Производная в электротехнике реферат
Обновлено: 02.07.2024
Ведущая цель - показать значимость производной не только в математике, но и в других науках, её важность в современной жизни.
Дифференциальное исчисление – это описание окружающего нас мира, выполненное на математическом языке. Производная помогает нам успешно решать не только математические задачи, но и задачи практического характера в разных областях науки и техники.
Производная функции используется всюду, где есть неравномерное протекание процесса: это и неравномерное механическое движение, и переменный ток, и химические реакции и радиоактивный распад вещества и т.д.
Ключевой и тематический вопросы данного реферата:
1. История возникновения производной.
2. Зачем изучать производные функций?
3. Где используются производные?
4. Применение производных в физике, химии, биологии и других науках.
В своей работе я расскажу о применении дифференцирования в различных областях науки, таких как химия, физика, биология, география и т. д. Ведь все науки неразрывно связаны между собой, что очень хорошо видно на примере рассматриваемой мною темы.
Применение производной в различных областях науки
Из курса алгебры старших классов мы уже знаем, что производная - это предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует.
Действие нахождения производной называется её дифференцированием, а функцию, имеющую производную в точке х, называют дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая в каждой точке промежутка, называется дифференцируемой в этом промежутке.
Честь открытия основных законов математического анализа принадлежит английскому физику и математику Исааку Ньютону и немецкому математику, физику, философу Лейбницу.
Ньютон ввел понятие производной, изучая законы механики, тем самым раскрыл её механический смысл.
Физический смысл производной: производная функции y = f ( x ) в точке x 0 – это скорость изменения функции f ( x ) в точке x 0 .
Лейбниц пришёл к понятию производной, решая задачу проведения касательной к производной линии, объяснив этим ее геометрический смысл.
Геометрический смысл производной состоит в том, что производная функция в точке x 0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции, проведенной в точке с абсциссой x 0 .
Термин производная и современные обозначения y ' , f ' ввёл Ж.Лагранж в 1797г.
С такими задачами в наше время приходится иметь дело представителям самых разных специальностей:
Инженеры технологи стараются так организовать производство, чтобы выпускалось как можно больше продукции;
Конструкторы пытаются разработать прибор для космического корабля так, чтобы масса прибора была наименьшей;
Экономисты стараются спланировать связи завода с источниками сырья так, чтобы транспортные расходы оказались минимальными.
Чтобы ответить на этот вопрос, можно перечислить некоторые дисциплины и их разделы, в которых применяются производные.
Производная в алгебре:
1. Касательная к графику функции
Касательная к графику функции f, дифференцируемой в точке x о , - это прямая, проходящая через точку (x о ; f (x о )) и имеющая угловой коэффициент f ′(x о ).
2. Поиск промежутков возрастания и убывания функции
Функция y=f(x) возрастает на интервале X , если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Функция y=f(x) убывает на интервале X , если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
3. Поиск точек экстремума функции
Точку называют точкой максимума функции y=f(x) , если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке максимума называют максимумом функции и обозначают .
Точку называют точкой минимума функции y=f(x) , если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке минимума называют минимумом функции и обозначают .
Под окрестностью точки понимают интервал , где - достаточно малое положительное число.
Точки минимума и максимума называют точками экстремума , а значения функции, соответствующие точкам экстремума, называют экстремумами функции .
4. Поиск промежутков выпуклости и вогнутости функции
График функции , дифференцируемой на интервале , является на этом интервале выпуклым , если график этой функции в пределах интервала лежит не выше любой своей касательной (рис. 1).
График функции , дифференцируемой на интервале , является на этом интервале вогнутым , если график этой функции в пределах интервала лежит не ниже любой своей касательной (рис. 2).
Точкой перегиба графика функции называется точка , разделяющая промежутки выпуклости и вогнутости.
5. Поиск точек изгиба функции
Производная в физике:
1. Скорость как производная пути
2. Ускорение как производная скорости a =
3. Скорость распада радиоактивных элементов = - λN
А так же в физике производную применяют для вычисления:
Скорости материальной точки
Мгновенной скорости как физический смысл производной
Мгновенное значение силы переменного тока
Мгновенное значение ЭДС электромагнитной индукции
Максимальную мощность
Производная в химии:
И в химии нашло широкое применение дифференциальное исчисление для построения математических моделей химических реакций и последующего описания их свойств.
Производную в химии используют для определения очень важной вещи – скорости химической реакции, одного из решающих факторов, который нужно учитывать во многих областях научно-производственной деятельности . V (t) = p ‘(t)
в-ва в момент времени t 0
p = p(t 0 )
Интервал времени
∆ t = t– t 0
Приращение аргумента
Изменение количества в-ва
∆ p= p(t 0 + ∆ t ) – p(t 0 )
Приращение функции
Средняя скорость химической реакции
Отношение приращёния функции к приращёнию аргумента
Производная в биологии:
Популяция – это совокупность особей данного вида, занимающих определённый участок территории внутри ареала вида, свободно скрещивающихся между собой и частично или полностью изолированных от других популяций, а также является элементарной единицей эволюции.
Производная в географии:
Производная помогает рассчитать:
1. Некоторые значения в сейсмографии
2. Особенности электромагнитного поля земли
3. Радиоактивность ядерно- геоифзичексих показателей
4.Многие значения в экономической географии
5.Вывести формулу для вычисления численности населения на территории в момент времени t.
Идея социологической модели Томаса Мальтуса состоит в том, что прирост населения пропорционально числу населения в данный момент времени t через N(t) .Модель Мальтуса неплохо действовала для описания численности населения США с 1790 по 1860 годы. Ныне эта модель в большинстве стран не действует
Производная в электротехнике:
В наших домах, на транспорте, на заводах : всюду работает электрический ток. Под электрическим током понимают направленное движение свободных электрически заряженных частиц.
Количественной характеристикой электрического тока является сила тока.
В цепи электрического тока электрический заряд меняется с течением времени по закону q=q (t). Сила тока I есть производная заряда q по времени.
В электротехнике в основном используется работа переменного тока.
Электрический ток, изменяющийся со временем, называют переменным. Цепь переменного тока может содержать различные элементы: нагревательные приборы, катушки, конденсаторы.
Получение переменного электрического тока основано на законе электромагнитной индукции, формулировка которого содержит производную магнитного потока.
Производная в экономике:
Экономика – основа жизни, а в ней важное место занимает дифференциальное исчисление – аппарат для экономического анализа. Базовая задача экономического анализа – изучение связей экономических величин в виде функций.
Производная в экономике решает важные вопросы:
1. В каком направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при введении таможенных пошлин?
2. Увеличится или уменьшится выручка фирмы при увеличение цены на её продукцию?
Для решения этих вопросов нужно построить функции связи входящих переменных, которые затем изучаются методами дифференциального исчисления.
Также с помощью экстремума функции (производной) в экономике можно найти наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск и минимальные издержки.
ВЫВОД: производная успешно применяется при решении различных прикладных задач в науке, технике и жизни
Мы убедились в важности изучения темы "Производная", ее роли в исследовании процессов науки и техники, в возможности конструирования по реальным событиям математические модели, и решать важные задачи.
В заключении я хочу вам прочитать стихотворение:
“ Музыка может возвышать или умиротворять душу,
Живопись – радовать глаз,
Поэзия – пробуждать чувства,
Философия – удовлетворять потребности разума,
Инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей,
А математика способна достичь всех этих целей”.
Так сказал американский математик Морис Клайн.
Список используемой литературы:
1. Богомолов Н.В., Самойленко И.И. Математика. - М.: Юрайт, 2015.
2. Григорьев В.П., Дубинский Ю.А, Элементы высшей математики. - М.: Академия, 2014.
3. Баврин И.И. Основы высшей математики. - М.: Высшая школа, 2013.
4. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. - М.: Высшая школа, 2013.
5. Богомолов Н.В. Сборник задач по математике. - М.: Дрофа, 2013.
Работа может быть использована на обобщающем уроке по темам "Производная", "Интеграл".
| Вложение | Размер |
|---|---|
| ivanov_sergey.pptx | 523.77 КБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Содержание: 4 .Применение производной и интеграла в математике. 5 .Применение производной и интеграла в физике. 6 .Применение производной и интеграла в электротехнике. 1 .История появления производной. 2 .История появления интеграла. 3 .История появления дифференциальных уравнений.
1 .История появления производной. В конце 17 века великий английский учёный Исаак Ньютон доказал что Путь и скорость связаны между собой формулой: V ( t )= S ’( t ) и такая связь существует между количественными характеристиками самых различных процессов исследуемых : физикой, ( a = V ’= x ’’ , F = ma = m * x ’’ , импульс P = mV = mx ’ , кинетическая E = mV 2 /2= mx ’ 2 /2), химией, биологией, и техническими науками. Это открытие Ньютона стало поворотным пунктом в истории естествознания.
1 .История появления производной. Честь открытия основных законов математического анализа наравне с Ньютоном принадлежит немецкому математику Готфриду Вильгельму Лейбницу. К этим законам Лейбниц пришел, решая задачу проведения касательной к произвольной кривой, т.е. сформулировал геометрический смысл производной, что значение производной в точке касания есть угловой коэффициент касательной или tg угла наклона касательной с положительным направлением оси О X . Термин производная и современные обозначения y ’ , f ’ ввёл Ж.Лагранж в 1797г.
2 .История появления интеграла. Понятие интеграла и интегральное исчисление возникли из потребности вычислять площади (квадратуру) любых фигур и объёмы (кубатуру) произвольных тел. Предыстория интегрального исчисления восходит к древности. Первым известным методом для расчёта интегралов является метод для исследования площади или объёма криволинейных фигур - метод исчерпывания Евдокса ( Евдокс Книдский ( ок . 408 г. до н.э. - ок . 355 г. до н.э.) - древнегреческий математик, механик и астроном), который был предложен примерно в 370 до н. э. Суть этого метода заключается в следующем: фигура, площадь или объем которой пытались найти, разбивалась на бесконечное множество частей, для которых площадь или объём уже известны.
3 .История появления дифференциальных уравнений. Из огромного числа работ XVII века по дифференциальным уравнениям выделяются работы Эйлера (1707—1783) и Лагранжа (1736—1813). В этих работах была прежде развита теория малых колебаний, а следовательно — теория линейных систем дифференциальных уравнений; попутно возникли основные понятия линейной алгебры (собственные числа и векторы в n -мерном случае). Вслед за Ньютоном Лаплас и Лагранж, а позже Гаусс (1777—1855) развивают также методы теории возмущений.
4 .Применение производной и интеграла в математике : В математике производную широко используют в решениях многих задач, уравнений, неравенств, а так же в процессе исследования функции. Пример: Алгоритм исследования функции на экстремум: 1)О.О.Ф. 2) y ′=f ′(x), f ′(x)=0 и решаем уравнение. 3)О.О.Ф. разбиваем на интервалы. 4)Определяем знак производной на каждом интервале. Если f ′(x)>0 , то функция возрастает. Если f ′(x)
4 .Применение производной и интеграла в математике : Интеграл (определенный интеграл) используют в математике (геометрии) для нахождения площади криволинейной трапеции. Пример: Алгоритм нахождения площади плоской фигуры с помощью определенного интеграла: 1)Строим график указанных функций. 2)Указать фигуру ограниченную этими линиями. 3)Найти пределы интегрирования, записать определенный интеграл и вычислить его.
5 .Применение производной и Интеграла в физике. В физике производную используют в основном для решения задач, например: нахождение скорости или ускорения каких-либо тел. Пример: 1)Закон движения точки по прямой задается формулой s(t)= 10t^2 , где t —время (в секундах), s(t) —отклонение точки в момент времени t (в метрах) от начального положения. Найди скорость и ускорение в момент времени t, если: t=1,5 с. 2)Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)= 2+20t+5t2. Найдите скорость и ускорение в момент времени t=2с (х – координата точки в метрах, t – время в секундах).
Физическая величина Среднее значение Мгновенное значение Скорость Ускорение Угловая скорость Сила тока Мощность
5 .Применение производной и Интеграла в физике. Интеграл также используется в задачах, например: нахождение скорости или пути. Тело движется со скоростью v(t) = t + 2 (м/с). Найти путь, который пройдет тело за 2 секунды после начала движения. Пример:
6 .Применение производной и Интеграла в электротехнике. Производная также нашла применение в электротехнике. В цепи электрического тока электрический заряд меняется с течением времени по закону q=q (t). Сила тока I есть производная заряда q по времени . I=q ′(t ) Пример: 1)Заряд , протекающий через проводник , меняется по закону q=sin(2t-10) Найти силу тока в момент времени t=5 cек . Интеграл в электротехнике можно использовать для решения обратных задач, т.е. нахождение электрического заряда зная силу тока и т.д. 2)Электрический заряд протекающий через проводник, начиная с момента t = 0, задаётся формулой q(t ) = 3t2 + t + 2.Найдите силу тока в момент времени t = 3с. Интеграл в электротехнике можно использовать для решения обратных задач, т.е. нахождение электрического заряда зная силу тока и т.д.
Производная – одно из фундаментальных понятий математики, это основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке).Еще в древности был решен ряд задач дифференциального исчисления. Архимед, например, разработал способ проведения касательной, применимый для кривых. Само понятие производной возникло в XVII веке в связи с необходимостью решения физических, механических, математических задач, в первую очередь, следующих двух: определение скорости прямолинейного неравномерного движения и построение касательной к произвольной плоской кривой. Первой проблемой занимался великий Исаак Ньютон, второй проблемой – не менее великий Готфрид Лейбниц. Независимо друг от друга И. Ньютон и Г.Лейбниц разработали аппарат нахождения производной, которым мы и пользуемся в настоящее время. Благодаря дифференциальному исчислению, был решен целый ряд задач теоретической механики, физики и астрономии. Используя методы дифференциального исчисления, ученые предсказали возвращение кометы Галлея, что было большим триумфом науки XVIII в. Основные понятия дифференциального исчисления долгое время не были должным образом обоснованы. Однако в начале XIX в. Французский математик О. Коши дал строгое построение дифференциального исчисления на основе понятия предела. В наши дни производная играет одну из самых главных ролей в науке и технике: с помощью дифференциального исчисления находят решение большинства задач в различных областях научного познания.
Задача о мгновенной величине тока. Обозначим через q = q(t) количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника за время t. Пусть Δt – некоторый промежуток времени, Δq = q(t + Δt) – q(t) количество электричества, протекающее через указанное сечение за промежуток времени от момента t до момента t + Δt. Тогда отношение называют средней силой тока. Мгновенной силой тока в момент времени t называется предел отношения приращения количества электричества Δq ко времени Δt, при условии, что Δt → 0.
При изучении механического смысла производной пользуемся механическим истолкованием производной: скорость движения материальной точки в данный момент времени равна производной пути по времени, т.е.
Ускорение движущегося тела представляет собой скорость изменения его скорости, т.е. Точка движется по окружности радиуса 4 м по закону S = 4,5t 3 , где S – путь в метрах, t – время в секундах. Найдем модуль ускорения точки в момент времени Т, когда ν=|ν|=6 м/с.
В первой главе моего реферата речь пойдёт о понятии производной, правилах её применения, о геометрическом и физическом смысле производной. Во второй главе моего реферата речь пойдёт о применении производной в науке и технике и о решении задач в этой области.
1. Теоретическая часть
1.1 Задачи, приводящие к понятию производной
При изучении тех или иных процессов и явлений часто возникает задача определения скорости этих процессов. Её решение приводит к понятию производной, являющемуся основным понятием дифференциального исчисления.
Метод дифференциального исчисления был создан в XVII и XVIII вв. С возникновением этого метода связаны имена двух великих математиков – И. Ньютона и Г.В. Лейбница.
Ньютон пришёл к открытию дифференциального исчисления при решении задач о скорости движения материальной точки в данный момент времени (мгновенной скорости).
Как известно, равномерным движением называют такое движение, при котором тело в равные промежутки времени проходит равные по длине отрезки пути. Путь, пройденный телом в единицу времени, называют скоростью равномерного движения.
Однако чаще всего на практике мы имеем дело с неравномерным движением. Автомобиль, едущий по дороге, замедляет движение у переходов и ускоряет его на тех участках, где путь свободен; самолёт снижает скорость при приземлении и т.д. Поэтому чаще всего нам приходится иметь дело с тем, что за равные отрезки времени тело проходит различные по длине отрезки пути. Такое движение называют неравномерным. Его скорость нельзя охарактеризовать одним числом.
Часто для характеристики неравномерного движения пользуются понятием средней скорости движения за время ∆t٫ которое определяется соотношением где ∆s – путь, пройденный телом за время ∆t.
Так, при свободном падении тела средняя скорость его движения за первые две секунды есть
Практически такая характеристика движения, как средняя скорость, говорит о движении очень мало. Действительно, при 4,9 м/с, а за 2-ю – 14,7 м/с, в то время как средняя скорость за первые две секунды составляет 9,8 м/с. Средняя скорость в течение первых двух секунд не даёт никакого представления о том, как происходило движение: когда тело двигалось быстрее, а когда медленнее. Если же задать средние скорости движения для каждой секунды в отдельности, то мы будем знать, например, что во 2-ю секунду тело двигалось значительно быстрее, чем в 1-ю. Однако в большинстве случаев значительно быстрее, чем нас мало устраивает. Ведь нетрудно понять, что в течение этой 2-й секунды тело также движется по-разному: в начале медленнее, в конце быстрее. А как оно движется где-то в середине этой 2-й секунды? Иными словами, как определить мгновенную скорость?
Пусть движение тела описывается законом Рассмотрим путь, пройденный телом за время от t0 до t0 + ∆t, т.е. за время, равное ∆t. В момент t0 телом пройден путь , в момент – путь . Поэтому за время ∆t тело прошло путь и средняя скорость движения тела за этот промежуток времени составит.
Чем меньше промежуток времени ∆t, тем точнее можно установить, с какой скоростью движется тело в момент t0 , так как движущееся тело не может значительно изменить скорость за малый промежуток времени. Поэтому средняя скорость при стремлении ∆t к нулю приближается к действительной скорости движения и в пределе даёт скорость движения в данный момент времени t0 (мгновенную скорость).
Таким образом,
Определение 1. Мгновенная скорость прямолинейного движения тела в данный момент времени t0 называется предел средней скорости за время от t0 до t0 + ∆t, когда промежуток времени ∆t стремится к нулю.
Итак, чтобы найти скорость прямолинейного неравномерного движения в данный момент, нужно найти предел отношения приращения пути ∆ к приращению времени ∆t при условии т.е. Лейбниц пришёл к открытию дифференциального исчисления при решении задачи о построении касательной к любой кривой, заданной своим уравнением.
Решение этой задачи имеет большое значение. Ведь скорость движущейся точки направлена по касательной к её траектории, поэтому определение скорости снаряда на его траектории, скорости любой планеты на её орбите сводится, к определению направления касательной к кривой.
Определение касательной как прямой, имеющей с кривой только одну общую точку, справедливое для окружности, непригодно для многих других кривых.
Ниже представленное определение касательной к кривой, не только соответствует интуитивному представлению о ней, но и позволяет фактически находить её направление, т.е. вычислять угловой коэффициент касательной.
Определение 2. Касательной к кривой в точке М называется прямая МТ, которая является предельным положением секущей ММ1 , когда точка М1 , перемещаясь по кривой, неограниченно приближается к точке М.
1.2 Определение производной
Заметим, что при определении касательной к кривой и мгновенной скорости неравномерного движения, по существу, выполняются одни и те же математические операции:
1. Заданному значению аргумента дают приращение и вычисляют новое значение функции, соответствующее новому значению аргумента.
2. Определяют приращение функции, соответствующее выбранному приращению аргумента.
3. Приращение функции делят на приращение аргумента.
4. Вычисляют предел этого отношения при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.
К предельным переходам такого типа приводят решения многих задач. Возникают необходимость сделать обобщение и дать название этому предельному переходу.
Скорость изменения функции в зависимости от изменения аргумента можно, очевидно, охарактеризовать отношением . Это отношение называется средней скоростью изменения функции на отрезке от до . Сейчас нужно рассмотреть предел дроби Предел этого отношения при стремлении приращения аргумента к нулю (если этот предел существует) представляет собой некоторую новую функцию от . Эту функцию обозначают символами y’, называют производной данной функции так как она получена (произведена) из функции Сама же функция называется первообразной функцией по отношению к своей производной
Определение 3. Производной функции в данной точке называют предел отношения приращения функции ∆y к соответствующему приращению аргумента ∆x при условии, что ∆x→0, т.е.
1.3 Общее правило нахождения производной
Операцию отыскания производной некоторой функции называют дифференцированием функции, а раздел математики, изучающий свойства этой операции, – дифференциальным исчислением.
Если функция имеет производную в точке x=a, то говорят, что она дифференцируема в этой точке. Если функция имеет производную в каждой точке данного промежутка, то говорят, что она дифференцируема на этом промежутке .
Определение производной не только с исчерпывающей полнотой характеризует понятие скорости изменения функции при изменении аргумента, но и даёт способ фактического вычисления производной данной функции. Для этого необходимо выполнить следующие четыре действия (четыре шага), указанные в самом определении производной:
1. Находят новое значение функции, представив в данную функцию вместо x новое значение аргумента : .
2. Определяют приращение функции, вычитывая данное значение функции из её нового значения: .
3. Составляют отношение приращения функции к приращению аргумента: .
4. Переходят к пределу при и находят производную: .
1.4 Геометрический смысл производной
Геометрическая интерпретация производной, впервые данная в конце XVII в. Лейбницем, состоит в следующем: значение производной функции в точке x равно угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции в той же точке x, т.е.
Уравнение касательной, как всякой прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, имеет вид – текущие координаты. Но и уравнение касательной запишется так: . Уравнение нормали запишется в виде .
1.5 Механический смысл производной
Механическое истолкование производной было впервые дано И. Ньютоном. Оно заключается в следующем: скорость движения материальной точки в данный момент времени равна производной пути по времени, т.е. Таким образом, если закон движения материальной точки задан уравнением , то для нахождения мгновенной скорости точки в какой-нибудь определённый момент времени нужно найти производную и подставить в неё соответствующее значение t.
1.6 Производная второго порядка и её механический смысл
Таким образом, ускорение прямолинейного движения тела в данный момент равно второй производной пути по времени, вычисленной для данного момента. В этом и заключается механический смысл второй производной.
1.7 Определение и геометрический смысл дифференциала
Определение 4. Главная часть приращения функции, линейная относительно приращения функции, линейная относительно приращения независимой переменой, называется дифференциалом функции и обозначается знаком d, т.е. .
Дифференциал функции геометрически изображается приращением ординаты касательной, проведённой в точке M ( x ; y ) при данных значениях x и ∆x.
Вычисление дифференциала – .
Применение дифференциала в приближённых вычислениях – , приближённое значение приращения функции совпадает с её дифференциалом.
Теорема 1. Если дифференцируемая функция возрастает (убывает) в данном интервале, то производная этой функции не отрицательна (не положительна) в этом интервале.
Теорема 2. Если производная функция положительна (отрицательна) в не котором интервале, то функция в этом интервале монотонно возрастает (монотонно убывает).
Сформулируем теперь правило нахождения интервалов монотонности функции
1. Вычисляют производную данной функции.
2. Находят точки, в которых равна нулю или не существует. Эти точки называются критическими для функции
3. Найденными точками область определения функции разбивается на интервалы, на каждом из которых производная сохраняет свой знак. Эти интервалы являются интервалами монотонности.
4. Исследуют знак на каждом из найденных интервалов. Если на рассматриваемом интервале , то на этом интервале возрастает; если же , то на таком интервале убывает.
В зависимости от условий задачи правило нахождения интервалов монотонности может упрощаться.
Определение 5. Точка называется точкой максимума (минимума) функции , если имеет место неравенство соответственно для любого x из не которой окрестности точки .
Если – точка максимума (минимума) функции , то говорят, что (минимум) в точке . Максимум и минимум функции объединяют название экстремум функции, а точки максимума и минимума называют точками экстремума (экстремальными точками).
Теорема 3. (необходимый признак экстремума). Если является точкой экстремума функции и производная в этой точке существует, то она равна нулю: .
Теорема 4. (достаточный признак экстремума). Если производная при переходе x через a меняет знак, то a является точкой экстремума функции .
Основные моменты исследования производной:
1. Находят производную .
2. Находят все критические точки из области определения функции.
3. Устанавливают знаки производной функции при переходе через критические точки и выписывают точки экстремума.
4. Вычисляют значения функции в каждой экстремальной точке.
2. Исследование функций с помощью производной
Задача №1 . Объём бревна. Круглым деловым лесом называют брёвна правильной формы без дефектов древесины с относительно небольшой разницей диаметров толстого и тонкого концов. При определении объёмов круглого делового леса обычно применяют упрощённую формулу , где – длина бревна, – площадь его среднего сечения. Выясните, завершается или занижается при этом реальный объём; оцените относительную погрешность.
Решение . Форма круглого делового леса близка к усечённому конусу. Пусть – радиус большего, меньшего конца бревна. Тогда его почти точный объём (объём усеченного конуса) можно, как известно, найти по формуле . Пусть – значение объёма, вычисленное по упрощённой формуле. Тогда ;
, т.е. . Значит, упрощённая формула даёт занижение величины объёма. Положим теперь . Тогда . Отсюда видно, что относительная погрешность не зависит от длины бревна, а определяется отношением . Поскольку при возрастает на промежутке [1; 2]. Поэтому , а значит, относительная погрешность не превосходит 3,7%. В практике лесоведения такая погрешность считается вполне допустимой. С большей точностью практически невозможно измерить ни диаметры торцов (ведь они несколько отличаются от кругов), ни длину бревна, поскольку измеряют не высоту, а образующую конуса (длина бревна в десятки раз больше диаметра, и это не приводит к большим погрешностям). Таким образом, на первый взгляд неправильная, но более простая формула для объёма усечённого конуса в реальной ситуации оказывается вполне правомерной. Многократно проводившиеся с помощью специальных методов проверки показали, что при массовом учёте делового леса относительная погрешность при использовании рассматриваемой формулы не превосходит 4%.
Задача №2 . При определении объёмов ям, траншей вёдер и других ёмкостей, имеющих форму усечённого конуса, в с/х практике иногда пользуются упрощённой формулой , где – высота, – площади оснований конуса. Выясните, завышается или занижается при этом реальный объём, оцените относительную погрешность при естественном для практики условии: ( – радиусы оснований, .
Решение . Обозначив через истинное значение объёма усечённого конуса, а через значение, вычисленное по упрощённой формуле, получим: , т.е. . Значит, упрощённая формула даёт завышение величины объёма. Повторив далее решение предыдущей задачи, найдём, что относительная погрешность будет не больше 6,7%. Вероятно, такая точность допустима при нормировании землеройных работ – ведь ямы не будут идеальными конусами, да и соответствующие параметры в реальных условиях замеряют весьма грубо.
Задача №3 . В специальной литературе для определения угла β поворота шпинделя фрезерного станка при фрезеровании муфт с зубьями выводится формула , где . Так как эта формула сложна, то рекомендуется отбросить её знаменатель и пользоваться упрощённой формулой . При каких ( – целое число, ) можно пользоваться этой формулой, если при определении угла допускается погрешность в ?
Решение. Точную формулу после несложных тождественных преобразований можно привести к виду . Поэтому при использовании приближённой формулы допускается абсолютная погрешность , где . Исследуем функцию на отрезке [8; 50]. При этом 0,06, т.е. угол принадлежит первой четверти. Имеем: . Заметим, что на рассматриваемом промежутке, а значит, функция на этом промежутке убывает. Поскольку далее , то при всех рассматриваемых . Значит, . Так как радиан, то достаточно решить неравенство . Решая это неравенство подбором, находим, что , . В силу того, что функция убывает, следует, что .
Применение производной довольно широко, и его можно полностью охватить в работе такого типа, однако я попытался раскрыть основные базовые моменты. В наше время, в связь с научно-техническим прогрессом, в частности с быстрой эволюцией вычислительных систем, дифференциальное исчисление становиться всё более актуальными в решении как простых, так и сверхсложных задач.
Читайте также: