Реферат математические модели в генетике обратные задачи теории эволюции

Обновлено: 05.07.2024

С точки зрения соотношения причина-следствие, все задачи математического моделирования условно делятся на два больших класса: прямые задачи и обратные. В первом случае при известных причинах требуется определить следствия, во втором случае, естественно, наоборот: найти причины, приведшие к тем или иным следствиям.

Первые публикации по обратным и некорректным задачам, появившиеся в середине XX века, были связаны с различными разделами естествознания: физикой, геофизикой, астрономией и др. С появлением же мощных ЭВМ область приложений обратных и некорректных задач охватила практически все научные направления, где используются математические методы, включая медицинскую и промышленную томографию, дефектоскопию и т. п. В высшем образовании эта теория является одним из наиболее эффективных средств изложения естественно-научных дисциплин

к тем или иным следствиям. Первые публикации по обратным и некорректным задачам, появившиеся в середине XX века, были связаны с различными разделами естествознания: физикой (квантовой теорией рассеяния, электродинамикой, акустикой), геофизикой (электроразведкой, сейсмикой, магниторазведкой), астрономией и др. С появлением же мощных ЭВМ область приложений обратных и некорректных задач охватила практически все научные дисциплины, где используются математические методы, включая медицинскую и промышленную томографию, дефектоскопию и т. п.

Прежде чем говорить об обратных задачах, необходимо определить, что такое прямые задачи. В прямых задачах математической физики исследователи стремятся найти (в явной форме или приближенно) функции, описывающие различные физические явления (например, распространение звука, сейсмических колебаний, электромагнитных волн и т. п.). Эти функции являются решениями уравнений математической физики, для которых необходимо задать коэффициенты уравнения, начальные и граничные условия.

Однако свойства среды на практике довольно часто сами являются неизвестными. А это означает, что нужно формулировать и решать обратные задачи, где требуется определить либо коэффициенты уравнений, либо неизвестные начальные или граничные условия, либо местоположение, границы и другие свойства области, в которой идет исследуемый процесс.

Ясно, что для решения обратной задачи необходимо иметь дополнительную информацию (например, значения решения внутри области или на ее границе, спектральные либо кинематические характеристики процесса и т. п.). Эти задачи в большинстве случаев некорректны, т. е. в них нарушено хотя бы одно из трех свойств корректности – условие существования, единственности и устойчивости решения по отношению к малым вариациям данных задачи.

Искомыми функциями в обратных задачах являются, как правило, плотность, электропроводность, теплопроводность, скорость распространения волн и другие важные свойства исследуемой среды. В некоторых обратных задачах требуется найти местоположение, форму и структуру включений, дефектов либо источников тепла, колебаний, напряжения, загрязнения и т. п. Неудивительно, что при таком широком наборе приложений теория обратных и некорректных задач с момента своего появления стала одной из наиболее стремительно развивающихся областей современной науки.

Об определении обратных задач

Каждый человек в своей повседневной жизни ежеминутно решает обратные и некорректные задачи. И делает это, как правило, быстро и эффективно.

Возьмем, к примеру, зрительное восприятие. Установлено, что за минуту мы фиксируем лишь конечное число точек окружающего мира. Мозг, как мощный персональный компьютер, по этим точкам восполняет (интерполирует и экстраполирует) все, что глаз не успел зафиксировать. И, несмотря на сильную некорректность (неединственность и неустойчивость решения) этой обратной задачи, мозг решает ее довольно быстро. Ясно, что воссоздать таким способом истинную картину, да еще объемную и цветную, можно лишь в случае, если мы с ней уже более-менее знакомы: мозг использует богатый опыт (априорную информацию).

Вообще, если мы хотим понять что-то достаточно сложное – решить задачу, вероятность ошибки в которой достаточно велика, мы, как правило, приходим к неустойчивой (некорректной) задаче. Каждый знает, как легко ошибиться, пытаясь восстановить прошлое по некоторым фактам из настоящего: проследить мотивы и детали преступления по имеющимся уликам, понять причины зарождения болезни по результатам обследования и т. п. Или заглянуть в будущее – предвидеть жизненный путь ребенка, направление развития страны и другие сложные процессы. Так же трудно проникнуть в зону недоступности и понять, что, к примеру, происходит во внутренних органах человека, или где находится месторождение полезных ископаемых и т. д. В сущности, любая попытка расширить границы непосредственного (чувственного, зрительного, слухового и т. п.) восприятия окружающего мира приводит к некорректным задачам.

Обратные и некорректные задачи объединяет одно важное свойство – неустойчивость решения по отношению к малым ошибкам измерений данных. В большинстве интересных случаев обратные задачи являются некорректными, а некорректные задачи, как правило, можно сформулировать как обратные по отношению к некоторым прямым (корректным) задачам. Но поскольку исторически обратные и некорректные задачи формулировались и изучались довольно часто независимо и параллельно, сейчас в научной литературе используются оба этих термина.

Суммируя вышеизложенное, можно сказать, что специалисты по обратным и некорректным задачам занимаются исследованием свойств и методов регуляризации неустойчивых задач, создают и изучают устойчивые методы приближения неустойчивых отображений.

В высшем образовании теория обратных и некорректных задач становится одним из наиболее эффективных средств изложения естественно-научных дисциплин по ряду причин.

Немного истории

Многие математические понятия и задачи возникали в результате исследования тех или иных физических процессов или явлений, и это особенно справедливо для обратных и некорректных задач. Философское утверждение Платона о том, что человеку в процессе познания доступны только тени на стене пещеры и эхо (данные обратной задачи), стало предвестником решенной Аристотелем задачи восстановления формы Земли по ее тени на Луне (обратной задачи проективной геометрии).

Введение физического понятия мгновенной скорости привело Ньютона к открытию производной, а проблема неустойчивости (некорректности) задачи численного дифференцирования функции, заданной приближенно, актуальна и по сей день. Исследования лорда Рэлея по акустике побудили его сформулировать вопрос о возможности нахождения плотности неоднородной струны по ее звучанию (обратная задача акустики), что предвосхитило развитие сейсморазведки, с одной стороны, и развитие теории спектральных обратных задач, с другой. Изучение движения небесных тел и задача оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащим случайные ошибки, привело Лежандра и Гаусса к переопределенным системам алгебраических уравнений и к созданию метода наименьших квадратов. Коши предложил метод наискорейшего спуска для нахождения минимума функции нескольких переменных. В 1948 г. Л. В. Канторович обобщил, развил и применил эти идеи к операторным уравнениям в гильбертовых пространствах.

Невозможно рассказать обо всех аспектах теории обратных задач и ее приложений. Упомянем лишь два направления, существенный вклад в зарождение и развитие которых внесли ученые, работавшие в новосибирском Академгородке – В. Е. Захаров и А. Б. Шабат (метод обратной задачи рассеяния), А. С. Алексеев и С. В. Гольдин (обратные задачи геофизики). Метод обратной задачи рассеяния был применен для решения нелинейных уравнений математической физики (уравнение Кортевега-де Фриза, нелинейное уравнение Шредингера, уравнение Кадомцева-Петвиашвили и др.) и стимулировал новые исследования в различных областях математики и физики (спектральная теория дифференциальных операторов, классическая алгебраическая геометрия, релятивистские струны и др.). Метод обратной задачи рассеяния называют жемчужиной математической физики ХХ века. Результаты А. С. Алексеева и С. В. Гольдина по применению в геофизике спектральной теории обратных задач и интегральной геометрии стали теоретической основой многих геофизических методов (обратные кинематические и динамические задачи сейсмики). Отметим, что признанные успехи нынешнего поколения сибирских геофизиков во многом определены их высокой математической подготовкой на геолого-геофизическом факультете НГУ. Автору статьи посчастливилось работать на кафедре геофизики в те годы, когда там был создан творческий союз преподавателей геофизиков (С. В. Гольдин, Л. А. Табаровский, М. И. Эпов, Ю. А. Дашевский и др.) и математиков (М. М. Лаврентьев, А. С. Алексеев, В. Г. Романов, Т. А. Годунова и др.). Обсуждения того, как надо математику и в каком объеме давать геофизикам, регулярно проводились на собраниях преподавателей, а споры часто напоминали дискуссии на научных конференциях.

Огромный вклад в создание основ теории обратных и некорректных задач внесли наши всемирно признанные соотечественники А. Н. Тихонов, В. К. Иванов и М. М. Лаврентьев. Одна из главных идей состояла в том, что при исследовании некорректных задач необходимо сузить класс возможных решений. При этом важнейшую роль играет выбор множества (множество корректности), в котором ищется приближенное решение. Чаще всего такое множество выбирают компактным, что дает возможность обосновать сходимость регуляризирующих алгоритмов, помогает выбрать параметр регуляризации и оценить уклонение приближенного решения от точного решения некорректной задачи.

Компьютерное моделирование дыхания и торнадо, кровообращения и цунами

Среди этих работ – исследования двух, на первый взгляд, очень далеких друг от друга процессов: распространения смерча в урочище Медео (Алматы, 17 мая 2011 г.) и процесс поступления наночастиц из носовой полости в мозг при их вдыхании в эксперименте на лабораторных мышах. В первом случае нужно выявить причины возникновения небывалого по мощности смерча, который как спички повалил огромные ели на всем протяжении ущелья. Пока имеются только предположения, что большую роль в его появлении сыграло уникальное сочетание погодных условий, а также возведение каскада высотных зданий, перекрывших естественное движение холодного воздуха вниз по ущелью. Во втором случае мы имеем дело с важной проблемой, связанной с созданием массовых производств нанопрепаратов. Изучение млекопитающих, в разной степени приспособленных к вдыханию пыли, является перспективным подходом к исследованию природных механизмов защиты организма от наноаэрозолей.

ОПЕРАЦИЯ ОНЛАЙН

Современные методы вычислений позволяют моделировать оба эти процесса. Правильно задав начальные и граничные условия для соответствующих уравнений газовой динамики, можно приступать к решению обратных задач – восстановления формы источника торнадо, обнаружения мест возможного скопления наночастиц и т. п.

В СО РАН накоплен также большой опыт применения математического моделирования для исследования цунами – одного их самых катастрофических природных явлений, прежде всего в ИВТ СО РАН (Ю. И. Шокин, Л. Б. Чубаров) и ИВМиМГ (В. К. Гусяков, Ан. Г. Марчук). Проблема моделирования этих процессов очень важна, поскольку число таких разрушительных катастроф увеличивается с каждым десятилетием. Особенно значимы задачи оперативного прогнозирования, благодаря которому можно уменьшить число человеческих жертв.

В отделе математических задач геофизики ИВМиМГ разработана специализированная система ITRIS для предупреждения, анализа, оценки риска и последствий природных и техногенных катастроф. Концепция ITRIS базируется на принципах ГИС-технологий и объединяет в своем составе специализированные базы данных, программные компоненты для моделирования опасных природных явлений, инструменты для обработки и анализа геологических данных, включая спутниковые снимки, цифровые модели суши и морского дна, материалы дистанционного зондирования, базы данных по катастрофам, населению и инфраструктуре крупных городов.

Главное достоинство этой системы – возможность пополнения новыми данными, численными моделями и алгоритмами. Другими словами, система ITRIS позволяет подключать различные модули, реализующие математические модели природных и техногенных катастроф, а также любых других физических процессов.

Без права на ошибку

Популярность обратных задач растет пропорционально мощности компьютеров, поскольку одним из самых доступных и понятных прикладникам методов решения обратных задач является метод подбора (метод палеток). Имея надежный численный метод решения прямой задачи (а значит, достаточно адекватную модель изучаемого явления), исследователь может решать обратную задачу, целенаправленно меняя интересующие его параметры модели. С появлением суперкомпьютеров открываются возможности использовать градиентные методы, стохастические алгоритмы, изучать и применять генетические алгоритмы и нейронные сети.

Научиться контролировать ошибки в вычислениях жизненно важно. Поэтому уже сейчас ведутся работы по оптимизации моделей, созданию специальных алгоритмов для архитектуры параллельных систем, по учету и анализу ошибок вычислений. Например, в Японии при создании 10-петафлопсного суперкомпьютера одновременно создавался компьютер-дублер на графических платах, на котором должны отрабатываться программное обеспечение и исследоваться особенности параллельных алгоритмов.

Если государство не сможет поддержать развитие всех направлений, то рано или поздно ему придется выбирать. В этом отношении у специалистов по обратным задачам очень хорошие перспективы. С одной стороны, есть большая и активная когорта маститых ученых, которые уже внесли весомый вклад в развитие теории и создание практических приложений в этой области. С другой – как показывает опыт проведения ежегодной молодежной школы-конференции в новосибирском Академгородке, в нее вовлекается все больше молодых российских математиков, физиков, химиков, геофизиков, биологов и представителей других естественно-научных дисциплин. И это закономерно, ведь стремительно растущие вычислительные мощности превращают обратные задачи в необходимый инструмент не только для исследования уже существующих математических моделей, но и для создания новых моделей, для вывода новых уравнений и закономерностей и для исследования их устойчивости и адекватности.

Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. Третье изд. М.: Наука, 1986.

Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1980.

Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978.

Кабанихин С. И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск: Сиб. науч. изд-во, 2008.

Koptyug I. V. , Kabanikhin S. I., Sagdeev R. Z. , Parmon V. N. et al. A quantitative NMR imaging study of mass transport in porous solids during drying // Chemical Engineering Science. Pergamon 2000. V. 55. P.1559—1571.

M. P. Moshkin, I. V. Koptyug, R. Z. Sagdeev V. V. Fomin V. M. et al. Adaptation to underground life protects lung and brain from inhaled dust. (to appear).

Эпов М. И., Миронов В. Л., Музалевский К. В., Кабанихин С. И. Применение метода дискретных источников для расчёта полей СШП импульсного электромагнитного дипольного зонда в средах нефтегазового коллектора // Изв. вузов. Физика, 2010. №9/3. С. 257—262.

А. П. Чупахин, А. А. Черевко, А. К. Хе, Н. Ю. Телегина, А. Л. Кривошапкин, К. Ю. Орлов, В. А. Панарин, В. И. Баранов. Измерения и анализ церебральной гемодинамики у больных с сосудистыми мальформациями головного мозга // Патология кровообращения и кардиохирургия. 2012. № 4. С. 27—31.

Ilyin A., Kabanikhin S. I., Nurseitov D. B. et al. Analysis of ill-posedness and numerical methods of solving a nonlinear inverse problem in pharmacokinetics for the two-compartmental model with extravascular drug administration // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 2012. V. 20, N. 1. P. 39—64.

Математическое исследование генетики популяций является одним из важнейших направлений современной теоретической биологии. Основы математической теории генетики популяций были заложены работами Г. Дженингса (1914–1917), С. Райта (1921–1932), Дж. Холдейна (1924–1932) и Р. Фишера (1928, 1930). Классическая работа в этой области принадлежит С.С. Четверикову (1926). В общей форме возникающая здесь задача может быть сформулирована так. Допустим, что данная популяция животных характеризуется определенным распределением генотипов и разной частотой встречаемости тех или иных признаков. Задан характер скрещивания в популяции и относительная жизнеспособность носителей этих признаков при тех или иных условиях. Требуется найти, как изменится в последующих поколениях распределение признаков при существовании популяции в данной (неизменной или меняющейся по определенному закону) среде. Простейший случай такой эволюционной задачи – вопрос о том, с какой скоростью будет происходить вытеснение некоторого исходного гена его аллелем, возникшим в результате мутации и имеющим селекционное преимущество. Основными факторами, влияющими на этот процесс, является частота мутирования и эффективность отбора. Фишер и Райт выяснили также роль размеров популяции и ограничения скрещивания внутри нее. Райт, кроме того, изучал влияние миграций. Роли миграций в изменении генофонда популяций посвящена работа А.Н. Колмогорова, И.Г. Петровского и Н.С. Пискунова (1937). А.Н. Колмогоров (1935) установил также отклонение от формулы Харди‑Вейнберга в условиях ограниченного скрещивания, показав, что существует оптимум частичной изоляции, при котором скорость отбора максимальна. Качественные соображения о существовании такого оптимума были развиты А.А. Малиновским (1934).

Идеи Холдейна, Фишера и Райта за последние годы получили развитие в разнообразных направлениях. Так, в работах Н.В. Тимофеева‑Ресовского и Ю.М. Свирежева (1966) установлены механизмы, ведущие к устойчивому существованию полиморфных популяций, а в работах О.С. Кулагиной и А.А. Ляпунова (1966) рассмотрены механизмы дивергенции форм в популяциях.

Разработка математических вопросов генетики популяций интенсивно ведется за рубежом. В ряде работ изучен процесс эволюции при разных вариантах скрещивания, с учетом взаимодействия генов между собой, возрастного и полового состава популяции и т. д. Новое интересное направление развивает в последнее время японский ученый М. Кимура. Он проводит аналогию между эволюцией популяции и движением некоторой динамической системы, а затем, используя эту аналогию, стремится найти для описания эволюции принцип, аналогичный принципу наименьшего действия аналитической механики[251].

Биологический вид — это совокупность особей, занимающих определенный ареал, имеющих морфологическое, физиологическое, генетическое и поведенческое сходство, свободно скрещивающихся между собой и дающих плодовитое потомство.

Основные критерии вида следующие:

1) репродуктивная и генетическая изоляция — особи одного вида свободно скрещиваются друг с другом и не скрещиваются с особями других видов;

2) морфологический — сходство в строении особей одного вида;

3) физиологический — сходство физиологических процессов у особей одного вида;

4) биохимический — специфика белков и ферментов и сходство обменных процессов у особей одного вида;

5) этологический — сходство поведения у особей одного вида;

6) экологический — сходство условий существования у особей одного вида;

7) географический — одинаковое расселение особей вида на определенной территории.

Особи вида расселены на занимаемой ими территории неравномерно. Вследствие этого вид распадается на более мелкие единицы, относительно изолированные друг от друга. Они называются популяциями.

Популяция- это совокупность особей одного вида, длительно населяющих одну территорию, относительно изолированных от других групп особей этого вида, свободно скрещивающихся между собой и дающих плодовитое потомство.

Совокупность генов популяции называется генофондом. Генофонды популяций составляют генофонд вида. Особи одной популяции имеют разные генотипы (АА, Аа, аа), т.е. обладают генетическим полиморфизмом в отличие от чистых линий, представляющих совокупность однородных гомозиготных особей (либо АА, либо аа). Отбор не может идти в чистых линиях, он идет только в популяциях.

По численности особей популяции могут быть большие и малые.

Большие человеческие популяции включают более 4 тыс. человек.

Малые человеческие популяции подразделяются на демы и изоляты.

Демы имеют численность от 1,5 до 4 тыс. человек. Внутригрупповые браки, в них составляют 80 — 90%, приток генов из других групп — 1 — 2%.

Изоляты — наименьшие популяции людей численностью до 1,5 тыс. человек. Внутригрупповые браки составляют в них свыше 90%, а приток генов из других групп — менее 1%.

Популяции называются панмиксными, если в них происходит случайное, ничем не ограниченное скрещивание между особями, свободный выбор партнера.

Под идеальной популяцией понимают бесконечно большую по численности особей популяцию, которая характеризуется полной панмиксией, отсутствием мутаций и: естественного отбора. Понятно, что в природе такие популяции не существуют, но большие по численности популяции по своим характеристикам приближаются к идеальной.

Изменчивость генофонда может быть описана либо частотами генов, либо частотами генотипов. Если мы знаем соотношение между генотипами и соответствующими им фенотипами, то по частотам наблюдаемых фенотипов мы можем рассчитать частоты соответствующих генотипов.

Частоты аллелей можно рассчитать по частотам генотипов, учитывая, что в гомозиготах содержится по два одинаковых аллеля, а в гетерозиготах – по одному аллелю каждого типа. Таким образом, что бы получить частоту аллелей каждого типа, нужно к частоте индивидуумов, гомозиготных по данному аллелю, прибавить половину частоты гетерозигот по этому аллелю. Если частоты генотипов представить как: гомозиготных (АА) – D, (аа) – R, гетерозиготного (Аа) – H, то частоты аллелей считаются как:

Одна из причин, по которым генетическую изменчивость популяций часто предпочтительнее описывать, используя частоты аллелей, а не генотипов, состоит в том, что различных аллелей обычно бывает гораздо меньше, чем генотипов. При двух аллелях число возможных генотипов равно трем, при трех аллелях – шести, при четырех – десяти. В общем случае, если число различных аллелей одного локуса равно k, то число возможных генотипов равно k(k + 1)/2.

Закон Харди-Вайнберга дает возможность рассчитать частоты генов и генотипов в ситуациях, когда не все генотипы могут быть выделены фенотипически в результате доминантности некоторых аллелей. В качестве приме-Ра опять обратимся к ФКУ. Предположим, что частота встречаемости гена фКУ (т.е. частота встречаемости аллеля-мутанта) в некой популяции составляет Q = 0,006. Из этого следует, что частота встречаемости нормального аллеля равна р = 1 — 0,006 = 0,994. Частоты генотипов людей, не страдающих Умственной отсталостью в результате ФКУ, составляют р2 = 0,9942= 0,988 ^я генотипа аа и 2pq =2-0,994-0,006 = 0,012 для генотипа аа.

Однако, как мы уже определили, большинство аллелей-мутантов встречаются не у гомозигот (q2= 0,000036), а у гетерозигот (2pq = 0,012). Следовательно, даже тотальная стерилизация умственно отсталых приведет лишь незначительному снижению частоты аллеля-мутанта в популяции: в дочернем поколении частота умственной отсталости будет примерно такой же, как в исходном поколении. Для того чтобы существенно снизить частоту встречаемости аллеля-мутанта, диктатору и его потомкам пришлось бы осуществлять подобного рода отбор или стерилизацию на протяжении многих поколений.

Математические модели популяционной генетики количественно характеризуют динамику распределения частот генов в эволюционирующей популяции. Есть два основных типа моделей: 1) детерминистические модели и 2) стохастические модели.

Детерминистические модели предполагают, что численность популяции бесконечно велика, в этом случае флуктуациями в распределении частот генов можно пренебречь, и динамику популяции можно описать в терминах средних частот генов.

Стохастические модели описывают вероятностные процессы в популяциях конечной численности.

Здесь мы кратко охарактеризуем основные уравнения и математические методы популяционной генетики. Наше изложение будет основываться на рассмотрении наиболее характерных примеров. Уравнения моделей мы будем приводить в основном в демонстрационных целях – без вывода, с пояснением смысла этих уравнений; тем не менее, мы будем приводить ссылки на литературу, в которой сделаны соответствующие математические выводы.

2.1. Детерминистические модели

Рассмотрим популяцию диплоидных1) организмов, которые могут иметь несколько аллелей2) A1 , A2 ,…, AK в некотором локусе3). Мы предполагаем, что приспособленности организмов определяются в основном рассматриваемым локусом. Обозначая число организмов и приспособленность генной пары Ai Aj через nij и Wij , соответственно, мы можем определить частоты генотипа и гена Pij и Pi , а также средние приспособленности генов Wi в соответствии с выражениями :

Pij = nij /n , Pi = S j Pij , и Wi =Pi-1 S j Wij Pij , (1)

где n – численность популяции, индекс i относится к классу организмов , j = 1,2,…, K , которые содержат ген Ai . Популяция предполагается панмиктической4) : при скрещивании новые комбинации генов выбираются случайным образом из всей популяции.

Для панмиктической популяции приближенно справедлив принцип Харди-Вайнберга :

Pij =Pi Pj , i, j = 1,…, K. (2)

Уравнение (2) означает, что во время скрещивания генотипы формируются пропорционально частотам генов.

Эволюционная динамика популяции в терминах частот генов Pi может быть описана следующими дифференциальными уравнениями :

dPi /dt = Wi Pi — W Pi — S j uji Pi + S j uij Pj , i = 1,…, K, (3)

где t – время, W = S ij Wij Pij – средняя приспособленность в популяции; uij – параметры, характеризующие интенсивности мутационных переходов Aj — Ai , uii =0 (i, j = 1,…, K). Первое слагаемое в правой части уравнения (3) характеризует отбор организмов в соответствии с их приспособленностями, второе слагаемое учитывает условие S i Pi = 1, третье и четвертое слагаемые описывают мутационные переходы.

Отметим, что подобные уравнения используются в модели квазивидов , см Лекция 2

Пренебрегая мутациями, мы можем анализировать динамику генов в популяции посредством уравнений:

dPi /dt = Wi Pi — W Pi , i = 1,…, K. (4)

Используя (1), (2), (4), можно получить (при условии, что величины Wij постоянны), что

скорость роста средней приспособленности пропорциональна дисперсии приспособленности V = S i Pi ( Wi — W)2 :

dW/dt = 2 S i Pi ( Wi — W)2. (5)

Таким образом, средняя приспособленность – неубывающая величина. В соответствии с (4), (5), величина L = Wmax — W есть функция Ляпунова для рассматриваемой динамической системы (Wmax – локальный или глобальный максимум приспособленности, в окрестности которого рассматривается динамика популяции) . Это означает, что величина L всегда уменьшается до тех пор, пока не будет достигнуто равновесное состояние (dPi /dt = 0).

Уравнение (5) характеризует фундаментальную теорему естественного отбора (Р.Фишер,1930), которая в нашем случае может быть сформулирована следующим образом :

В достаточно большой панмиктической популяции, наследование в которой определяется одним n-аллельным геном, а давление отбора, задаваемое Wij , постоянно, средняя приспособленность популяции возрастает, достигая стационарного значения в одном из состояний генетического равновесия. Скорость изменения средней приспособленности пропорциональна аддитивной генной дисперсии и обращается в нуль при достижении генетического равновесия.

Описанная модель – простой пример модели, использующей детерминистический подход. В рамках этого подхода был разработан широкий спектр аналогичных моделей, которые описывают различные особенности динамики генных распределений, например, учитывают несколько генных локусов, возраст особей, число мужских и женских особей, пространственную миграцию особей, подразделение популяции на субпопуляции и т.п. Многие из моделей и расчетов были предназначены для интерпретации конкретных генетических экспериментальных данных .

2.2. Стохастические модели

Детерминистические модели позволяют эффективно описывать динамику распределения генов в эволюционирующих популяциях. Однако эти модели основаны на предположении бесконечного размера популяции, которое является слишком сильным для многих реальных случаев. Чтобы преодолеть это ограничение, были разработаны вероятностные методы теоретической популяционной генетики . Эти методы включают анализ с помощью цепей Маркова (в частности, метод производящих функций), и диффузионные методы.

Ниже мы кратко рассмотрим основные уравнения и характерные примеры применения диффузионного метода. Этот метод достаточно нетривиален и его применение приводит к достаточно содержательным результатам.

2.2.1. Прямое и обратное уравнения Колмогорова

Рассмотрим популяцию диплоидных организмов с двумя аллелями A1 и A2 в некотором локусе. Численность популяции n предполагается конечной, но достаточно большой, так что частоты гена могут быть описаны непрерывными величинами. Мы также предполагаем, что численность популяции n постоянна.

Введем функцию j = j (X,t|P,0) , которая характеризует плотность вероятности того, что частота гена A1 равна X в момент времени t при условии, что начальная частота (в момент t = 0) была равна P. В предположении малого изменения частот генов за одно поколение, динамика популяции может быть описана приближенно следующими дифференциальными уравнениями в частных производных :

¶ j /¶ t = — ¶ (Md X j )/¶ X + (1/2)¶ 2(VdX j )/¶ X 2 , (6)

¶ j/¶ t = Md P ¶ j /¶ P + (1/2)Vd P ¶ 2j/¶ P 2 , (7)

где Md X , Md P и VdX , Vd P – средние значения и дисперсии изменения частот X, P за одно поколение, соответственно; единица времени равна длительности одного поколения. Уравнение (6) есть прямое уравнение Колмогорова. (В физике это уравнение называют уравнением Фоккера-Планка), уравнение (7) – обратное уравнение Колмогорова.

Первые слагаемые справа в уравнениях (6), (7) описывают давление отбора, которое обусловлено разностью приспособленностей генов A1 и A2. Вторые слагаемые характеризуют случайный дрейф частот, который обусловлен флуктуациями в популяции конечной численности.

Используя уравнение (6), можно определять динамику частот генов во времени. Уравнение (7) позволяет оценивать вероятности фиксации генов.

Предполагая, что 1) приспособленности генов A1 и A2 равны 1 и 1 — s , соответственно и 2) вклады генов в приспособленности генных пар A1 A1, A1 A2 и A2 A2 аддитивны, можно получить, что величины Md X , Md P и VdX , Vd P определяются следующими выражениями:

Md X = sX(1-X), Md P = sP(1-P), Vd X = X(1-X)/(2n), Vd P = P(1-P)/(2n) . (8)

2.2.2. Случай чисто нейтральной эволюции

Если эволюция чисто нейтральная (s = 0), то уравнение (6) принимает вид:

¶ j/¶ t = (1/4n)¶ 2/¶ X 2 . (9)

Это уравнение было решено аналитически М. Кимурой Само решение имеет сложный вид, основные результаты этого решения сводятся к следующему: 1) в конечной популяции фиксируется только один ген (A1 либо A2); 2) типичное время перехода от начального распределения к конечному составляет величину порядка 2n поколений. Отметим, что этот результат согласуется с оценками лекции 4 , где была рассмотрена несколько иная модель чисто нейтральной эволюции.

2.2.3. Вероятность фиксации гена

Используя уравнение (7), мы можем оценить вероятность фиксации гена A1 в конечной популяции. Действительно, рассматривая асимптотику при времени, стремящемся к бесконечности ( t — inf ), мы можем положить ¶ j /¶ t = 0 и X = 1 ; тогда аппроксимируя вероятность u(P) , которую нужно найти, величиной u(P) = j (1, inf |P,0)/(2n) (здесь u(P) = j(1, inf |P,0)DX , где DX = 1/2n – минимальный шаг изменения частоты в популяции, см. также для более строгого рассмотрения) и комбинируя (7), (8), мы получаем:

s du /dP + (1/4n) d 2u /dP 2 = 0 . (10)

Решая это простое уравнение при естественных граничных условиях: u (1) = 1, u (0) = 0 , мы получим вероятность фиксации гена A1 в конечной популяции :

Итак, математические методы популяционной генетики описывают динамику частот генов в эволюционирующих популяциях. Детерминистические методы используются при описании динамики частот в среднем; стохастические методы учитывают флуктуации в популяциях конечной численности.

* Данная работа не является научным трудом, не является выпускной квалификационной работой и представляет собой результат обработки, структурирования и форматирования собранной информации, предназначенной для использования в качестве источника материала при самостоятельной подготовки учебных работ.

План

2. Эволюционные воззрения Ламарка…………………………4-5 стр.

3. Теория эволюции Дарвина…………………………………. 5-9 стр.

4. Исследования Грегори Менделя…………………………….9-10 стр.

4.1. принципы менделевской теории наследственности…10-11 стр.

4.2. доминантность наследственных признаков ………….11-13 стр.

5. Эволюция полигенных систем……………………………….13-15 стр.

6. Генетический дрейф.…………………………………………..15-17 стр.

8. Список использованной литературы………………………….19 стр.

Введение.

Эволюция и генетика – это краеугольные камни понимания человечеством своего происхождения и путей развития жизни на Земле. В рассмотрении нашей темы войдут вопросы развития эволюционных учений, начиная с Эмпедокла, жившего в V веке до нашей эры, утверждавшего, что изначально были созданы различные органы – ноги, руки, ласты и т. д.; и заканчивая последней, наиболее совершенной (широко известной) теорией о происхождении видов Чарльза Дарвина, а также её оппонентов и многочисленных сторонников, самостоятельно занимающихся изучением и разработкой дарвиновской концепции. Также следует сказать, что генетика и эволюция – науки взаимосвязанные. Принципы генетики укрепили и дали прочную научную основу для развития эволюционных учений. Этот процесс начался с открытием законов Менделя и применением их к теории эволюции Дарвина.

В данной работе были использованы несколько источников:

кратко формулирует основные положения теории эволюции;

2. Эволюционные воззрения Ламарка.

Одним из первых ученых, занимавшихся исследованиями теории эволюции, был французский биолог Жан Батист Ламарк (1774-1829) придерживавшийся взгляда, что виды постепенно изменяются, порождая новые, т. е. эволюционируют. Значительный вклад Ламарка в биологическую мысль состоял в том, что он привел убедительные (для своего времени) аргументы в поддержку теории эволюции, выступив противником теории независимого и неизменного развития видов, утверждавшей, что с течением времени наблюдаются слабые отклонения от нормальных форм, но, в конце концов, эти уклонившиеся формы возвращаются к прежнему состоянию, что не может привести к возникновению новых видов.

Заслуга Ламарка состояла в том, что он строго придерживался эволюционной теории в то время, когда многие его коллеги твердо верили в создание определенных видов путем отдельных актов творения. Тем более, механизм наследования имел, вероятно, для него второстепенное значение по сравнению с главной целью – убедить всех своих противников в существовании процесса эволюции.

3. Теория эволюции Дарвина.

Ученым, совершившим переворот в развитии эволюционной теории, является Чарльз Дарвин. Дарвин вывел новую концепцию эволюции. Дарвиновская концепция эволюции признает существование такой групповой изменчивости, которая приобретается организмами под действием определенных факторов, считает, что только случайные индивидуальные изменения, оказывающиеся полезными, могут передаваться по наследству и тем самым влиять на процесс дальнейшей эволюции.

Одним из важнейших аспектов теории Дарвина было ограничение полового отбора от других форм отбора. Дарвин отмечал, что у животных, имеющих два пола, существуют признаки, которые не способствуют выживанию особи и могут быть даже вредными для нее. В особенности это относится к самцам. Если самец имеет такое строение или поведение, способствующее спариванию с ним самки в присутствии конкурента, то этот признак дает ему преимущества перед конкурентом оставить больше потомства. Данный признак, по мнению Дарвина, будет развиваться, и совершенствоваться с течением времени, так как любые вариации, усиливающие его, дадут обладателю новые преимущества, и он оставит больше потомства, чем его менее удачливый соперник. В дальнейшем развитие признака прекращается лишь тогда, когда его половые преимущества точно уравновешиваются механическими, физиологическими и другими недостатками, или, по словам самого Дарвина, когда половой отбор уравновешивается равным ему и противоположным по направлению естественным отбором. Таким образом, Дарвин объяснил развитие многих вторичных половых признаков, таких, как красивые перья у райских птиц и хвостовые перья у павлина, наличие которых объяснить иначе невозможно.

В результате своих исследований Дарвин вывел основные принципы своей эволюционной теории:

1) Первый из них постулирует о том, что изменчивость является неотъемлемой частью всего живого.

В природе не существуют два совершенно одинаковых, тождественных организма. Мы все тщательнее и глубже изучаем природу и убеждаемся во всеобщем, универсальном характере изменчивости. Например, на первый взгляд может показаться, что все деревья в сосновом бору одинаковые, но более внимательное изучение может некоторые различия между ними. Одна из сосен дает более крупные семена, другая – в состоянии лучше переносить засуху, у третей – повышенное содержание хлорофилла в иголках и т. д. В определенных условиях это незначительное, на первый взгляд, различие может стать тем решающим изменением, которое и определит, останется ли организм в живых или нет. Дарвин различает два типа изменчивости:

3) Второй принцип теории Дарвина состоит в раскрытии внутреннего противоречия в развитии живой природы. С одной стороны все виды организмов имеют тенденцию к размножению в геометрической прогрессии, а с другой – выживает и достигает зрелости лишь небольшая часть потомства.

4) Третьим принципом называется принципом естественного отбора, играющий фундаментальную роль во всех эволюционных теориях.

Самым слабым местом в теории Дарвина были его представления о наследственности. Неясным оставалось тот факт, каким образом изменения, связанные со случайным появлением полезных изменений могут сохраняться в потомстве и передаваться следующему поколению. Таким образом, теория Дарвина нуждалась в доработке и обосновании с учетом других биологических дисциплин, а в частности – генетики.

4. Исследования Грегори Менделя

И только Грегор Мендель заложил основы современной теории наследственности, или как её называют сейчас, генетики.

4.1. Принципы менделевской теории наследственности.

Менделевская наследственность объединяет пять основных принципов, два из которых он сформулировал в виде законов.

1) Наследственность дискретна, и за исключением половых хромосом, вклад каждого из родителей в свое потомство равноценен. Материал, определяющий наследственные свойства, передается потомству сперматозоидом и яйцеклеткой и не смешивается. Наследственный материал представляет собой набор дискретных частиц, называемый генами. Гены – это гигантские молекулы, определяющие своим строением и взаимодействием с другими аналогичными молекулами природу наследственных признаков.

3) При скрещивании двух чистопородных организмов, различающихся по паре контрастирующих признаков, первое поколение, как правило, обладает признаками одного из родителей. Таким образом, исходные (дедовские) формы вновь выявляются во втором поколении, или, как сейчас говорят, выщепляются. Это первый закон Менделя, подтверждающий вышеизложенное второе положение, называемый законом расщепленя.

4) Если скрестить организмы, различающиеся по двум или большему числу пар контрастирующих признаков, то во втором поколении эти признаки распределяются совершенно независимо друг от друга. Это правило получило название закон независимого распределения.

5) Пятым принципом теории наследственности Менделя доказывалась исключительная стабильность генов. Гены редко претерпевают изменения (мутируют) с образованием разнообразных форм (мутантов). Эти изменения могут вызывать появление новых наследственных признаков. Из 50 000 тысяч половых клеток только одна из них будет нести мутационное изменение по какому-либо гену. Значительная часть половых клеток будет нести, по крайней мере, одну новую мутацию.

4.3. Доминантность наследственных признаков.

Прежде чем говорить о доминантности, следует раскрыть следующие понятия: аллели, гомозиготы, гетерозиготы.

Гены, контролирующие наследственные свойства, заключены в хромосомах. Хромосомы парные, поэтому каждый ген в клетке представлен дважды, по одному в каждой хромосоме и в том же месте хромосомы. Гены, расположенные в одном и том же месте хромосомы называются аллеморфами (аллелями). Они могут быть одинаковыми, а могут различаться. Организм, имеющий пару одинаковых аллельных генов, называется гомозиготным. Организм, несущий два различных аллеморфа, называется гетерозиготным.

Мендель работал с двумя чистыми линиями гороха: одна из которых с зелеными семенами gg, а другая с желтыми GG. (gg – рецессивный признак зеленых семян, GG – доминантный признак желтых семян). По внешнему виду образуется два вида типа семян в отношении 3 желтых к 1 зеленому. Фенотипом называется совокупность признаков, которыми обладает организм, а генетический состав, определяющий эти признаки, называется генотипом. В менделевском скрещивании имеется только два разных фенотипа во втором поколении в отношении 3 желтых к 1 зеленому, но три генотипа в отношении 1GG: 2Gg:1gg.

При скрещивании из двух чистых линий, различающих признаков, можно определить доминантность одного из признаков по расщеплению во втором поколении. Если один из признаков доминирует, то мы получим два фенотипа в отношении 3: 1, где особей с доминантным признаком большинство. Но при отстутствии доминантности будет расщепление в отношении 1: 2: 1, где большинство гетерозигот. В приведенной схеме 1 даны результаты возвратного скрещивания, где соотношение гетерозигот к гомозиготам равно 1: 1.

5. Эволюция полигенных систем.

Гены, каждый из которых сам по себе дает незначительный кумулятивный эффект, а в сумме котролируют непрерывную изменчивость, называют полигенами. Особенно много занимался исследованиями в этой области английский ученый К. Мазер. Между генами с сильным действием (главными генами) и генами со слабым действием (полигенами) нет абсолютного различия, потому что гены могут вызывать также промежуточные эффекты. Кроме того, гены, оказывающие сильное действие на одни признаки, могут оказывать слабое действие на другие.

В любых условиях ненаправленные изменения признака лишь по случайности могут оказаться благоприятными. Современный уровень развития генетики показывает, что чем сильнее изменение, тем больше вероятность, что оно окажется вредным. Поэтому большинство эволюционных изменений должно быть вызвано накоплением многих изменений.

Исходя из того, что одни гены влияют на проявление других, в процессе отбора в организме вырабатывается сбалансированная система генов, называемая генным комплексом.

В одной и той же хромосоме находятся гены, контролирующие различные признаки. Поэтому при проведении опыта по отбору какого-либо признака отбирают не только новые комбинации полигенов, влияющих на этот признак, но также аллели других локусов, которые влияют на другие признаки, но расположены в другой хромосоме. Это означает то, что в прессе отбора изменяются не только те признаки, по которым ведут отбор, но также и другие.

В процессе эволюции вырабатывается определенный генетический комплекс, обеспечивающий фенотипическую пластичность. Каждый признак развивается в результате взаимодействия среды и генотипа. Различные условия будут по-разному влиять на выражение признака, как, например, на вес семян или рост человека. Значит, будут отбираться те гены или генные комбинации, которые во взаимодействии с данными условиями дадут приспособленный фенотип. Таким образом, создается устойчивый генный комплекс, обеспечивающий приспособление к любым условиям среды, с которым может столкнуться организм и где еще не шел естественный отбор.

6. Генетический дрейф.

Кроме естественного отбора, существует еще один фактор, который может способствовать повышению концентрации мутантного гена в популяции и даже полностью вытеснить его нормальный алллеломорф.

Биолог С. Райт исследовал этот случайный процесс (генетический дрейф) при помощи математических моделей и применил этот принцип к изучению проблем эволюции. При постоянных условиях генетический дрейф имеет решающее значение в очень маленьких популяциях, следовательно, популяция становится гомозиготной по многим генам и генетическая изменчивость уменьшается. Также он полагал, что вследствие дрейфа в популяции могут возникнуть признаки вредные наследственные признаки, в результате чего такая популяция может погибнуть и не внести свой вклад в эволюцию вида. С другой стороны, в очень больших популяциях решающим фактором является отбор, поэтому генетическая изменчивость в популяции снова будет незначительна. Популяция постепенно хорошо приспосабливается к условиям окружающей среды, но дальнейшие эволюционные изменения зависят от появления новых благоприятных мутаций. Такие мутации происходят медленно, поэтому эволюция в больших популяциях идет медленно. В популяциях промежуточной величины генетическая изменчивость повышена, новые выгодные комбинации генов образуются случайно, и эволюция идет быстрее, чем двух других описанных выше случаях популяциях.

Также следует помнить, что, когда один аллель теряется из популяции, он может вновь появиться только благодаря определенной мутации. Но в случае, если вид разделен на ряд популяций, в одних из которых потерян один аллель, а в других другой, то утерянный из данной популяции ген может появиться в ней благодаря миграции из другой популяции, где есть данный ген. Вот таким образом сохранится генетическая изменчивость. Исходя из этого Райт, предположил, что наиболее быстрые эволюционные изменения будут происходить у видов, подразделенных на многочисленные популяции различной величины, причем между популяциями возможна некоторая миграция.

Райт соглашался с тем, что естественный отбор – один из важнейших факторов эволюции, однако генетический дрейф, по его мнению, также является существенным фактором, определяющим длительные эволюционные изменения внутри вида, и что многие признаки, отличающие один вид от другого, возникли путем дрейфа генов и были безразличны или даже вредны по своему влиянию на жизнеспособность организмов.

По поводу теории генетического дрейфа разгорались споры между учеными – биологами. Например, Т. Добжанский считал, что не имеет смысла ставить вопрос, какой фактор играет большую роль – генетический дрейф или естественный отбор. Эти факторы взаимодействуют между собой. Возможны две ситуации:

1) Если в эволюции каких-либо видов главенствующее положение занимает отбор, то в этом случае будет наблюдаться или направленное изменение частот генов, или стабильное состояние, определяемое условиями окружающей среды.

2) Когда же на протяжении длительного периода времени более важен дрейф, то тогда направленные эволюционные изменения не будут связаны с природными условиями и даже возникшие незначительные неблагоприятные признаки могут широко распространиться в популяции.

В целом же генетический дрейф исследован еще недостаточно хорошо и определенного, единого мнения об этом факторе еще в науке не сложилось.

7. Заключение.

Исследования в области генетики и экологии выявили ряд факторов, контролирующих выработку приспособлений и видообразование. Силы, лежащие в основе эволюции семейств, порядков и классов, не могут быть так легко определены.

Синтез генетики и эволюции в основном состоял во взаимодействии менделевской теории наследственности и великой по своей научной значимости теории Дарвина.

На современном этапе развития генетики и эволюции все большее значение приобретает генная инженерия. Ученым удалось расшифровать структуру молекулы ДНК, что позволило создавать на базе известных видов новые, с заранее запрограммированными, не свойственными этому виду качествами. Серьезнейшей проблемой в практическом использовании генной инженерии является безопасность продуктов применения продуктов генной инженерии для существования Человечества. Наряду с этим выступает проблема клонирования, т.е. производства организмов абсолютно схожих по своей молекулярной структуре, а также измененной в соответствии с требованиями ученых. Клонирование влечет за собой множество морально- этических проблем, главной из которых является клонирование человека.

8. Список литературы.

1. Шеппард Ф. М. Естественный отбор и наследственность.- М.: Просвещение, 1970.

2. Киселева Э. А. Книга для чтения по дарвинизму. – М.: Просвещение, 1970.

3. Пузанов И. И. Жан Батист Ламарк.- М.: Просвещение, 1959.

4. Резник С. Раскрывшаяся тайна бытия. – М.: Знание, 1976.

5. Рузавин Г. И. Концепции современного естествознания. –М.: Юнити, 2000.

Читайте также: