Разложение вектора по ортам реферат
Обновлено: 02.07.2024
* Данная работа не является научным трудом, не является выпускной квалификационной работой и представляет собой результат обработки, структурирования и форматирования собранной информации, предназначенной для использования в качестве источника материала при самостоятельной подготовки учебных работ.
Министерство науки и образования
Республики Казахстан
Карагандинский Государственный Университет
им. Е.А.Букетова
Кафедра Методики Преподавания Математики
и Информатики
КУРСОВАЯ РАБОТА
тема: "Векторы в курсе
математики 9-го класса"
1 глава. Понятие вектора в школьном курсе геометрии 4
§1 Место изучения понятия вектор и действий над векторами 4
2 глава. Векторы на плоскости 7
§1 Основные определения 7
§2 Коллинеарные векторы 8
§3 Равенство векторов 9
§4 Координаты вектора 10
§5 Сложение и вычитание векторов 12
§7 Умножение вектора на число 14
§8 Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам 16
§9 Скалярное произведение векторов 16
§10 Разложение вектора по координатным осям 19
Набор упражнений для самостоятельного решения учащимися 21
Список использованных источников 22
Введение
В настоящее время проблемам преподавания математики в школе стали уделять больше внимания. Это связано с научно-техническим прогрессом и развитием наукоемких производств. Технические науки, среди которых, в последнее время, быстро развиваются и имеют огромное практическое значение, такие как информационные технологии, электроника и т.д., немыслимы без математического аппарата.
Основа для математической грамотности закладывается именно в школе, поэтому изучению вопросов, связанных с этим процессом, уделяется пристальное внимание. Математика является одним из опорных предметов школы. Она требует от учащихся волевых и умственных усилий, развитого воображения, концентрации внимания. Математика развивает личность учащегося. Изучение математики существенно способствует развитию логического мышления и расширяет кругозор школьников.
Кроме всего вышесказанного, математика обеспечивает изучение других школьных дисциплин, таких как физика, химия и др. На уроках математики учащиеся получают не только вычислительные навыки для решения прикладных задач, но и узнают такие необходимые для решения, например, физических задач понятия, как: вектор и действия над векторами, аффинная система координат, начинают решать задачи с использованием координатного метода и т.п.
Задачи данной работы: рассмотреть понятие вектора на плоскости, показать действия над векторами, разобрать методы решение геометрических задач с использованием основных векторных соотношений. В работе будут рассмотрены и изучены: печатные учебные пособия для учащихся, используемые в настоящее время в общеобразовательных средних школах; различные учебные пособия по данной теме; электронные учебные пособия и проекты в сети интернет.
1 глава.
Понятие вектора в школьном курсе геометрии
§1 Место изучения понятия вектор и действий над векторами
Материалу, непосредственно связанному с изучением векторов на плоскости, отводится достаточно немного времени в школьной программе по математике. Хотя, стоит заметить, что курс геометрии в старших классах средней школы строится именно на основе векторных представлений. Данный материал играет важную роль при решении школьниками многих геометрических и физических задач, закладывает основу для изучения понятия вектора в пространстве.
Изучение векторов начинается в четвертой четверти VIII класса. Для успешного освоения учащимися данного материала, они должны быть знакомы с понятием декартовых координат на плоскости, понятием отрезок, уметь определять координаты на плоскости и расстояние между двумя точками на плоскости, а также понимать значение понятия параллельный перенос и знать его свойства.
В учебнике Погорелова А.В. [4], который сейчас в основном используется в школах, материал преподносится учащимся в следующем порядке:
1) Даются основные понятия: вектор, направление вектора, абсолютная величина (модуль), нулевой вектор.
2) Рассматривается понятие равенства векторов.
3) Определяются координаты вектора.
4) Рассматриваются действия над векторами: сложение (вычитание) векторов, умножение вектора на число. Разбирается, как применяются вектора в физических задачах, на примере сложения сил.
5) Дается понятие коллинеарных векторов и рассматривается разложения вектора по двум неколлинеарным векторам.
6) Рассматривается понятие скалярного произведения векторов.
7) Дается понятия единичного вектора, координатного вектора (орта) и рассматривается разложение вектора по координатным осям.
§2 Основные результаты изучения векторов на плоскости
Прочное освоение в 9 классе материалов, связанных с векторами на плоскости является важным моментом в изучении геометрии, как мы указывали это ранее. Перед преподавателем ставится цель закрепить следующие знания и навыки у учащихся.
1) Учащиеся должны знать:
- основные понятия: вектор, направление вектора, модуль вектора, нулевой вектор, равенства векторов;
- как определяются координаты вектора;
- как выполняются действия над векторами: сложение (вычитание) векторов, умножение вектора на число и какие свойства имеют место при выполнении этих действий;
- понятие коллинеарных векторов;
- понятие скалярного произведения векторов и свойства, которыми обладает скалярное произведение векторов;
- понятия единичного вектора и координатного вектора.
2) Учащиеся должны уметь:
- строить вектор в декартовой системе координат;
- находить модуль вектора;
- находить и записывать координаты вектора;
- выполнять сложение и вычитание векторов графическими методами по "правилу треугольника" и "правилу параллелограмма", а также выполнять эти действия, используя координаты векторов;
- выполнять умножение вектора на число;
- находить скалярное произведение векторов;
- находить разложение вектора по двум неколлинеарных векторам;
- находить разложение вектора по координатным осям;
- решать геометрические задачи, в которых используются основные понятия, связанные с вектором на плоскости, и применять полученные знания о действиях над векторами.
2 глава.
Векторы на плоскости
Методика обучения математики устанавливает, какими способами можно добиться у всех учащихся прочных знаний, умений и навыков, затрачивая на это минимум сил и времени, а также как развивать творческие способности учащихся и достигать всех тех учебно-воспитательных целей, которые ставятся при изучении математики. Для решения этих задач в методике математики разрабатывают систему методов и приемов обучения.
При использовании различных приемов и методик следует учитывать уровень подготовки учащихся, специфику изучаемой темы и т.п. факторы. Используя в своей работе совокупность различных методов, приемов и их комбинации, учитель может добиться желаемых успехов.
Для более глубокого понимания сути вопроса и возможности подбора необходимых методик преподавания изучаемой нами темы, в данной работе мы рассмотрим содержание основной части школьной программы связанной с этим вопросом.
§1 Основные определения
В различной литературе понятие вектор вводится по-разному. Так в учебнике Погорелова А.В. [4] дается следующее определение:
"Вектором мы будем называть направленный отрезок (рис. 1). Направление вектора определяется указанием его начала и конца. На чертеже направление вектора отмечается стрелкой."
В пособие Герасимовича А.И. [1] можно увидеть другой подход во введении этого понятия:
"Величина, которая определяется числовым значением и направлением, называется вектором. Примерами векторов являются сила, скорость, момент силы и др. Геометрической интерпретацией векторов служат направленные отрезки."
Для обозначения векторов обычно используются строчные латинские буквы: а, b, с и т.д. Кроме этого, обозначить вектор можно указанием его начала и конца (причем, начало вектора указывается первым). Вместо слова “вектор” над буквенным обозначением вектора обычно ставят стрелку или черту. Изображенный на рисунке 1 вектор можно обозначить как: .
Если начало вектора совпадает с его концом, то такой вектор называют нулевым вектором. Такой вектор обозначают . Длина нулевого вектора равна нулю и он не имеет определенного направления.
§2 Коллинеарные векторы
“Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой.” [1, 4]
Коллинеарные векторы могут быть одинаково направлены или противоположно направлены. Можно по-разному разъяснить эти понятия:
1) Расположим два коллинеарных вектора таким образом, чтобы их начала лежали на одной прямой. Если они оба лежат в одной полуплоскости относительно прямой, то векторы одинаково направлены. Если они лежат в разных полуплоскостях относительно прямой, то векторы противоположно направлены.
2) Векторы называются одинаково направленными, если полупрямые АВ и CD одинаково направлены. Векторы называются противоположно направленными, если полупрямые АВ и CD противоположно направлены.
3) Если два вектора лежат на одной прямой, они одинаково направлены в том случае, если их направления совпадают с направлением одной из полупрямых данной прямой, и противоположно направлены, если их направления не совпадают с направлением одной полупрямой.
На рисунке 2 векторы одинаково направлены, а векторы и , противоположно направленные –
Рассмотрим наглядно. На рисунке 3 изображены векторы одинаково направленные и равные по модулю. При параллельном переносе точка С переходит в точку А, совмещая, таким образом, полупрямую CD с полупрямой АВ, так как они одинаково направлены (а соответственно и коллинеарны). Так как векторы равны, то при осуществляемом нами параллельном переносе точка D совмещается с точкой В, а следовательно вектор переходит равны, что и требовалось доказать.
§4 Координаты вектора
Применив формулу, выражающую расстояние между двумя точками по их координатам, выводится формула определения абсолютной величины (модуля) вектора с координатами а1 и а2, которая будет равна .
Теорема. Равные векторы имеют равные соответствующие координаты. Обратная: если у векторов соответствующие координаты равны, то векторы равны.
Данную теорему и обратную ей можно доказать двумя способами.
Доказательство 1. Пусть А1(х1;у1) и А2(х2;у2) – начало и конец вектора равны. Докажем, что векторы равны.
Пусть и - координаты точки - координаты точки . По условию теоремы: , , , т.е. векторы равны, что и требовалось доказать.
Доказательство 2. Пусть векторы . Вычислим их координаты , . Координаты векторов одинаковы, поэтому и были равны. [4]
Решение. Вектор имеет координаты х-0, у-1. Так как , то х-0=-2, у-1=-1. Отсюда находим координаты точки D: х=-2, у=0.
Задача 3. Даны три вершины параллелограмма ABCD: А(1;1), В(3;4), С(8;5). Найти координаты четвертой вершины D и точку пересечения диагоналей. [1]
Решение. Точка пересечения диагоналей – середина каждой из диагоналей. Поэтому она является серединой отрезка АС и имеет координаты:
; с координатами а1, а2 и b1, b2 называется вектор имеют место следующие свойства:
Для доказательства достаточно сравнить соответствующие координаты векторов, стоящих в правой и левой частях равенств. Мы видим, что они равны. А векторы с соответственно равными координатами равны.
Теорема. Каковы бы ни были точки А, В, С имеет место векторное равенство , , , . Надо от конца вектора . Тогда вектор, начало которого совпадает с началом вектора (см. рисунок 6). Такой способ называется "правилом треугольника" сложения векторов.
Для двух векторов с общим началом сумма может также изображаться диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах. Такой метод построения называется "правилом параллелограмма". Действительно, . Значит, (см. рисунок 7).
Разностью векторов , который в сумме с вектором дает вектор . Очевидно, что вектор . Началом его является конец вычитаемого вектора , концом – конец уменьшаемого вектора
Решение. Пусть О – центр тяжести груза, к которому приложена сила Р. Разложим вектор перпендикулярна наклонной плоскости и не вызывает перемещения груза. Сила , удерживающая груз, должна быть равной по величине и противоположной по направлению силе . Поэтому . [5]
Решение. Возьмем произвольную точку О и запишем все выбранные векторы в виде равна .
§7 Умножение вектора на число
Произведением вектора (дистрибутивность относительно векторного множителя;
4) и , равные - координаты вектора , а координатами точки В будут и
Так как уравнению удовлетворяют координаты точки , то ему удовлетворяют и координаты точки . Отсюда следует, что точка В лежит на прямой ОА. Координаты и любой точки С, лежащей на полупрямой ОА, имеют те же знаки, что и координаты полупрямой, дополнительной к ОА, имеют противоположные знаки.
Задача 1. Даны векторы , . Найти координаты вектора . Разность векторов и и отличных от нуля является существование числа одинаково направлены. Векторы и аналогично заключаем, что - отличные от нуля неколлинеарные векторы. Докажем, что любой вектор . Они пересекутся в некоторой точке С. Имеем: . Так как векторы и коллинеарны, то
§9 Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением векторов .
Скалярное произведение обладает следующими свойствами:
Углом между ненулевыми векторами называется угол между равными им векторами с общим началом. Угол между одинаково направленными векторами считается равным нулю.
Теорема. Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.
Доказательство. Пусть – данные векторы и и , а поэтому не зависит от выбора системы координат, т.е. скалярное произведение не изменится, если систему координат выбрать специальным образом. Возьмем систему координат ху так, как показано на рисунке 11. При таком выборе системы координат координатами вектора будут и . Теорема доказана.
Из доказанной нами теоремы следует, что если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. И обратно: если скалярное произведение отличных от нуля векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.
Задача 1. Даны векторы . Найти длину вектора , если известно, что равен 60. [1]
Решение. Согласно одного из свойств скалярного произведения векторов , , .
Вычислим координаты векторов , .
Затем вычислим координаты векторов и (0;5), . Используя формулы для нахождения координат середины отрезка ; . Докажите, что Н – точка пересечения высот треугольника АВС. [5]
Решение. Докажем что , так как О – центр описанной окружности. Аналогично доказывается, что и .
§10 Разложение вектора по координатным осям
Вектор называется единичным, если его абсолютная величина равна единице. Единичные векторы, имеющие направления положительных координатных полуосей, называются координатными векторами или ортами. Обычно их обозначают следующим образом
Так как координатные векторы отличны от нуля и не коллинеарны, то любой вектор допускает разложение по этим векторам:
этого разложения. Умножим обе части равенства (*) на вектор .
Таким образом, для любого вектора получается разложение
, направленного одинаково с вектором , разделим обе части предыдущего равенства на .
Следовательно, координаты единичного вектора , одинаково направленного с вектором ; 2) точка С не лежит на прямой .
2. Векторы (4;0), -5, б) и
7. В треугольнике ABC проведена медиана АМ. Докажите, что .
9. Даны четыре точки А(0;0), В(1;1), С(0;2), D(-1;1). Докажите, что четырехугольник АВСD – квадрат.
10. Даны вершины треугольника А(1;1), В(4;1), С(4;5). Найдите косинусы углов треугольника.
11. Доказать, что точка М пересечения медиан треугольника с вершинами в точках , ; .
Список использованных источников
1. Герасимович А.И., Пушкина-Варварчук Г.Т., Шарикова З.П., Цыганова В.К. Геометрия для подготовительных отделений втузов: Справ. Пособие – Мн.: Выш. Шк., 1987.
2. Колягин Ю.М., Оганесян В.А. и др. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика – учеб. пособие для студентов физ.-мат. факт. пед. институтов. М.: Просвящение, 1975.
3. Колягин Ю.М., Оганесян В.А. и др. Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики – учеб. пособие для студентов физ.-мат. факт. пед. институтов. М.: Просвящение, 1977.
4. Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. для 7-11 кл. сред. шк. – 3-е
изд. – М.: Просвещение, 1992.
5. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. — 4-е изд., дополнен-
ное — М.: Изд-во Московского центра непрерывного математического образования, 2001 (эл. версия).
6. Программы средней общеобразовательной школы. Математи-
ка – М.: Просвещение, 1988.
7. Рогановский Н.М. Методика преподавания математики в ср. шк.: Учебное пособие – Выш. шк., 1990.
8. Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочное пособие по методам решения задач по математике для средней школы. /Под. ред. Блогодатс-
ких В.И. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983.
Сущность понятий скалярной и векторной математических величин. Основные свойства операций с векторами. Разложение векторов по ортам. Определение проекции вектора и их свойства. Действия с векторами в координатной форме при условие коллинеарности.
| Рубрика | Математика |
| Вид | презентация |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 03.10.2012 |
| Размер файла | 306,1 K |
Подобные документы
Изучение свойств геометрических объектов при помощи алгебраических методов. Основные операции над векторами. Умножение вектора на отрицательное число. Скалярное произведение векторов. Нахождение угла между векторами. Нахождение координат вектора.
контрольная работа [56,3 K], добавлен 03.12.2014
Понятия векторной алгебры: нулевой, единичный, противоположный и коллинеарный векторы. Проекция вектора на ось. Векторный базис на плоскости и в пространстве. Декартова прямоугольная система координат. Действия над векторами, заданными координатами.
презентация [217,3 K], добавлен 16.11.2014
Векторы на плоскости и в пространстве. Расстояние между началом и концом. Коллинеарные и нулевые векторы. Условие коллинеарности и перпендикулярности векторов. Определение суммы и разницы векторов. Свойства операций сложения и умножения вектора на число.
презентация [98,6 K], добавлен 21.09.2013
Линейные операции над векторами. Скалярное произведение двух векторов. Векторное произведение векторов. Графическое решение систем неравенств. Построение графиков функций с помощью геометрических преобразований. Простейшие геометрические преобразования.
методичка [2,0 M], добавлен 15.06.2015
Вектор - направленный отрезок, имеющий начало и конец, его свойства. Виды определения векторов, действия над ними. Правила сложения векторов, их сумма. Скалярное произведение векторов. Особенности использования векторов. Решение геометрических задач.
контрольная работа [640,1 K], добавлен 18.01.2013
Векторы в трехмерном пространстве. Линейные операции над векторами. Общее понятие про скалярные величины. Проекции векторов, их свойства. Коммутативность скалярного произведения, неравенство Коши-Буняковского. Примеры скалярного произведения векторов.
контрольная работа [605,8 K], добавлен 06.05.2012
Раздел математики, непосредственно относящийся к задачам физической и инженерной практики. Элементы векторной и линейной алгебры; описание способов выполнения различных операций над векторами: сложение, вычитание, геометрически смешанное произведение.
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Министерство общего и профессионального образования
Муниципальное общеобразовательное учреждение
Администрация Сысертского городского округа
Реферат по геометрии
Исполнитель: Бесов Владислав
Ученик 9а класса
Руководитель: Годова И.В
г. Сысерть 2008 г.
Глава 1. Векторы. . 4.
1.1. О трактовке понятия вектора…………………………………………………..4
Глава 2. Операции над векторами. 8
2.1. Композиция параллельных переносов. 8
2.2. Сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число. 10
2.3 Коллинеарные вектора . 14
2.4.Свойства операции над векторами . 18
2.5. Скалярное произведение двух векторов и его свойства……………. 20
Глава 3 Приложение векторов при доказательстве теорем и решению задач. 21 3.1. Применение векторов при доказательстве теорем . 21
3.2. Применение векторов при решении задач. 24
Одними из фундаментальных понятий современной математики являются вектор и его обобщение — тензор. Эволюция понятия вектора осуществлялась благодаря широкому использованию этого понятия в различных областях математики, механики, а также в технике. Работы К. Веселя, Ж. Аргана и К. Ф. Гаусса по теории комплексных чисел установили связь между арифметическими операциями над комплексными числами и геометрическими операциями над векторами в двумерном пространстве — в плоскости.
В середине прошлого столетия в работах В. Гамильтона, Ф. Мёбиуса понятие вектора нашло широкое применение при изучении свойств трехмерного и многомерного пространств.
Конец прошлого и начало текущего столетия ознаменовались широким развитием векторного исчисления и его приложений. Были созданы векторная алгебра и векторный анализ, теория поля, тензорный анализ, общая теория многомерного векторного пространства. Эти теории были использованы при построении специальной и общей теории относительности, которые играют исключительно важную роль в современной физике.
О трактовке понятия вектора
Действительно, понятие вектора тесно связано с принятой сейчас теоретико-множественной трактовкой основных понятий школьного курса математики. Например, с таким важнейшим понятием школьного курса геометрии, как понятие перемещения. Кроме того, понятие вектора находит достаточно широкие приложения при рассмотрении различных вопросов школьных курсов математики и физики.
Уже на уроках физики в VIII классе изложение материала ведется с широким привлечением векторного аппарата. Понятно, что это заставляет задуматься прежде всего над тем, как наиболее естественно ввести в курс математики восьмилетней школы понятие вектора, как эффективнее применять это понятие при изложении теории и решении задач, как рассматривать основные действия над векторами.
Известно, что существует несколько подходов к введению этого понятия.
В физике при помощи вектора изображаются различные направленные величины: сила, скорость, ускорение и т. п., в силу чего вектор обычно определялся здесь как направленный отрезок. При этом часто такая направленная величина оказывалась существенно связанной с определенной точкой (точкой ее приложения) или прямой.
В математике же обычно имеют дело с так называемым свободным вектором (вектором, не связанным ни с какой прямой и ни с какой фиксированной точкой).
В традиционных математических курсах вектор также определялся как направленный отрезок. При этом два вектора считались равными, если они имели одну и ту же длину и направление. Однако такое определение равенства векторов не вполне корректно, так как тем самым отождествляются два хотя и родственные, но различные понятия: равенство и эквивалентность. Между тем равенство математических объектов трактуется сейчас как их совпадение, а эквивалентность – как любое отношение, обладающее свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности.
Анализируя понятие вектора, нетрудно обнаружить, что с геометрической точки зрения вектор — это объект, характеризуемый направлением (т. е. некоторым множеством сонаправленных лучей) и длиной.
рефлективности: (А, В) ~ (А, В);
симметричности: если (А, В) ~ (С, D ), то (С, D ) ~
транзитивности: если (А, В) ~ (С, D ) и ( C , D ) ~ ( K , M ), то (А, В) ~ (К, М).
С помощью рассмотренного отношения эквивалентности производится разбиение множества пар точек плоскости на непересекающиеся подмножества (классы), элементами которых являются эквивалентные пары. Каждое из таких подмножеств можно назвать вектором. Следовательно, один и тот же параллельный перенос Т (вектор) можно задать при помощи бесконечного множества эквивалентных между собой пар точек (А, В) ~ (А1, В1) ~ (А2, В2) . (рис. 4), т. е. Т = ТАВ = Т А1В1 = Т А2В2 = . .
Так как всякий класс (подмножество) эквивалентных пар определяется любым его представителем — любой его парой, то тем самым всякая пара точек плоскости задает (определяет) некоторый вектор на плоскости. При этом эквивалентные пары определяют один и тот же вектор, а неэквивалентные пары — различные векторы. Если вектор задается парой (А, В) (А ≠ В), то его обозначают. Направление, определяемое лучом АВ, называют направлением вектора , а расстояние │АВ│ — его длиной. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором. Пусть теперь вектор задается парой (В, В), т. е. парой, у которой первая точка совпадает со второй; такой вектор называется нулевым вектором и обозначается = . Длина нулевого вектора равна нулю, т. е. │ │= │ │= 0, а направление его не определено. Итак, любой вектор плоскости полностью определяется заданием одной пары точек А и В, где В = (А). Заметим, что направленный отрезок АВ выступает при такой трактовке вектора лишь как удобное наглядное изображение вектора. Любой вектор ≠ 0 имеет бесконечное множество изображений в виде направленных отрезков.
Итак, мы рассмотрели возможность введения понятия вектора как множества пар точек, задающих один и тот же параллельный перенос, т. е. множество всех пар ( X , У), для которых T ( X )= Y , есть вектор. Это множество пар ( X , Y ) иногда называют графиком параллельного переноса.
В современной трактовке принято отождествлять график с самим отображением. Все сказанное и привело к отождествлению в школьном курсе математики параллельного переноса и вектора как синонимов, обозначающих одно и то же понятие.
Для любого вектора , который лежит в плоскости , имеет место следующее разложение:
Если вектор расположен в пространстве, то разложение по ортам координатных осей имеет вид:
Модуль вектора (длина вектора) в прямоугольных декартовых координатах равен квадратному корню из суммы квадратов его координат
Действия над векторами, заданными проекциями: линейные операции, равенство векторов, коллинеарность векторов.
Два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным переносом.
Т.е. существует такой параллельный перенос, при котором начало и конец одного вектора совмещается с началом и концом другого вектора соответственно.
Скалярного произведение векторов и его свойства.
Выражение скалярного произведения через координаты, угол между векторами, проекция вектора на заданное направление.
Векторное произведение и его свойства. Выражение векторного произведения через координаты.
Определение смешанного произведения и его геометрический смысл.
Свойства смешанного произведения. Выражение смешанного произведения через координаты.
Деление отрезка в данном отношении.
11)Преобразование системы координат, параллельный перенос осей координат.
Поворот осей координат.
Уравнения прямой на плоскости: уравнение прямой с угловым коэффициентом, общее уравнение прямой.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении. Уравнение прямой, проходящей через две точки.
Уравнение прямой в отрезках. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.
Пусть дана некоторая точка М0 и вектор n. Проведем через точку М0 прямуюl перпендикулярно вектору п (рис. 82).
Пусть М — произвольная точка. Точка М лежит на прямой l в том и только в том случае, когда вектор M0M > перпендикулярен вектору n, а для этого необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение векторов п и M0M > равнялось нулю:
п • M0M > = 0. (1)
Чтобы выразить последнее равенство в координатах, введем прямоугольную декартову систему координат. Пусть точки М0 и М имеют координаты (х0 ; у0 ) и (х; у).
Тогда M0M > = (х — х0; у — у0). Обозначим координаты нормального вектора пчерез (А; В). Теперь равенство (1) можно записать так:
А(х — х0) + В(у — у0) = 0. (2)
Полярное уравнение прямой. Нормальное уравнение прямой.
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого.
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни.
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰).
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций.
Читайте также: