Простейший поток событий реферат
Обновлено: 04.07.2024
Под потоком событий понимается некая последовательность событий, наступающих в случайные моменты времени. Примеров потоков событий можно привести бесчисленное множество: поступление вызовов на телефонную станцию, прибытие самолетов в аэропорт и даже прибытие студентов на пару по теории вероятностей за 15 минут до ее начала.
Интенсивность потока $\lambda $ — это среднее число событий, которые наступают в определенную единицу времени $t$. Например, среднее число самолетов, прибывающих в аэропорт за $t=45$ минут равно $\lambda =2$.
Простейший (пуассоновский) поток событий — это такой поток событий, для которого вероятность $P_t\left(k\right)$ появления $k$ событий за время $t$ определяется формулой Пуассона $P_t\left(k\right)=<<<\left(\lambda t\right)>^k>\over >\cdot e^<-\lambda t>$, где $k!=1\cdot 2\cdot \dots \cdot k$.
Пример. В течение часа коммутатор получает в среднем 60 вызовов. Какова вероятность того, что за время 45 сек., в течение которых телефонистка отлучилась, не будет ни одного вызова?
Имеем дело с простейшим (Пуассоновским) потоком событий. Это такой поток событий, для которого вероятность $P_t(k)$ появления $k$ событий за время $t$ определяется формулой Пуассона:
У нас интенсивность $\lambda $ потока событий равна $60$, то есть $\lambda =60$. В одном часе $3600$ секунд, тогда $45$ секунд составляют $ <45\over 3600>=0,0125$ часа, то есть $\lambda t=60\cdot 0,0125=0,75$. Получаем:
Вероятность того, что в течение $45$ секунд не будет ни одного вызова, равна $0,472366553$.
Замечание. C помощью мастера функций $f_x$ пакета Excel можно вычислить значение $P_t\left(k\right)=ПУАССОН\left(k;\ \lambda t;0\right)$. Для нашего примера имеем $ПУАССОН\left(0;\ 0,75;0\right)$:
Перечислим основные свойства, которыми обладает простейший поток событий.
Поток вызовов-последовательность вызовов, поступающих через какие-либо интервалы или в какие-то моменты времени. Простейший поток вызовов или поток Пуассона. Потоки с ограниченным последействием. Поток Пальма. Поток Эрланга. Поток с повторными вызовами.
| Рубрика | Коммуникации, связь, цифровые приборы и радиоэлектроника |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 19.11.2008 |
| Размер файла | 174,6 K |
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Учреждение образования
кафедра сетей и устройств телекоммуникаций
Классификация потоков событий
Поток вызовов (требований, заявок, событий) - есть последовательность вызовов, поступающих через какие-либо интервалы или в какие-либо моменты времени.
Потоки вызовов бывают детерминированные и случайные. Случайный поток вызовов отличается от детерминированного тем, что моменты поступления вызовов и промежутки времени между вызовами являются не строго фиксированными (как это имеет место для детерминированного потока), а случайными величинами.
Детерминированные потоки есть частный случай случайных потоков и встречаются на практике редко. В теории телетрафика основное внимание уделяют рассмотрению случайных потоков вызовов.
Поток вызовов может быть определен тремя эквивалентными способами:
1.) Последовательностью вызывающих моментов t1 ,t2 ,…,tn;
2.) Последовательность промежутков времени между вызывающими моментами z1 ,z2 ,…,zn;
3.) Последовательностью чисел k1 ,k2 ,…,kn, определяющих количество вызовов, поступающих в течение заданного отрезка времени [t0 ,t1), [t0 ,t2),…, [t0 ,tn).
Вызывающий момент - это момент одновременного поступления одного, двух и более вызовов.
Случайные потоки вызовов задаются вероятностными характеристиками последовательности вызывающих моментов, либо последовательности промежутков между вызовами, либо последовательности числа вызовов, поступающих в течение отрезков времени [t0 ,t1), [t0 ,t2),…, [t0 ,tn).
Потоки вызовов классифицируются по следующим свойствам:
- стационарность - независимость вероятности характеристик от времени. Такая вероятность поступления определенного числа событий за промежуток времени длиной t для стационарного потока не зависит от выбора начала его измерения, а зависит только то длины этого промежутка;
- последействие - вероятность поступления событий в интервале времени (t1 ,t2) зависит от событий, происшедших до момента t1;
- ординарность - вероятность поступления двух и более событий за бесконечно малый интервал времени Дt, есть величина бесконечно малая, более высокого порядка малости, чем Дt.
Важнейшими численными параметрами случайного потока являются интенсивность потока м(t) и параметр потока л(t).
Интенсивностью потока называют математическое ожидание числа событий в единицу времени в данный момент:
т.е., это предел отношения среднего числа событий () на интервале (t,t+Дt) к длине этого интервала, стремящегося к нулю.
Параметром потока называется предел отношения вероятности поступления хотя бы одного события на интервале (t,t+Дt) к длине этого интервала, стремящегося к нулю:
Для стационарного процесса интенсивность и параметр потока - величины постоянные не зависящие от времени, т.е. л(t)=л и м(t)=м. Для ординарных потоков величина параметра потока и интенсивнось потока совпадают, т.е. л=м.
Классификацию потоков, представленную на рис.1, удобно осуществлять, принимая за основной признак последействия потока.
Рис. 1. Классификация потоков вызовов.
Простейший поток вызовов или поток Пуассона.
Простейшим потоком вызовов называется стационарный ординарный поток без последействия. Основные характерные свойства простейшего потока выражают следующие определения этого потока:
При исследовании непрерывных марковских цепей, как было уже отмечено, часто бывает удобно представить переход системы из состояния в состояние как воздействие каких-то потоков событий (поток заявок на обслуживание, поток автомобилей, поток документов и т.п.).
Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени. Например, поток покупателей в магазин, поток машин на СТО, поток неисправностей у одного автомобиля и др.
Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через строго определенные промежутки времени. Такой поток сравнительно редко встречается на практике и не представляет особого интереса.
Различают следующие основные свойства, которыми могут обладать случайные потоки событий:
· стационарность;
· ординарность;
· отсутствие последействия.
Стационарность. Свойство стационарности проявляется в том, что вероятность попадания того или иного числа событии на участок времени t зависит только от длины участка и не зависит от расположения на оси 0t. Другими словами, стационарность означает неизменность вероятностного режима потока событий во времени. Поток, обладающий свойством стационарности, называют стационарным. Для стационарного потока среднее число событий, воздействующих на систему в течение единицы времени, остается постоянным (рис. 3.6). В большинстве случаях реальные потоки событий являются в действительности стационарными лишь на ограниченных участках времени. Например, поток автомобилей проезжающих по улице с 15 до 16 часов можно считать стационарным. Но, тот же поток в течение суток уже не будет стационарным (ночью поток машин, проезжающий по улице значительно меньше).
Рис. 3.6. График стационарного потока
Ординарность. Свойство ординарности потока присутствует, если вероятность попадания на элементарный участок времени двух и более событии пренебрежимо мала по сравнению с длиной этого участка. Свойство ординарности означает, что за малый промежуток времени практически невозможно появление более одного события. Поток, обладающий свойством ординарности, называют ординарным. Реальные потоки событий в различных производственно-экономических системах либо являются ординарными, либо могут быть достаточно просто приведены к ординарным.
Отсутствие последействия. Данное свойство потока состоит в том, что для любых непересекающихся участков времени количество событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на другие участки времени. Поток, обладающий свойством отсутствия последействия, называют потоком без последействия. Поток событий, одновременно обладающий свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последействия, называется простейшим потоком событий.
Под интенсивностью потока понимают
где m(t, t + t) – среднее число событий в (t, t + t).
Для простейшего потока интенсивность l = const. Если поток событий не имеет последействия, ординарен, но не стационарен, то его называютнестационарным пуассоновским потоком, а его интенсивность зависит от времени, т. е. l = l(t).
В пуассоновском потоке событий (стационарном и нестационарном) число событий потока, попадающих на любой участок, распределено позакону Пуассона:
где Pm – вероятность попадания на участок m событий;
a – среднее число событий, приходящихся на участок.
Для простейшего потока a = l×t, а для нестационарного пуассоновского потока
где t – длина участка времени;
t0 – начало участка t.
Отметим еще одно важное свойство простейшего потока событий. Промежуток времени t между соседними событиями распределен по показательному (экспоненциальному) закону, а его среднее значение и среднее квадратическое отклонение s равны, т. е.
где l – интенсивность потока.
Для нестационарного пуассоновского потока закон распределения промежутка t уже не является показательным, так как зависит от положения на оси 0t и вида зависимости l(t). Однако для некоторых задач при сравнительно небольших изменениях l(t) его можно приближенно считать показательным с интенсивностью l, равной среднему значению l(t).
Таким образом, для исследуемой системы S с дискретными состояниями и непрерывным временем переходы из состояния в состояние происходят под действием пуассоновских потоков событий с определенной интенсивностью lij.
Ординарный ПС , в котором отсутствует последействие, называется Пуассоновским потоком. В свою очередь, ПС, обладающий всеми тремя свойствами (ординарности, стационарности, без последействия), называется простейшим или стационарным пуассоновским. В простейшем потоке интервалы между событиями имеют показательное распределение: Поток Пальма Если интервал между соседними событиями представляет собой… Читать ещё >
- системы электроснабжения электрического транспорта на постоянном токе
Простейший поток событий ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )
Если поток событий обладает свойствами ординарности без последействия, имеет постоянную интенсивность X, то число событий X (t, т), попадающих на участок т, имеет распределение Пуассона с параметром а = Хт:
При неодинаковой интенсивности потока Х (1) число событий Х (1, т) также может иметь распределение Пуассона с параметрами.
Ординарный ПС, в котором отсутствует последействие, называется Пуассоновским потоком. В свою очередь, ПС, обладающий всеми тремя свойствами (ординарности, стационарности, без последействия), называется простейшим или стационарным пуассоновским. В простейшем потоке интервалы между событиями имеют показательное распределение:
где F (t), ft) — функция и плотность распределения СВ Т.
Поток Пальма Если интервал между соседними событиями представляет собой неотрицательную СВ с отличным от показательного распределением, то в таком потоке имеется последствие. ПС, в котором имеется последствие, называют потоком Пальма. Свойства потока Пальма рассматривают [23] в связи с падением случайной точки (инспектора).
ГОСТ
В работах по исследованию и обеспечению надежности большое место занимают статистические методы исследований и вероятностные оценки надежности. Это обусловлено тем, что события и величины, используемые в теории надежности, носят, как правило, случайный характер. Отказы объектов вызываются большим числом причин, связь между которыми установить не возможно, поэтому отказы изделий принадлежат к категории случайных событий. Время до возникновения отказа может принимать различные значения в пределах некоторой области возможных значений и принадлежит к категории случайных величин.
Случайное событие -- это событие, которое может появиться или не появиться в результате данного опыта.
Вероятность случайного события -- это количественная характеристика случайного события. Она представляет собой теоретическую частоту событий, около которой имеет тенденцию стабилизироваться действительная частота события при повторении опыта в данных условиях.
Частота случайного события -- статистическая вероятность события -- отношение числа появления данного события к числу всех произведенных опытов.
Примерами случайных событий, которые используются в прикладной теории надежности, являются:
событие, заключающееся в том, что на интервале времени от $0$ до $t$ объект непрерывно находится в работоспособном состоянии. Вероятность такого события обозначается $P(t)$;
событие, заключающееся в том, что на интервале времени от $0$ до $t$ изделие может перейти в отказовое состояние. Вероятность такого события обозначается $Q(t)$;
событие, заключающееся в том, что работоспособная к моменту времени $t$ система перейдет за время $\Delta t$ из состояния работоспособности (состояние 1) в состояние отказа (состояние 2). Вероятность такого события
Готовые работы на аналогичную тему
Случайные события, следующие одно за другим в некоторой последовательности, образуют поток случайных событий.
Ординарный поток событий - поток, при котором вероятность попадания двух событий на один и тот же малый участок времени $\Delta t$ пренебрежительно мала (в один и тот же момент времени может произойти только одно событие).
Поток без последействия - поток, при котором будущее развитие процесса появления событий не зависит от того, как этот процесс протекал в прошлом.
Стационарный поток - поток, параметры которого не зависят от времени, т.е. плотность потока событий (среднее число событий в единицу времени) является постоянной.
Поток, обладающий свойствами ординарности, стационарности и отсутствия последействия, называется простейшим потоком или стационарным пуассоновским потоком.
Нестационарный пуассоновский поток - это поток, обладающий свойством ординарности и отсутствием последействия, но не обладающий свойством стационарности.
Простейший поток находит широкое применение в теории надежности ввиду следующих факторов:
имеется предельная теорема, согласно которой сумма большого числа независимых потоков с любыми законами распределения приближается к простейшему потоку с ростом числа слагаемых потоков;
практика исследования потоков отказов, потоков восстановлений и других потоков, имеющих место при исследовании надежности, подтверждает обоснованность предположений о широкой распространенности простейших потоков.
Случайная величина -- величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение (заранее не известно, какое именно). Она может быть либо дискретной (число отказов за время $t$, число отказавших изделий при испытаниях заданного количества образцов и т.п.), либо непрерывной (время работы объекты до отказа, время восстановления работоспособности). Исчерпывающее представление о случайной величине дает закон распределения случайной величины -- соотношение между значениями случайной величины и их вероятностями.
Экспоненциальный закон
Функция распределения случайной величины:
где $\lambda $ - интенсивность (среднее число событий в единицу времени) появления случайного события. Далее под $t$ будем подразумевать время до возникновения отказа.
Функция плотности распределения времени до отказа:
это вероятность того, что за время $t$ отказ не возникнет.
Интенсивность отказов $\lambda (t)$ изменяется во времени следующим образом:
Таким образом, признаком экспоненциального закона распределения времени до отказа служит постоянство интенсивности отказов, что характерно для внезапных отказов на интервале времени, когда период приработки аппаратуры закончился, а период износа и старения еще не начался. Также постоянной становится $\lambda $ системы, если отказы вызываются отказами большого числа комплектующих элементов, отказ каждого из которых приводит к отказу объекта.
Этими факторами, а также тем, что экспоненциальное распределение случайной величины существенно упрощает расчеты надежности, не вызывая значительных погрешностей, обусловлено широкое применение экспоненциального закона в инженерной практике.
На рисунке 1 приведены значения интенсивностей отказов для некоторых распространенных элементов ИС.
Закон Пуассона. Вероятность того, что на интервале времени $t$ произойдет $n$ случайных событий (отказов) определяется формулой:
где $a=\lambda t$ - среднее число отказов на интервале времени $t$.
Время между двумя соседними событиями (отказами) подчиняется экспоненциальному распределению с параметром $\lambda $, т.е. вероятность того, что на участке времени $\tau $, следующим за одним из отказов, не появится ни одного отказа, равна:
Определить вероятность того, что за время $t=100$ч произойдет 0-2 отказа, если $\lambda =0,025$.
Читайте также: