Реферат на тему алгебраические кривые

Обновлено: 02.07.2024

Алгебраическая кривая является одномерным алгебраическим многообразием , поэтому оно может быть описано с помощью полиномиального уравнения . Важным частным случаем являются плоские алгебраические кривые, т. Е. Алгебраические кривые, бегущие в аффинной или проективной плоскости .

Исторически увлечение алгебраическими кривыми началось еще в древности с исследования прямых и конических сечений . В 17 веке они стали предметом анализа в рамках аналитической геометрии, а Исаак Ньютон систематически занимался кубиками. Озабоченность ими достигла апогея в XIX веке благодаря трактовке в контексте проективной геометрии (включая Августа Фердинанда Мёбиуса , Юлиуса Плюккера ). Точка в бесконечности систематически учитывается. Естественный подход основан на фундаментальной теореме алгебры над комплексными числами, а классическая теория была помещена на новый базис благодаря связи с римановыми поверхностями, которые находятся в сложных кривых, открытой Бернхардом Риманом . В теории чисел (арифметическая геометрия) также рассматриваются кривые над телами K, кроме действительных и комплексных чисел, и над кольцами.

Алгебраические кривые являются одними из простейших объектов алгебраической геометрии , в которой они обрабатываются чисто алгебраическими методами, а не методами анализа. Многомерные многообразия алгебраической геометрии - это, например, алгебраические поверхности . Вы также можете исследовать алгебраические кривые в контексте комплексного анализа.

Далее используемые термины объясняются в простейшем случае плоских алгебраических кривых. Вы можете определить алгебраические кривые как кривые пересечения алгебраических поверхностей более чем в двух измерениях. Их классификация в трех измерениях в соответствии с классом d и полом g была предметом двух крупных работ Макса Нётера и Жоржа Анри Хальфена о премии Штайнера в 1880-х годах , свидетельства и работа которых, однако, были еще неполными. Цель классификации - определить, какие пары (d, g) существуют. Алгебраические кривые всегда можно вложить в трехмерное проективное пространство, так что рассмотрения двух и трех пространственных измерений достаточно.

Содержание

Определение и важные свойства

Плоской алгебраической кривой над телом определяется непостоянной многочлена от двух переменных и коэффициенты которых приходят из . Два полинома отождествляются друг с другом, если один получается из другого умножением на число, отличное от нуля . Степень полинома называется степенью кривой. K Икс y K K

Это определение основано на следующей мотивации: если есть такой многочлен, можно использовать набор нулей. ж

посмотрите на самолет . Этот набор часто представляет собой объект, который можно четко описать как кривую, например K 2 >

круг. Постоянный фактор не играет роли в определении ни того, ни другого. V ( ж )

Если поле алгебраически замкнуто , многочлен может быть восстановлен из множества, используя нулевую теорему Гильберта , если он распадается на несколько различных неприводимых факторов. В этом случае нет необходимости проводить строгое различие между определяющим полиномом и его множеством нулей. K V ( ж ) ж

Если, с другой стороны, тело не является алгебраически замкнутым, оно не всегда представляет собой кривую на плоскости. K V ( ж )

в действительности определяется пустое множество или точка, ни один из которых не является одномерным объектом. Эти многочлены только генерировать кривые , когда они являются сложными : круг и пересекающей пару линий.

Поэтому говорят , что кривая имеет свойство геометрической , если множество имеет это свойство над алгебраическим замыканием в . V ( ж ) K

В более абстрактном смысле алгебраическая кривая также может быть определена как одномерная разделенная алгебраическая схема над телом. Часто в определение включаются и другие требования, такие как геометрическая простота или несводимость.

Несводимость

Если определяющий многочлен приводим , то есть если его можно разбить на два нетривиальных фактора, то кривая также может быть разбита на две независимые компоненты. Например, многочлен сводится, потому что его можно разбить на множители и . Кривая, определяемая , таким образом, состоит из двух прямых линий. ж ( Икс , y ) знак равно Икс y Икс y ж

В случае неприводимого многочлена кривая не может быть сломана, что в таком случае также называется неприводимым.

Особенности

Обычно к кривой можно провести ровно одну касательную в каждой точке алгебраической кривой. В этом случае точка называется гладкой или неособой . Однако также может случиться так, что кривая имеет самопересечение или пик в одной или нескольких точках. В первом случае кривая имеет две или более касательных в этой точке, во втором эти касательные совпадают, образуя кратную касательную.

Примеры таких особых точек можно найти в параболе Нейла с уравнением , которое имеет вершину в нулевой точке. Толстой кишку , т.е. точку , которая пересекается дважды в разных направлениях, можно найти в декартовом листе , который данный путем . y 2 знак равно Икс 3 = х ^ > Икс 3 + y 3 - 3 Икс y знак равно 0 <\ displaystyle x ^ + y ^ -3xy = 0>

Проективные кривые

Часто бывает полезно рассматривать алгебраические кривые не в аффинной, а в проективной плоскости . Это можно описать так называемыми однородными координатами , в соответствии с которыми и не могут быть одновременно, а две точки считаются одинаковыми, если они выходят одна из другой путем умножения их на одно из разных чисел. Ибо так верно . Чтобы определить алгебраические кривые в проективной проекции, нужны многочлены от трех переменных и . Если бы здесь использовались какие-либо полиномы, возникли бы большие проблемы из-за того, что представление точек не является однозначным: точки и равны, но многочлен исчезает в первом представлении, но не во втором. [ Икс : y : z ] Икс , y z 0 0 λ ≠ 0 [ Икс : y : z ] знак равно [ λ ⋅ Икс : λ ⋅ y : λ ⋅ z ] Икс , y z [ 1 : 1 : 1 ] [ 2 : 2 : 2 ] ж ( Икс , y , z ) знак равно Икс 2 - y -y>

Эта проблема не возникает, если вы ограничиваетесь однородными многочленами : хотя значения, которые принимает многочлен в разных представлениях, здесь также могут различаться, свойство того, имеет ли многочлен ноль, зависит от выбора представления Независимо от точки .

Чтобы найти проективную кривую, связанную с аффинной кривой, определяющий полином гомогенизируется: в каждый член вставляется такая большая -потентность, что получается однородный полином: Уравнение становится . z Икс 2 - y + 1 знак равно 0 -y + 1 = 0> Икс 2 - y z + z 2 знак равно 0 -yz + z ^ = 0>

Обратный процесс называется дегомогенизацией. Здесь вы вставляете значение в однородный полином для (или в переменную, если вы хотите дегомогенизировать в соответствии с другой переменной) . z 1

Пересечения двух кривых

Например, если вы рассматриваете прямую линию и параболу, вы обычно ожидаете двух общих точек. Из-за различных обстоятельств могут возникнуть менее общие моменты, но всех этих случаев можно избежать с помощью специальных требований или определений:

Прямая линия и парабола не могут иметь точки пересечения; этого можно избежать, если предположить, что тело, на котором она основана, алгебраически замкнуто.
Прямая линия может проходить вертикально вверх через вершину параболы и, таким образом, иметь с ней только одну общую точку. Этого не происходит, когда вы находитесь в проективной плоскости, здесь прямая линия и парабола в этом случае имеют другую точку пересечения на бесконечности.
Прямая линия может быть касательной к параболе. И в этом случае есть только одна общая точка. Однако при подходящем определении кратности пересечения это пересечение можно пересчитать дважды.

При сделанных выше предположениях применима теорема Безу : количество общих точек двух проективных плоских алгебраических кривых степени n и m без общих компонент равно nm .

Примеры алгебраических кривых

Кривые отсортированы по градусам

Плоские алгебраические кривые степени 1 - это в точности прямые. Уравнения и описывают, например, оси координат, уравнение или, что то же самое, первую биссектрису. Икс знак равно 0 y знак равно 0 Икс знак равно y Икс - y знак равно 0
Плоские алгебраические кривые степени 2 - это в точности конические сечения, включая единичный круг, описываемый формулой, и нормальную параболу с формулой . Приводимые кривые - это вырожденные конические сечения. Икс 2 + y 2 знак равно 1 + y ^ = 1> y знак равно Икс 2 <\ Displaystyle у = х ^ >
При степени 3 впервые появляются неприводимые кривые с особенностями, например парабола Нейла с уравнением и декартов лист, задаваемый формулой . Эти эллиптические кривые также являются важными примерами плоских алгебраических кривых степени 3. y 3 знак равно Икс 2 = х ^ > Икс 3 + y 3 - 3 Икс y знак равно 0 + y ^ -3xy = 0>
Спиральная кривая является алгебраической кривой степени 4. Особые случаи на кривой Кассини , Бернуллилемнискату и лемнискату Бут .

Кривые отсортированы по полу

Кривые 0-го пола - рациональные кривые .
Кривые первого рода - эллиптические .
Кривые пола не менее 2 включают гиперэллиптические кривые , квартику Клейна и кривую Ферма . Икс 3 y + y 3 z + z 3 Икс знак равно 0 y + y ^ z + z ^ x = 0> Икс п + y п - z п знак равно 0 + y ^ -z ^ = 0>

Двойная кривая

Например, кривая третьего порядка без сингулярностей относится к 6-му классу, если на ней есть двоеточие, то к четвертому, а если у нее есть вершина, то к третьему классу.

В однородном случае, прямые линии, в том числе, касательных иметь уравнение вида , в результате чего и не все могут равны нулю , и может быть , умноженной на любое число , отличное от 0. Это позволяет вам назначить точку этой прямой . Таким образом, набор точек на проективной плоскости получается из множества касательных к данной кривой. Оказывается, что это множество само является алгебраической кривой, так называемой дуальной кривой . а Икс + б y + c z знак равно 0 а , б c [ а : б : c ]

с циклической группой кручения порядка 7, порождённой точкой P = (3,8). Весьма занимательно и совсем несложно самостоятельно придумать и исследовать другие примеры.

Уже давно существовало предположение, подтверждавшееся всё новыми численными примерами, что порядок группы кручения ограничен. К 1960 г. было известно, что он не может принимать некоторых значений, например кратных 11, 14, 15, . (см. [4]).

В 1976 г. Б. Мазур существенно продвинулся вперёд, доказав, что порядок всякой рациональной точки кручения равен 12 или не превосходит 10 (это уже в 1974 г. предполагал Э. Огг [12]). Тем самым была полностью выяснена структура группы TE.

Имеется 15 возможностей: либо TE – циклическая группа, порядок которой равен 12 или не превосходит 10, либо она есть произведение группы Z2 на циклическую группу порядка 2, 4, 6 или 8.

Выдающимся результатом Б. Мазура была завершена одна из глав теории эллиптических кривых, причём весьма неожиданно даже для некоторых специалистов, считавших, что над этой проблемой придётся работать ещё долгое время. Можно смело утверждать, что этот результат принадлежит к числу интереснейших математических результатов последних лет. Разумеется, в рамках настоящей лекции невозможно указать даже хотя бы идею метода доказательства Мазура. Да это и не входит в мою задачу.

Я хотел только попытаться пройти вместе с вами небольшую часть пути развития одной математической проблемы – от Пифагора через Диофанта и гипотезу Ферма к рациональным точкам эллиптических кривых – и показать, как в ходе исследования проблему видоизменяли, обобщали и снова конкретизировали, частично решали и возводили на её основе новые теории. Пусть нематематики простят мне, что время от времени я вынужден был обращаться к математическим понятиям и формулам.

Формально-математически это означает отсутствие особенностей у соответствующей комплексной проективной кривой, представляющей собой тем самым поверхность Римана рода g > 1. назад к тексту

Случаи, когда квадрика вырождается в точку (как это будет, например, для кривой, задаваемой уравнением xІ + yІ = 0), не принимаются во внимание. назад к тексту

Происхождение этого названия имеет долгую историю. Уже в XVII в. при вычислении длин дуг эллипсов и других кривых математики столкнулись с интегралами вида

где f (x) – многочлен степени не выше 4. Исследование этих эллиптических интегралов начал Эйлер. Абель и независимо от него Якоби рассмотрели обратные функции для этих интегралов. Следуя Якоби, их стали называть эллиптическими функциями. Выяснилось, что это двоякопериодические мероморфные функции, удовлетворяющие дифференциальному уравнению вида

Исходя из этого уравнения, можно показать, что эллиптические функции – это в точности функции, мероморфные на эллиптических кривых (понимаемых как компактные римановы поверхности). назад к тексту

Видоизменив метод Грюнвальда и Циммерта, К.Наката нашёл недавно пример кривой ранга 9 (К.Nakata, Manuscripta Math. 29 (1979)). назад к тексту

(Превосходные библиографии имеются в [4] и [17]. По проблеме Ферма полезно сравнить [5] и [15].)

Список литературы

И.Г.Башмакова, Диофант и диофантовы уравнения. – М: Наука, 1972. назад к тексту

K.L.Biernatzki, Die Arithmetik der Chinesen, J. reine angew. Math. 52 (1856). назад к тексту

В.J.Birch, H.P.F.Swinnerton-Dyer, Notes on elliрtic curves. II, J. reine angew. Math. 218 (1965). назад к тексту

W.S.Cassels, Diophantine equations with special reference to elliptic, J. London Math. Soc. 41 (1966). назад к тексту

H.M.Edwards, Fermat's Last Theorem, Springer Graduate Texts in Mathematics, vol.50, Springer-Verlag, New York – Heidelberg – Berlin, 1977. [Имеется перевод: Г.Эдвардс. Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. – М.: Мир, 1980.] назад к тексту

F.J.Grunewald, R.Zimmert, Ьber einige rationale elliptische Kurven mit freiem Rang 8, J. reine angew. Math. 296 (1977). назад к тексту

E.Lutz, Sur l'equation yІ = xі – Ax – B dans les corps p-adiques, J. Math. 177 (1937). назад к тексту

B.Mazur, Modular curves and the Eisenstein ideal, Publ. Math. IHES 47 (1977). назад к тексту

L.I.Mordell, On the rational solutions of the indeterminant equations of the third and fourth degrees, Proc. Cambridge Phil Soc. 21 (1922). назад к тексту

T.Nagell, Solution de quelques problиmes dans la thйorie arithmйtique des cubiques planes du premier genre, Vid. Akad. Skrifter Oslo 1 (1935), No. 1. назад к тексту

A.Neron, Problиmes arithmйtiques et gйomйtriques rattachйs а la notion de rang d'une courbe algйbriques dans un corps, Bull. Soc. Math. France 80 (1952). назад к тексту

A.P.Ogg, Diophantine equations and modular forms, Bull. Amer. Math. Soc. 81 (1975). назад к тексту

D.E.Penney, C.Pomerance, Three elliptic curves with rank at least seven, Math. Comp. 29 (1975). назад к тексту

H.Poincarй, Sur les propriйtйs arithmйtiques des courbes algйbriques, J. de Math. Pures et Appl., ser. 5, 7 (1901). назад к тексту

P.Ribenboim, 13 Lectures on Fermat's Last Theorem, Springer-Verlag, New York – Heidelberg – Berlin, 1979. назад к тексту

C.L.Siegel, Ьber einige Anwendungen Diophantischer Approximationen, Abh. Preuss. Akad. Wiss. Phys.-Math. Kl. 1 (1929). назад к тексту

J.T.Tate, The arithmetic of elliptic curves, Invent. Math. 23 (1974). назад к тексту

J.T.Tate, Rational Points on Elliptic Curves, Philips Lectures, Haverford College, 1961. назад к тексту

R.Wachendorf, Ьber den Rang der elliptischen Kurve yІ = xі – pІx, Diplomarbeit, Bonn, 1974. назад к тексту

A.Wiman, Ьber rationale Punkte auf Kurven dritter Ordnung vom Geschlecht Eins, Acta Math. 80 (1948). назад к тексту

Сведения по истории математики наряду с [1], [4], [5], [15], [17] можно найти в работах:

M.Cantor, Vorlesungen ьber Geschichte der Mathematik, 4 Bдnde, Leipzig, 1900–1908.

L.E.Dickson, History of the theory of numbers, Carnegie Institution, Washington, 1919, 1920, 1923.

D.I.Struik, Abriss der Geschichte der Mathematik, Vieweg, Braunschweig, 1976. [Имеется перевод: Д.Я.Стройк. Краткий очерк истории математики. – М., Наука, 1978.]

B.L.van der Waerden, Die Pythagoreer, Artemis Verlag, 1979. [См. также: Б.Л.ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. – М.: Физматгиз, 1959. – Перев.]

Encyclopedic Dictionary of Mathematics, ed. by Math. Soc. Japan, MIT Press, Cambridge Mass. and London.

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.

плоские кривые линии, бесчисленное множество раз обходящие некоторую точку, с каждым обходом приближаясь к ней или с каждым обходом удаляясь от неё. Если выбрать эту точку за полюс полярной системы координат, то полярное уравнение С. ρ = f (φ) таково, что f (φ + 2π) > f (φ) или f (φ + 2π) n = (φ/2π) m и нашёл площадь их сектора.

Уравнение ρ = ае к φ задаёт логарифмическую С. (см. рис. ). Логарифмическая С. пересекает под одним и тем же углом а все радиус-векторы, проведённые из полюса, причём ctgα = k . Это свойство логарифмической С. используется при проектировании вращающихся ножей, фрез и т. д. для достижения постоянства угла резания. Логарифмическая С. встречается также в теории спиральных приводов к гидравлическим турбинам и т. д. В теории зубчатых колёс используется возможность качения без скольжения одной логарифмической С. по другой, равной с ней, когда обе С. вращаются вокруг своих полюсов. При этом получаются зубчатые передачи с переменным передаточным числом. При стереографической проекции (См. Стереографическая проекция ) плоскости на сферу логарифмической С. переходит в локсодромию (кривую, пересекающую все меридианы под одним и тем же углом). Определение длин дуг логарифмической С. дано итал. учёным Э. Торричелли. Длина дуги логарифмической С. пропорциональна разности длин радиус-векторов, проведённых в концы дуги, точнее равна Каустическая поверхность ) логарифмической С. являются логарифмическими С. При вращении вокруг полюса логарифмической С. получается кривая, гомотетичная (см. Гомотетия ) исходной. При инверсии (См. Инверсия ) логарифмическая С. переходит в логарифмическую С.

Из других С. практическое значение имеет Корню С. (или клотоида), применяемая при графическом решении некоторых задач дифракции (см. рис. ). Параметрическое уравнение этой С. имеет вид:

Корню С. является идеальной переходной кривой для закругления железнодорожного пути, так как её радиус кривизны возрастает пропорционально длине дуги. С. являются также эвольвенты замкнутых кривых, например эвольвента окружности.

Названия некоторым С. даны по сходству их полярных уравнений с уравнениями кривых в декартовых координатах, например параболическая С. (см. рис. ): (а - ρ) 2 = b φ, гиперболическая С.(см. рис. ): ρ = а /φ. К С. относятся также жезл (см. рис. ): ρ 2 = a/φ и si-ci-cпираль, параметрические уравнения которой имеют вид:

[si (t ) и ci (t ) — Интегральный синус и интегральный косинус ]. Кривизна si-ci-cпирали изменяется с длиной дуги по закону показательной функции. Такие С. применяют в качестве профиля для лекал.

Напоминает С. кривая рис .). Она бесконечное множество раз проходит через полюс, причём каждый следующий завиток лежит в предыдущем.

С. встречаются также при рассмотрении особых точек в теории дифференциальных уравнений (см. Особые точки (См. Особая точка )).

Кардио́ида (греч. καρδία — сердце, греч. εἶδος — вид) — плоская линия, которая описывается фиксированной точкой окружности, катящейся по неподвижной окружности с таким же радиусом. Получила своё название из-за схожести своих очертаний со стилизованным изображением сердца.

Кардиоида является частным случаем улитки Паскаля, эпициклоиды и синусоидальной спирали.

Уравнения

В прямоугольных координатах (параметрическая запись):

x = 2r cost (1 + cost )

y = 2r sint (1 + cost )

Свойства

Кардиоида — алгебраическая кривая четвёртого порядка.
Кардиоида имеет один касп.
Длина дуги одного витка кардиоиды, заданной формулой:

s = 8a .

Площадь фигуры, ограниченной кардиоидой, заданной формулой:

Цикло́ида (от греч. κυκλοειδής — круглый) — плоская трансцендентная кривая. Циклоида определяется кинематически как траектория фиксированной точки производящей окружности радиуса r , катящейся без скольжения по прямой.

Уравнения

Примем горизонтальную ось координат в качестве прямой, по которой катится производящая окружность радиуса r .

x = rt − r sint ,

y = r − r cost .

Циклоида может быть получена как решение дифференциального уравнения:

Свойства

Исторический очерк

Первым из учёных обратил внимание на циклоиду Николай Кузанский в XV веке, но серьёзное исследование этой кривой началось только в XVII веке. Название циклоида придумал Галилей (во Франции эту кривую сначала называли рулеттой ). Содержательное исследование циклоиды провёл современник Галилея Мерсенн. Среди трансцендентных кривых, то есть кривых, уравнение которых не может быть записано в виде многочлена от x ,y , циклоида — первая из исследуемых.

Паскаль писал о циклоиде:

Рулетта является линией столь обычной, что после прямой и окружности нет более часто встречающейся линии; она так часто вычерчивается перед глазами каждого, что надо удивляться тому, как не рассмотрели её древние… ибо это не что иное, как путь, описываемый в воздухе гвоздём колеса.

Новая кривая быстро завоевала популярность и подверглась глубокому анализу, в котором участвовали Декарт, Ферма, Ньютон, Лейбниц, братья Бернулли и другие корифеи науки XVII—XVIII веков. На циклоиде активно оттачивались методы появившегося в те годы математического анализа.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Реферат на тему:

Понятие фрактала. 4

История появления фракталов………………………………………. 6

Множество Мальдеброда……………………………………………. 9

Бассейны (фракталы) Ньютона………………………………………13

Практическое применение фракталов…………………………………. 15

Список используемой литературы…………………………………………. …20

Язык науки стремительно меняется в современном мире. История развития физики насчитывает уже не одно столетие. За это время изучено огромное количество разнообразных явлений природы, открыты фундаментальные законы физики, объясняющие различные экспериментальные факты.

Большинство систем в природе сочетают два свойства: во-первых, они очень велики, часто многогранны, многообразны и сложны, а во- вторых они формируются под действием очень небольшого количества простых закономерностей, и далее развиваются, подчиняясь этим простым закономерностям. Это самые разные системы, начиная от кристаллов и просто кластеров (различного рода скоплений, таких как облака, реки, горы, материки, звёзды), заканчивая экосистемами и биологическими объектами (от листа папоротника до человеческого мозга). Фракталы являются как раз такими объектами: с одной стороны — сложные (содержащие бесконечно много элементов), с другой стороны — построенные по очень простым законам. Благодаря этому свойству, фракталы обнаруживают много общего со многими природными объектами. Но фрактал выгодно отличается от природного объекта тем, что фрактал имеет строгое математическое определение и поддаётся строгому описанию и анализу. Поэтому теория фракталов позволяет предсказать скорость роста корневых систем растений, трудозатраты на осушение болот, зависимость массы соломы от высоты побегов и многое другое. Это новое направление в математике, совершившее в научной парадигме переворот, сравнимый по значимости с теорией относительности и квантовой механикой. Объекты фрактальной геометрии по своему внешнему виду резко отличаются от привычных нам 'правильных' геометрических фигур. Фактически, это прорыв в математическом описании систем, которые на протяжении долгого времени такому описанию не поддавались.

Фрактальная геометрия не есть "чистая" геометрическая теория. Это скорее концепция, новый взгляд на хорошо известные вещи, перестройка восприятия, заставляющая исследователя по новому видеть мир.

Понятие фрактала

Сравнительно недавно в математике возник образ объекта, более объемистого, но тем не менее сходного с линией. Некоторым ученым было трудно примириться с понятием линии, не имеющей ширины, поэтому постепенно ими стали изучаться геометрические формы и структуры, имеющие дробную пространственную размерность. На смену непрерывным кривым, обладающим всеми своими производными, пришли ломаные или очень изрезанные кривые. Ярким примером такой кривой является траектория броуновской частицы. Так в науке возникло понятие фрактала.

Фрактал (лат. fractus — дробленый, сломанный, разбитый) — сложная геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком (рис. 1). В более широком смысле под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность.

Обладает нетривиальной структурой на всех шкалах. В этом отличие от регулярных фигур (таких, как окружность, эллипс, график гладкой функции): если мы рассмотрим небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину.

Является самоподобной или приближённо самоподобной.

Обладает дробной метрической размерностью.

Многие объекты в природе обладают фрактальными свойствами, например, побережья, облака, кроны деревьев, кровеносная система и система альвеол человека или животных.
Фракталы, особенно на плоскости, популярны благодаря сочетанию красоты с простотой построения при помощи компьютера.

История появления фракталов

Первые идеи фрактальной геометрии возникли в 19 веке. Кантор с помощью простой рекурсивной (повторяющейся) процедуры превратил линию в набор несвязанных точек (так называемая Пыль Кантора). Он брал линию и удалял центральную треть и после этого повторял то же самое с оставшимися отрезками. (Рис. 2)

Пеано нарисовал особый вид линии.(Рис. 3)

Рис. 3

Для ее рисования Пеано использовал следующий алгоритм.

На первом шаге он брал прямую линию и заменял ее на 9 отрезков длиной в 3 раза меньшей, чем длина исходной линии (часть 1 и 2 рисунка ). Далее он делал то же самое с каждым отрезком получившейся линии. И так до бесконечности. Уникальность линии в том, что она заполняет всю плоскость. Доказано, что для каждой точки на плоскости можно найти точку, принадлежащую линии Пеано.

Кривая Пеано и пыль Кантора выходили за рамки обычных геометрических объектов. Они не имели четкой размерности. Пыль Кантора строилась вроде бы на основании одномерной прямой, но состояла из точек (размерность 0). А кривая Пеано строилась на основании одномерной линии, а в результате получалась плоскость. Во многих других областях науки появлялись задачи, решение которых приводило к странным результатам, на подобие описанных выше (Броуновское движение, цены на акции).

Вплоть до 20 века шло накопление данных о таких странных объектах, без какой - либо попытки их систематизировать. Так было, пока за них не взялся Бенуа Мандельброт – отец современной фрактальной геометрии и слова фрактал. Постепенно сопоставив факты, он пришел к открытию нового направления в математике – фрактальной геометрии.

Чтобы представить себе фрактал понаглядней рассмотрим пример, приведенный в книге Б.Мандельброта “The Fractal Geometry of Nature” (“Фрактальная геометрия природы”) ставший классическим – “Какова длина берега Британии?”. Ответ на этот вопрос не так прост, как кажется. Все зависит от длины инструмента, которым пользуются. Померив берег с помощью километровой линейки полуают какую-то длину. Однако пропускают много небольших заливчиков и полуостровков, которые по размеру намного меньше измеряемой линейки. Уменьшая размер линейки до 1 метра – получается, что длина берега станет больше. Измеряя длину берега с помощью миллиметровой линейки, учитывая детали, которые больше миллиметра, длина будет еще больше. В итоге ответ на такой, казалось бы, простой вопрос может поставить в тупик кого угодно – длина берега Британии бесконечна.

Алгебраические фракталы

Свое название алгебраические фракталы получили за то, что их строят, на основе алгебраических формул. Методов получения алгебраических фракталов несколько. Один из методов представляет собой многократный расчет функции , где z - комплексное число, а f некая функция. Расчет данной функции продолжается до выполнения определенного условия. И когда это условие выполнится - на экран выводится точка. При этом значения функции для разных точек комплексной плоскости может иметь разное поведение:

• с течением времени стремится к бесконечности;

• стремится к 0;
•принимает несколько фиксированных значений и не выходит за их пределы;
•поведение хаотично, без каких либо тенденций.

3.1 Множество Мандельброта

Множество Мандельброта (один из самых известных фрактальных объектов) впервые было построено (визуально с применением ЭВМ) Бенуа Мандельбротом весной 1980 г. в исследовательском центре фирмы IBM им. Томаса Дж. Уотсона. И хотя исследования подобных объектов начались ещё в прошлом веке, именно открытие этого множества и совершенствование аппаратных средств машинной графики в решающей степени повлияли на развитие фрактальной геометрии и теории хаоса. Итак, что же такое множество Мандельброта.

Рассмотрим функцию комплексного переменного . Положим и рассмотрим последовательность , где для любого . Такая последовательность может быть ограниченной (т.е. может существовать такое r, что для любого ) либо "убегать в бесконечность" (т.е. для любого r > 0существует ). Множество Мандельброта можно определить как множество комплексных чисел c, для которых указанная последовательность является ограниченной. К сожалению, не известно аналитического выражения, которое позволяло бы по данному c определить, принадлежит ли оно множеству Мандельброта или нет. Поэтому для построения множества используют компьютерный эксперимент: просматривают с некоторым шагом множество точек на комплексной плоскости, для каждой точки проводят определённое число итераций (находят определённое число членов последовательности) и смотрят за её "поведением". (Рис. 4).

Доказано, что множество Мандельброта размещается в круге радиуса r=2 с центром в начале координат. Таким образом, если на некотором шаге модуль очередного члена последовательности превышает 2, можно сразу сделать вывод, что точка, соответствующая c, определяющему данную последовательность, не принадлежит множеству Мандельброта.

Уменьшая шаг, с которым просматриваются комплексные числа, и увеличивая количество итераций, мы можем получать сколь угодно подробные, но всегда лишь приближённые изображения множества.

Пусть в нашем распоряжении имеется N цветов, занумерованных для определённости от 0 до N-1. Будем считать, опять же для определённости, что черный цвет имеет номер 0. Если для данного c после N-1 итераций точка не вышла за круг радиуса 2, будем считать, что c принадлежит множеству Мандельброта, и покрасим эту точку c в чёрный цвет. Иначе, если на некотором шаге k (k Є [1; N-1]) очередная точка вышла за круг радиуса 2 (т.е. на k-ом шаге мы поняли, что она "убегает"), покрасим её в цвет k.

Красивые изображения получаются при удачном выборе палитры и окрестности множества (а именно вне множества мы и получим "цветные точки). (Рис. 5, 6).

3.2 Множество Жюлиа

Множества Жюлиа, тесно связанные с множеством Мандельброта, были исследованы ещё в начале XX века математиками Гастоном Жюлиа и Пьером Фату (см. [1]). В 1917-1919 гг. ими были получены основополагающие результаты, связанные с итерированием функций комплексного переменного. Вообще говоря, этот факт заслуживает отдельного обсуждения и является впечатляющим примером математического исследования, на многие десятилетия опередившего время (учёные могли лишь приблизительно представлять, как выглядят исследуемые ими объекты!), но мы опишем лишь способ построения множеств Жюлиа для функции комплексного переменного . Говоря более точно, мы будем строить т.н. "заполняющие множества Жюлиа".

Рассмотрим прямоугольник (x ₁ ;y ₁ )-(x ₂ ;y ₂ ). Зафиксируем константу c и станем просматривать точки выбранного прямоугольника с некоторым шагом. Для каждой точки, как и при построении множества Мандельброта, проведём серию итераций (чем больше число итераций, тем точнее будет получено множество). Если после серии итераций точка не "убежала" за границу круга радиуса 2, поставим её чёрным цветом, иначе цветом из палитры. (Рис. 7, 8, 9, 10).

3.3 Бассейны (фракталы) Ньютона

Еще один тип динамических фракталов составляют фракталы (так называемые бассейны) Ньютона. (Рис. 11). Формулы для их построения основаны на методе решения нелинейных уравнений, который был придуман великим математиком еще в XVII веке. Применяя общую формулу метода Ньютона zn+1 = zn — f (zn)/f'(zn), n=0, 1, 2… для решения уравнения f (x)=0 к многочлену zk-a, получим последовательность точек: zn+1 = (k-1)znk/kznk-1, n=0, 1, 2… Выбирая в качестве начальных приближений различные комплексные числа z0, будем получать последовательности, которые сходятся к корням этого многочлена. Поскольку корней у него ровно k, то вся плоскость разбивается на k частей — областей притяжения корней. Границы этих частей имеют фрактальную структуру.

Рис. 11

3.4 Фрактал (пузыри) Галлея

Такие фракталы получаются, если в качестве правила для построения динамического фрактала использовать формулу Галлея для поиска приближенных значений корней функции. (Рис. 12).

Метод состоит из последовательности итераций:

Идея метода почти та же, что используется для рисования динамических фракталов: берем какое-нибудь начальное значение (как обычно, здесь речь идет о комплексных значениях переменных и функций) и применяем к нему много раз формулу, получая последовательность чисел. Почти всегда она сходится к одному из нулей функции (то есть значению переменной, при котором функция принимает значение 0). Метод Галлея, несмотря на громоздкость формулы, работает эффективнее метода Ньютона : последовательность сходится к нулю функции быстрее.

Практическое применение фракталов

Фракталы находят всё большее применение в науке. Основная причина этого заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Вот несколько примеров.

Компьютерные системы

Cреди всех картинок, которые может создавать компьютер, лишь немногие могут поспорить с фрактальными изображениями, когда идет речь о подлинной красоте.

Наиболее полезным использованием фракталов в компьютерной науке является фрактальное сжатие данных. В основе этого вида сжатия лежит тот факт, что реальный мир хорошо описывается фрактальной геометрией. При этом, картинки сжимаются гораздо лучше, чем это делается обычными методами(такими как jpeg или gif). Другое преимущество фрактального сжатия в том, что при увеличении картинки, не наблюдается эффекта пикселизации (увеличения размеров точек до размеров, искажающих изображение). При фрактальном же сжатии, после увеличения, картинка часто выглядит даже лучше, чем до него.

Механика жидкостей

Изучение турбулентности в потоках очень хорошо подстраивается под

фракталы. Турбулентные потоки хаотичны и поэтому их сложно точно смоделировать. И здесь помогает переход к фрактальному представлению, что сильно облегчает работу инженерам и физикам, позволяя им лучше понять динамику сложных потоков.

При помощи фракталов также можно смоделировать языки пламени.

Пористые материалы хорошо представляются во фрактальной форме в связи с тем, что они имеют очень сложную геометрию. Это используется в нефтяной науке.

Телекоммуникации

Для передачи данных на расстоянии используются антенны, имеющие

фрактальные формы, что сильно уменьшает их размеры и вес. Фракталы используются для описания кривизны поверхностей. Неровная поверхность характеризуется комбинацией из двух разных фракталов.
Медицина

Биосенсорные взаимодействия. Биение сердца.
Биология

Моделирование хаотических процессов, в частности при описании моделей популяции.
Нанотехнологии

Рис. 13

В структурных фракталах схема текста потенциально фрактальна: венок сонетов (15 стихотворений), венок венков сонетов (211 стихотворений), венок венков венков сонетов (2455 стихотворений).

Фрактал - объект, обладающий бесконечной сложностью, позволяющий рассмотреть столько же своих деталей вблизи, как и издалека. Земля -классический пример фрактального объекта. Из космоса она выглядит как шаp. Если приближаться к ней, мы обнаружим океаны, континенты, побережья и цепи гор. Будем рассматривать горы ближе - станут видны еще более мелкие детали: кусочек земли на поверхности горы в своем масштабе столь же сложный и неровный, как сама гора. И даже еще более сильное увеличение покажет крошечные частички грунта, каждая из которых сама является фрактальным объектом.

В заключении хочется сказать, что после того как были открыты фракталы, для многих учёных стало очевидно, что старые, добрые формы евклидовой геометрии сильно проигрывают большинству природных объектов из-за отсутствия в них некоторой нерегулярности, беспорядка и непредсказуемости. Возможно, что новые идеи фрактальной геометрии помогут изучить многие загадочные явления окружающей природы. В настоящие время фракталы стремительно вторгаются во многие области физики, биологии, медицины, социологии, экономики. Методы обработки изображений и распознавания образов, использующие новые понятия, дают возможность исследователям применить этот математический аппарат для количественного описания огромного количества природных объектов и структур.

Список используемой литературы

2. Жиков В. В. О множествах Жюлиа. // Современное естествознание: Энциклопедия: В 10 т. Т.1: Математика. Механика. М., 2000.

3. Жиков В. В. Фракталы. // Современное естествознание: Энциклопедия: В 10 т. Т.1: Математика. Механика. М., 2000.

4. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. – М: Институт компьютерных исследований, 2002.

5. Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов.—Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002, 160стр.

Читайте также: