Реферат формулы по математике

Обновлено: 02.07.2024

Целью реферата является изучение формул сокращённого умножения
(далее ФСУ) и их применения в решении задач и примеров.
Задачи:
проанализировать ФСУ, изучаемые по школьной программе;
познакомиться с ФСУ, не изучаемыми по школьной программе;
попытаться вывести своё ФСУ;
проанализировать применение ФСУ.

Содержание

1. Введение 3
2. Историческая справка 4
3. Формулы сокращенного умножения, изучаемые в школе 5
4. Формулы сокращенного умножения, не изучаемые по школьной программе 7
4.1. Треугольник Паскаля 7
4.2. Интересные свойства формул. 9
4.3. Другие полезные ФСУ. 9
5. Применение формул сокращённого умножения 10
5.1. Арифметические расчёты 10
5.2. Упрощение алгебраических выражений 10
5.3. Разложение многочлена на множители 10
6. Мои исследования 11
6.1. Квадрат трёхчлена -a-b-c 11
6.2. Куб трёхчлена -a-b-c 11
7. Заключение 12
8 Список используемой литературы 13

Работа содержит 1 файл

Формулы сокращенного умножения.doc

Формулы сокращённого умножения

Введение

Целью реферата является изучение формул сокращённого умножения

(далее ФСУ) и их применения в решении задач и примеров.

проанализировать ФСУ, изучаемые по школьной программе;
познакомиться с ФСУ, не изучаемыми по школьной программе;
попытаться вывести своё ФСУ;
проанализировать применение ФСУ.

Немного теории: вспомним определения некоторых терминов, которые будут встречаться в реферате.

1. Одночлен - это произведение числовых и буквенных множителей.

2. Многочлен - это алгебраическая сумма нескольких одночленов.

3. Разложение многочлена на множители - преобразование многочлена в произведение 2-х или нескольких более простых многочленов.

4. Многочлен вида (а 2 +ав+в 2 ) называется неполным квадратом суммы.

5. Многочлен вида (а 2 -ав+в 2 ) называется неполным квадратом разности.

2. Историческая справка

Некоторые правила сокращённого умножения были известны ещё около 4 тыс. лет тому назад. Их знали вавилоняне и другие народы древности. Тогда они формулировались словесно или геометрически.

Например, тождество (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2

Доказательство опиралось на геометрические соображения:

Некоторые термины такого геометрического изложения алгебры сохранились до сих пор. Так, мы называем вторую степень числа квадратом, а третью степень - кубом числа.

3. Формулы сокращенного умножения, изучаемые в школе

Математиками было подмечено, что некоторые многочлены можно умножать короче, быстрее, чем остальные. Так появились ФСУ. Несколько формул изучается по школьной программе. Рассмотрим их:

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого плюс удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго выражения:.

(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго выражения:

(a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2

Разность квадратов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на их разность:

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго выражения:

(a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3

Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго минус куб второго выражения:

(a-b) 3 =a 3 -3a 2 b+3ab 2 -b 3

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности:

a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2 )

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы:

a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 +ab+b 2 )

Все эти формулы доказываются непосредственным раскрытием скобок и приведением подобных слагаемых. Они остаются справедливыми, если в них вместо a и b подставить любые целые выражения.

Например докажем формулу a 3 +b 3 = ( a + b )( a 2 – ab + b 2 ).

Имеем: ( a + b )( a 2 – ab + b 2 ) = a 3 – a 2 b + ab 2 + ba 2 – ab 2 – b 3

Приводя подобные слагаемые, мы видим, что

(a + b)(a 2 – ab + b 2 ) = a 3 +b 3 , что и доказывает нужную формулу.

4. Формулы сокращенного умножения, не изучаемые по школьной программе

4.1. Треугольник Паскаля

Блез Паскаль (1623— 1662).

Исаак Ньютон (1643—1727).

Из дополнительной литературы я узнал, что многие ФСУ являются частным случаем Бинома Ньютона.

Запомнить такую формулу непросто.

Построим треугольник Паскаля для (a+b) n :

n=5 1 5 10 10 5 1

n=6 1 6 15 20 15 6 1

n=7 1 7 21 35 35 21 7 1

n=8 1 8 28 56 70 56 28 8 1

n=9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

n=10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

Некоторые историки науки приписывают Блезу Паскалю авторство не только треугольника, позволяющего находить биномиальные коэффициенты, но и самой формулы бинома. Они считают, что Паскаль вывел её несколько раньше Ньютона, а тот лишь обобщил формулу для разных показателей степеней.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Новоуренгойский филиал Профессионального образовательного учреждения

РАСЧЁТЫ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ФОРМУЛ И СТАНДАРТНЫХ ФУНКЦИЙ

09.02.03 Программирование в компьютерных системах

Обучающийся гр. П-270 ____________ Сидоренко Алексей Андреевич 16.03.2021 г.

Оценка за выполнение и защиту __________________________

Руководитель _____________ Малышева Светлана Ивановна ____._________2021 г.

Новый Уренгой, 2021

1 ОПЕРАЦИИ И ПРИОРИТЕТЫ

1.1 Порядок выполнения действий в формулах

3 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТЕКСТА В ФОРМУЛАХ

4 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИМЁН

5 ПРИСВАИВАНИЕ ИМЁН КОНСТНТАМ И ФОРМУЛАМ

5.1 Имена ячеек в формуле

5.2 Именованные константы

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ

Функции Excel — это специальные, заранее созданные формулы для сложных вычислений, в которые пользователь должен ввести только аргументы. Они используются как для простых, так и для сложных вычислений.

Формулы являются одним из мощных инструментов математической обработки данных в MS Excel. Формула вводится в ячейку рабочего листа, как и любая другая информация. Если формула введена правильно, MS Excel производит вычисление и его результат помещает прямо в ячейку. Содержимым ячейки по-прежнему является набранная формула: в режиме редактирования ячейки она появляется на экране, кроме того, указав на ячейку (сделав ее активной), содержащееся в ней 2 математическое выражение можно увидеть и отредактировать в строке формул. Но в обычном режиме MS Excel показывает в ячейке только результат вычислений. Этот результат можно использовать и в других формулах, ссылаясь на ячейку. Любые формулы начинаются со знака равенства (=). Без знака равенства вводимые данные, если они не представляют собой числа, воспринимаются как текст. В формулу могут входить числовые константы, операторы, адреса ячеек и функции.

1 ОПЕРАЦИИ И ПРИОРИТЕТЫ

Установка флажка "Формулы" на вкладке "Вид" диалогового окна "Параметры" (меню "Сервис") обеспечивает отображение самих формул, а не вычисленных по ним значений.

Первым символом ячейки должен быть знак равенства. Только в этом случае MS Excel воспринимает ее содержимое как формулу. Затем вводится математическое выражение, по которому будет вычисляться содержимое ячейки. В отличие от Mathematics, Mathcad, Equation Editor и других специализированных программ, MS Excel не имеет средств конструирования математических формул в их естественном виде. Пользователь должен набирать выражение в виде текста в одну строку. Для этого необходимо знать синтаксис формулы. Опишем его. Любое математическое выражение состоит из операндов и операторов. В MS Excel операндами являются константы (числовые, текстовые, даты или времени), ссылки на другие ячейки, имена переменных и функций, а также математические выражения.

Операторы - обозначения математических операций, совершаемых над операндами. Например, в формуле =А4 * (b+2) ссылка А4 и выражение b+2 являются операндами, а знак умножения " * " - оператором. В свою очередь, операнд b+2 состоит из операндов b (имя переменной), 2 (число) и оператора сложения " + ". Между частями формулы для удобочитаемости можно добавлять пробелы. Для группирования операндов, как и в математике, служат круглые скобки.

Служат для выполнения арифметических операций, таких как сложение, вычитание, умножение. Операции выполняются над числами. Используются следующие арифметические операторы.

Вычитание (3–1)
Отрицание (–1)

Возведение в степень (3^2)

Используются для сравнения двух значений. Результатом сравнения является логическое значение: либо ИСТИНА, либо ЛОЖЬ.

>= (знак больше или равно)

Больше или равно (A1>=B1)

Меньше или равно (A1

Амперсанд (&) используется для объединения нескольких текстовых строк в одну строку.

Объединение последовательностей знаков в одну последовательность ("Северный"&"ветер")

Для описания ссылок на диапазоны ячеек используются следующие операторы.

Ставится между ссылками на первую и последнюю ячейки диапазона. Такое сочетание является ссылкой на диапазон (B5:B15)

; (точка с запятой)

Оператор объединения. Объединяет несколько ссылок в одну ссылку (СУММ(B5:B15;D5:D15))

Оператор пересечения множеств, служит для ссылки на общие ячейки двух диапазонов (B7:D7 C6:C8)

1.1 Порядок выполнения действий в формулах

Формулы вычисляют значения в определенном порядке. Формула в Microsoft Excel всегда начинается со знака равенства (=). Знак равенства свидетельствует о том, что последующие знаки составляют формулу. Элементы, следующие за знаком равенства, являются операндами, разделяемыми операторами вычислений. Формула вычисляется слева направо, в соответствии с определенным порядком для каждого оператора в формуле.

Формулу можно вводить либо непосредственно в ячейку, либо в строку формул. Если в ячейку введена формула, то после нажатия Enter в этой ячейке отобразится результат вычислений по этой формуле. Если сделать данную ячейку текущей, то сама формула будет отображена в строке формул, а в ячейке – результат вычислений.

Например, пусть требуется ввести в ячейку А1 сумму чисел 10 и 20. Для этого надо выделить ячейку А1 и ввести =10+20.

После нажатия Enter в текущей ячейке А1 появилось вычисленное значение – число 30, а в строке формул – сама формула, по которой произведено вычисление.

Ссылка в Microsoft Excel — адрес ячейки или связного диапазона ячеек. В каждом листе Excel может быть 256 (2 в 8 степени) столбцов и 65536 (2 в 16 степени) строк. Адрес ячейки определяется пересечением столбца и строки, как в шахматах или морском бое, например: A1, C16. Адрес диапазона ячеек задается адресом верхней левой ячейки и нижней правой, например: A1:C5.

3 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТЕКСТА В ФОРМУЛАХ

С текстовыми значениями можно выполнять математические операции, если текстовые значения содержат только следующие символы:

Цифры от 0 до 9, + - е Е /

Еще можно использовать пять символов числового форматирования:

При этом текст должен быть заключен в двойные кавычки.

При выполнении вычислений Excel преобразует числовой текст в числовые значения, так результатом вышеуказанной формулы будет значение 88.

4 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИМЁН

Имена ячеек служат не только для того, чтобы с их помощью обращаться к отдельным ячейкам и диапазонам, но и для их использования в формулах. Например, у вас есть простая формула в ячейке КЗ. По ней вы вычисляете общую сумму к выплате, умножая количество часов (ячейка 13), в течение которых вы работали на клиента, на почасовой тариф, установленный для данного клиента (ячейка J3). Обычно подобная формула вводится в ячейку КЗ в таком виде:

Однако если вы присвоили имя Часы ячейке 13 и имя Тариф ячейке J3, можете ввести формулу =Часы*Тариф в ячейку КЗ. Эта формула намного проще для понимания, нежели =13 * J3.

Для ввода формулы с использованием имен ячеек выполните следующие действия:

1. Присвойте имена своим ячейкам, как описано выше в этой главе.

2. Введите с клавиатуры арифметический оператор, используемый в данной формуле.

3. Укажите вторую ссылку на ячейку, которая присутствует в формуле, выбрав ее имя из окна списка имен в строке формул.

4. Щелкните на кнопке Ввод (Enter) или нажмите клавишу для завершения ввода формулы.

Обратите внимание: нельзя использовать маркер заполнения для копирования формул, в которых применялись имена ячеек, а не их адреса. При копировании формул, использующих имена, Excel переносит исходные формулы без их изменения в соответствии с новым местоположением (другими словами, рассматривает имена ячеек как абсолютные ссылки). Изучите следующий раздел этой главы, в котором рассказывается, как избежать этих сложностей, а также описаны способы использования заголовков строк и столбцов таблицы для идентификации ячеек при создании и копировании формул.

Формулы в рабочей таблице вычисляются мгновенно. Если изменить значение в любой ячейке, использующейся в формуле, то эта формула выдаст новый результат без малейших усилий с Вашей стороны. Это происходит в том случае, если в Excel установлен режим автоматических вычислений (установлен по умолчанию). В этом режиме при вычислении формул Excel придерживается следующих правил:

Если Вы вносите изменения – например, вводите или редактируете данные или формулы, - Excel мгновенно производит вычисления по тем формулам, в которых используются новые или отредактированные данные.

Если во время выполнения длинных вычислений Вам понадобится что-то изменить в рабочей таблице, то программа временно прекратит вычисления и возобновит их, когда Вы закончите редактирование.

Вычисления по формулам производятся в естественном порядке. Другими словами, если в формуле из ячейки D12 используется результат вычислений по формуле из ячейки D11, то сначала будет вычислена формула из ячейки D11, a потом – из D12.

Впрочем, иногда возникает необходимость управлять процессом вычисления по формулам. Например, если создать рабочую таблицу с тысячами сложных формул, то обнаружится, что Excel производит вычисления с достаточно низкой скоростью. В подобном случае нужно установить в Excel ручной режим вычислений. Это можно сделать с помощью вкладки Вычисления диалогового окна Параметры

Чтобы выбрать ручной режим вычислений, надо установить флажок опции Вручную. При переключении в ручней режим вычислений, автоматически активизируется опция пересчет перед сохранением. Поэтому, если Вы хотите ускорить процесс сохранения файла, снимите флажок этой опции.

Если во время работы в ручном режиме вычислений у Вас остаются какие-либо невычисленные формулы, то в строке состояния появится надпись Вычислить. Для перерасчета формул можно воспользоваться следующими комбинациями клавиш:

F9. Пересчитывает формулы во всех открытых рабочих книгах.

Shift + F9. Пересчитывает только формулы активного рабочего листа. Формулы из других рабочих листов этой же рабочей книги пересчитываться не будут.

Ctrl + Alt + F9. Ускоряет полный пересчет формул.

Режим вычислений, установленный в Excel, относится не только к конкретному рабочему листу. Переход в другой режим вычислений влияет на все открытые рабочие книги, а не только на текущую рабочую книгу.

5 ПРИСВАИВАНИЕ ИМЁН КОНСТНТАМ И ФОРМУЛАМ

5.1 Имена ячеек в формуле

Для присвоения имени служит команда "Присвоить" в меню "Вставка", под меню "Имя". Вверху диалогового окна нужно ввести имя, внизу - ссылку на ячейку (диапазон ячеек), или математическое выражение. Затем следует нажать на кнопку "Добавить". Новое имя войдет в список имен, расположенный на этом же диалоговом окне, и станет доступным для использования в формулах. Любое из имен можно удалить, нажав на одноименную кнопку. Для изменения ссылки, соответствующей определенному имени, следует указать на него мышью, отредактировать выражение внизу окна, и нажать на Вставить. Все присвоенные имена сохраняются в рабочей книге и остаются доступными при последующем открытии файла.

Для перехода на определенную ячейку или выделения заданного
диапазона ячеек достаточно в поле имени строки формул ввести ссылку
на ячейку (диапазон ячеек), или присвоенное имя. Чтобы войти в режим
редактирования поля имени, необходимо щелкнуть по нему мышью.

При именовании ячейки или диапазона ячеек руководствуйтесь такими правилами.

Имена диапазонов должны начинаться с буквы, но ни в коем случае не с цифры. Например, вместо 01 Итоги используйте ИтогиО!.

Имена диапазонов не могут содержать пробелов. Вместо пробела используйте знак подчеркивания для соединения различных частей имени. Например, вместо Итоги 01 используйте Итоги_01.

Имена диапазонов не должны иметь ничего общего с координатами ячеек.

Например, вы не можете дать ячейке имя Q1, так как это действующая координата ячейки. Лучше используйте что-нибудь вроде Q1 ^продажи.

Для назначения имени ячейке или диапазону ячеек выполните следующие действия.

Выделите ячейку или диапазон ячеек, которым необходимо присвоить имя.

Щелкните на адресе ячейки в поле Имя (Name) в строке формул.
Excel выделит адреса ячеек в поле имени.

Введите в поле имени имя выбранной ячейки или диапазона ячеек.

При вводе имени диапазона ячеек придерживайтесь соглашений Excel об именах (обратитесь к списку, приведенному выше в этом разделе).

4. Нажмите клавишу .

Чтобы выбрать именованную ячейку или диапазон в рабочей таблице, щелкните на имени этого диапазона в раскрывающемся списке поля Имя (этот список открывается при щелчке на кнопке, расположенной справа от адреса диапазона в строке формул).

5.2 Именованные константы

В некоторых формулах применяются константы, например 7,5-процентный налог или 10-процентная скидка. Константа — это число или текст, дата или время, введенные непосредственно в формулу. Число, дата и время вводятся в соответствии с правилами, описанными в пункте,0. Текстовая константа, дата и время заключаются в двойные кавычки/

Если вы не хотите вводить эти константы в ячейки электронной таблицы, чтобы впоследствии использовать их в формулах, создайте отдельный набор именованных констант, которые будут применяться в формулах электронной таблицы.

Например, чтобы создать константу Налог со значением 7,5%, выполните следующие действия.

Выберите команду Вставка/Имя/Присвоить (Insert/Name/Create), чтобы
открыть диалоговое окно Присвоение имени (Define Name).

В диалоговом окне Присвоение имени в поле Имя (Name) введите имя константы (в нашем примере — Налог).

Щелкните в поле Формула (Refers to) и замените текущий адрес на выбранное значение (7,5%).

Щелкните на кнопке Добавить (Add).

Щелкните на кнопке ОК, чтобы закрыть диалоговое окно.

Присвоив константе имя, можно использовать его в формулах электронной таблицы следующим образом.

1. Наберите имя, присвоенное константе, в выбранной области формулы.

2. Вставьте имя, назначенное константе, выполнив команду Вставка/Имя/Вставить (Insert/Name/Paste), а затем указав требуемое имя в диалоговом окне Вставить имя (Paste Name).

Рассмотрев различные функции создания и использования формул, можно с уверенность сказать, что возможности Excel весьма разнообразны. Созданным формулам при присваиваются имена, которые используются в дальнейшем как упрощенная и более удобная формулировка.

Различные ссылки помогают усовершенствовать пользовательские функции. Тем самым, знание и более глубокое изучение формул улучшают и ускоряют работу пользователя.

Содержание

Работа содержит 1 файл

Формулы сокращенного умножения.doc

Формулы сокращённого умножения

Введение

Целью реферата является изучение формул сокращённого умножения

(далее ФСУ) и их применения в решении задач и примеров.

проанализировать ФСУ, изучаемые по школьной программе;
познакомиться с ФСУ, не изучаемыми по школьной программе;
попытаться вывести своё ФСУ;
проанализировать применение ФСУ.

Немного теории: вспомним определения некоторых терминов, которые будут встречаться в реферате.

1. Одночлен - это произведение числовых и буквенных множителей.

2. Многочлен - это алгебраическая сумма нескольких одночленов.

4. Многочлен вида (а 2 +ав+в 2 ) называется неполным квадратом суммы.

5. Многочлен вида (а 2 -ав+в 2 ) называется неполным квадратом разности.

2. Историческая справка

Например, тождество (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2

Доказательство опиралось на геометрические соображения:

3. Формулы сокращенного умножения, изучаемые в школе

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого плюс удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго выражения:.

(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго выражения:

(a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2

Разность квадратов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на их разность:

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго выражения:

(a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3

Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго минус куб второго выражения:

(a-b) 3 =a 3 -3a 2 b+3ab 2 -b 3

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности:

a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2 )

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы:

a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 +ab+b 2 )

Например докажем формулу a 3 +b 3 = ( a + b )( a 2 – ab + b 2 ).

Имеем: ( a + b )( a 2 – ab + b 2 ) = a 3 – a 2 b + ab 2 + ba 2 – ab 2 – b 3

Приводя подобные слагаемые, мы видим, что

(a + b)(a 2 – ab + b 2 ) = a 3 +b 3 , что и доказывает нужную формулу.

4. Формулы сокращенного умножения, не изучаемые по школьной программе

4.1. Треугольник Паскаля

Блез Паскаль (1623— 1662).

Исаак Ньютон (1643—1727).

Из дополнительной литературы я узнал, что многие ФСУ являются частным случаем Бинома Ньютона.

Запомнить такую формулу непросто.

Построим треугольник Паскаля для (a+b) n :

n=5 1 5 10 10 5 1

n=6 1 6 15 20 15 6 1

n=7 1 7 21 35 35 21 7 1

n=8 1 8 28 56 70 56 28 8 1

n=9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

n=10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

АЛГЕБРА
Формулы
[pic]Формулы сложения
[pic]
Формулы двойного аргумента
[pic]
Формулы половинного аргумента
[pic]
Ф-лы преобразования суммы в произведение
[pic]
Ф-лы преобразования произведения в сумму
[pic]
Соотношения м/у функциями
[pic]
Ф-лы тройного аргумента
[pic]
Третья степень
[pic]
Arcsin…
[pic]
Производная
[pic]
Прогрессии
[pic]

Квадратное уравнение ax2+bx+c=0 (a?0)
[pic]
Первообразная
[pic]
Интеграл
[pic]
Логарифмы
[pic]
Степени
[pic]

ГЕОМЕТРИЯ
1. Соотношение м/у углами и сторонами треугольника.
[pic]
2. Площади плоских фигур.
Площадь треугольника:
[pic]

Площадь равностороннего треугольника: [pic]
Площадь прямоугольного треугольника:
[pic]
Площадь четырёхугольника:
[pic]
Площадь трапеции:
[pic]
Площадь параллелограмма:
[pic]
Площадь круга:
[pic]
Площадь ромба:
[pic]
3. Объёмы и площади объёмных фигур.
Прямая призма:
[pic]
Прямоугольный параллелепипед:
[pic]
Куб:
[pic]
Пирамида:
[pic]
Правильная пирамида:
[pic]
Правильная усечённая пирамида:
[pic]
Цилиндр:
[pic]
Конус:
[pic]
Усечённый конус:
[pic]
4. Векторы.
Равные векторы:[pic]
Сложение и вычитание:
[pic]
Компланарные векторы:
[pic]
Координаты векторов:
[pic]
Коллинеарные векторы:
[pic]
Некоторые формулы на координаты:
[pic]
1. Координаты [pic]
[pic]
2. Координаты середины отрезка AB
[pic]
3. Длина вектора
[pic]
Скалярное произведение векторов:
[pic]

Скачали данный реферат: Jawin, Мячиков, Semichaevskij, Vitjugov, Фоменков, Кинжаев.
Последние просмотренные рефераты на тему: реферат исследование, контрольная работа 8, реферат подросток, пожарные рефераты.

Читайте также: