Производная по направлению градиент и его свойства реферат

Обновлено: 05.07.2024

Рассматривая функцию одной переменной, мы выяснили, что на оси Oy отображается приращение функции f(x) , соответствующее приращению аргумента x . Если мы имеем дело с функцией трёх переменных, то приращения аргументов x , y , z отображаются на осях Оx , Оy , Оz . Сам собой напрашивается вопрос: а где можно отобразить приращение уже не аргументов, а функции трёх переменных?

И вот ответ на этот вопрос: приращение функции трёх переменных отображается на некоторой прямой, направление которой определяется вектором, произвольно заданным в задаче.

Если рассматривается функция двух или трёх переменных, то два или три измерения задают аргументы, а упомянутая прямая, на которой отображается приращение функции, - это ещё одно измерение и для его акцентирования назовём это измерение не третьим или четвёртым, а нулевым, следуя программистской традиции (в программировании отсчёт чаще начинается не с единицы, а с нуля).

Для того, чтобы перейти к строгому математическому определению производной по направлению, нужно рассмотреть:

1) функцию u = f(M) , определённую в окрестности точки M с координатами x , y , z ;

Через точку M проводим прямую, одно из двух возможных направлений которых совпадает с направлением вектора l . На получившейся прямой отметим точку M 1 , координаты которой образуют суммы координат точки M и приращений соответствующих аргументов функции трёх переменных:

Величину отрезка MM 1 можно обозначить .

Функция u = f(M) при этом получит приращение

Определение производной по направлению. Предел отношения при , если он существует, называется производной функции u = f(M) по направлению вектора l и обозначается , то есть

Формула, которой нужно пользоваться для нахождения производной по направлению, следующая:

Смысл этой формулы: производная по направлению является линейной комбинацией частных производных, причём направляющие косинусы показывают вклад в производную по направлению соответствующей частной производной.

Примеры нахождения производной по направлению

Пример 1. Найти производную функции в точке M 0 (1; 2; 3) по направлению вектора .

Найдём направляющие косинусы, пользуясь определением скалярного произведения векторов:

Теперь можем найти производную по направлению данной функции по её формуле:

А сейчас - домашнее задание. В нём дана функция не трёх, а лишь двух переменных, но несколько иначе задан направляющий вектор. Так что придётся вновь повторить векторную алгебру.

Пример 2. Найти производную функции в точке M 0 (1; 2) по направлению вектора , где M 1 - точка с координатами (3; 0) .

Вектор, задающий направление производной, может быть дан и в такой форме, как в следующем примере - в виде разложения по ортам координатных осей, но эта хорошо знакомая тема из самого начала векторной алгебры.

Пример 3. Найти производную функции в точке M 0 (1; 1; 1) по направлению вектора .

Решение. Найдём направляющие косинусы вектора

Найдём частные производные функции в точке M 0 :

Следовательно, можем найти производную по направлению данной функции по её формуле:

Градиент функции

Градиент функции нескольких переменных в точке M 0 характеризует направление максимального роста этой функции в точке M 0 и величину этого максимального роста.

Как найти градиент?

Нужно определить вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных , , этой функции в соответствующей точке:

То есть, должно получиться представление вектора по ортам координатных осей, в котором на каждый орт умножается соответствующая его оси частная производная.

Для градиента функции двух переменных формула короче:

Пример 4. Найти градиент функции в точке M 0 (2; 4;) .

Поместим начало вектора в точку М0 (х0, у0, z0). На векторе возьмем точку М (х0+∆х, у0+∆у, z0+∆z) на расстоянии ∆S = от точки М0, при этом функция u = f(x, y, z) получит приращение
∆u = f(х0+∆х, у0+∆у, z0+∆z) - f(x0, y0, z0).

Содержание работы

1. Производная по направлению 3
2. Градиент 4
3. Список литературы 5

Файлы: 1 файл

Реферат Производная по направлению.doc

Федеральное агентство по образованию

Томский Государственный архитектурно- строительный университет

Производная по направлению

Выполнила: Лавренюк Т.И.
Гр. 017-13
Проверил: Радченко А.В.

Производная по направлению 3
Градиент 4
Список литературы 5

Производная по направлению

Поместим начало вектора в точку М₀ (х₀, у₀, z₀). На векторе возьмем точку М (х₀+∆х, у₀+∆у, z₀+∆z) на расстоянии ∆S = от точки М₀, при этом функция u = f(x, y, z) получит приращение
∆u = f(х₀+∆х, у₀+∆у, z₀+∆z) - f(x₀, y₀, z₀).

Если существует конечный предел отношения , то этот предел называется производной функции u = f(x, y, z) по направлению S и обозначается символом:

Если функция дифференцируема в некоторой окрестности точки
М₀ (х₀, у₀, z₀), то

где cos α, cos β, cos γ направляющие косинусы вектора S.

Пример решения задачи

Задача: Показать, что в точке А (4,-12) производная функции по любому направлению равна нулю.

Найдем значения частных производных в точке А:

Посмотрим значение производной в направлении произвольного вектора S:

Вектор, координаты которого в декартовой системе координат равны значениям частных производных функции в точке М₀, называется градиентом этой функции в заданной точке, и обозначается:

Градиент функции в точке М₀ дает скорость (величину и направление) наибыстрейшего изменения функции в точке М₀ (х₀, у₀, z₀).

Некоторые свойства градиента:

Производная в данной точке по направлению вектора S имеет наибольшее значение, если направление вектора S совпадает с направлением градиента; это наибольшее значение равно

Наибольшее значение будет при , и в этом случае
=
Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору grad u, равна нулю.
В этом случае
, cos =0 и

Пусть дано скалярное поле и определено в этом скалярном поле поле градиентов

Производная по направлению некоторого вектора S равняется проекции вектора grad u на вектор S.

Пример решения задачи

Задача: Найти величину и направление градиента функции в точке М (2,2)

Найдем значения частных производных в точке М:

Найдем значение градиента функции в точке М:

Определим направление градиента функции, т.е. найдем его направляющие косинусы:

Если в пространстве R(2) в некоторой области D задана функция двух переменных u = u(x;y), то совокупность точек области D, в которых u(x;y)=с, (с ) образуют линии, называемые линиями уровня.
Если в пространстве R(3) в некоторой области D задана функция трех переменных u = u(x;y;z), то совокупность точек области D, в которых u(x;y;z)=с, (с ) образуют поверхности, называемые поверхностями уровня.

Содержание

Линии и поверхности уровня.
Градиент функции.
Производная по направлению.

Прикрепленные файлы: 1 файл

Производная по направлению и градиент.doc

Градиент и производная по направлению.

Линии и поверхности уровня.
Градиент функции.
Производная по направлению.

Если в пространстве R (3) в некоторой области D задана функция трех переменных u = u(x;y;z), то совокупность точек области D, в которых u(x;y;z)=с, (с ) образуют поверхности, называемые поверхностями уровня.

Пример 1. Построить линии или поверхности уровня для функций

u(x;y) = x + y; 2) u(x;y) = -x 2 + y; 3) u(x;y;z) = x 2 + y 2 – z.

1) Уравнения линий уровня х + у = с, то есть это семейство прямых, параллельных друг другу, заполняющих всю координатную плоскость хоу, нигде не пересекающихся.

2) Уравнения линий уровня у – х 2 = с, то есть это

семейство парабол у = х 2 + с, смещенных по оси

оу на const = c, заполняющих всю координатную

плоскость хоy и нигде не пересекающихся.

3) Уравнения поверхностей уровня

x 2 + y 2 – z = с или x 2 + y 2 = z + с, то есть

семейство параболоидов, смещенных

на const = c (с ) по оси oz, заполняющих

все пространство R (3) и нигде

не пересекающихся. На рисунке

изображены две поверхности

Градиентом дифференцируемой функции u = u(x;y) (u = u(x;y;z)) называется вектор, перпендикулярный к линии (поверхности) уровня функций u = u (x;y) (u = u (x;y;z)):

grad u(х;у) = в R (2) ; grad u(х;у;z) = в R (3) .

Пример 2. Найти градиент функции u(x;y) = x 2 + y к линии уровня при с = 1 в точках А(0;1) и В(1;0).

Уравнения линий уровня х 2 + у = с.

Выделим из семейства линий уровня линию

при с = 1: х 2 + у =1. Это парабола

у =1 – х 2 с вершиной в точке (0;1) и ветвями,

Найдем градиент в произвольной точке:

в точке А(0;1): grad u(х;у) = ; в точке В(1;0): grad u(х;у) = и они перпендикулярны к линии уровня в данных точках.

Производная по направлению вектора .

Пусть в области D задана скалярная функция u = u(x;y;z) и выделена поверхность уровня u(x;y;z)=с, на которой взята точка М(х;y;z).

Из точки М проведем вектор =, на котором выделим .

Спроектируем на плоскость xoy: пр_xoyΔl=М'М'₁. Нормируем вектор ( ):

Запишем полное приращение

для u(x;y;z) , где ε(x,y,z,Δx,Δy,Δz) – бесконечно малая более высокого порядка.

Разделим приращение Δu на .

Переходя к пределу при → 0, будем иметь значение производной по направлению вектора в R (3) : .

Производная по направлению – скорость роста функции u(x;y;z) по направлению вектора .

Связь производной по направлению и градиента.

Терема. Если в области D пространства R (3) задана непрерывная дифференцируемая функция u = u(x;y;z), определены в любой точке D

градиенты grad u(х;у;z) = , то производная по направлению вектора равна проекции градиента на его направление, то есть .

Действительно, так как , gradu = , то .

С другой стороны , где угол между градиентом gradu и вектором обозначен φ.

Следовательно, мы доказали, что .

Свойства производной по направлению.

Производная по направлению имеет наибольшее значение по направлению градиента, что следует из коллинеарности , то есть cos 0 = 1 и .
Производная по направлению равна нулю по направлению, перпендикулярному градиенту, что следует из ортогональности gradu, то есть cos (π/2) = 0 и .

Замечания. 1) Другие обозначения градиента функции:

gradu = gru = , где вектор называется оператор Гамильтона или оператор набла.

Тогда = = – разные формы записи градиента.

Если функция u = u(x,y) R (2) , то градиент функции – это вектор = = ,

а производная по направлению – число, равное .

Пример 3. Найти производную функции u = x 2 + y 2 + z 2 по

направлению вектора = в точке М(1;1;1).

Производную функции u = x 2 + y 2 + z 2 по направлению вектора

найдем по определению .

Вычислим градиент gradu = = в произвольной точке, а затем в точке М(1;1;1): gradu(М) = .

Для этого найдем его длину и координаты единичного вектора , где cosα = 2/3; cosβ= 1/3; cosγ = – 2/3/

Направление, задаваемое единичным вектором. Предел отношения приращения функции в направлении к величине перемещения. Скалярное произведение в координатах. Градиент функции в точке. Направление максимальной скорости изменения функции в данной точке.

Рубрика	Математика
Вид	презентация
Язык	русский
Дата добавления	17.09.2013
Размер файла	91,0 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

HTML-версии работы пока нет.
Cкачать архив работы можно перейдя по ссылке, которая находятся ниже.

Подобные документы

Определение пределов функции с помощью Mathcad. Доказать, что предел данной функции в указанной точке не существует. Построение ее графика в окрестности указанной точки. Вычисление производных функции по определению в произвольной или фиксированной точке.

лабораторная работа [718,5 K], добавлен 25.12.2011

Производная — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Геометрический и механический смысл приращения функции. Правило дифференцирования, критические точки, экстремум; интегрирование.

презентация [575,4 K], добавлен 11.09.2011

Понятие предела функции и основные требования, предъявляемые к нему, геометрический смысл. Методика определения данной геометрической категории в заданной точке при различных условиях. Вычисление ординат графиков. Возрастание по абсолютной величине.

презентация [902,2 K], добавлен 21.09.2013

Определение производной функции, геометрический смысл ее приращения. Геометрический смысл заданного отношения. Физический смысл производной функции в данной точке. Число, к которому стремится заданное отношение. Анализ примеров вычисления производной.

презентация [696,5 K], добавлен 18.12.2014

Функция многих переменных. Предел и непрерывность функции многих переменных. Частные производные. Дифференцируемость функции. Производная в направлении. Градиент. Локальные экстремумы. Интегральное исчисление функций. Неопределённный интеграл.

курс лекций [309,0 K], добавлен 08.04.2008

Определение предела функции в точке. Понятие односторонних пределов. Геометрический смысл предела функции при х, стремящемся в бесконечности. Основные теоремы о пределах. Вычисление пределов и раскрытие неопределенностей. Первый замечательный предел.

презентация [292,4 K], добавлен 14.11.2014

Применение второго замечательного предела для раскрытия неопределенности. Точки разрыва непрерывной функции 1-го и 2-го рода. Условия ее непрерывности в точке, интервале и на отрезке. Теоремы Вейерштрасса и Больцано-Коши. Обращение функции в ноль.

Уже в начале первой статьи о дифференцировании функции двух переменных я коротко рассказал о смысле частных производных 1-го порядка и подвёл вас к теме сегодняшнего урока. Итак, что же такое производная по направлению? На самом деле с данным понятием вы знакомы ещё с 1-го семестра, поскольку производную функции одной переменной смело можно назвать производной по направлению – ведь она характеризует скорость изменения функции в направлении оси .

а КАКИМ СПОСОБОМ вообще можно задать какое-то конкретное направление?

как узнать скорость изменения функции в каком-либо направлении?

Если в точке существует производная по направлению луча (исходящего из точки и лежащего в плоскости ), то её можно рассчитать по следующей формуле:

– частные производные 1-го порядка в точке ;
– направляющие косинусы (координаты вектора единичной длины), однозначно определяющие данное направление.

На практике популярна более компактная запись: .

– это ЧИСЛО, характеризующее скорость изменения функции, причём:

– если , то функция в точке по данному направлению постоянна (поверхность параллельна плоскости ).

После небольшого экскурса в теорию вернёмся к самой формуле , из которой выведем скорость изменения функции в двух хорошо знакомых направлениях.

Рассмотрим исходящий из точки луч , параллельный оси (либо совпавший с ней) и направленный в сторону её острия. Очевидно, что данный луч однозначно определяется единичным вектором . Таким образом, (напоминаю, что координаты вектора единичной длины – это и есть соответствующие направляющие косинусы) и общая формула чудесным образом упрощается:

Самостоятельно проведите рассуждения для луча и сделайте вывод о том, что .

Найти производную функции в точке по направлению вектора

А теперь давайте немного разомнёмся и немного походим по комнате. Предположим, что под нами плоскость . Да-да, всё верно – сейчас мы перемещаемся ПО САМОЙ поверхности. На уроке Предел функции двух переменных нам помогал один волшебный персонаж, но сегодня настал черёд самостоятельно исследовать поверхности – чтобы как следует прочувствовать тему =)

Что с высотой? Очевидно, что в каком бы направлении мы ни пошли – высота будет оставаться неизменной. Таким образом, сразу понятно, что в любой точке и по любому направлению скорость изменения функции равна нулю.

Однако, несмотря на известный ответ и всю простоту задачи, со всей ответственностью отнесёмся к её решению:

Вычислим скорость изменения функции по направлению исходящего из точки луча , который определяется вектором . Используем рабочую формулу:

В результате получены две константы, а именно, два нуля. Что это значит? Это значит, что частные производные равны нулю В ЛЮБОЙ точке области определения функции (вся плоскость ), в частности и в точке :

Примечание: формально частные производные можно расписать в виде и выполнить подстановку координат точки :

Полученные результаты подтверждают тот факт, что откуда бы и по какому бы направлению мы ни передвигались – наша высота будет сохраняться постоянной:

В принципе, здесь следует записать ответ, но ради отработки общего алгоритма решения найдём направляющие косинусы предложенного направления. По существу, требуется найти вектор единичной длины, который сонаправлен с вектором . Задача нахождения такого вектора подробно рассмотрена в самом конце статьи Скалярное произведение векторов. Воспользуемся готовой формулой:

К слову, не лишним будет убедиться, что его длина действительно равна единице:

Эквивалентный способ проверки основан на известном равенстве :

Собственно, финальный расчёт:

Ответ:

Можно использовать обозначение либо , подчёркивая, что производная по направлению найдена именно в точке . Однако упущение невелико, поскольку это и так ясно из контекста решения.

Но, так или иначе – добро пожаловать на природу:

Найти производную функции в точке по направлению:

1) координатных осей (параллельно им);
2) вектора ;
3) вектора ;
4) градиента.

…кой-какие обозначения я не проставил из эстетических соображений, ну да ладно, не извращаться же со слоями в Фотошопе…

Как и в предыдущем примере, производные-константы подразумевают тот факт, что в ЛЮБОЙ точке плоскости XOY, а значит и в точке (которую я выбрал исключительно для удобства построения чертежа), эти значения сохраняются постоянными:

Таким образом:
– и данный результат как раз убедительно подтверждает то, что скорость изменения функции зависит только от направления.

Аналогичная история с положительным направлением оси :

2) Вычислим производную по направлению луча . Для этого отработанным приёмом найдём единичный вектор , сонаправленный с вектором :
– координаты которого и являются направляющими косинусами данного направления:

Да, не забываем о проверке:
, ч.т.п.

По правилам хорошего тона запишем вычисления подробно:

3) Найдём производную по направлению вектора :

Проверим результат с помощью равенства :

4) Градиент

Понятие градиента можно сформулировать по-разному. Начнём с локального определения, а именно, с градиента функции в отдельно взятой точке:

Градиентом функции в точке называется направленный отрезок , отложенный от точки , который показывает направление и скорость наискорейшего роста функции в данной точке.

Распространённые обозначения: либо , причём здесь уже нельзя записывать просто (точнее, эта запись приобретает несколько другой смысл).

Взаимосвязь производной по направлению с градиентом:

Производная по некоторому направлению в точке – это проекция градиента в данной точке на данное направление:
, откуда, согласно известным геометрическим выкладкам (см. ссылку выше), получается весьма полезная практическая формула:

– длина градиента;
– угол между градиентом и данным направлением.

В свою очередь из этой формулы следует, что производная по направлению достигает максимального значения при , то есть когда – направление совпадает с направлением градиента.

Заметьте, что полученный результат – это отличное средство дополнительного контроля решения: если по другому направлению получился бОльший угол, то нужно искать ошибку.

Как всегда, в лучших своих традициях я аккуратно встроил теоретический материал в развёрнутое практическое задание, и после увлекательной прогулки настало время подвести итог:

Ответ:

Если что-то осталось недопонятым, то, вероятнее всего, у вас пробелы в теории производной функции одной переменной и/или основах аналитической геометрии. Особенно много сегодня требуется геометрических знаний. Спокойствие и только спокойствие – всё можно наверстать буквально в ближайший час, после чего вернуться на эту страницу и перечитать начало статьи ещё раз.

Ну а мы продолжаем рассматривать тематические задачи, и оставшиеся примеры будут значительно короче. Но расслабляться ни в коем случае не следует, поскольку впереди ещё немало нового и интересного материала:

Дана функция , точка и вектор . Требуется найти:
а) производную функции в точке по направлению вектора ;
б) градиент функции в данной точке.

Классика жанра – найти производную по какому-нибудь направлению и градиент.

Закрепляем алгоритм решения:

а) Обозначим через исходящий из точки по направлению вектора луч и воспользуемся стандартной формулой:

На очереди нахождение единичного вектора, сонаправленного с вектором :

Контроль: , в чём и требовалось убедиться.

Кстати, в условии запросто может спрашиваться НЕ о производной по направлению, а о крутизне поверхности – и в этом случае расчёт угла станет обязательным завершающим шагом решения.

2) Второй пункт совсем прост:

Завершая этот содержательный разбор полётов, расскажу о более широком понятии градиента. В более широком смысле под градиентом понимают векторную функцию , которая каждой точке области определения функции (где существует градиент) ставит в соответствие вектор, показывающий направление максимального роста функции в данной точке.

Отсюда становится окончательно понятно, почему градиент в точке – это несвободный вектор, отложенный именно от конкретной точки.

Молодцы, что осилили =) . теперь и теория поля будет нипочём!

Ответ:

Пара типовиков для самостоятельного решения:

Найти производную функции в точке по направлению вектора и максимальную крутизну поверхности в данной точке.

Слишком просто? В простых задачах и ошибаются! …ну что же, сами виноваты – задачка позанятнее:)))

Найти производную функции в точке в направлении, составляющем угол с градиентом функции в этой точке.

Если возникли затруднения, пожалуйста, вернитесь к вышеизложенному материалу. Примерный образец чистового оформления решений в конце урока.

На практике довольно часто встречаются задания, в которых направление задаётся другими способами:

Найти производную функции в точке :
а) в направлении, составляющем угол с положительным направлением оси ;
б) в направлении биссектрисы 2-го координатного угла.

То есть, направления заданы через углы. Учимся с ними разбираться:

Решение: частные производные в точке понадобятся в обоих пунктах и поэтому в первую очередь их и найдём:

Ну а что тут такого? Числа как числа.

а) Обозначим через луч, исходящий из точки и образующий угол с положительным направлением оси . Очевидно, что данный луч лежит в 1-й координатной четверти (правой верхней) и образует угол в с осью . Картина очень простая, но если таки мутноватая, выполните чертёж.

Формула производной по направлению, естественно, та же:

И главный вопрос – как найти направляющие косинусы? Я предлагаю следующую цепочку рассуждений, которая мне показалась наиболее простой:

Пусть направляющий вектор луча отложен от начала координат. Совершенно понятно, что этот вектор тоже наклонен к оси под углом 30 градусов.

Вычислим направляющие косинусы:

Впрочем, чего тут вычислять – эти значения вкладывались в наши головы долгие школьные годы. Но на всякий случай ссылка на тригонометрическую таблицу.

Контроль:
Дотошные естествоиспытатели могут изобразить на чертеже вектор и воочию убедиться, что он направлен туда, куда надо.

Искомая производная по направлению:

…это ещё божий одуванчик, бывает гораздо хуже.

б) Вычислим производную в направлении биссектрисы 2-го координатного угла. Напоминаю, что координатные четверти нумеруются против часовой стрелки, и очевидно, речь идёт о биссектрисе, которая делит пополам левую верхнюю четверть.

Мало-мальски подготовленные люди легко подберут направляющий вектор этого направления, напрашивается вектор , и сразу найдут направляющие косинусы:

Обозначим буквой луч, который исходит из точки в направлении биссектрисы 2-го координатного угла. Вычислим производную по данному направлению:

Ответ:

На практике так подробно, конечно, расписывать не нужно и решение следующей задачи поможет вам понять ориентировочный минимум комментариев:

Найти производную функции в точке :
а) в направлении, составляющем угол с положительным направлением оси ;
б) в направлении биссектрисы 4-го координатного угла.

И в заключение этого параграфа хочу отметить, что помимо геометрии, рассматриваемый математический инструментарий широко применяется в различных физических задачах – примеров настолько много, что от физики могут взвыть даже некоторые физики =)
В этой связи я сохраню мудрое молчание, …впрочем, ненадолго =)

Производная по направлению и градиент функции трёх переменных

Грубо говоря, добавляется одно измерение и одно слагаемое. Рассмотрим функцию трёх переменных и точку , принадлежащую её области определения.

Если в точке существует производная по направлению пространственного луча (исходящего из точки ), то её можно рассчитать по следующей формуле:

– частные производные функции трёх переменных в точке ;
– направляющие косинусы данного направления (они же соответствующие координаты направляющего вектора единичной длины).

Градиентом функции в точке называется направленный отрезок , отложенный от точки , который указывает направление наибыстрейшего возрастания данной функции в данной точке.

И обещанный физический пример: рассмотрим функцию трёх переменных , которая характеризует температуру некоего пространственного тела в каждой его точке . Тогда производная по тому или иному направлению в некоторой точке тела будет показывать скорость нагревания/охлаждения тела в соответствующих направлениях, а вектор – указывать направление наибыстрейшего роста температуры в этой точке.

Вот такой вот удачный и понятный пример – не какие-нибудь плохо представляемые электрические поля.

Закрепим формулы несколькими задачами:

Найти производную функции в точке по направлению вектора

Не тушуемся, это пространственный вектор:

Алгоритм решения остаётся прежним. Вычислим частные производные 1-го порядка в точке . Вот уж где точно нужен глаз да глаз:

Найдем направляющие косинусы данного направления:

И завершающий шаг:

Ответ:

Пара символических заданий для самостоятельного решения:

Найти производную функции в точке по направлению, составляющему с положительными координатными полуосями равные углы.

Найти направление и величину наибыстрейшего возрастания функции в точке .

Особых комментариев я не оставлял, поскольку всё очень похоже на примеры 1-й части урока.

Аналогичным образом производная по направлению и градиент определяются и для функций бОльшего количества переменных.

Всех поздравляю! – сегодня мы не только познакомились с новым материалом, но и обобщили понятие производной, после чего ~~забудем о ней, как о кошмарном сне~~ можно смело приступать к изучению интегралов, разновидностей коих – великое множество.
…чувствую-чувствую, что взгрустнулось – вот и решил приободрить =)

Желаю вам выбора удачных направлений, которые, кстати, далеко не во всех точках жизни направлены по градиенту.

Спасибо за внимание и до скорых встреч!

Решения и ответы:

Пример 4: Решение: вычислим частные производные 1-го порядка в точке :

Найдём направляющие косинусы:

Искомая производная по направлению:

Найдём градиент функции в точке и вычислим его длину:

Таким образом, максимальная крутизна поверхности в точке :

Ответ:

Пример 5: Решение: вычислим частные производные 1-го порядка в точке :

Составим градиент функции в точке и вычислим его длину:

Искомая производная по направлению:

Ответ:

Пример 7: Решение: вычислим частные производные 1-го порядка в точке :

а) Вычислим производную по направлению , составляющему угол с положительным направлением оси . Рассмотрим единичный вектор , определяющий это направление. Очевидно, что . Таким образом:

Искомая производная по направлению:

б) Рассмотрим единичный вектор , определяющий направление биссектрисы 4-го координатного угла. Очевидно, что его углы с положительными полуосями и соответственно равны (можно взять – ориентация угла не имеет значения) и . Таким образом:

В результате производная по данному направлению:

Пример 9: Решение: вычислим частные производные 1-го порядка в точке :

Найдём направляющие косинусы предложенного направления. Используем равенство:

Так как , то:

И поскольку луч расположен в 1-м октанте:

Искомая производная по направлению:

Ответ:

Пример 10: Решение: вычислим частные производные 1-го порядка в точке :

Направление наибыстрейшего роста функции в точке задаёт вектор градиента в данной точке:

Вычислим величину наибыстрейшего роста функции:

Ответ:

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

Читайте также: