Реферат функции комплексного переменного

Обновлено: 04.07.2024

Основные понятия, связанные с функцией комплексного переменного, находятся так же, как и в действительной области.

Пусть заданы два множества комплексных чисел.

Если каждому значению ставится в соответствие число , то говорят, что на множестве комплексного переменного, т.е.

Если записать числа и , то замечаем, что действительная и мнимая части функции являются функциями переменных и и .

Задание функции эквивалентно заданию на множестве двух действительных переменных.

Кроме того, если для числа и аргумент для и при ( при при равносильно заданию двух функций двух действительных переменных. Первая из функций определяет модуль функции: , вторая — аргумент функции: , где в точках, в которых при и при .

Пример 2.1. Найти значение функции в точках и .

Пример 2.2. Найти , если а) ; б) .

Отображения на комплексной плоскости

Задание функции комплексного переменного с областью определения есть отображение множества , (рис. 2.1).

Точка называется образом точки при отображении , точка — прообразом.

По определению предполагается однозначность отображения, т.е. каждому числу соответствует единственное значение , но при этом может оказаться, что точка (на рис. 2.1 это точка , так как и ).

Если любое значение является образом только одной точки , то отображение называется однолистным в . Первое отображает любую область, в том числе и всю комплексную плоскость, на себя, второе — верхнюю полуплоскость на нижнюю, а нижнюю на верхнюю.

Примером неоднолистного в отображения является . Действительно, различным точкам, например и , соответствует одно значение , а точкам . Каждой точке , соответствуют значений . В силу этого отображение при — двулистным.

Из определения получаем и условие однолистности отображения, отображение является однолистным на множестве и , принадлежащих выполняется тогда и только тогда, когда . Иначе: отображение однолистно на множестве и , таких, что и выполняется условие .

Пример 2.3. Найти область однолистности функции .

Во всей комплексной плоскости отображение не является однолистным. Но можно найти множество, где условие однолистности будет выполняться, т.е. множество, которое не содержит двух различных точек и , для которых .

Рассмотрим две произвольные точки и и разность значений функции в них: . При равенство выполняется, если . Таким образом, отображение будет однолистным в любой области, в которой не лежат одновременно две точки и , такие, что . Эти точки нужно расположить на границе области. Так как указанному условию удовлетворяют точки, симметрично расположенные относительно начала координат, то в качестве границы можно выбрать любую прямую, доходящую через . При этом каждую такую полуплоскость отображает на всю плоскость.

Рассмотрим подробнее отображение области (рис. 2.2,с), а обход границы в направлении от (рис. 1.2,б). При этом и левая, и правая полуоси действительной оси отображаются в действительную положительную полуось. Любая область .

Взаимная однозначность отображения нарушается на границе. Чтобы отображение было взаимно однозначным (однолистным) и на границе, сделаем "разрез" действительной положительной полуоси. Будем считать, что эта полуось состоит из двух "частей" — верхнего "берега" и нижнего "берега" (рис. 2.2,б). Полуось как граница пробегается точкой дважды, скачала по нижнему "берегу" в направлении от точки взаимно однозначно отображает верхнюю полуплоскость на плоскость с разрезом по действительной положительной полуоси.

Также на всю плоскость с разрезом по действительной положительной полуоси функция отображает и нижнюю полуплоскость (на рис. 2.2,с обход от и левая полуплоскости переходят при отображении в плоскость с разрезом по отрицательной действительной полуоси.

В силу указанной особенности отображение является двулистным в

Пример 2.4. Исследовать на однолистность отображения: а) ; б) ; в) .

а) Отображение однолистно во всей комплексной плоскости, так как для и равенство выполняется тогда и только тогда, когда .

б) При для и имеем . Поэтому для любых и при получаем и только при условии . Отображение однолистно всюду в .

в) Во всей плоскости отображение не является однолистным, так как, например, для точек и значения функции совпадают: и .

Однолистным отображение будет в любой области, принадлежащей углу наклона с вершиной в начале координат. Каждый такой угол функция отображает на всю плоскость с разрезом по лучу , в частности по действительной положительной полуоси (рис. 2.3).

Обратные и многозначные функции комплексного переменного

Понятие обратной функции для функции комплексного переменного вводится, как и в действительной области.

Пусть задана функция . Тогда по определению любому числу соответствует одно или несколько значений из области , т.е. для любого уравнение имеет решения и области определяет функцию , обратную функции .

Существование функции, согласно определению, предполагает ее однотипность, т.е. для случая обратной функции — это единственность решения уравнения при всяком фиксированном . Очевидно, в общем случае уравнение определяет неоднозначную функцию.

Достаточным условием однозначности обратной функции является однолистность функции .

Пример 2.5. Найти функции, обратные к следующим однолистным функциям:

a) ; б) ; в) Решение

а) Из равенства , или . Обратная к линейной функции также является линейной, однозначной. Линейная функции взаимно однозначно отображает комплексную плоскость на себя: , то можно говорить о взаимно однозначном отображении расширенной плоскости на себя: .

б) Из , получаем . Функция сама себе обратная, однозначная; осуществляет взаимно однозначное соответствие плоскости с выброшенной точкой , a , то получим отображение .

Функции, обратные к неоднолистным. Выделение однозначных ветвей

С неоднозначными функциями приходится встречаться в математическом анализе. Например, уравнение на множестве определяет двухзначную функцию , точнее, две функции: и . Геометрически — это две части окружности, верхняя и нижняя полуокружности. Эти функции можно назвать двумя однозначными ветвями функции, определяемой неявно уравнением . Отделение этих функций — выделение однозначных ветвей — здесь не представляет затруднений. Говоря о верхней полуокружности, подразумеваем то решение уравнения , где , поэтому ветвь можно выделить, задавая значения функции во внутренней точке промежутка , например ; говоря о нижней, можем задать .

Аналогично в комплексной области предполагаем однозначность функции, однако термин "функция" применяем и к случаю неоднозначных отображений.

Примерами неоднозначных отображений являются функции, обратные к неоднолистным. Например, функция , неоднозначная.

Вопрос о возможности выделения в соответствующих областях однозначных ветвей — однозначных, непрерывных функций и построении таких функций связан с исследованием простейшей многозначной функции .

Функция аргумента Arg(z)

Функция является многозначной, что следует из способа введения полярных координат, а именно аргумент числа определяется с точностью до слагаемого, кратного по произвольной непрерывной кривой аргумент числа непрерывно изменяется. При этом, если кривая замкнутая, то возможны два случая. В одном случае точка после обхода возвращается в исходное положение с прежним значением аргумента. Так будет для любой кривой, не совершающей обхода вокруг начала координат (рис. 2.4,а). В другом случае аргумент изменяется на в зависимости от направления обхода, а при n-кратном обходе — на или

Аргумент как функция точки будет однозначной функцией в области, которая не содержит кривых, совершающих обход точки ; можно выбрать разрез по действительной положительной полуоси — область , где главное значение аргумента определяется равенством (рис. 2.5). Заметим, что аргументы числа, геометрически соответствующего одной и той же точке областей и , могут быть различны. Например. в области , а в области .

Границами каждой из областей и являются два "берега" соответствующей полуоси, обход границ на рисунках указан стрелками.

Пример 2.6. Исследовать возможность выделения однозначных ветвей неоднозначной, функции Решение

Функция является неоднозначной как обратная к неоднолистной . Её неоднозначность (двузначность), согласно правилу извлечения корня, связана с неоднозначностью аргумента: .

Для каждого получаем два значения , для другого . При этом в силу равенства эти значения функции отличаются только знаком, , то есть . Например, значению в плоскости на рис. 2.6 и 2.7) соответствуют два значения (точки в плоскости w на рис. 2.6 и 2.7).

В плоскости с разрезом по лучу ( на рис. 2.5) возможно выделение однозначных ветвей аргумента. Можно рассмотреть две функции:

Первая из них переводит область — плоскость с разрезом — в область , где принадлежит области ), так как для имеем неравенство .

Положительный обход границ указан стрелками. В точках границы области однозначность нарушается, но в силу сделанного разреза действительные положительные значения рассматриваются дважды: на верхнем "берегу" и на нижнем "берегу". Например, при точки — нижнего (рис. 2.6). При отображении точкам верхнего "берега" соответствуют положительные значения ).

Вторая функция переводит область — плоскость с разрезом на нижнюю полуплоскость имеем неравенство . На рис. 2.7 точка принадлежит области .

Отображение и разрез плоскости

Из приведенных рассуждений сформулируем следующее утверждение.

Утверждение 2.1. Двузначная функция ) и нижнюю (область ). В области , другая — . Однозначное отображение всей плоскости невозможно.

Замечание 2.1. Проведение разреза в плоскости позволило получить однозначные функции, с которыми можно производить обычные операции (нахождение значений функции, дифференцирование, интегрирование). Указание определенной ветви осуществляется заданием функции в некоторой точке области. Например, при задании условия рассматривается ветвь ; при условии (на рис. 2.6 и 2.7 (см. решение примера 2.6) точка ). Но, с другой стороны, проведение разреза нарушило непрерывность отображения. Нарушенную непрерывность можно восстановить следующим образом. На основе приведенных рассуждений имеем, что значения на верхнем "берегу" границы области на нижнем "берегу" той же области, и наоборот (точки и и "склеим" верхний "берег" разреза с нижним для , a нижний — с верхним для . В плоскости при этом получим полную плоскость . Построенная модель называется римановой поверхностью функции .

Если в плоскости точка описывает простую замкнутую кривую, обходя начало координат, то в плоскости ей будет соответствовать кривая, совершающая дважды обход вокруг , а на римановой поверхности — простая кривая, по которой точка, взятая, например, на первом листе, перемещается по этому листу, потом по второму и возвращается в исходное положение, совершив один обход. Непрерывность и однозначность отображения соблюдены.

Точка , при обходе вокруг которой по замкнутой кривой точка переходит с одного листа на другой, называется точкой ветвления Утверждение 2.2. Функция взаимно однозначно и непрерывно отображает полную плоскость на риманову поверхность этой функции. Обратная функция также взаимно однозначно и непрерывно отображает риманову поверхность функции на полную плоскость .

Аналогично можно исследовать n-листную функцию .

Предел функции комплексного переменного

Число называется пределом функции в точке , если для любого числа такое, что для , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство

Геометрически это означает, что для точек из проколотой δ-окрестности точки соответствующие значения функции принадлежат ε-окрестности точки .

Напомним, что окрестность точки на комплексной плоскости — это круг с центром в этой точке. Так, или есть круг радиуса с центром в точке или , или — круг радиуса за исключением точки .

Если записать числа в алгебраической форме, то нетрудно доказать справедливость следующего утверждения.

Условия существования предела функции комплексного переменного

Утверждение 2.3 (необходимое и достаточное условие существования предела функции комплексного переменного).

Для того чтобы в точке существовал предел функции , необходимо и достаточно, чтобы в точке существовали пределы двух функций действительных переменных , где ; при этом имеет место равенство

1. Из сформулированного критерия следует, что в комплексной области имеют место правила и свойства пределов такие же, как и в действительной области (за исключением, разумеется, свойств, связанных со знаками неравенств).

Например, (при условии, что существуют пределы в правой части равенства).

2. Можно определить понятие предела функции в точке, рассматривая не всю окрестность этой точки, а только некоторое связное множество точек из этой окрестности — предельный переход по множеству:

Здесь точки принадлежат пересечению множества и проколотой окрестности точки . В частности, это имеет место, если — множество точек кривой, или — замкнутое множество — кривая , функция определена на и — дута . На рис. 2.8,б множество — множество — заштрихованная часть области

Непрерывность в точке функции комплексного переменного

Функция комплексного переменного называется непрерывной в точке , если бесконечно малому приращению аргумента в точке соответствует бесконечно малое в этой точке приращение функции, т.е.

Это эквивалентно следующему определению: функция непрерывна в точке , если предел функции в точке равен ее значению в этой точке, т.е.

Так как понятие непрерывности определяется через понятие предела, то, учитывая сформулированный выше критерий существования предела функции (утверждение 2.3), нетрудно убедиться в справедливости следующего утверждения.

Утверждение 2.4 (необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке). Для того чтобы функция была непрерывна в точке , необходимо и достаточно, чтобы в точке были непрерывны функции

Функция, непрерывная в каждой точке области Замечание 2.3. Как и в действительной области, справедливы свойства непрерывности в точке для суммы, произведения, частного двух функций, а также свойство непрерывности сложной функции.

Пример 2.7. Исследовать функцию на непрерывность.

Решение. Функция при любом , согласно свойству непрерывности произведения.

Пример 2.8. Исследовать на непрерывность многочлен n-й степени , где — любые комплексные числа, если

Решение. Функция , очевидно, непрерывна во всей комплексной плоскости. Поэтому, учитывая непрерывность суммы и произведения непрерывных функций и результат примера 2.7, заключаем, что многочлен есть функция, непрерывная во всей комплексной плоскости.

Пример 2.9. Исследовать на непрерывность рациональную функцию , где и — многочлены.

Решение. Согласно замечанию 2.3 рациональная функция непрерывна во всей комплексной плоскости, за исключением точек, где .

Пример 2.10. Исследовать на непрерывность функции .

Решение. Функции непрерывны во всей комплексной плоскости (всюду в ), что нетрудно установить, используя утверждение 2.4.

Пример 2.11. Исследовать на непрерывность функции и .

Решение. Функция непрерывна всюду в , за исключением точки , а функция — за исключением точек Пример 2.12. Найти пределы функций комплексного переменного:

Решение. В первых двух случаях в силу непрерывности функций в предельных точках получаем

Так как функция является бесконечно малой в точке бесконечно большая в этой точке. Поэтому .

Производная функции комплексного переменного

Производная функции комплексного переменного в точке вводится так же, как и в действительной области, а именно

Здесь стремится к нулю по любой кривой, по любому направлению.

Функция, имеющая производную в точке, называется дифференцируемой в этой точке; функция, дифференцируемая в каждой точке области, называется дифференцируемой в области.

Из равенства (2.1) и свойств пределов получаем, что приращение дифференцируемой в точке функции можно записать в виде

где — бесконечно малая при .

Очевидно, справедливо и обратное утверждение. Поэтому равенство (2.2) является необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции в точке .

Кроме того, из равенства (2.2) следует, что непрерывность функции в точке является необходимым условием дифференцируемости ее в этой точке, т.е. если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

Однозначную функцию можно назвать аналитической (также регулярной, голоморфной) в т. именуется аналитической в области при условии, что она является аналитической в каждой точке .

Однозначные главные элементы функции являются аналитическими в .

В качестве примера диференцируемой, но не аналитической в точке функции можно записать . Таким образом,

иначе выражаясь, условия Коши — Римана выполняются для исключительно в т. . В результате можно заключить, что в этой точке она является дифференцируемой, но не аналитической.

Следует сказать, что аналитическая в предполагает в наличие производных любого порядка.

О: Функция двух переменных при условии, что у нее в существуют непрерывные частные производные до второго порядка включительно и удовлетворяет уравнению Лапласа:

Т: Действительная и мнимая части аналитической в функции - это гармонические функции.

Для аналитической функции выполняются условия Коши — Римана (14.2). Осуществим дифференцирование первого равенства условий по , второе — по : Частные производные сущствуют и являются непрерывными по причине наличия производных любого порядка для аналитичекой функции, следовательно В соответствиии с определением представляет собой гармоническую функцию. Подобным образом можно доказать гармоничность .

О: Две гармонические функции , определяются в качестве сопряженных гармонических в случае, если они связаны условиями Коши — Римана (14.2).

Т: Для любой гармонической функции , имеется единственная, с точностью до произвольной постоянной, сопряженная к ней функция .

Если т. - точка аналитичности можно определить с помощью формулы

здесь представлена в качестве действительной постоянной.

Пример: .

Допустим, что . В этом случае

Комплексный анализ

Комплексный аназиз, функций, переменных— раздел математического анализа, в котором рассматриваются и изучаются функции комплексного аргумента. Каждая комплексная функция w = f(z) = f(x + iy) может рассматриваться как пара вещественных функций от двух переменных: , определяющих её вещественную и мнимую часть соответственно. Функции u , v называются компон ентами комплексной функции f(z) .

Общие понятия

Понятие предела для последовательности и функции вводится так же, как и в вещественном случае, с заменой абсолютной величины на комплексный модуль. Если , то и . Верно и обратное: из существования пределов компонент вытекает существование предела самой функции, и компонентами предела будут пределы компонентов. Непрерывность комплексной функции тоже определяется так же, как в вещественном случае, и она равносильна непрерывности обеих её компонент.

Все основные теоремы о пределе и непрерывности вещественных функций имеют место и в комплексном случае, если это расширение не связано со сравнением комплексных величин набольше- меньше. Например, нет аналога теореме о промежуточных значениях непрерывной функции.

ε -окрестность числа z₀ определяется как множество точек z , удалённых от z₀ менее чем на ε : . На комплексной плоскости ε -окрестность представляет собой круг радиуса ε с центром в z₀ .

Бесконечно удаленная точка

В комплексном анализе часто полезно рассматривать по лную комплексную плоскость [2] , дополненную по сравнению с обычной бесконечно удалённой точкой: . При таком подходе неограниченно возрастающая (по модулю) последовательность считается сходящейся к бесконечно удалённой точке. Алгебраические операции с бесконечностью не производятся, хотя несколько алгебраических соотношений имеют место:

ε -окрестностью бесконечно удалённой точки считается множество точек z , модуль которых больше, чем ε , то есть внешняя часть ε -окрестностей начала координат.

Дифференцирование

Производная для комплексной функции одного аргумента w = f(z) определяетс я так же, как и для вещественной:

(здесь h — комплексное число). Если этот предел существует, функция называется дифференцируемой ил и голоморфной. При этом

Следует учитывать одну важную особенность: поскольку комплексная функция задана на плоскости, существование приведённого предела означает, что он одинаков при стремлении к z с любого направления. Этот факт накладывает существенные ограничения на вид функций-компонент и определяет их жёсткую взаимосвязь (условия Коши — Римана):

Отсюда следует, что дифференцируемости компонент u и v недостаточно для дифференцируемости самой функции.

Более того, имеют место следующие свойства, отличающие комплексный анализ от вещественного:

Любая гармоническая функция может быть как вещественной, так и мнимой компонентой дифференцируемой функции. При этом другая компонента определяется однозначно (из условий Коши — Римана), с точностью до константы-слагаемого.

Таким образом, любая дифференцируемая комплексная функция — это функция вида u + iv , где — взаимосвязанные гармонические функции двух аргументов.

Другие свойства

Пусть функции f(z) и g(z) дифференцируемы в области . Тогда и также дифференцируемы в этой области. Если g(z) в области G не обращается в ноль, то будет дифференцируема в G. Композиция функций f(g(z)) дифференцируема всюду, где она определена. Если производная функции w = f(z) в области G не обращается в ноль, то существует обратная к ней функция z = φ(w), и она будет дифференцируема.

Производные суммы, разности, произведения, частного от деления, композиции функций и обратной функции вычисляется по тем же формулам, что и в вещественном анализе.

Геометрический смысл производной

Каждая комплексная функция определяет некоторое отображение комплексной плоскости с координатами на другую комплексную плоскость с координатами . При этом выражение:

при малом h геометрически можно истолковать как коэффициент масштабирования, которое выполняет данное отображение при переходе от точки z к точке z +h . Существование предела , то есть модуля производной , означает, что коэффициент масштабирования одинаков в любом направлении от точки z , то есть не зависит от направления. Вообще говоря, коэффициент масштабирования меняется от точки к точке.

Если коэффициент масштабирования k > 1 , то в окрестности точки z расстояния между точками увеличиваются, и коэффициент масштабирования называют коэффициентом растяжения. Если коэффициент масштабирования k , то в окрестности точки z расстояния между точками уменьшаются, и коэффициент масштабирования называют коэффициентом сжатия.

Что касается аргумента производной, то он определяет угол поворота гладкой кривой, проходящей через точку z . Все гладкие кривые при таком отображении поворачиваются на один и тот же угол. Отображения, сохраняющие углы, называются конформными; таким образом, любая дифференцируемая комплексная функция определяет конформное отображение (в той области, где её производная не обращается в ноль). С этим фактом связано широкое применение комплексных функций в картографии и гидродинамике.

Интегрирование

Пусть уравнение определяет некоторую кусочно-гладкую кривую γ в комплексной плоскости, а функция f(z) определена в точках этой кривой. Разделим интервал задания параметра на n равных частей: и рассмотрим интегральную сумму:

Предел этой суммы при неограниченном возрастании n называется (комплексным) интегралом по кривой γ от данной функции f(z) ; он обозначается:

Для любой функции f(z) , непрерывной вдоль γ , этот интеграл существует и может быть вычислен через обычный вещественный интеграл по параметру:

Здесь — компоненты f(z) . Из этого представления сразу следует, что свойства комплексного интеграла аналогичны свойствам вещественного криволинейного интеграла.

Теоремы единственности и аналитическое продолжение

Нулём функции f(z) называется точка z₀ , в которой функция обращается в ноль: f(z₀) = 0 .

Теорема о нулях аналитической функции. Если нули функции f(z) , аналитической в области D , имеют предельную точку внутри D , то функция f(z) всюду в D равна нулю.

Следствие: если функция f(z) аналитическая в области D и не равна тождественно нулю, то в любой ограниченной замкнутой подобласти у неё может быть лишь конечное число нулей.

Теорема единственности аналитической функции. Пусть z_n> — сходящаяся последовательность различных точек области D . Если две аналитические функции f(z),g(z) совпадают во всех точках этой последовательности, то они тождественно равны в D .

Мы видим, что определение производной функции комплексного переменного такое же, как и в действительном анализе. Поэтому в комплексный анализ переносятся элементарные правила дифференцирования (производные суммы, произведения и т. д. ). Нет смысла останавливаться на их формулировках и доказательствах. Мы убеждаемся в естественности понятия С — дифференцируемости. Однако, оказывается, сс наличие… Читать ещё >

Дифференцируемость и голоморфность функции комплексного переменного ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )

Сделаем небольшой экскурс в дифференциальное исчисление функций нескольких действительных переменных, ограничиваясь случаем двух независимых переменных.

Пусть функция f (x, y) определена в некоторой окрестности точки (.v₀;y₀)e/? 2 . При достаточно малых приращениях Дх, Ду точка (л₀ + Дх; у₀ + Ду) не покидает эту окрестность, поэтому определено полное приращение функции.

которое короче будем обозначать Дf. Функция называется дифференцируемой в точке (лг₀;_у₀), если ее приращение можно представить в виде.

где а, Ь — некоторые постоянные, а$ — функции от приращений, являющиеся бесконечно малыми при Дх—"0,Ду—>0 и обращающиеся в ноль при Да- = Ду = 0.

Равенство (4.1) имеет место тогда и только тогда, когда с теми же коэффициентами возможно представление.

где р = у](Ах) 2 + (Ду) 2 , у —" 0 при Дх, Ду —> 0, у (0,0) = 0.

Очевидно, из дифференцируемости функции в точке (.х₀«7о) вытекает существование в этой точке частных производных.

а обратное не верно. Известно достаточное условие дифференцируемости — наличие непрерывных частных производных в окрестности точки (-Х₀,_у₀) •.

Вернемся к функции комплексного переменного z = x + yi. Пусть функция /(z) определена в окрестности точки.

z₀, и (х;у) = Re/(z), v (, v;y) = Im (z). Рассмотрим следующие определения.

Функция называется дифференцируемой в точке z₀ = x₀ + iy₀ в смысле действительного анализа (R— дифференцируемой), если ее действительная и мнимая части и (х₉у), v (x, y) обе дифференцируемы в точке (*₀;_у₀) в вышеуказанном смысле.

Положим Дг = Дг + /Ду. Функция называется дифференцируемой в смысле комплексного анализа в точке z₀ (С — дифференцируемой), если се приращение A/'(z₀) = /(z₀ + Az)-/(z₀), которое записываем далее А/', можно представить в виде.

где сеС — некоторая постоянная, у — бесконечно малая функция от Az при.

Az^>0 у (0)=0. Здесь константа с является пределом отношения — при.

Az —>0, то есть, по определению и по аналогии с одномерным действительным анализом, производной функции /(z) в точке z₀, обозначаемой / (z₀). Как и в одномерном анализе, получаем следующее утверждение: для того, чтобы функция /(z) была С — дифференцируемой в точке z₀, необходимо и достаточно, чтобы у нее в этой точке существовала конечная производная.

Функцию, имеющую производную в данной точке, называют также моногенной в этой точке.

Оказывается, что большой произвол в способе стремления Az —> 0 приводит к тому, что даже очень простые функции комплексного переменного могут не иметь производной. Примером является функция f (z) = x + 2y (х = Rez, у = Imz). Обратите внимание: функция непрерывна всюду в С, но ни в одной точке у нее нет производной! В действительном одномерном анализе аналогичные функции строились с большим трудом (примеры Вейерштрасса, Пеано, Ван дер Вардена и др.).

Связь между указанными видами дифференцируемости комплекснозначной функции дает следующее утверждение.

Теорема. Для того, чтобы функция w= /(z), где z = x+yi, w=u + iv, была С — дифференцируемой в точке z₀ =х₀+ iy₀, необходимо и достаточно, чтобы функции и = и (х₉у)₉ v = у (л;, д>) были R — дифференцируемы в точке (*₀;у₀) и в ней выполнялись условия Коши-Римана.

Доказательство. Покажем, что из С — дифференцируемости вытекает R — дифференцируемость и условия (4.3). Имеем: Aw=c-Az + y-Az. Обозначим.

Эти равенства означают дифференцируемость функций u, v в точке (x₀;y₀)eR 2 . Вспоминая смысл коэффициентов в (4.1), запишем равенства.

Отсюда вытекают условия Коши-Римана.

Докажем далее, что, наоборот, R — дифференцируемость при наличии условий (4.3) влечет С — диффсрснцирусмссть. Дважды воспользуемся записью дифференцируемости в форме (4.1а):

а бесконечно малые а, р (при Ах—>0, Ау —>0) обращаются в ноль при нулевых приращениях. Имеем:

Здесь сумму первых двух слагаемых можно записать в виде.

тим, что здесь дробь есть величина ограниченная (по модулю нс превосходит единицы). Получим.

А это и означает С — дифференцируемость функции w=/(z) в точке z₀. Теорема доказана.

В качестве следствия отметим, что производная / (z₀) = c = a + bi может быть найдена по формулам.

Здесь все частные производные находятся в точке (дг₀;_у₀).

Заметим, что в литературе условия (4.3) часто называют условиями Даламбсра-Эйлсра. Эти условия и следствия из них впервые получил Даламбср в 1758 в задаче об обтекании твердого тела жидкостью. К этим условиям пришел также Эйлер (1755) в двух статьях по гидродинамике. Позднее эти условия Коши и Риман положили в основу изучения аналитических функций комплексного переменного.

На практике полезно учесть, что наличие непрерывных частных производных (первого порядка) у функций и (х, у), v (x, y) гарантирует их R — дифференцируемость, поэтому при решении задач на С — дифференцируемость можно поступить так: найти частные производные функций w, v, убедиться в их непрерывности в окрестности интересующей нас точки, а затем проверить, выполняются ли в точке условия Коши-Римана.

Пример. Исследовать на С — дифференцируемость функцию w = /(z) = z|z| 2 .

Решение. Действительная и мнимая части функции соответственно равны.

Найденные частные производные непрерывны везде. Далее ищем точки, в которых выполняются условия (4.3). Получим систему.

Итак, рассматриваемая функция дифференцируема в единственной точке z = 0. При этом.

Мы убеждаемся в естественности понятия С — дифференцируемости. Однако, оказывается, сс наличие в одной лишь точке недостаточно для построения содержательной теории. Поэтому требуют С — дифференцируемость не в одной точке, а во все близких точках. Ввели следующее понятие.

Функция / называется голоморфной (регулярной) в точке zeC, если она С — дифференцируема не только в этой точке, но и в некоторой ее окрестности.

В примере, приведенном выше, функция R — дифференцируема везде, но дифференцируема в смысле комплексного анализа лишь в точке z = 0. Следовательно, в этой точке она не является голоморфной.

Функция /(z) = z 2 голоморфна во всех точках комплексной плоскости. Действительно, частные производные непрерывны везде, условия КошиРимана выполняются во всех точках (убедитесь в этом самостоятельно).

Заметим, что иногда вопрос о дифференцируемости функции можно решить проще, без применения условий Коши-Римана, так как основные правила дифференцируемости в действительном анализе справедливы и в комплексном анализе. Например, для функции /(z) = ^-^ по правилу диф;

ференцирования частного получим (детали опущены) / (z) = —-.

Функция голоморфна везде, кроме точки z = 1.

В заключение приведем небольшую подборку задач к этой главе.

Задачи к главе 4.

4.1. Следующие функции исследовать на дифференцируемость в смысле комплексного анализа:

4.2. Выяснить, в каких точках комплексной плоскости имеют производную указанные функции:

Читайте также: