Реферат метод конечных элементов
Обновлено: 30.06.2024
Метод конечных элементов по существу сводится к аппроксимации сплошной среды с бесконечным числом степеней свободы совокупностью подобластей (или элементов), имеющих конечное число степеней свободы. Затем между этими элементами каким-либо способом устанавливается взаимосвязь. Подобные способы хорошо известны инженерам, занимающимся исследованием дискретных конструкций или электрических цепей… Читать ещё >
Метод конечных элементов ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )
Содержание
- 1. Предварительные сведения
- 1. 1. Метод жесткостей расчета конструкции и исследование сетей
- 1. 2. Элемент конструкции
- 2. 1. Вариационные задачи
- 2. 2. Другие подходы к методу конечных элементов
Рассмотрим задачу приближенного решения системы дифференциальных уравнении, которым должна удовлетворять неизвестная функция в области V. Запишем основное уравнение в виде
а граничное условие на границе S как:
Если пробная функция, удовлетворяющая граничным условиям, записана в общей форме
где, как и прежде, [N] является функцией координат, а — система n параметров, то в общем случае
Наилучшим решением будет то, которое дает во всех точках области V наименьшую невязку R.
Очевидно, это решение можно получить, использовав то обстоятельство, что если невязка R тождественно равна нулю всюду в области, то
где W— любая функция координат. Если число неизвестных параметров равно n, то, выбрав п линейно независимых функций Wi, запишем соответствующую систему уравнений
Bиз которой может быть найдена функция. Этот процесс называется методом взвешенных невязок, a Wi — весовой функцией. Выбор различных весовых функций приводит к различным классическим методам.(1)
Коллокация в точке. В этом случае полагается, что Wi = 1 в некоторой точке i и равна нулю во всех остальных. При этом фактически основное дифференциальное уравнение удовлетворяется в п отдельных точках.
Коллокация в подобласти. В этом методе считается, что Wi = 1 в некоторой подобласти и Wi = 0 в остальной части области. Это эквивалентно тому, что интеграл обращается в нуль в некоторых подобластях, число которых достаточно для того, чтобы получить необходимое число уравнений.
Метод Галеркина. В этом случае Wi= Ni т. е. в качестве весовой функции выбирается функция формы, с помощью которой аппроксимируется решение. Этот метод обычно приводит к наилучшим результатам.
При использовании в любом из упомянутых методов соотношения, определяющего принятую аппроксимацию, можно выявить основные особенности метода конечных элементов [27, "https://referat.bookap.info"].
Во-первых, результирующая система уравнений будет иметь ленточный вид, так как влияние каждого параметра распространяется только на элементы, примыкающие к рассматриваемой узловой точке.
Во-вторых (в предположении, что, как и ранее, границы между элементами не дают, никакого вклада), интегралы вычисляются для каждого элемента независимо, а затем полученные результаты суммируются.
Очевидно, что правила получения коэффициентов для ансамбли будут такими же, как и в задачах строительной механики, если оператор, А линеен.
Здесь следует отметить один недостаток метода взвешенных невязок. В этом методе дифференциальный оператор, А содержит производные более высоких порядков, чем вариационный функционал хТаким образом, чтобы избежать вкладов от межэлементных зон, необходимо обеспечить выполнение условий непрерывности функции формы более высокого порядка. Это обстоятельство имеет важное значение, так как оно сильно ограничивает выбор функции формы и тем самым может вызвать непреодолимые трудности. (1)
Заключение
В настоящее время вследствие появления большого количества работ, в которых рассматривается метод конечных элементов, в таком объяснении почти нет необходимости. Возникнув как один из приемов исследования конструкций разнообразных форм, он получил к настоящему времени всеобщее признание как общий метод изучения широкого класса задач техники и физики. (1)
Метод конечных элементов по существу сводится к аппроксимации сплошной среды с бесконечным числом степеней свободы совокупностью подобластей (или элементов), имеющих конечное число степеней свободы. Затем между этими элементами каким-либо способом устанавливается взаимосвязь. Подобные способы хорошо известны инженерам, занимающимся исследованием дискретных конструкций или электрических цепей. Популярность метода, несомненно, объясняется простотой его физической интерпретации и математической формы. Использование ЭВМ позволяет получать решения многих сложных технических задач. Метод конечных элементов уже сейчас используется во многих конструкторских организациях в качестве обычного инженерного метода.
Список литературы
1 Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич; пер. с англ. Б. Е. Победри .
Метод конечных элементов является численным методом решения дифференциальных уравнений, встречающихся в физике и технике. Возникновение этого метода связано с решением задач космических исследований (1850 г.). Впервые он был опубликован- в работе Тернера, Клужа, Мартина и Топпа [4]. Эта работа способствовала появлению других работ; был опубликован ряд статей с применениями метода конечных элементов к задачам (строительной механики и механики сплошных сред.
Содержимое работы - 1 файл
Глава 1 МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ.docx
Глава 1 МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Метод конечных элементов является численным методом решения дифференциальных уравнений, встречающихся в физике и технике. Возникновение этого метода связано с решением задач космических исследований (1850 г.). Впервые он был опубликован- в работе Тернера, Клужа, Мартина и Топпа [4]. Эта работа способствовала появлению других работ; был опубликован ряд статей с применениями метода конечных элементов к задачам (строительной механики и механики сплошных сред. Важный вклад в теоретическую разработку метода сделал в 1963 г. Мелош [2], который показал, что метод конечных элементов .можно рассматривать как один из вариантов хорошо .известного метода Рэлея—Ритца. В строительной механике метод конечных элементов минимизацией потенциальной энергии позволяет свести задачу к системе линейных уравнений равновесия.
Связь метода конечных элементов с процедурой минимизации привела к широкому использованию его при (решении задач в других областях техники. Метод применялся к задачам, описываемым уравнениями Лапласа или Пуассона. Решение этих уравнений также связано с минимизацией .некоторого функционала. В первых публикациях с помощью метода конечных элементов решались задачи распространения тепла. Затем метод был применен к задачам гидромеханики, в частности к задаче течения жидкости в пористой среде.
Область применения метода конечных элементов существенно расширилась, когда было показано [3, 8], что уравнения, определяющие элементы в задачах строительной механики, распространения тепла, гидромеханики, могут быть легко получены с помощью таких вариантов метода взвешенных невязок, как метод Галёркина или способ (наименьших квадратов. Установление этого факта сыграло важную роль в теоретическом обосновании метода конечных элементов, так как (позволило применять его при решении любых дифференциальных уравнений. Следует отметить, что более общие теоретические обоснования исключают необходимость вариационной формулировки физических задач.
Метод конечных элементов из численной процедуры решения задач строительной механики превратился в общий метод числен-
•того решения дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений. Этот прогресс был достигнут за пятнадцатилетний период за счет совершенствования быстродействующих, цифровых 'Вычислительных машин, необходимых для более точного расчета конструкций летательных аппаратов, а также благодаря" помощи Национального комитета по исследованию космического пространства. Вычислительная машина позволила ускорить проведение многих сложных численных расчетов. Изучение космического пространства потребовало выделения средств на проведение фундаментальных исследований и стимулировало совершенствование универсальных вычислительных программ. Метод конечных элементов применяется при проектировании самолетов, ракет, различных пространственных оболочек и т. п.
1.1. Основная концепция метода конечных элементов
Основная идея метода конечных элементов состоит в том, что любую непрерывную величину, такую, как температура, давление и перемещение, можно аппроксимировать дискретной моделью, которая строится на множестве кусочно-непрерывных функций 1 '', определенных на конечном числе подобластей. Кусочно-непрерывные функции определяются с помощью значений непрерывной величины; с конечном числе точек рассматриваемой области.
В общем случае непрерывная величина заранее неизвестна он нужно определить значения этой величины в некоторых внутренних точках области. Дискретную модель, однако, очень легко построить, если сначала предположить, что числовые значения этой* величины в каждой внутренней точке области известны. После этого можно- перейти к общему случаю. Итак, при построении дискретной модели (непрерывной величины поступают следующим образом:
- В рассматриваемой области фиксируется конечное число точек. Эти точки называются узловыми точками или просто узлами.
- Значение непрерывной величины ев каждой узловой точке считается переменной, которая должна быть определена.
- Область определения непрерывной величины разбивается на конечное число подобластей, называемых элементами. Эти элементы имеют общие узловые точки и в совокупности аппроксимируют форму области.
4. Непрерывная величина аппроксимируется на каждом элементе полиномом, который определяется с помощью узловых значений этой величины. Для каждого элемента определяется свой полином, но полиномы подбираются таким образом, чтобы сохранялась непрерывность величины вдоль границ элемента 1 *.
Основная концепция метода конечных элементов может быть наглядно проиллюстрирована на одномерном примере заданного распределения температуры в стержне, показанном на фиг. I.I. Рассматривается непрерывная величина Т(х), область определения—отрезок- OL вдоль оси х. Фиксированы и пронумерованы пять точек на оси х (фиг. 1.2,а). Это узловые точки; совсем не
Фиг. 1.1. Распределение температуры в одномерном стержне
Фиг. 1.2. Узловые точки и предполагаемые значения Т(х).
обязательно располагать их ша равном расстоянии друг от друга. Очевидно, можно ввести в рассмотрение и более пяти точек, но этих пяти вполне достаточно, чтобы проиллюстрировать основную идею .метода. Значения Т <х) (в данном случае известны в каждой узловой точке. Эти фиксированные значения представлены графически на фиг. 1.2,6 и обозначены в соответствии с номерами узловых точек через Т\, Т2,JV
Разбиение области на элементы может быть проведено двумя различными способами. Можно, например, ограничить каждый элемент двумя соседними узловыми точками, образовав четыре элемента (фиг. 1.3, о), или разбить область на два элемента, каждый из которых содержит три узла (фиг. 1.3,6). Соответствующий элементу полином определяется по значениям Т(х) в узловых точках элемента. В случае разбиения области на четыре элемента,, когда на каждый элемент приходится по два узла, функция элемента будет линейна по х (две точки однозначно определяют прямую линию). Окончательная аппроксимация Т(х) будет состоять, из четырех кусочно-линейных функций, каждая из которых определена на отдельном элементе (фиг. 1.4, о).
Другой способ разбиения области на два элемента с тремя узловыми точками .приводит к представлению функции элемента в виде полинома второй степени. В этом случае окончательной аппроксимацией Т(х) будет совокупность двух кусочно-непрерывных квадратичных функций. Отметим, что это приближение будет имению кусочно-непрерывным, так как углы наклона графиков обеих этих функций .могут иметь разные значения в третьем узле.
Фиг. 1.5. Моделирование двумерной скалярной функции с помощью треугольных и четырехугольных элементов.
Фиг. 1.6. Моделирование двумерной скалярной fhraaimi с помощью квадратичного треугольного элемента.
В общем случае распределение температуры неизвестно и мы хотим определить значения этой величины в некоторых точках. Методика построения дискретной модели остается точно такой же, как описано выше, но с добавлением одного дополнительного шага. Снова определяются множество узлов л значения температуры в этих узлах Ti, Т2, Тз которые теперь являются переменными,
При .построении дискретной модели непрерывной величины, •определенной в двух- или трехмерной области, основная концепция метода конечных элементов используется аналогично. В двумерном случае элементы описываются функциями от х, у, при этом чаще (всего рассматриваются элементы в форме треугольника или четырехугольника. Функции элементов изображаются теперь плоскими (фиг. 1.5) или криволинейными (фиг. 1.6) поверхностями. Функция элемента будет представляться плоскостью, если для" данного элемента взято минимальное число узловых точек, которое для треугольного элемента равняется трем, .а для четырехугольного— четырем.
Если используемое число узлов больше минимального, то. функции элемента будет соответствовать криволинейная поверхность. Кроме того, избыточное число узлов- позволяет рассматривать элементы с криволинейными границами. Окончательной аппроксимацией двумерной непрерывной (величины ц>(х, у) будет служить совокупность кусочно-непрерывных поверхностей, каждая из которых определяется на отдельном элементе с помощью значений
Важным аспектом метода конечных элементов является возможность выделить из набора элементов типичный элемент при определении функции элемента. Это позволяет определять функцию элемента независимо от относительного положения элемента в общей связной модели и от других функций элементов. Задание функции элемента через произвольное множество узловых значений и координат позволяет использовать функции элемента для аппроксимации геометрии области.
1.2. Преимущества и недостатки
В настоящее время область применения метода конечных элементов очень обширна и схватывает все физические задачи, которые могут быть описаны Дифференциальными уравнениями. Наиболее важными преимуществами метода конечных элементов, благодаря которым он широко .используется, являются следующие:
4. С помощью метода конечных элементов не представляет труда рассмотрение граничных условий с разрывной поверхностной нагрузкой, а также смешанных граничных условий.
й. Указанные выше преимущества метода конечных элементов могут быть использованы при составлении достаточно общей прот граммы для решения частных задач определенного класса. Например, с помощью программы для осесимметрической задачи о распространении тепла можно решать любую частную задачу этого типа. Факторами, препятствующими расширению круга задач, решаемых методом конечных элементов, являются ограниченность машинной памяти и высокая стоимость вычислительных работ.
Главный недостаток метода конечных элементов заключается в (необходимости составления вычислительных программ и применения вычислительной техники. Вычисления, которые требуется проводить "при использовании метода конечных элементов, слишком громоздки для ручного .счета даже -в случае решения очень простых задач. Для решения сложных задач необходимо использовать быстродействующую ЭВМ, обладающую большой памятью.
(В настоящее время имеются технологические возможности для создания достаточно мощных ЭВМ. Некоторые коммерческие и управляющие организации располагают обширными комплектами вычислительных программ. Смягчить основной (недостаток метода конечных элементов . могут совершенствование вычислительных программ и создание мощных ЭВМ.
1.3. Структура книги
Целью этой книги является обсуждение тех аспектов метода конечных элементов, которые связаны с решением задач механики сплошных сред, в частности задач переноса тепла, гидромеханики, двумерных и трехмерных задач теории упругости. Наряду с основами теории рассматривается реализация метода на ЭВМ, так как конечной целью является получение численного решения физических задач.
■В следующих шести главах рассматриваются основные аспекты метода конечных элементов:
Сферы применения методов математического моделирования. Широкое применение метода конечных элементов, его основные положения и преимущества. Расчет на компьютере с помощью программы Ansoft Maxwell магнитных полей в спинволновых ферритовых системах.
Подобные документы
Решение дифференциального уравнения, описывающего распространение тепла в области со сложной геометрией. Использование метода конечных элементов. Алгоритмы построения матрицы жесткости, задание граничных условий. Координаты в 3-х мерном пространстве.
контрольная работа, добавлен 14.09.2009
Процесс автоматизированного проектирования современных деталей машин. Возможности математического моделирования при выборе рациональной формы. Составление расчетной модели кронштейна. Оценка напряженного состояния кронштейна по методу конечных элементов.
статья, добавлен 26.10.2010
Вариационный подход Ритца. Схема метода Ритца. Базис из функций с финитным носителем. Пример построения схемы конечных элементов. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Одномерные элементы, ассоциируемые с ними иерархические базисные функции, аппроксимации.
курсовая работа, добавлен 12.12.2010
Применение метода конечных элементов для анализа прочности инструментов. Изучение параметрического моделирования кривых непосредственно в среде разработки Pro/ENGINEER. Использование эвольвентной кривой. Описание и создание окончательного профиля зуба.
статья, добавлен 30.10.2016
Применение вариантов эвристических алгоритмов. Недетерминированный конечный автомат. Варианты минимизации недетерминированных конечных автоматов и используемые эвристики. Алгоритм кластеризации ситуаций. Инициализация списка подзадач одним элементом.
статья, добавлен 14.07.2016
Математическое моделирование формоизменения материала в ходе испытания на сжатие с плоской деформацией. Разработка алгоритмов построения матрицы жесткости для вычислений с помощью метода конечных элементов, их реализация в форме программных компонент.
дипломная работа, добавлен 02.09.2018
Использование метода конечных элементов в гидродинамике. Определение триангуляции и условие Делоне. Топологический и геометрический критерий качества треугольных элементов. Особенности итеративного и цепного алгоритмов. Построение диаграммы Вороного.
курсовая работа, добавлен 11.11.2015
Применение метода математического моделирования для решения многих задач в разных областях человеческой деятельности. Основные этапы процесса моделирования. Классификация моделей по признакам поведения объекта. Физическое и математическое моделирование.
реферат, добавлен 24.05.2020
Возможности формализированного представления объектов реального мира с помощью математических моделей - мощный инструмент для познания, прогнозирования и управления. Анализ основных элементов математической модели учебного пособия по русскому языку.
статья, добавлен 26.07.2018
Анализ методов конечных элементов и разностных схем, решающих системы линейных алгебраических уравнений. Характеристика построения матрицы с доминирующей главной диагональю. Обоснование формул в системе краевой задачи для трехточечного уравнения.
С точки зрения вычислительной математики, идея метода конечных элементов заключается в том, что минимизация функционала вариационной задачи осуществляется на совокупности функций, каждая из которых определена на своей подобласти, для численного анализа системы позволяет рассматривать его как одну из конкретных ветвей диакоптики — общего метода исследования систем путём их расчленения.
Содержание работы
Идея метода
Иллюстрация метода на одномерном примере
Преимущества и недостатки
История развития метода
Литература
СсылкиФайлы: 1 файл
МКЭ.doc
Реферат МКЭ Нияз Н.Д.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И КУЛЬТУРЫ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН
МЕЖДУНАРОДНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ КОРПОРАЦИЯ
КАЗАХСКАЯ ГОЛОВНАЯ АРХИТЕКТУРНО СТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ
Выполнил: ст. гр. стр-11-8
Проверила: Ходжагали И.Н.
Иллюстрация метода на одномерном примере
Преимущества и недостатки
История развития метода
Суть метода следует из его названия. Область, в которой ищется решение дифференциальных уравнений, разбивается на конечное количество подобластей (элементов). В каждом из элементов произвольно выбирает ся вид аппроксимирующей функции. В простейшем случае это полином первой степени. Вне своего элемента аппроксимирующая функция равна нулю. Значения функций на границах элементов (в узлах) являются решением задачи и заранее неизвестны. Коэффициенты аппроксимирующих функций обычно ищутся из условия равенства значения соседних функций на границах между элементами (в узлах). Затем эти коэффициенты выражаются через значения функций в узлах элементов. Составляется система линейных алгебраических уравнений. Количество уравнений равно количеству неизвестных значений в узлах, на которых ищется решение исходной системы, прямо пропорционально количеству элементов и ограничивается только возможностями ЭВМ. Так как каждый из элементов связан с ограниченным количеством соседних, система линейных алгебраических уравнений имеет разрежённый вид, что существенно упрощает её решение.
С точки зрения вычислительной математики, идея метода конечных элементов заключается в том, что минимизация функционала вариационной задачи осуществляется на совокупности функций, каждая из которых определена на своей подобласти, для численного анализа системы позволяет рассматривать его как одну из конкретных ветвей диакоптики — общего метода исследования систем путём их расчленения.
Иллюстрация метода на одномерном примере
Пусть в одномерном пространстве Р1 необходимо решить следующее одномерное дифференциальное уравнение для нахождения функции на промежутке от 0 до 1. На границах области значение функции равно 0:
где известная функция, неизвестная функция от . вторая производная от по . Решение поставленной задачи методом конечных элементов разобьём на 2 этапа:
- Переформулируем граничную задачу в так называемую слабую (вариационную) форму. На этом этапе вычислений почти не требуется.
- На втором этапе разобьём слабую форму на конечные отрезки-элементы.
После этого возникает проблема нахождения системы линейных алгебраических уравнений, решение которой аппроксимирует искомую функцию.
Если есть решение, то для любой гладкой функции , которая удовлетворяет граничным условиям в точках и , можно записать следующее выражение:
С помощью интегрирования по частям преобразуем выражение (1) к следующей форме:
Оно получено с учётом того, что .
Разобьём область, в которой ищется решение
на конечные промежутки, и получим новое пространство :
где кусочная область пространства . Есть много способов для выбора базиса . Выбирем в качестве базисных функций такие , чтобы они представлялись прямыми линиями (полиномами первой степени):
для (в данном примере )
Если теперь искомое приближённое решение представить виде , а функцию аппроксимировать как , то с помощью (3) можно получить следующую систему уравнений относительно искомых :
Преимущества и недостатки
Метод конечных элементов сложнее метода конечных разностей в реализации. У МКЭ, однако, есть ряд преимуществ, проявляющихся на реальных задачах: произвольная форма обрабатываемой области; сетку можно сделать более редкой в тех местах, где особая точность не нужна.
История развития метода
Возникновение метода конечных элементов связано с решением задач космических исследований в 1950-х годах. Идея МКЭ была разработана в СССР ещё в 1936 году, но из-за неразвитости вычислительной техники метод не получил развития, поэтому впервые был применён на ЭВМ лишь в 1944 году Аргирисом. Этот метод возник из строительной механики и теории упругости, а уже затем было получено его математическое обоснование. Существенный толчок в своём развитии МКЭ получил в 1963 году после того, как было доказано то, что его можно рассматривать как один из вариантов распространённого в строительной механике метода Рэлея — Ритца, который путём минимизации потенциальной энергии сводит задачу к системе линейных уравнений равновесия. После того, как была установлена связь МКЭ с процедурой минимизации, он стал применяться к задачам, описываемым уравнениями Лапласа или Пуассона. Область применения МКЭ значительно расширилась, когда было установлено (в 1968 году), что уравнения, определяющие элементы в задачах, могут быть легко получены с помощью вариантов метода взвешенных невязок, таких как метод Галёркина или метод наименьших квадратов. Это сыграло важную роль в теоретическом обосновании МКЭ, так как позволило применять его при решении многих типов дифференциальных уравнений. Таким образом, метод конечных элементов превратился в общий метод численного решения дифференциальных уравнений или систем дифференциальных уравнений.
С развитием вычислительных средств возможности метода постоянно расширяются, также расширяется и класс решаемых задач. Практически все современные расчёты на прочность проводят, используя МКЭ.
Читайте также: