месяце, не дадут в том же месяце потомство, а остальные 8 пар рождают, так что в шестом месяце оказывается 21 пара; сложенные с 13 парами, которые родятся в седьмом месяце, они дают 34 пары; сложенные с 21 парой, рожденной в восьмом месяце, они дают в этом месяце 55 пар; сложенные с 34 парами, рожденными в десятом месяце, они дают 89 пар; сложенные вновь с 55 парами, которые рождаются в десятом месяце, они дают в этом месяце 144 пары; снова сложенные с 89 парами, которые рождаются в одиннадцатом месяце, они дают в этом месяце 233 пары; сложенные вновь с 144 парами, рожденными в последнем месяце, они дают 377 пар; столько пар привела первая пара в данном месте к концу одного года.

Из выше приведенной задачи становится ясно, что Фибоначчи вывел особый ряд чисел. Примечательно, что первые два члена этой последовательности равны 1, следующее же члены равны сумме двух предыдущих.

2. Определение последовательности Фибоначчи и формула общего

члена (формула Бине)

Перейдем от кроликов к числам рассмотрим следующую числовую последовательность:

в которой каждый член равен сумме двух предыдущих членов, т.е. при всяком n>2

Такие последовательности, в которых каждый член определяется, как некоторая функция предыдущих в математике называется рекуррентными или по-русски, возвратными последовательностями. Сам процесс последовательного определения элементов таких последовательностей называется рекуррентным процессом, а равенство (2) – возвратным (рекуррентным) уравнением.

Заметим, прежде всего, что по одному этому условию (2) члены последовательности (1) вычислять нельзя.

Можно составить сколько угодно различных числовых последовательностей, удовлетворяющих этому условию; например,

2, 5, 7, 12, 19, 31, 50,…,

1, 3, 4, 7, 11, 18, 29,….

Значит для однозначного построения последовательности (1) условия (2) явно недостаточно, и нам следует указать некоторые дополнительные условия. Например, мы можем задать несколько первых членов последовательности (1). Сколько первых членов последовательности (1) мы должны задать, чтобы можно было вычислить все следующие члены, пользуясь при этом только условием (2)?

Начнем с того, что не всякий член последовательности может быть получен при помощи (2) уже хотя бы потому, что не у каждого члена (1) имеется два предшествующих; например. Перед первым членом последовательности вообще не стоит ни одного члена, а перед вторым её членом стоит только один, значит вместе с условием (2) для определения последовательности (1) знать два ее первых члена необходимо.

Обратимся теперь к важному частному случаю последовательности (1), когда u₁ =1 и u₂=1. Условие (2). как было отмечено, дает нам возможность вычислять последовательно один за другим все члены этого ряда. Нетрудно проверить, что в этом случае первыми четырнадцатью его членами будут числа

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377,

которые уже встречались в задаче о кроликах.

В честь автора этой задачи вся последовательность (1) при u₁=u₂=1 называется рядом Фибоначчи, а члены её – числами Фибоначчи.

Мы определили число Фибоначчи рекуррентно, т. е. индуктивно, по их номеру. Оказывается, однако, что любое число Фибоначчи можно определить и непосредственно, как некоторую функцию его номера.

Исследуем для этого различные последовательности удовлетворяющие соотношению (2).

Все такие последовательности мы будем называть решениями уравнения (2).

Будем обозначать буквами , и соответственно последовательности

Сначала приведем две простые леммы.,

Лемма 1. Если V есть решение уравнения (2), а с – произвольное число, то последовательность cV (т. е. последовательность ) есть также решение уравнения (2).

Лемма 2. Если последовательности и являются решениями уравнения(2), то и их сумма (тг. е. последовательность ) также является решением уравнения (2).

Пусть теперь и – два непропорциональных решения уравнения (2) (т.е. два таких решения уравнения (2), что при любом постоянном с найдется такой номер , для которого ). Покажем, что всякую последовательность V, являющуюся решением уравнения (2), можно представить в виде

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Администрации Орехово-Зуевского муниципального района Московской области

МОУ “Кабановская СОШ”

Реферат по математике

ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ

Азаров Сергей Владимирович

Учитель: Королева Татьяна Андреевна

Определение последовательности Фибоначчи ………………………………… 5

Свойства последовательности Фибоначчи ……………………………………. 7

Золотое сечение, спираль Фибоначчи ………………………………………….. 7

Некоторые приложения чисел Фибоначчи в природе, архитектуре, космосе .. 8

Великие ученые древности считали количественные отношения основой сущности мира. Поэтому числа и их соотношения занимали величайшие умы человечества.

Фибоначчи как бы напомнил свою последовательность человечеству: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,… Суть последовательности Леонардо заключается в том, что, после двух первых членов 1,1 каждое следующее число, получается сложением двух предыдущих. Эта последовательность чисел была известна еще древним грекам и египтянам. И действительно, с тех пор в природе, архитектуре, изобразительном искусстве, математике, физике, астрономии, биологии и многих других областях были найдены закономерности, описываемые числами Фибоначчи, и это не просто игра с числами, а самое важное математическое выражение природных явлений из всех когда-либо открытых.

Цель настоящего реферата – знакомство с числами Фибоначчи и историей их открытия; изучение свойств чисел Фибоначчи; изучение областей их применения.

1. Историческая справка

Леонардо Пизанский (Фибоначчи)

Место рождения: Пиза

Цата смерти: ок. 1250 года

Место смерти: Пиза

Научная сфера: Математика

Известен как пропагандист десятичной системы счисления и использования арабских цифр.

2. Определение последовательности Фибоначчи

Сообщаемый в “Книге абака” материал Леонардо поясняет на большом числе задач, составляющих значительную часть этого тракта. Рассмотрим одну из них: “Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течение года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет др. пару, а рожают кролики со второго месяца после своего рождения”.

Ясно, что если считать пару кроликов новорожденными, то на 2-й месяц мы будем по прежнему иметь одну пару; на 3-й месяц – 1+1=2; на 4-й – 2+1=3 пары (ибо из двух имеющихся пар потомство даёт лишь одна пара); на 5-й месяц – 3+2=5 пар (лишь два родившиеся на 3-й месяц пары дадут потомство на пятый месяц); на 6-й месяц – 5+3=8 пар (ибо потомство дадут только те пары, которые родились на 4-м месяце) и т. д.

Таким образом, если обозначить число пар кроликов, имеющихся на n-месяце через u _k, u ₁=1, u ₂=1, u ₃=2, u ₄=3, u ₅=5, u ₆=8, u ₇=13, u ₈=21 и т. д. причем образование этих чисел регулируется общим законом:

В итоге получается такая последовательность: 1,1, 2, 3, 5, 8,13,21,34, 55, 89, 144, 233, 377, где через запятую показано количество пар кроликов в каждом из двенадцати месяцев. Эту последовательность можно продолжать бесконечно долго. Числа, образующие последовательность 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …называются числами Фибоначчи, а сама последовательность – последовательностью Фибоначчи.

Этот числовой ряд был известен ещё в Древней Индии задолго до Фибоначчи. Своё нынешнее название числа Фибоначчи получили благодаря исследованию свойств этих чисел, проведённому Леонардо.

3. Свойства последовательности Фибоначчи

У этой последовательности есть ряд математических особенностей.

О
тношение какого-либо элемента последовательности к предшествующему ему колеблется около числа 1,618…, через раз, то превосходя, то не достигая его:

Отношение какого-либо элемента последовательности к последующему приближается к числу 0,618…, что обратно пропорционально числу 1,618…

Если делить элементы последовательности через один, то получим числа 2,618… и 0,382…, которые так же являются взаимно обратными числами.

Каждое третье число чётное, каждое четвёртое делится на 3, каждое пятое – на 5, каждое пятнадцатое – на 10.

Невозможно построить треугольник, сторонами которого являются числа ряда Фибоначчи (никакое число ряда не может повторяться дважды).

4. Золотое сечение. Спираль Фибоначчи

Фибоначчи по сути не открыл ничего нового, он просто напомнил миру о таком явлении, как Золотое сечение.

Золотое сечение - высшее проявление совершенства целого и его частей в науке, искусстве и природе. Если на простом примере, то Золотое Сечение -это деление отрезка на две части в таком соотношении, при котором большая часть относится к меньшей, как их сумма (весь отрезок) к большей.

Если принять весь отрезок с за 1, то отрезок b , будет равен 0,618, отрезок а будет равен 0,382, только так будет соблюдено условие Золотого Сечения (0,618/0,382=1,618; 1/0,618=1,618). Отношение с к b равно 1,618, а с к а равно 2,618. Это всё те же, уже знакомые нам, коэффициенты Фибоначчи.

5. Некоторые приложения чисел Фибоначчи в природе, архитектуре, космосе

Еще немецкий поэт Гёте подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Спираль видна в ананасах, кактусах и т.д. Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган.

Чешуйки на поверхности сосновой шишки расположены строго закономерно - по двум спиралям, которые пересекаются приблизительно под прямым углом. Число таких спиралей у сосновых шишек равно 8 и 13 или 13 и 21. Расположение семян в подсолнечнике и цветов броколли – идеальная последовательность спиралей

Расстояние между листьями (или ветками на стволе растения) относятся примерно как числа Фибоначчи.

В

о всех внешних и внутренних пропорциях пирамид в Гизе и пирамидах Майя в Мексике число 1,618… играет центральную роль.

С

амый потрясающий пример спиралей находится прямо над нашими головами на расстоянии приблизительно в 100 000 световых лет.

Даже спирали галактик сформировались по абсолютно тому же принципу, как и крошечная раковина!

В результате работы я познакомился с числами Фибоначчи, изучил их некоторые свойства

Числа Фибоначчи – это красиво, серьёзно, актуально

Числа Фибоначчи имеют различное проявление в природе, архитектуре, космосе

При выполнении работы я убедился, что природа сама творит красоту по законам математики.

Оказывается, закономерность явлений природы, строение и многообразие живых организмов на нашей планете, всё, что нас окружает, поражая воображение своей гармонией и упорядоченностью, законы мироздания, движение человеческой мысли и достижения науки – всё это можно объяснить последовательностью Фибоначчи.

Эта последовательность чисел была известна еще древним грекам и египтянам. И это не просто игра с числами, а самое важное математическое выражение природных явлений из всех когда-либо открытых.

Извечное стремление человека познать себя и окружающий мир двигало науку вперёд.

Актуальность нашей работы заключается в следующем:

Во вселенной еще много неразгаданных тайн, некоторые из которых ученые уже смогли определить и описать. Числа Фибоначчи и золотое сечение составляют основу разгадки окружающего мира, построения его формы и оптимального зрительного восприятия человеком, с помощью которых он может ощущать красоту и гармонию. Числа Фибоначчи продуманы и подчинены единым законам природы и имеют большой практический и теоретический интерес во многих науках.

Цель данной работы:

Изучить проявление чисел Фибоначчи и связанного с ними закона золотого сечения в строении живых и неживых объектов, найти примеры использования чисел Фибоначчи.

1.Описать способ построения ряда Фибоначчи и спирали Фибоначчи. 2.Увидеть математические закономерности, в строении человека, растительного мира и неживой природы с точки зрения феномена Золотого сечения.

Когда и кем были открыты числа Фибоначчи?

Удивительные числа были открыты итальянским математиком средневековья Леонардо Пизанским, более известным под именем Фибоначчи случайно, когда пытался в 1202 году решить практическую задачу о кроликах. Он пытался создать формулу, описывающую последовательность размножения кроликов. Разгадкой стал числовой ряд, каждое последующее число которого, является суммой двух предыдущих. Когда появился ряд Фибоначчи, никто, в том числе и он сам, не подозревал, насколько близко ему удалось приблизиться к разгадке одной из величайших тайн мироздания!
5 СЛАЙД

Фибоначчи, кто он?

Леонардо Фибоначчи (итал. Leonardo Fibonacci ; 1170 – 1250) — итальянский математик из города Пиза, считающийся одним из самых выдающихся западных математиков XIII века. Настоящее имя Леонардо Пизанский.

Известен как пропагандист десятичной системы счисления и использования арабских цифр.

Фибоначчи написал ряд математических трактатов, представляющих собой выдающееся явление средневековой западноевропейской науки.

Статуя Леонардо Фибоначчи

В Пизе, в монастыре исторического кладбища Кампо-Санто, находится статуя Леонардо Пизанского Портрет Фибоначчи является продуктом фантазии скульптора, поскольку до нашего времени не сохранилось изображений великого математика.

Заслуги и достижения Леонардо Фибоначчи

У Фибоначчи было множество заслуг и достижений. На экране вы можете лицезреть ряд вопросов, которые он рассматривал.

Задача Фибоначчи

Числа Фибоначчи-числовая последовательность, обладающая рядом свойств.

Он рассматривал развитие идеализированной (т.е. биологически нереальной) популяции кроликов, учитывая то, что каждая пара кроликов порождает ещё две пары на протяжении жизни, а затем погибает.

Размышляя на эту тему, Фибоначчи выстроил ряд чисел, который у вас есть возможность увидеть на слайде:

Но как оказалось, эта последовательность обладает рядом замечательных свойств.

Свойства последовательности Фибоначчи

Например, каждое третье число чётное, каждое четвёртое делится на 3, каждое пятое – на 5, каждое пятнадцатое – на 10.

Также невозможно построить треугольник, сторонами которого являются числа ряда Фибоначчи (никакое число ряда не может повторяться дважды).

Примите к сведению, что при делении любого числа из последовательности на число, стоящее перед ним в ряду, результатом будет величина, колеблющаяся около иррационального значения 1.61803398875… и через раз то - превосходящая, то - не достигающая его. После 13-ого числа этот результат деления становится постоянным до бесконечности ряда.

Именно это постоянное число деления в средние века было названо Божественной пропорцией, а в наши дни именуется, как золотое сечение. В алгебре это число обозначается греческой буквой фи (φ).

Итак, Золотая пропорция = 1 : 1,618

Но самое интересное, что меня поразило, это то, что золотая пропорция есть как в нашем теле, так и в природе.

Золотое сечение в теле человека

Формулу золотого сечения можно найти в частях тела человека:

и в руках человека,

и в строении лёгких и даже в строении молекулы ДНК.

Число Фибоначчи и золотое сечение в природе

Деление на симметричные части, в которых соблюдаются золотые пропорции, — такая закономерность присуща многим растениям и животным. Природа вокруг нас может быть описана с помощью чисел Фибоначчи, примеры перед вами:

Спираль Фибоначчи

В математике нет иной формы, которая обладала бы такими же уникальными свойствами, как спираль, потому что
в основе строения спирали лежит правило Золотого сечения!

Золотое сечение-это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.

Прямоугольник с именно таким отношением сторон стали называть золотым прямоугольником. Его длинные стороны соотносятся с короткими сторонами в соотношении 1,168 : 1.

Золотое сечение также используется в искусстве

Заключение

В своей работе я рассказала о Леонардо Пизанском и дали понятное определение последовательности Фибоначчи; затем, на ярких примерах показали присутствие чисел Фибоначчи и Золотого сечения в разных сферах нашей жизни. Я убеждена, что данная тема будет актуальна еще долгое время, и будут открываться все новые и новые факты, подтверждающие присутствие и влияние суммационной последовательности Фибоначчи на нашу жизнь.

Проект па математике ученика 6 класса" Числа Фибоначчи".

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Руководитель: Тиимофеева Н.Е.

Пояснительная записка

Неужели в каждом цветочке,

И в молекуле, и в галактике,

Я обратилась к современному источнику информации – к Интернету и прочитала о числах Фибоначчи, о магических числах, которые таят в себе великую загадку. Оказывается, эти числа можно найти в подсолнухах и сосновых шишках, в крыльях стрекозы и морских звёздах, в ритмах человеческого сердца и в музыкальных ритмах.

Почему же эта последовательность чисел столь распространена в нашем мире?

Я захотела узнать о тайнах чисел Фибоначчи. Результатом моей деятельности и явилась данная исследовательская работа.

Если в окружающей нас действительности всё построено по удивительно гармоничным законам с математической точностью, то всё в мире продуманно и просчитано самым главным нашим дизайнером – Природой!

Введение. История ряда Фибоначчи.

Однажды, он ломал голову над решением одной математической задачи. Он пытался создать формулу, описывающую последовательность размножения кроликов.

Разгадкой стал числовой ряд, каждое последующее число которого, является суммой двух предыдущих:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, .

Числа, образующие данную последовательность называются "числами Фибоначчи", а сама последовательность - последовательностью Фибоначчи.

Фибоначчи вёл отшельнический образ жизни, много времени проводил на природе, и, гуляя в лесу, он обратил внимание, что эти числа стали буквально преследовать его. Повсюду в природе он снова и снова встречал эти числа. Например, лепестки и листья растений строго укладывались в данный числовой ряд.

Биография Леонардо Пизанского

Предположительно Фибоначчи умер во время одного из Крестовых походов в 1228 году, сопровождая императора Фридриха II.

История ряда Фибоначчи

Леонардо Фибоначчи совершил открытие чисел (впоследствии названных его именем) случайно. В 1202 году он пытался решить практическую задачу: какой максимальный приплод может дать одна пара кроликов за год и создать формулу, описывающую последовательность их размножения.
На второй месяц мы будем иметь одну пару, на третий месяц 1+1=2, на четвертый месяц 2+1=3 пары, на пятый месяц 3+2=5 пар, на шестой месяц 5+3=8 пар.
Разгадкой стал числовой ряд, каждое последующее число которого, является суммой двух предыдущих.
Отслеживая каждый месяц, количество пар кроликов получили такой ряд чисел:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377…

Читайте также: