Реферат многогранники и их виды

Обновлено: 06.07.2024

В этой работе я рассказал об истории многогранников и различных их видов. Так же я рассказал о телах Платона, каскадах из правильных многогранников, рассмотрел интереснейшие головоломки и показал решение задач на комбинации многогранников.

Тем самым в ходе сбора и изучения материала по данной теме я создал учебное пособие для старшеклассников, которое поможет сформировать навыки решения задач на комбинации многогранников и в совершенстве овладеть данной темой.

* П.с. - Прошу просматривать этот файл в Microsoft Office Word, т.к google docs отображает этот документ в неверном формате!

Вложение	Размер
Реферат на тему: "Математический калейдоскоп (многогранники)"	298.34 КБ

Предварительный просмотр:

Автор: Мухаметзянов Амир

Руководитель: Огольцова Татьяна Михайловна
учитель математики

Из истории многогранников 4
Знакомство с многогранниками 6

Что называется многогранником? 6
Выпуклые и правильные многогранники 6
Тела Платона 9
Математические головоломки 10

Каскады из правильных многогранников 12
Задачи на комбинации многогранников 14

Список литературы 19

В школьном курсе геометрии даны весьма бедные сведения о правильных многогранниках. Из-за нехватки времени не удается уделить должное внимание правильным многогранникам, а ведь они эстетически привлекательны. Задач на эту тему предлагается совсем немного, из-за чего дидактические возможности темы совершенно не раскрываются. А ведь она в теоретическом отношении очень богата, позволяет сформулировать много интересных, вполне доступных учащимся задач, которые необходимы для развития познавательных интересов учащихся, формирования их пространственных представлений. К таким задачам относятся задачи на построение каскадов из правильных многогранников. Задачи на построение этих тел интересны своей взаимозависимостью, которая основывается на известных теоретических фактах.

В своей работе я хочу показать практическое применение правильных многогранников. Использование моделей многогранников с самого начала изучения стереометрии служит различным дидактическим целям. На многогранниках удобно демонстрировать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, показать применение признаков параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве, линейные углы двугранного угла, расстояние и углы между скрещивающимися прямыми. Кроме того, иллюстрация первых теорем стереометрии на конкретных моделях повышает интерес учащихся к предмету.

I. Из истории многогранников

Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей

сознательной деятельности - от двухлетнего ребёнка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика.

Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне. Но теория многогранников является и современным разделом математики. Она тесно связана с топологией, теорией графов, имеет большое значение как для теоретических исследований по геометрии, так и для практических приложений в других разделах математики, например, в алгебре, теории чисел, прикладной математики - линейном программировании, теории оптимального управления.

Многогранники имеют красивые формы, например, правильные, полуправильные и звездчатые многогранники. Они обладают богатой историей, которая связана с именами таких ученых, как Пифагор (570—490 гг. до н.э.), Евклид (ок. 300 г. до н. э), Архимед (257 до н. э. — 212 до н. э.). Многогранники выделяются необычными свойствами, самое яркое из которых формулируется в теореме Эйлера (1707-1783) о числе граней, вершин и ребер выпуклого многогранника.

С древнейших времен наши представления о красоте связаны с симметрией. Наверное, этим объясняется интерес человека к многогранникам - удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание выдающихся мыслителей. История правильных многогранников уходит в глубокую древность. Правильными многогранниками Пифагор и его ученики. Их поражала красота, совершенство, гармония этих фигур. Пифагорейцы считали правильные многогранники божественными фигурами и использовали в своих философских сочинениях: первоосновам бытия - огню, земле, воздуху, воде придавалась форма соответственно тетраэдра, куба, октаэдра, икосаэдра, а вся Вселенная имела форму додекаэдра. Позже учение пифагорейцев о правильных многогранниках изложил в своих трудах другой древнегреческий ученый, философ - идеалист Платон. С тех пор правильные многогранники стали

называться Платоновыми телами.

Правильным многогранником называется многогранник, у которого все грани правильные равные многоугольники, и все двугранные углы равны. Но есть и такие многогранники, у которых все многогранные углы равны, а грани - правильные, но разноименные правильные многоугольники. Многогранники такого типа называются равноугольно полуправильными многогранниками. Впервые многогранники такое типа открыл Архимед. Им подробно описаны 13

многогранников, которые позже в честь великого ученого были названы телами Архимеда.

Кроме полуправильных многогранников из правильных многогранников - Платоновых тел, можно получить так называемые правильные звездчатые многогранники. Их всего четыре, они называются также телами Кеплера-Пуансо. Кеплер открыл малый додекаэдр, названный им колючим или ежом, и большой додекаэдр. Пуансо открыл два других правильных звездчатых многогранника, двойственных соответственно первым двум: большой звездчатый додекаэдр и большой икосаэдр.

II. Знакомство с многогранниками

Многогранником называется тело (часть пространства), ограниченное со всех сторон конечным числом плоскостей. Поверхность многогранника состоит из конечного числа плоских многоугольников.

3.2 ВЫПУКЛЫЕ И ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ

Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону плоскости каждого многоугольника на его поверхности. Общая часть такой плоскости и поверхности называется гранью. Грани выпуклого многогранника - выпуклые многоугольники. Стороны граней называются ребрами многогранника, а вершины - вершинами многогранника.

Для любых выпуклых многогранников существует некоторое постоянное соотношение между числом вершин, граней и ребер, которое было установлено Леонардом Эйлером (1707-1783).

Сумма чисел граней и вершин выпуклого многогранника на два больше

числа его ребер:

Где В - число вершин, Г - число граней, Р - число ребер многогранника.

Данная формула называется формулой Эйлера.

Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер, а соседние грани сходятся под равными углами.

Следует заметить, что правильных многоугольников можно построить бесконечно много, а правильных многогранников всего пять: тетраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр, додекаэдр, икосаэдр. Подтвердить это можно с помощью развертки выпуклого многогранного угла. В самом деле, для того чтобы получить какой-нибудь правильный многогранник согласно его определению, в каждой вершине должно сходиться одинаковое количество граней, каждая из которых является правильным многоугольником. Сумма плоских углов многогранного угла должна быть меньше 360°, иначе никакой многогранной поверхности не получится.

Перебирая возможные целые решения неравенств:

и так доказано, что правильных многогранников ровно пять.

Собрала для вас похожие темы рефератов, посмотрите, почитайте:

Введение

Основные фигуры в пространстве — это точка, линия и плоскость. Помимо этих простейших фигур, стереометрия учитывает также геометрические тела и их поверхности. При изучении геометрических тел используйте изображения на чертеже.

Эти геометрические тела называются многогранниками. Рассмотрим некоторые типы и свойства многогранников.

Многогранная поверхность. Комплекс

Многостороннее поверхностное именование ассоциации конечного числа плоских многоугольников, так что каждая сторона любого многоугольника одновременно является стороной другого (но только одного) многоугольника, названного рядом с первым многоугольником.

Из каждого из полигонов, составляющих полигональную поверхность, можно добраться до любого другого, двигаясь по соседним полигонам.

Многоугольники, составляющие многогранную поверхность, называются ее гранями; стороны многоугольников называются рёбрами, а вершины — вершинами многогранной поверхности.

Показаны комбинации полигонов, которые соответствуют заданным требованиям и являются многогранными поверхностями. Отображаются фигуры, не являющиеся многогранными поверхностями.

Многосторонняя поверхность делит пространство на две части — внутреннюю часть многогранной поверхности и внешнюю часть. Из двух частей внешней области той, в которой можно провести прямые, полностью принадлежащие поверхности, будет внешняя область.

Сочетание поверхности многогранника и его внутренней поверхности называется многогранником. Поверхность многогранника и его внутренняя площадь называются соответственно поверхностью многогранника и его внутренней площадью. Кромки, края и наконечники поверхности многогранника называются многогранными гранями, краями и наконечниками многогранника.

Пирамида

Многогранник, где одно ребро — это любой многогранник, а другое — треугольник с общей вершиной, называется пирамидой.

Многоугольник называется основанием пирамиды, а другие стороны (треугольники) называются сторонами пирамиды.

Пирамиды отличаются треугольником, четырёхугольником, пятиугольником и т.д. в зависимости от типа многоугольника у основания пирамиды.

Треугольная пирамида также называется тетраэдром. Показана квадратная пирамида SABCD с базой ABCD и сторонами SAB, SBC, SCD, SAD.

Боковые стороны краев пирамид называются краями пирамид. Ребра, принадлежащие к основанию пирамиды, называются ребрами основания, а все остальные ребра — боковыми. Общая вершина всех треугольников (боковые ребра) называется вершиной пирамиды (точка S — вершина пирамиды, сечения SA, SB, SC, SD — боковые ребра, сечения AB, BC, CD, AD — ребра основания).

Высота пирамиды называется отрезком вертикали, проходящей от вершины пирамиды S до плоскости основания (концы этого отрезка — вершина пирамиды и вертикаль основания). SO — это высота пирамиды.

Правильная пирамида. Пирамида считается правильной, если основание пирамиды является правильным многоугольником, а ортогональная проекция вершины на плоскость основания совпадает с центром многоугольника, лежащего в основании пирамиды.

Все боковые грани реальной пирамиды одинаковы; все боковые грани равны равнобедренным треугольникам.

Высота боковой поверхности реальной пирамиды, видимая с ее вершины, называется апофеозом этой пирамиды. SN — это апофема. Все апопеи правильной пирамиды равны между собой.

Призма

Многогранник, две стороны которого равны n-угольникам, лежащим в параллельных плоскостях, а остальные n сторон являются параллелограммами, называется n-угольной призмой.

Пара одинаковых n-угольников называется основами призмы. Остальные стороны призмы называются боковыми краями, а их сочетание называется боковой стороной призмы.

Боковые стороны краев призм называются ребрами, а концы ребер — кончиками призм. Ребра, не относящиеся к основанию призмы, называются боковыми ребрами.

Призма, боковые грани которой перпендикулярны плоскостям основания, называется прямой призмой. Иначе, призма называется наклонная.

Сечение, перпендикулярное базовым плоскостям призмы, концы которых принадлежат этим плоскостям, называется высотой призмы.

Прямая призма, основанная на правом многоугольнике, называется правой призмой.

Параллелепипед — это шестигранник, противоположные стороны которого параллельны попарно. Параллелепипед имеет 8 верхних сторон и 12 краев; его стороны параллельны попарно.

Параллелепипед называется прямой линией, если его боковые ребра перпендикулярны плоскости основания (в данном случае 4 боковых ребра — прямоугольники); прямоугольником, если этот параллелепипед прямой, а основание — прямоугольник (поэтому 6 сторон — прямоугольники);

Параллелепипед, все стороны которого квадратные, называется куб.

Объем параллелепипеда соответствует по высоте работе его основания.

Каждый многогранник имеет объем, который может быть измерен с помощью выбранных единиц объема. За единицу измерения объема принимается куб с краем, соответствующим единице измерения сегментов. Куб с краем 1см называется кубическим сантиметром. Кубический метр и кубический миллиметр и т.д. определяются аналогичным образом.

При измерении объема в выбранных единицах измерения объем тела выражается положительным числом, указывающим на то, сколько единиц объема и его частей вписывается в данный корпус. Число, выражающее объем тела, зависит от единицы измерения объема. Поэтому после этого номера дается единица измерения объема.

Основные свойства объемов:

Те же самые комитеты имеют те же самые тома.
Если тело состоит из нескольких тел, то его объем равен сумме объемов этих тел.

Для определения объема тел в некоторых случаях полезно использовать теорему, называемую принципом Кавальери.

Принцип Кавальери заключается в том, что если при пересечении двух тел любая плоскость, параллельная любой заданной плоскости, сечения одной и той же поверхности равны, то объемы тел равны друг другу.

Заключение

Итак, многогранники изучают участок геометрии, называемый стереометрией. Полиэдры бывают разных типов (пирамида, призма и т.д.) и обладают разными свойствами. Следует также отметить, что многогранники, в отличие от плоских фигур, имеют объем и расположены в пространстве.

Большинство вещей, которые нас окружают, находятся в пространстве, и изучение многогранников помогает нам понять реальность вокруг нас с точки зрения геометрии.

Список литературы

Геометрия. Учебник для 7-9 классов.
Авторы: Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Е. Г. Позняк, И. И. Юдина.
Википедия.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Многогранник как символ симметрии и объект научных исследований. Понятие многогранника, история существования и применения. Пять правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр. Многогранники из ленты, внешний вид в рисунках.

Рубрика	Математика
Вид	конспект урока
Язык	русский
Дата добавления	11.02.2012
Размер файла	547,4 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Правильным многогранником называется выпуклый многогранник, грани которого - равные правильные многоугольники, а двугранные углы при всех вершинах равны между собой. Доказано, что в каждой из вершин правильного многогранника сходится одно и то же число граней и одно и то же число ребер.

Всего в природе существует пять правильных многогранников. По сравнению с количеством правильных многоугольников это - очень мало: для каждого целого n>2 существует один правильный n-угольник, т.е. правильных многоугольников - бесконечно много. Правильные многогранники имеют названия по числу граней: тетраэдр (4 грани): гексаэдр (6 граней), октаэдр (8граней), додекаэдр (12 граней) и икосаэдр (20 граней). По-гречески "хедрон" означает грань, "тетра", "гекса" и т. д. - указанные числа граней. Нетрудно догадаться, что гексаэдр есть не что иное, как всем знакомый куб. Грани тетраэдра, октаэдра и икосаэдра - правильные треугольники, куба - квадраты, додекаэдра - правильные пятиугольники.

Многогранник называется выпуклым, если он весь лежит по одну сторону от плоскости любой его грани; тогда грани его тоже выпуклы. Выпуклый многогранник разрезает пространство на две части -- внешнюю и внутреннюю. Внутренняя его часть есть выпуклое тело. Обратно, если поверхность выпуклого тела многогранная, то соответствующий многогранник -- выпуклый.

Каково же это вызывающе малое количество и почему их именно столько. А сколько? Оказывается, ровно пять - ни больше, ни меньше. Подтвердить это можно с помощью развертки выпуклого многогранного угла. В самом деле, для того чтобы получить какой-нибудь правильный многогранник согласно его определению, в каждой вершине должно сходиться одинаковое количество граней, каждая из которых является правильным многоугольником. Сумма плоских углов многогранного угла должна быть меньше 360, иначе никакой многогранной поверхности не получится. Перебирая возможные целые решения неравенств: 60к

Многогранники не только занимают видное место в геометрии, но и встречаются в повседневной жизни каждого человека. Не говоря уже об искусственно созданных предметах обихода в виде различных многоугольников, начиная со спичечного коробка и заканчивая архитектурными элементами, в природе также встречаются кристаллы в форме куба (соль), призмы (хрусталь), пирамиды (шеелит), октаэдра (алмаз) и т. д.

Понятие многогранника, виды многогранников в геометрии

Геометрия как наука содержит раздел стереометрию, изучающую характеристики и свойства объёмных фигуры. Геометрические тела, стороны которых в трёхмерном пространстве образованы ограниченными плоскостями (гранями), носят название "многогранники". Виды многогранников насчитывают не один десяток представителей, отличающихся количеством и формой граней.

Тем не менее у всех многогранников есть общие свойства:

Все они имеют 3 неотъемлемых компонента: грань (поверхность многоугольника), вершина (углы, образовавшиеся в местах соединения граней), ребро (сторона фигуры или отрезок, образованный в месте стыка двух граней).
Каждое ребро многоугольника соединяет две, и только две грани, которые по отношению друг к другу являются смежными.
Выпуклость означает, что тело полностью расположено только по одну сторону плоскости, на которой лежит одна из граней. Правило применимо ко всем граням многогранника. Такие геометрические фигуры в стереометрии называют термином выпуклые многогранники. Исключение составляют звёздчатые многогранники, которые являются производными правильных многогранных геометрических тел.

Многогранники можно условно разделить на:

Виды выпуклых многогранников, состоящих из следующих классов: обычные или классические (призма, пирамида, параллелепипед), правильные (также называемые Платоновыми телами), полуправильные (второе название – Архимедовы тела).
Невыпуклые многогранники (звёздчатые).

Призма и её свойства

Стереометрия как раздел геометрии изучает свойства трёхмерных фигур, виды многогранников (призма в их числе). Призмой называют геометрическое тело, которое имеет обязательно две совершенно одинаковые грани (их также называют основаниями), лежащие в параллельных плоскостях, и n-ое число боковых граней в виде параллелограммов. В свою очередь, призма имеет также несколько разновидностей, в числе которых такие виды многогранников, как:

Параллелепипед - образуется, если в основании лежит параллелограмм - многоугольник с 2 парами равных противоположных углов и двумя парами конгруэнтных противоположных сторон. имеет перпендикулярные к основанию рёбра. характеризуется наличием непрямых углов (отличных от 90) между гранями и основанием.
Правильная призма характеризуется основаниями в виде правильного многоугольника с равными боковыми гранями.

Основные свойства призмы:

Конгруэнтные основания.
Все рёбра призмы равны и параллельны по отношению друг к другу.
Все боковые грани имеют форму параллелограмма.

Пирамида

Пирамидой называют геометрическое тело, которое состоит из одного основания и из n-го числа треугольных граней, соединяющихся в одной точке – вершине. Следует отметить, что если боковые грани пирамиды представлены обязательно треугольниками, то в основании может быть как треугольный многоугольник, так и четырёхугольник, и пятиугольник, и так до бесконечности. При этом название пирамиды будет соответствовать многоугольнику в основании. Например, если в основании пирамиды лежит треугольник – это треугольная пирамида, четырёхугольник – четырёхугольная, и т. д.

Пирамиды – это конусоподобные многогранники. Виды многогранников этой группы, кроме вышеперечисленных, включают также следующих представителей:

Прямоугольная пирамида образуется тогда, когда одно из боковых рёбер пересекается с основанием под прямым углом. В таком случае это ребро справедливо также назвать высотой пирамиды.

В случае если все боковые рёбра пирамиды конгруэнтны (одинаковой высоты), то все они пересекаются с основанием под одним углом, а вокруг основания можно прочертить окружность с центром, совпадающим с проекцией вершины пирамиды.
Если в основании пирамиды лежит правильный многоугольник, то все боковые рёбра конгруэнтны, а грани являются равнобедренными треугольниками.

Правильный многогранник: виды и свойства многогранников

В стереометрии особое место занимают геометрические тела с абсолютно равными между собой гранями, в вершинах которых соединяется одинаковое количество рёбер. Эти тела получили название Платоновы тела, или правильные многогранники. Виды многогранников с такими свойствами насчитывают всего пять фигур:

Тетраэдр.
Гексаэдр.
Октаэдр.
Додекаэдр.
Икосаэдр.

Своим названием правильные многогранники обязаны древнегреческому философу Платону, описавшему эти геометрические тела в своих трудах и связавшему их с природными стихиями: земли, воды, огня, воздуха. Пятой фигуре присуждали сходство со строением Вселенной. По его мнению, атомы природных стихий по форме напоминают виды правильных многогранников. Благодаря своему самому захватывающему свойству – симметричности, эти геометрические тела представляли большой интерес не только для древних математиков и философов, но и для архитекторов, художников и скульпторов всех времён. Наличие всего лишь 5 видов многогранников с абсолютной симметрией считалось фундаментальной находкой, им даже присуждали связь с божественным началом.

Гексаэдр и его свойства

В форме шестигранника преемники Платона предполагали сходство со строением атомов земли. Конечно же, в настоящее время эта гипотеза полностью опровергнута, что, однако, не мешает фигурам и в современности привлекать умы известных деятелей своей эстетичностью.

В геометрии гексаэдр, он же куб, считается частным случаем параллелепипеда, который, в свою очередь, является разновидностью призмы. Соответственно и свойства куба связаны со свойствами призмы с той лишь разницей, что все грани и углы куба равны между собой. Из этого вытекают следующие свойства:

Все рёбра куба конгруэнтны и лежат в параллельных плоскостях по отношению друг к другу.
Все грани – конгруэнтные квадраты (всего в кубе их 6), любой из которых может быть принят за основание.
Все межгранные углы равны 90.
Из каждой вершины исходит равное количество рёбер, а именно 3.
Куб имеет 9 осей симметрии, которые все пересекаются в точке пересечения диагоналей гексаэдра, именуемой центром симметрии.

Тетраэдр

Тетраэдр – это четырёхгранник с равными гранями в форме треугольников, каждая из вершин которых является точкой соединения трёх граней.

Свойства правильного тетраэдра:

Все грани тетраэда – это равносторонние треугольники, из чего следует, что все грани четырёхгранника конгруэнтны.
Так как основание представлено правильной геометрической фигурой, то есть имеет равные стороны, то и грани тетраэдра сходятся под одинаковым углом, то есть все углы равны.
Сумма плоских углов при каждой из вершин равняется 180, так как все углы равны, то любой угол правильного четырёхгранника составляет 60.
Каждая из вершин проецируется в точку пересечения высот противоположной (ортоцентр) грани.

Октаэдр и его свойства

Описывая виды правильных многогранников, нельзя не отметить такой объект, как октаэдр, который визуально можно представить в виде двух склеенных основаниями четырёхугольных правильных пирамид.

Само название геометрического тела подсказывает количество его граней. Восьмигранник состоит из 8 конгруэнтных равносторонних треугольников, в каждой из вершин которого сходится равное количество граней, а именно 4.
Так как все грани октаэдра равны, равны и его межгранные углы, каждый из которых равняется 60, а сумма плоских углов любой из вершин составляет, таким образом, 240.

Додекаэдр

Если представить, что все грани геометрического тела представляют собой правильный пятиугольник, то получится додекаэдр – фигура из 12 многоугольников.

В каждой вершине пересекаются по три грани.
Все грани равны и имеют одинаковую длину рёбер, а также равную площадь.
У додекаэдра 15 осей и плоскостей симметрии, причём любая из них проходит через вершину грани и середину противоположного ей ребра.

Икосаэдр

Не менее интересная, чем додекаэдр, фигура икосаэдр представляет собой объёмное геометрическое тело с 20 равными гранями. Среди свойств правильного двадцатигранника можно отметить следующие:

Все грани икосаэдра - равнобедренные треугольники.
В каждой вершине многогранника сходится пять граней, и сумма смежных углов вершины составляет 300.
Икосаэдр имеет так же, как и додекаэдр, 15 осей и плоскостей симметрии, проходящих через середины противоположных граней.

Полуправильные многоугольники

Кроме Платоновых тел, в группу выпуклых многогранников входят также Архимедовы тела, которые представляют собой усечённые правильные многогранники. Виды многогранников данной группы обладают следующими свойствами:

Геометрические тела имеют попарно равные грани нескольких типов, например, усечённый тетраэдр имеет так же, как и правильный тетраэдр, 8 граней, но в случае Архимедова тела 4 грани будут треугольной формы и 4 - шестиугольной.
Все углы одной вершины конгруэнтны.

Звёздчатые многогранники

Представители необъёмных видов геометрических тел – звёздчатые многогранники, грани которых пересекаются друг с другом. Они могут быть образованы путём слияния двух правильных трёхмерных тел либо в результате продолжения их граней.

Таким образом, известны такие звёздчатые многогранники, как: звёздчатые формы октаэдра, додекаэдра, икосаэдра, кубооктаэдра, икосододекаэдра.

Читайте также: