Реферат абсолютно твердое тело

Обновлено: 02.07.2024

Существенно, что линейные скорости точек, находящихся на разном расстоянии от оси вращения, разные. В этом можно убедиться, касаясь стальной проволокой вра-щающегося диска точила (рис. 6): чем дальше от оси, тем длиннее сноп искр — тем больше скорость соответствующей точки диска. При этом также видно, что искры летят по касательной к окружности, Рис. 6 описываемой данной точкой диска. Ясно, что… Читать ещё >

Кинематика абсолютно твердого тела ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )

Содержание

План
1. Вступление
2. Задачи кинематики
3. Кинематика абсолютно твердого тела
— Степени свободы. Углы Эйлера
— Поступательное движение твердого тела
— Вращение вокруг неподвижной оси
— Плоское движение
— Движение твердого тела с одной неподвижной точкой
— Движение свободного твердого тела
Заключение
5. Литература

«Древние рассматривали механику двояко: как рациональную (умозрительную), развиваемую точными доказательствами, и как практическую.

К практической механике относятся все ремесла и производства, именуемые механическими, от которых получила свое название и сама механика".

Механика — это наука о движении материальных тел и о связанных с их движением взаимодействиях между ними. При этом исследуются те взаимодействия, в результате которых меняется характер движения или происходит деформация тел.

— движение небесных тел и летательных аппаратов, всевозможных машин и меха-низмов,

— атмосферные и океанические течения, движение жидкостей и газов в технических системах и природных условиях, поведение плазмы, намагничивающейся или поляризующейся среды в магнитных и электрических полях,

-прочность и устойчивость строительных и технических сооружений,

-движение крови по сосудам и воздуха в дыхательных путях.

В основе классической механики лежат законы Ньютона, которые описывают дви-жение материальных тел с малыми по сравнению со скоростью света скоростями. Релятивистская механика изучает движение тел с около световыми скоростями, а квантовая ме-ханика — движение и взаимодействие элементарных частиц.

В механике выделяют следующие разделы:

— кинематика (учение о геометрических свойствах движения тел без учета их масс и дей-ствующих на них сил);

— статика (учение о равновесии материальных тел под действием приложенных сил);

— динамика (учение о движении тел под действием сил).

В механике вводится ряд абстрактных понятий, отражающих свойства реальных тел:

— материальная точка (тело, размерами которого можно пренебречь);

— абсолютно твердое тело (тело, у которого расстояние между произвольными точками остается неизменным);

— сплошная среде (тело, дискретной атомной или молекулярной структурой которого можно пренебречь).

Если тело движется поступательно или же вращением его относительно центра масс в условиях рассматриваемой задачи можно пренебречь, тело рассматривается как ма-териальная точка. Если можно пренебречь деформацией тела, то его следует считать абсо-лютно твердым недеформируемым.

Вращение вокруг неподвижной оси.

Если при движении твердого тела какие-либо две его точки все время остаются не-подвижными, то через эти точки можно провести прямую, являющуюся неподвижной осью вращения. С таким движением мы сталкиваемся ежедневно, открывая и закрывая дверь в комнату. Очевидно, что в этом случае тело обладает лишь одной степенью свобо-ды, связанной с углом его поворота вокруг оси. При этом все точки тела движутся по ок-ружностям, лежащим в плоскостях, которые перпендикулярны оси вращения; центры окружностей лежат на этой оси.

Ясно, что угловое перемещение всех точек твердого тела за одно и то же время бу-дет одинаковым. Это обстоятельство позволяет ввести общую кинематическую характе-ристику — угловую скорость

Абсолютно твердым телом называется тело, деформациями которого по условиям задачи можно пренебречь. У абсолютно твердого тела расстояние между любыми его точками с течением времени не меняется. В термодинамическом смысле такое тело не обязательно должно быть твердым. Например, легкий резиновый шарик, наполненный водородом, можно рассматривать как абсолютно твердое тело, если нас интересует его движение в атмосфере. Положение абсолютно твердого тела в пространстве характеризуются шестью координатами. Это видно из следующих соображений. Положение абсолютно твердого тела полностью фиксируется заданием трех точек, жестко связанных с телом. Положение трех точек задается девятью координатами, но поскольку расстояния между точками неизменны, то эти девять координат будут связаны тремя уравнениями.

Содержание

Введение…………………………………………….…………………………….3
1. Поступательное движение …………………….……………………………. 4
2. Вращательное движение………………………………………………………5
2.1 Равнопеременное вращательное движение…………………………….7
2.2 Неравномерное вращательное движение………………………………7
2.3 Равнопеременное вращательное движение…………………….…..….8
3. Плоскопараллельное движение……………………………. ………….…….8
3.1 Метод мгновенных скоростей…………………………………….….…9
3.2 Разложение плоскопараллельного движения на поступательное и
вращательное…………………………………..……………………….

Прикрепленные файлы: 1 файл

Техническая механика.doc

Федеральное агентство по образованию Российской Федерации

Челябинский Государственный Педагогический Университет

Контрольная работа

по Технической механике

на тему: Простейшие движения абсолютно твердых тел (поступательное, вращательное, плоско-параллельное)

1. Поступательное движение …………………….……………………………. 4

2.1 Равнопеременное вращательное движение…………………………….7

2.2 Неравномерное вращательное движение………………………………7

2.3 Равнопеременное вращательное движение…………………….…..….8

3. Плоскопараллельное движение……………………………. ………….……. 8

3.1 Метод мгновенных скоростей…………………………………….….…9

3.2 Разложение плоскопараллельного движения на поступательное и

Следовательно, независимых координат, определяющих положение твердого тела в пространстве, останется шесть. Числу независимых координат соответствует число независимых видов движения, на которые может быть разложено произвольное движение тела. У абсолютно твердого тела таких движений шесть. Говорят, что абсолютно твердое тело обладает шестью степенями свободы. Независимые виды движения тела можно выбрать по-разному. Например, поступим следующим образом. Свяжем с твердым телом "жестко" одну точку и будем следить за ее движением и за движением тела вокруг этой точки. Движение одной точки описывается тремя координатами, т.е включает в себя три степени свободы. Их называют поступательными степенями свободы. Три другие степени свободы приходятся на вращательное движение тела вокруг выбранной точки. Соответствующие степени свободы называются вращательными.
Таким образом, движение твердого тела можно разделить на поступательное, вращательное вокруг неподвижной точки и плоско-параллельное.

Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором всякая прямая, проведенная в этом теле, остается параллельной своему начальному положению.

Проведенная в теле прямая АВ (рис. 1) во время движения перемещаются параллельно своему начальному положению. Рассмотрим перемещение тела за малый промежуток времени ∆t. При этом можно считать что точки А и В перемещаются по прямолинейным и параллельным прямым. За время ∆t они пройдут одинаковые пути ∆s. Следовательно, скорости этих точек будут одинаковы по величине

υ _А= υ _В = υ =

и направлены в одну сторону, т.е.

Аналогично доказывается равенство ускорений точек тела при поступательном движении:

Следовательно, при поступательном движении тела все его точки описывают одинаковые траектории и в любой момент времени имеют равные по величине и параллельно направленные скорости и ускорения.

Поступательное движение тела вполне характеризуется движением одной его точки, которое может быть задано координатами или естественным способом. Однако поступательное движение может совершать только твердое тело, а не отдельная точка. Примерами поступательного движения служат движение кузова вагона трамвая на прямолинейном участке пути, движение кабинок колеса обозрения, педалей велосипеда, поступательно движется стол продольно-строгального станка, поршень стационарного двигателя внутреннего сгорания.

2. Вращательное движение

Другим простейшим видом механического движения является вращательное движение абсолютно твердого тела. При таком движении его точки описывают окружности, расположенные в параллельных плоскостях. Центры всех окружностей лежат на одном прямой, перпендикулярной к плоскостям окружностей и называемой осью вращения.

Вращательное движение тела или точки характеризуется углом поворота, угловой скоростью и угловым ускорением (рис. 2).

Угол поворота φ - это угол между двумя последовательными положениями радиуса вектора r, соединяющего тело или материальную точку с осью вращения. Угловое перемещение измеряется в радианах.

Угловая скорость - векторная физическая величина, показывающая, как изменяется угол поворота в единицу времени и численно равная первой производной от угла поворота по времени, т.е. . Направление вектора угловой скорости совпадает с направлением вектора углового перемещения, т.е. вектора, численно равного углу φ и параллельного оси вращения; оно определяется по правилу буравчика: если совместить ось буравчика с осью вращения и поворачивать его в сторону движения вращающейся точки, то направление поступательного перемещения буравчика определит направление вектора угловой скорости. Точка приложения вектора произвольна, это может быть любая точка плоскости, в которой лежит траектория движения. Удобно совмещать этот вектор с осью вращения . Рассмотрим следующие виды вращения: равномерное, неравномерное и равнопеременное .

2.1 Равномерное вращательное движение

Если тело вращается вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью, то движение называется равномерным. Формулы равномерного вращательного движения:

ω = const, φ = ωt

Угловая скоpость показывает, на какой угол повоpачивается тело в секунду.
Угловая скоpость хаpактеpизуется знаком. Она меньше нуля, если угол меняется в напpавлении, обpатном положительному напpавлению его отсчета.
Если тело вpащается в одну стоpону, то его движение иногда описываетсячислом обоpотов N. Число обоpотов N связано с углом повоpота фоpмулой

В этом случае вместо угловой скоpости вводят понятие частоты вpащения (число обоpотов в секунду). Частота вpащения pавна пеpвой пpоизводной от числа обоpотов по вpемени, т. е.

Если вpащение pавномеpное, то угловую скоpость можно опpеделить

Пример: Маховое колесо вращается равномерно с угловой скоростью 4π рад/с. Сколько оборотов колесо сделает за 2мин?

Решение: Применим формулу равномерного вращательного движения и определим угловое перемещение колеса за время t=2мин=120с:

Далее определим число оборотов N тела за тот же промежуток времени:

2.2 Неравномерное вращательное движение

Если угловая скорость вращающегося тела с течение времени меняется , то движение называется неравномерным. В самом общем виде формулы неравномерного вращательного движения запишутся так:

Выражение обозначают α и называют угловым ускорением. Угловое ускорение есть кинематическая мера изменения угловой скорости вращающегося тела:

Угловое ускорение равно первой производной угловой скорости или второй производной углового перемещения по времени. Нормальное ускорение определяется по формуле : α_n = ω 2 r.

2.3 Равнопеременное вращательное движение

Если тело вращается вокруг неподвижной оси с постоянным угловым ускорением, то движение называется равнопеременным. Формулы этого вида вращательного движения могут быть получены таким же способом, каким были выведены формулы равнопеременного движения точки, т.е. с помощью интегрального исчисления.

Итак, если твердое тело вращается вокруг неподвижной оси равнопеременно, то

откуда dω = αdt.

Интегрируя это равенство по t, получим dω= αdt,

где ω₀ – начальная угловая скорость.

Угловая скорость показывает, на какой угол поворачивается тело в секунду .
Окончательно получим формулу угловой скорости в таком виде:

ω = ω₀ + αt.

3. Плоскопараллельное движение

Плоскопараллельным движением твердого тела называется такое движение, при котором все точки тела перемещаются в плоскостях, параллельных какой-то одной плоскости, называемой основной.

Примерами плоскопараллельного движения могут служить движение колеса на прямолинейном участке пути, движение шатуна кривошипно-ползунного механизма.

Из определения плоскопараллельного движения следует, что любая прямая АВ, проведенная в теле перпендикулярно основной плоскости, движется поступательно (рис. 3). Для определения движения тела на каждой прямой, перпендикулярной основной плоскости, надо знать движение только одной точки. Взяв эти точки в одной плоскости Q, параллельной основной, получим сечение S, движение которого определяет движение тела. Но плоское движение сечения S вполне определяется движением двух любых его точек C и D или отрезка CD.

При изучении кинематики мы говорили, что описать движение тела — это значит описать движение всех его точек. Иными словами, надо уметь находить координаты, скорость, ускорение, траектории всех точек тела. В общем случае это сложная задача, и мы не будем пытаться ее решать. Особенно она сложна, когда тела заметно деформируются в процессе движения.

Тело можно считать абсолютно твердым, если расстояния между двумя любыми точками тела неизменны. Иначе говоря, форма и размеры абсолютно твердого тела не изменяются при действии на него любых сил(1).

На самом деле таких тел нет. Это физическая модель. В тех случаях, когда деформации малы, можно реальные тела рассматривать как абсолютно твердые. Однако и движение твердого тела в общем случае сложно. Мы остановимся на двух, наиболее простых видах движения твердого тела: поступательном и вращательном.

Поступательное движение

Твердое тело движется поступательно, если любой отрезок прямой линии, жестко связанный с телом, все время перемещается параллельно самому себе.

При поступательном движении все точки тела совершают одинаковые перемещения, описывают одинаковые траектории, проходят одинаковые пути, имеют равные скорости и ускорения. Покажем это.

Пусть тело движется поступательно. Соединим две произвольные точки А и В тела отрезком прямой линии (рис. 7.1). Отрезок АВ должен оставаться параллельным самому себе. Расстояние АВ не изменяется, так как тело абсолютно твердое.

В процессе поступательного движения вектор не изменяется, т. е. остаются постоянными его модуль и направление. Вследствие этого траектории точек А и В идентичны, так как они могут быть полностью совмещены параллельным переносом на .

Нетрудно заметить, что перемещения точек А и Б одинаковы и совершаются за одно и то же время. Следовательно, точки А и В имеют одинаковые скорости. Одинаковы у них и ускорения.

Приблизительно поступательно движется ящик письменного стола, поршни двигателя автомобиля относительно цилиндров, вагоны на прямолинейном участке железной дороги, резец токарного станка относительно станины (рис. 7.2) и т. д.

Вращательное движение

Вращательное движение вокруг неподвижной оси — еще один вид движения твердого тела.

Вращением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое движение, при котором все точки тела описывают окружности, центры которых находятся на одной прямой, перпендикулярной плоскостям этих окружностей. Сама эта прямая есть ось вращения (MN на рисунке 7.4).

В технике такой вид движения встречается чрезвычайно часто: вращение валов двигателей и генераторов, колес современных скоростных электропоездов и деревенской телеги, турбин и пропеллеров самолетов и т. д. Вращается Земля вокруг своей оси.

Кинематическое описание вращательного движения твердого тела

При вращении тела радиус r_А окружности, описываемой точкой А этого тела (см. рис. 7.4), повернется за интервал времени Δt на некоторый угол φ. Легко видеть, что вследствие неизменности взаимного расположения точек тела на такой же угол φ повернутся за то же время и радиусы окружностей, описываемых любыми другими точками тела (см. рис. 7.4). Следовательно, этот угол φ можно считать величиной, характеризующей движение не только отдельной точки тела, но и вращательное движение всего тела в целом. Стало быть, для описания вращения твердого тела вокруг неподвижной оси достаточно лишь одной величины — переменной φ(t).

Этой единственной величиной (координатой) и может служить угол φ, на который поворачивается тело вокруг оси относительно некоторого своего положения, принятого за нулевое. Это положение задается осью О₁Х на рисунке 7.4 (отрезки O₂В, О₃С параллельны О₁Х).

В § 1.28 было рассмотрено движение точки по окружности. Были введены понятия угловой скорости ω и углового ускорения β. Так как при вращении твердого тела все его точки за одинаковые интервалы времени поворачиваются на одинаковые углы, то все формулы, описывающие движение точки по окружности, оказываются применимыми и для описания вращения твердого тела. Определения угловой скорости (1.28.2) и углового ускорения (1.28.6) могут быть отнесены к вращению твердого тела. Точно так же справедливы формулы (1.28.7) и (1.28.8) для описания движения твердого тела с постоянным угловым ускорением.

Связь между линейной и угловой скоростями (см. § 1.28) для каждой точки твердого тела дается формулой

где R — расстояние точки от оси вращения, т. е. радиус окружности, описываемой точкой вращающегося тела. Направлена линейная скорость по касательной к этой окружности. Различные точки твердого тела имеют разные линейные скорости при одной и той же угловой скорости.

Различные точки твердого тела имеют нормальные и тангенциальные ускорения, определяемые формулами (1.28.10) и (1.28.11):

Плоскопараллельное движение

Плоскопараллельным (или просто плоским) движением твердого тела называется такое движение, при котором каждая точка тела движется все время в одной плоскости. Причем все плоскости, в которых движутся точки, параллельны между собой. Типичный пример плоскопараллельного движения — качение цилиндра по плоскости. Плоскопараллельным является также движение колеса по прямому рельсу.

Напомним (в который раз!), что говорить о характере движения того или иного тела можно лишь по отношению к определенной системе отсчета. Так, в приведенных примерах в системе отсчета, связанной с рельсом (землей), движение цилиндpa или колеса является плоскопараллельным, а в системе отсчета, связанной с осью колеса (или цилиндра), — вращательным. Следовательно, скорость каждой точки колеса в системе отсчета, связаннои с землей (абсолютная скорость), согласно закону сложения скоростей равна векторной сумме линейной скорости вращательного движения (относительной скорости) и скорости поступательного движения оси (переносной скорости) (рис. 7.6):

Мгновенный центр вращения

Пусть тонкий диск катится по плоскости (рис. 7.7). Окружность можно рассматривать как правильный многоугольник со сколь угодно большим числом сторон.

Поэтому круг, изображенный на рисунке 7.7, можно мысленно заменить многоугольником (рис. 7.8). Но движение последнего состоит из ряда небольших поворотов: сначала вокруг точки С, затем вокруг точек С₁, С₂ и т. д. Поэтому движение диска тоже можно рассматривать как последовательность очень малых (бесконечно малых) поворотов вокруг точек С, C₁ C₂ и т. д.(2). Таким образом, в каждый момент времени диск вращается вокруг своей нижней точки С. Эта точка называется мгновенным центром вращения диска. В случае качения диска по плоскости можно говорить о мгновенной оси вращения. Этой осью является линия соприкосновения диска с плоскостью в данный момент времени.

Рис. 7.7 и 7.8

Введение понятия мгновенного центра (мгновенной оси) вращения упрощает решение ряда задач. Например, зная, что центр диска имеет скорость и, можно найти скорость точки А (см. рис. 7.7). Действительно, так как диск вращается вокруг мгновенного центра С, то радиус вращения точки А равен АС, а радиус вращения точки О равен ОС. Но так как АС = 20С, то

Аналогично можно найти скорость любой точки этого диска.

Мы познакомились с наиболее простыми видами движения твердого тела: поступательным, вращательным, плоскопараллельным. В дальнейшем нам предстоит заняться динамикой твердого тела.

(1) В дальнейшем для краткости мы будем говорить просто о твердом теле.

(2) Разумеется, изобразить на рисунке многоугольник с бесконечным числом сторон невозможно.

Кинематика твёрдого тела (движение) — раздел кинематики,
изучающий движение абсолютно твёрдого тела, не вдаваясь в вызывающие
его причины. В кинематике твердого тела определяются закон движения и
кинематические характеристики абсолютно твердого тела, а также
кинематические характеристики точек тела.
Абсолютно твердым телом называется материальное тело, в котором
расстояния между любыми двумя его точками остается постоянным.
Существуют две основные задачи кинематики твердого тела:
 задание движения и определение кинематических характеристик
движения тела;
 определение кинематических характеристик движения
(траектории, скорости и ускорения) отдельных точек тела.
Можно выделить пять видов движения твердого тела:
 поступательное движение;
 вращательное движение;
 плоскопараллельное движение;
 сферическое движение;
 общий случай движения свободного твердого тела (сложное
движение).

1 ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

Поступательное движение — это механическое движение твёрдого
тела, при котором любой отрезок прямой, жестко связанный с
движущимся телом, остается параллельным своему первоначальному
положению.
Одной из важнейших характеристик движения точки является
её траектория, в общем случае представляющая собой пространственную
кривую, которую можно представить в виде сопряженных дуг различного
радиуса, исходящего каждый из своего центра, разного для разных точек тела
положение которого может меняться во времени.
В частном случае прямая может рассматриваться как дуга, радиус
которой в данных условиях может считаться равным бесконечности.А
движение по произвольной траектории -как набор сопряжённых дуг.
В таком случае оказывается, что при поступательном движении в
каждый заданный момент времени любая точка тела совершает поворот
вокруг своего мгновенного центра поворота, причём длина радиуса в данный
момент одинакова для всех точек тела. Одинаковы по величине и
направлению и векторы скорости точек тела, а также испытываемые ими
ускорения.
Однако, поскольку траектория является понятием, относящимся к
области кинематики, и не содержит информации о скоростях, в общем случае
она не даёт представления ни о величине испытываемых материальной
точкой сил, ни об их направлении.
Тем не менее возможны случаи, когда по условиям задачи бывает
достаточно изучить движение одной какой-то произвольной материальной
точки тела (например, движение центра масс тела).
Поступательно движется, например, кабина лифта или кабина колеса
обозрения.

Читайте также: