Реферат математика стран ислама
Обновлено: 05.07.2024
* Данная работа не является научным трудом, не является выпускной квалификационной работой и представляет собой результат обработки, структурирования и форматирования собранной информации, предназначенной для использования в качестве источника материала при самостоятельной подготовки учебных работ.
Алгебра; квадратные уравнения
Что касается решений ,то аль-Хорезми формулируе тлишь правила, дающие положительные корни уравнений. Уравнения четвертого и шестого классов всегда имеют один и только один такой корень (другой отрицательный); уравнение пятого класса либо имеет два таких корня, либо вовсе не имеет действительных корней. Аль-Хорезми указывает условия, при которых корни существуют, в том числе когда есть только один корень (мы бы сказали теперь – двойной). Правила формулируются на примерах с числовыми коэффициентами, но вполне общим образом. Обоснованы правила для четвертого и шестого классов с помощью некоторых геометрических преобразований прямоугольных фигур, соответствующих нашим алгебраическим преобразованиям. Например, правило решения уравнения х 2 +10х=39 . Неизвестная величина х изображается линией, х 2 – квадратом, построенном на этой линии, а произведение 10х – суммой двух прямоугольников со сторонами х и 5 (рис 4). Эти прямоугольники вместе с квадратом образовывали Г-образную фигуру с площадью 39. Наконец, Г-образная фигура дополняется квадратом со стороной 5 до полного квадрата с площадью 64. Сторона полного квадрата одновременно есть х+5 и 8; следовательно, х=3.
Это и другие доказательства аль-Хорезми напоминают теоремы античной геометрической алгебры, но лишь отчасти. Предшественники аль-Хорезми в алгебре неизвестны; несомненно, он опирался на местные традиции, синтезировавшие элементы вавилонской и греческой математики. В алгебраическом трактате аль-Хорезми мы находим также краткие сведения о действиях с алгебраическими выражениями, некоторые примеры алгебраического решения треугольников и большой отдел задач на раздел наследств, выражающихся уравнением первой степени.
Другой вариант геометрических доказательств и несколько более полный анализ правил решения квадратных уравнений встречается у Ибн Турка аль-Хуттали, уроженца Хуттла – района нынешнего Душанбе, современника аль-Хорезми. И, наконец, доказательства этих правил для четвертых-шестых классов квадратных уравнений с помощью V – VI предложений II книги Евклида, выражающих правила
мы находим у багдадского ученого Сабита ибн Корры (836 – 901).
. Так как произведение
известны, известен и квадрат
, а следовательно, и сама линия
= х равна разности известных линий
, непосредственно приводящих к квадратным. Но самые замечательные результаты относятся к уравнениям третьей и отчасти четвертой степени.
Первый толчок в этом направлении сообщила задача Архимеда о делении данного шара плоскостью на два сегмента с данным отношением объемов. Решения, найденные Архимедом и его преемниками остались арабам неизвестными. Первый шаг сделал аль-Махани, выразивший задачу уравнением типа
. Вслед затем несколько ученых Х века – аль-Хазани, Ибн аль-Хайсам и другие – дали геометрическое построение величины
, представив ее (используем нашу терминологию) как абсциссу точки пересечения двух подходящим образом подобранных конических сечений. Этот геометрический метод, известный грекам со времен Евдокса (его применил к удвоению куба Менехм), приобрел основное значение в алгебре стран ислама.
и продолжением стороны
таким образом, чтобы положение этого отрезка проходило через вершину
, он сводит к проведению через вершину
гиперболы, для которой прямые
служат асимптотами, и к проведению окружности с центром
(рис. 6). Если гипербола и окружность пересекутся в точке
, то искомый отрезок – отрезок НЕ прямой АЕ ; в силу известного свойства гиперболы
, к кубическим уравнениям
(т.е. 1/12, 1/6 и 1/5 круга), а затем хорд
и т.д. Аль-Беруни довел вычисления до значения 0;41, 2, 32, 42, 29, отличающегося от результата приближенного решения уравнения менее чем на кварту.
Отметив, что поиски числового решения кубических уравнений, т.е. решения в радикалах, оказались тщетными, Хайям высказывает надежду, что это будет сделано в будущем; действительно, это удалось итальянцам в начале XVI века. Общим методом решения объявляется построение корней с помощью пересечения конических сечений. Главное содержание трактата составляет классификация уравнений, подбор соответствующих каждому классу пар конических сечений и определение возможного числа и границ положительных корней, т.е., как говорят теперь, отделение корней. Уравнения исследуются в общем виде, т.е. коэффициенты их предполагаются произвольными положительными величинами. Всего Хайям различает 14 канонических классов. Для каждого их них он указывает требуемые конические сечения – параболы, равносторонние гиперболы и окружности, абсциссы точек пересечения которых выражают корни уравнения, и анализирует условия возможности положительных корней. Так, для решения уравнения
Хайям строит гиперболу и окружность следующим образом: он считает коэффициент р линией ВС, коэффициент q – квадратом со стороной BD, а свободный член r – параллелепипедом с основанием q и высотой s=AB (т.е. BC=p, BD=
, AB=r/q ), и откладывает отрезки AB и BC на одной прямой в одну сторону от точки B, а BD – на перпендикуляре к этой прямой (рис. 62 а, б, где соответственно r/q>p). Далее точку А проводится гипербола, асимптотами которой служат прямая BD и прямая DL , параллельная АВ , и окружность, построенная на отрезке АС как на диаметре. Если принять за оси координат прямые AB и BD , уравнения этих кривых можно записать в виде
Корнем уравнения является абсцисса точки К пересечения этих кривых. Хайям правильно указывает, что во втором случае (r/q>p) этот корень единственный (абсцисса r/q точки А не удовлетворяет кубическому уравнению, так как уравнения кривых при исключении у дают уравнение четвертой степени, корни которого – корни кубического уравнения и число r/q ), однако он не заметил, что в первом случае (r/q>p ) могут существовать еще два положительных корня и, таким образом, прошел мимо открытия трех корней кубического уравнения, обнаруженных только Дж. Кардано в XVI веке. Впрочем, заметить возможность еще двух точек пересечения кривых на чертеже нелегко. Во всех остальных случаях анализ существования одного или двух положительных корней у Хайяма совершенно правильный. Для примера Хайям применяет свой геометрический метод, комбинируя его с некоторыми расчетами, и к отделению корней уравнений с числовыми коэффициентами.
и берет в качестве в качестве первого приближения
, к качестве второго
и т.п.в зависимости от требуемой точности. Этот процесс в рассматривавшихся случаях сходится очень быстро; с его помощью аль-Каши вычислил значение
Были рассмотрены и некоторые задачи на решение в целых числах уравнений второй степени.
Быть может, особенно замечательно, что математики стран ислама впервые высказали утверждение, составляющее первый частный случай теоремы Ферма, именно, что уравнение
неразрешимо в рациональных числах (кроме тривиального случая, когда хотя бы одна из неизвестных равна нулю). В свою очередь, это утверждение связано с предположением о неразрешимости в рациональных числах задачи об удвоении куба
Доказательство неразрешимости уравнения
в рациональных числах, данное Абу Мухаммедом аль-Худжанди, не сохранилось. Весьма сомнительно, чтобы оно было безошибочным: для этого недоставало арифметических средств. Наиболее раннее доказательство этого предложения дал Эйлер в середине XVIII века.
- 1 – простые числа, то числа
- дружественные числа (при n=2 мы получаем М=220 и N=284).
Заметим в этой связи, что математики стран ислама уже высказали мысль об иррациональности числа ? – факт, доказанный только в XVIII веке Ламбертом и Лежандром.
Заметим, что тот же четырехугольник и те же три гипотезы были положены в основу исследований по теории параллельных итальянского математика первой половины XVIII века Саккери.
Мы назвали далеко не всех математиков, занимавшихся теорией параллельных на протяжении IX – XIV веков. Разумеется, арабские математики были далеко от мысли о создании неевклидовой геометрии и только стремились вывести постулат Эвклида о параллельных из принципов, которые считали более очевидными. Но попутно они сделали несколько выдающихся открытий: установили двустороннюю зависимость между этим постулатом и величиной суммы углов четырехугольника и, следовательно, треугольника; установили логическую эквивалентность ряда предложений теории параллельных; применили для опровержения острого и тупого углов способ приведения к противоречию и т.д. При этом Хайям получает некоторые предложения, по существу принадлежащие к первым теориям неевклидовых геометрий Лобачевского и Римана.
Исследования по теории параллельных ат-Туси стали известными в Европе в XVII веке, в частности Валлису, и таким образом сыграли роль в подготовке одного из крупнейших открытий математики – систем неевклидовых геометрий.
Линии секанса и косеканса, являющихся отрезками прямой диаметра, сначала называли диаметрами обращенной и соответственно плоской тени, а в последствии – первым и вторым диаметрами. Теоретический интерес этих двух последних линий невелик, но таблицы их вплоть до открытия логарифмов имели практическую ценность, поскольку позволяли деление на косинус и синус умножением. Наиболее ранние таблицы синусов в арабском мире были составлены, по-видимому, аль-Хорезми, а в астрономических таблицах его современника Хабаша аль-Хасиба аль-Марвази имелись уже линии тангенса, котангенса, секанса и косеканса.
где t0 – угол – ZPA на рис. 12. Первое правило отличается от правила Варахамихиры только тем, что произведение cos?cos? заменено равным ему отношением
К той же теореме сводились правила определения расстояния между двумя городами с данными географическими координатами и определение направлений на священный город мусульман Мекку (так называемая Кибла) в городе с данными координатами. В первом случае при определении расстояния АВ между городами А и В , в сферическом треугольнике ABN, образованным этими городами и северным полюсом Земли N, известны угол N, равный разности долгот городов А и В , и расстояния (в градусах) NA и NB, равные дополнениям широт городов А и В до ?/2. Во втором случае, если считать, что город В – Мекка, требуется узнать угол А того же треугольника. К задачам сферической тригонометрии сводятся такие важные для сферической астрономии задачи взаимного перехода между тремя применяемыми в астрономии системами координат на небесной сфере: экваториальной, где роль экватора играет небесный экватор, а роль полюса – полюс мира, вокруг которого совершается видимое суточное вращение светил; эклиптической, где роль экватора играет эклиптика, по которой совершается видимое годичное движение Солнца, а роль полюса – полюс эклиптики, и наконец, горизонтальной, где роль экватора играет линия горизонта, а роль плюса – зенит.
Одним из замечательных образцов высокой техники приближенных вычислений может служить итерационный прием решения трансцендентного уравнения, получившего позднее имя Кеплера – уравнения t=
(где t – данное число), встретившегося арабским ученым в теории параллакса. Прием, применявшийся еще аль-Хасибом аль-Мравази, состоит в образовании
0 = t+k sin t
аль-Хасиб мог удовлетворится отысканием
, причем он впервые делит отрезок интегрирования на неравные части. Это вычисление было существенным шагом вперед по сравнению с древними, так как у Архимеда встречаются лишь вкладки, равносильные интегрированию
Прием Ибн Корры получил дальнейшее развитие только в XVII веке, когда с помощью родственного приема – деления отрезка интегрирования на неравные части в геометрической прогрессии – П.Ферма вычислил интегралы
Далее Ибн аль-Хайсам доказывает неравенства
с помощью которых он, применяя метод исчерпывания, доказывает, что объем параболической сферы равен 8/15 объема тела вращения параллелограмма, описанного около сегмента параболы, при вращении которого относительно одной из ее хорд получается параболическая сфера (объем этого тела вращения также равен объему прямого кругового цилиндра с той же боковой поверхностью). Вычисление Ибн аль-Хайсама было равносильно новому интегрированию
. Перечисленные и некоторые другие открытия оставались, однако, неизвестными в Европе до недавнего времени.
Значение математики стран ислама
Переводы с арабского продолжали играть существенную роль и позже, когда в Европе наметились собственные оригинальные направления. Достаточно упомянуть про Региомонтана, основой тригонометрического труда которого были работы аль-Баттани и Насир ад-Дина ат-Туси.
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
План
Введение
1 Числовая система
2 Математики исламского Средневековья
Список литературы
Введение
Математика Востока, в отличие от древнегреческой математики, всегда носила более практичный характер. Соответственно наибольшее значение имели вычислительные и измерительные аспекты. Основными областями применения математики были торговля, ремесло, строительство, география, астрономия, механика, оптика. Начиная с эллинистической эпохи, в странах Востока огромным уважением пользовалась персональная астрология, благодаря которой поддерживалась также репутация астрономии и математики.
Доступная нам история математики в странах Ближнего и Среднего Востока начинается в эпоху, следующую за эпохой мусульманского завоевания (VII—VIII века). Первая стадия этой истории состояла в переводе на арабский язык, изучении и комментировании трудов греческих и индийских авторов. Размах этой деятельности впечатляет — список арабских переводчиков и комментаторов одного только Евклида содержит более сотни имён. Арабский язык долгое время оставался общим языком науки для всего исламского мира. С XIII века появляются научные труды и переводы на персидском языке.
Ряд интересных математических задач, стимулировавших развитие сферической геометрии и астрономии, поставила перед математикой и сама религия ислама. Это задача о расчёте лунного календаря, об определении точного времени для совершения намаза, а также об определении киблы — точного направления на Мекку.
- Введение и первое применение десятичных дробей.
- Разработка численных методов: извлечение корней, суммирование рядов, решение уравнений.
- Открытие общего вида бинома Ньютона для натурального показателя степени.
- Открытие связи пятого постулата Евклида с многими геометрическими теоремами.
- Систематизация и расширение тригонометрии — как плоской, так и сферической, составление точных таблиц.
1. Числовая система
Арабская нумерация вначале была буквенной и, видимо, она финикийско-еврейского происхождения [3] .. Но с VIII века багдадская школа предложила индийскую позиционную систему, которая и прижилась.
Дроби в арабской математике, в отличие от теоретической арифметики древних греков, считались такими же числами, как и натуральные числа. Записывали их вертикально, как индийцы; черта дроби появилась около 1200 года. Наряду с привычными дробями в быту традиционно использовали разложение на египетские аликвотные дроби (вида 1/n), а в астрономии — 60-ричные вавилонские. Попытки ввести десятичные дроби делались, начиная с X века (ал-Уклидиси), однако дело продвигалось медленно. Только в XV веке ал-Каши изложил их полную теорию, после чего они получили некоторое распространение в Турции. В Европе первый набросок арифметики десятичных дробей появился раньше (XIV век, Иммануил Бонфис из Тараскона), но победоносное их шествие началось в 1585 году (Симон Стевин).
2. Математики исламского Средневековья
В развитии инфинитизимальных методов существенного продвижения не было. Сабит Ибн Курра вывел другим способом несколько результатов Архимеда, а также исследовал тела, полученные вращением сегмента параболы (купола). Ибн ал-Хайсам дополнил его результаты.
В средневековой исламской математике было сделано довольно много попыток доказать Пятый постулат Евклида. Чаще всего исследовалась фигура, позднее названная четырёхугольником Ламберта. Ал-Джаухари, Сабит ибн Курра, Омар Хайям и другие математики дали несколько ошибочных доказательств, явно или неявно используя один из многочисленных эквивалентов V постулата.
В 7-8 вв. в результате распространения Ислама на огромных территориях формируется грандиозное культурное пространство — Исламская цивилизация. Это дало мощный толчок для дальнейшего развития многих областей знаний, в том числе математической науки. Освоив и продолжив достижения греков, персов и индусов, мусульманские ученые внесли значительный вклад в развитие всей мировой науки и культуры.
НАУЧНЫЕ ЦЕНТРЫ
Кроме Багдада, центрами научной деятельности на средневековом Востоке в разные периоды его истории были и другие города: Каир в Египте, Дамаск в Сирии, Бухара, Газна, Самарканд, Хорезм в Средней Азии, Исфахан в Иране, Мараг в Азербайджане, Кордова в Испании и др.
Научные центры в мавританских государствах на северо-западном побережье Африки и Пиренейского полуострова были менее значительными по богатству открытий, но они сыграли огромную роль в дальнейшем распространении математико-астрономических знаний в средневековой Европе.
После распада Арабского халифата развитие исламской культуры постепенно замедляется, однако достижения мусульманских ученых становятся известны в Европе и дают толчок развитию европейской науки.
РАЗВИТИЕ МАТЕМАТИКИ В ИСЛАМСКОМ МИРЕ СРЕДНИХ ВЕКОВ
Математика исламского мира того времени была тесно связана с другими науками, в первую очередь астрономией и географией, и была направлена на разработку математических методов для решения задач, связанных с практической деятельностью и религиозными вопросами. Потому наибольшее значение получили вычислительные и измерительные аспекты.
Основными областями применения математических знаний были торговля, ремесло, строительство, география, астрономия, механика, оптика. Религиозные вопросы, для которых были необходимы математические расчеты — выделение и распределение Закята, раздел наследства, определение времени Намаза и направления на Ка’бу и др.
В частности, задача определения кыблы (точного направления на Мекку) требовала определения географических координат. Это стало одной из основных причин развития у мусульман географии, математики, астрономии и других наук.
Географические координаты Ка’бы в сочетании с методами сферической геометрии позволяют определить кыблу для любой точки на поверхности земли.
Вопросом определения кыблы занимались многие выдающиеся исламские математики. Эта задача решалась с помощью различных тригонометрических и геометрических методов, при этом предпочтение отдавалось наиболее простым и доступным. На основе этих методов составлялись таблицы для различных географических пунктов, где кыбла выступала как тригонометрическая функция от широты и долготы места наблюдения. Эти таблицы, как правило, составляли специальные разделы зиджей (астрономических таблиц). Часто они совмещались с географическими таблицами, в которых указывалось значение кыблы для каждого населённого пункта. Разрабатывались также специальные астрономические инструменты для определения кыблы.
Достижения
Изучив труды греков, персов и индусов, исламские математики развили их методы, обогатив новыми достижениями, среди которых:
- введение и первое применение десятичных дробей;
- разработка численных методов: извлечение корней, суммирование рядов, решение уравнений;
- открытие общего вида бинома Ньютона для натурального показателя степени;
- открытие связи пятого постулата Евклида с многими геометрическими теоремами;
- систематизация и расширение тригонометрии — как плоской, так и сферической, составление точных таблиц.
Научное наследие
История алгебры и тригонометрии
Вам может понравится
Наука
О благословенной воде Зам-Зам мусульмане вспоминают, рассказывая о совершении Хаджа, а также во время болезни или какой-либо трудности. Аллаh Всевышний создал эту воду особенной, и она служит для лечения и благословения людей.
По преданию, источник Зам-Зам появился следующим образом:
Когда по повелению Аллаhа Пророк Ибраhим, мир Ему, с hаджар и сыном Исма’илем приехал на территорию будущего города Мекки, там не было жителей. Аллаh Всевышний дал Ибраhиму Откровение оставить там свою семью. Пророк Ибраhим, мир Ему, исполнил то, что повелел Ему Создатель, оставил hаджар и сына с сосудом воды и ушел. После того, как вода закончилась, маленький Исма’иль стал плакать, и Его мать начала искать воду. Она поднялась на один холм, который называется Сафа, а затем перешла на другой холм — Маруа. Так она ходила между ними семь раз. Аллаh Всевышний спас их, создав для них родник Зам-Зам.
Многочисленные научные исследования подтвердили, что вода Зам-Зам, содержит большое количество полезных для организма человека микроэлементов. Среди них: кальций, магний, фториды. Кроме того, вода имеет постоянный, неменяющийся состав солей и вкус. Она может храниться годами, не меняя своих свойств. В наше время состав и вкус воды Зам-Зам такой же, как и был в то время, когда источник только появился. В воде Зам-Зам отсутствуют болезнетворные микробы, несмотря на то, что вода не подвергалась химической обработке или хлорированию. Источник Зам-Зам никогда не пересыхает, он всегда полон водой, несмотря на то, что другие родники в окрестностях Мекки периодически высыхают, а некоторые исчезли вовсе.
Исследователи долго не могли установить, откуда в источнике появляется вода, потом выяснилось, что вода в источник поступает равномерно по всему периметру бассейна.
Другой ученый по имени Мазругий прокомментировал исследования доктора Масаро Емото, который также наблюдал улучшение воды при чтении на нее дуа. И добавил, что после этого можно представить воздействие молитвы или чтения Кур΄ана на человека, который на 70% состоит из воды.
В нашем магазине можно купить воду Зам Зам привезенную с Мекки, не разведенную, в чистом виде.
Наука
Одно из самых завораживающих созданий Бога в Исламе — это горы. Они потрясают своим великолепием и грандиозностью. Вблизи гор, которые вздымаются ввысь, мы ощущаем себя крохотными созданиями и еще больше убеждаемся во Всемогуществе Творца.
В этом аяте говорится о том, что горы вбиты глубоко в землю как сваи — они укрепляют и держат ее. Теологи разъяснили, что глубина гор внутри земли в 2 раза и более превышает их высоту нал землей!
Наука
Все, что делает государство великим и процветающим, все, что со направлено к совершенству и цивилизации, можно было найти в мусульманской Испании. Исламские правители Аль-Андалуз поощряли развитие науки и искусств, основав множество научных центров, работать и учиться в которых приезжали ученые из Европы, Африки и Ближнего Востока. Аль-Андалуз стала центром цивилизации и просвещения, где работали ученые с мировым именем.
Одним из первых ученых Аль-Андалуз был ‘Аббас ибн Фарнас. Как и многие ученые того времени, он занимался разными науками, но больше всего его интересовала механика. В 880 году он впервые сконструировал летательный аппарат. Также Ибн Фирнас разработал новую модель водяных часов и некий аналог метронома, нашел способ изготавливать бесцветное стекло, занимался разработкой разного рода стеклянных планисфер, делал корректирующие линзы (так называемые ‘камни для чтения’), нашел способ резки кристаллов, изобрел систему из колец, пригодную для изображения движения звезд и планет.
Ученые исламской Испании внесли большой вклад в развитие математики и астрономии. Наиболее выдающимся математиком и астрономом Аль-Андалуз 10 века был Абуль-Касим Маслама ибн Ахмад Аль-Маджритий (Маслама Мадридский) (ок.940-1008 гг.).
С развитием медицины и фармацевтики андалузские врачи также заинтересовались ботаникой. Мухаммад ибн Аль-Байтар (1190- 1248) дал описание более 2600 лекарств и лекарственных и других растений. А Яхья ибн Аль-Аууам составил каталог сотен видов растений и дал точные указания по их разведению и применению. Он пишет, к примеру, как прививать деревья, выводить растения-гибриды, останавливать болезни растений и уничтожать насекомых-паразитов, а также создавать растительные духи.
Важной областью исследований в Аль-Андалус была география. Ахмад ибн Мухаммад Ар-Разий написал книгу по общей географии Аль-Андалуз, Мухаммад ибн Юсуф Аль-Уаррак описал топографию Северной Африки, а ‘Абдуллаh Аль-Бакрий (1014- 1094) написал энциклопедический справочник стран мира, который включал историю, описания традиций, климата, крупнейших городов и даже короткие занимательные рассказы. Большой вклад в развитие географии сделали и знаменитые путешественники: Мухаммад ибн Ахмад ибн Джубайр (1145-1217), описавший в путевых дневниках свои странствия, и известный картограф Мухаммад Аль-Идрисий (1100-1165).
На формирование и дальнейшее развитие математики в странах ислама огромнейшее влияние оказала греческая и индийская научная традиция. Основываясь на опыте этих государств, исламские научные деятели развивали и усовершенствовали свои математические познания. Так, очень быстро получила большое распространение десятичная позиционная система исчисления с использованием нуля. Корни этой системы уходят в Индию. В эволюции математики как науки в странах ислама огромнейшую роль сыграли такие деятели, как Хорезми и Омар Хайям. Благодаря их научным работам исламская математика обрела статус самостоятельной дисциплины. К примеру, алгебраический трактат Хорезми гласит о классификации квадратных уравнений и содержит разнообразные приемы их решений. А вот трактат Омара Хайяма состоит из классификации кубических уравнений и непосредственно самой теории. Эти научные математические разработки стали основой для дальнейшего развития математики как самостоятельной дисциплины.
Математика ислама – усовершенствование классических приемов
Стоит сделать акцент на том, что математика Востока во все времена, в отличие от греческой, носила более практический характер. Поэтому неудивительно, что для исламских научных деятелей наибольшее значение имели измерительные и вычислительные аспекты. Основными сферами использования математики были строительство, торговля, астрономия, география, астрология, оптика и механика.
В целом, можно сделать вывод, что математики стран ислама чаще всего поднимали и усовершенствовали полуэмпирические разработки индийских научных деятелей на более высокую теоретическую ступень и тем самым повышали их уровень. И надо сказать, чаще всего на подобном синтезе все и заканчивалось; математики ислама дорабатывали старые разработки, практически виртуозно владели классическими методами, но в то же время большими успехами и новыми результатами похвастаться не могли.
Читайте также: