Производная обратной и неявной функции реферат

Обновлено: 30.06.2024

Начнем рассмотрение этого вопроса с неявной функции одной переменной. Пусть некоторая функция у от определяется уравнением

Докажем следующую теорему.

Теорема. Пусть непрерывная функция у от задается неявно уравнением

где непрерывные функции в некоторой области D, содержащей точку координаты которой удовлетворяют уравнению (1); кроме того, в этой точке Тогда функция у от имеет производную

Доказательство. Пусть некоторому значению соответствует значение функции у. При этом

Дадим независимой переменной приращение Функция у получит приращение , т. е. значению аргумента соответствует значение функции . В силу уравнения будем иметь

Левую часть последнего равенства, являющуюся полным приращением функции двух переменных, по формуле (5) § 7 можно переписать так:

где стремятся к нулю при и , стремящихся к нулю. Так как левая часть последнего выражения равна нулю, можно написать

Разделим последнее равенство на и вычислим

Устремим к нулю. Тогда, учитывая, что при этом также стремятся к нулю и что 0, в пределе получим

Мы доказали существование производной от функции, заданной неявно, и нашли формулу для ее вычисления.

Пр и мер 1. Уравнение определяет у как неявную функцию от х. Здесь

Следовательно, по формуле (1)

Заметим, что заданное уравнение определяет две разные функции (так как каждому значению в промежутке соответствуют два значения ); однако найденное значение справедливо как для одной, так и для другой функции.

Пример 2. Дано уравнение, связывающее Здесь

Следовательно, по формуле (1) получаем:

Рассмотрим теперь уравнение вида

Если каждой паре чисел и у из некоторой области соответствует одно или несколько значений , удовлетворяющих уравнению (3), то это уравнение неявно определяет одну или несколько однозначных функций z от х и у.

Например, уравнение неявно определяет две непрерывные функции от х, у, которые можно выразить явно, разрешив уравнение относительно ; в этом случае мы получаем:

Найдем частные производные и неявной функции z от х и у, определяемой уравнением (3).

Когда мы ищем мы считаем у постоянным. Поэтому здесь применима формула (2), если только независимой переменной считать а функцией . Следовательно,

Такем же путем находим

Предполагается, что 0.

Аналогичным образом определяются неявные функции любого числа переменных и находятся их частные производные.

Дифференцируя эту функцию как явную (после разрешения уравнения относительно ), мы получили бы тот же результат.

Замечание. Все рассуждения этого параграфа производились в предположении, что уравнение определяет некоторую функцию одной переменной уравнение определяет некоторую функцию двух переменных Укажем без доказательства, какому условию должна удовлетворять функция чтобы уравнение определяло однозначную функцию

Теорема. Пусть функция непрерывна в окрестности точки и имеет там непрерывные частные производные, причем и пусть Тогда существует окрестность, содержаищя точку в которой уравнение определяет однозначную функцию

Аналогичная теорема имеет место и для условий существования неявной функции, определяемой уравнением

Замечание. При выводе правил дифференцирования неявных функций мы пользовались условиями, которые и определяют существование неявных функций.

Относительно функции может быть поставлена такая проблема: существует ли (и если да, то единственная ли) такая функция , что для всякого из области определения функции . Функция в этом случае, коль скоро она существует, называется обратной к , а сама функция тогда называется обратимой.

Для линейной функции вопрос об обратимости решается, как известно, следующим образом: функция обратима тогда и только тогда, когда она является изоморфизмом одного евклидова пространства на другое (см. п. 1.8, теорема 1.2). В конечномерном случае ответ может быть дан в терминах матричной алгебры: линейный оператор обратим тогда и только тогда, когда в любой паре базисов его матрица обратима (для этого достаточно, чтобы матрица было обратима в какой-нибудь одной паре базисов).

В нелинейном случае проблема обратимости (и. что существенно, проблема единственности ее решения) сильно усложняется - это видно на примере тригонометрических функций.

В этом параграфе мы без строгих доказательств обсудим проблему обратимости для нелинейных векторных функций и вместе с ней проблему дифференцируемости обратной функции, когда она существует.

Пусть функция такова, что , т.е. размерности пространств совпадают. Пусть также в некоторой точке функция дифференцируема. Запишем тогда ее приращение в этой точке:

(1)

Пренебрегая бесконечно малым по норме( по сравнению с нормой приращения аргумента ) вектором и обозначая приращение функции в точке через , получим

(2)

Рекомендуемые материалы

Бараненков Г. С., Демидович Б. П., Ефименко В. А. - Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов (1978)

Рассмотрим (2) как векторное уравнение относительно неизвестного вектора . Нетрудно понять, что в матричной форме это будет не что иное, как система линейных уравнений с основной матрицей, совпадающей с матрицей Якоби функции в точке . Тогда, если эта матрица обратима, мы получим:

(3)

Ответ на вопрос дает следующая теорема, приводимая здесь без доказательства:

Теорема 2.5 (теорема о производной обратной функции). Если функция непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки , и линейный оператор обратим, то существуют такие открытые множества , содержащее точку , и , содержащее точку , что определена однозначно функция с областью определения и областью значений так, что и функция непрерывно дифференцируема в точке , причем .

Итак, теорема 2.5 дает достаточные условия существования и дифференцируемости (и даже непрерывной дифференцируемости) обратной функции. Подчеркнем, что обратная функция определена локально: в некоторой окрестности точки .

При этом оказывается, что если функция , где - область определения , то обратная функция определена для некоторой пары открытых множеств , содержащих точки и соответственно, такие, что обратим, и тогда , причем .

Рассмотрим пример. Запишем функцию, преобразующую полярные координаты на плоскости в декартовы:

Якобиан этой функции, как мы установили в п. 2.4, равен . Следовательно, во всех точках, кроме точки (начало полярной системы координат), производная функции обратима. Кроме того, все частные производные непрерывны во всех точках, где они определены. Значит, условия теоремы 2.5 выполнены.

(4)

Если же мы будем вычислять матрицу Якоби обратной функции непосредственно, то получим:

(5)

Легко сообразить, что если в (4) перейти к декартовым переменным, то получится (5).

Рассмотрим теперь проблему дифференцируемости неявной функции.

Пусть определена некоторая функция , и пусть в пространстве задано множество точек, удовлетворяющих уравнению:

(6)

Поставим вопрос о существовании такой функции , что тогда и только тогда, когда имеет место (6), т.е. (где ).

Например, если , , то наш вопрос в этом конкретном случае есть вопрос о существовании такой функции , что . Мы можем в данном случае указать две такие функции:

графиками которых служат верхняя и нижняя полуокружности окружности, заданной уравнением .

В общем же случае, если указанная выше функция существует, она называется неявной (или неявно заданной) функцией, определенной уравнением (6).

Пусть теперь функция дифференцируема в точке , т.е. при . Вычислим приращение функции в этой точке, предполагая, что и сама эта точка, и точка, полученная в результате приращения аргументов, удовлетворяет уравнению (6):

(7)

В (7) через и обозначены операторы дифференцирования по вектору и соответственно, т.е. матрица оператора состоит из всех частных производных , матрица оператора из всех частных производных , причем вторая матрица - квадратная. Мы уже сталкивались с подобным разложением матриц в первом семестре при исследовании систем линейных уравнений.

Рассмотрим тогда (7) как векторное уравнение относительно неизвестного приращения (приращения неявной функции, определяемой уравнением (6)). Если оператор обратим, то мы получим:

(8)

Достаточные условия дифференцируемости неявной функции дает следующая теорема, также формулируемая без доказательства.

Теорема 2.6 (теорема о производной неявной функции). Если функция непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки EMBED Equation.2, и линейный оператор EMBED Equation.2 обратим, то существуют такие открытые множества EMBED Equation.2, содержащее точку EMBED Equation.2, и EMBED Equation.2, содержащее точку EMBED Equation.2, что определена однозначно функция EMBED Equation.2 с областью определения EMBED Equation.2и принимающая значения в EMBED Equation.2так, что EMBED Equation.2, функция EMBED Equation.2 непрерывно дифференцируема в точке EMBED Equation.2, причем EMBED Equation.2

Для рассмотренного выше примера (уравнение окружности) для любой внутренней точкиEMBED Equation.2 отрезка EMBED Equation.2 имее

(в данном случае оба оператора производной оказались просто частными производными). Множество EMBED Equatio2 в данном случае может быть выбрано как любой интервал, содержащийся в интервале , а множество - как содержащий множество интервал , где (если иметь в виду верхнюю полуокружность - см. рис. 2.11).

Для сравнения продифференцируем непосредственно функцию по :

Для функции, соответствующей нижней полуокружности, получим:

так как здесь . Заметим, что для этой неявной функции, определяемой тем же уравнением, множество остается тем же самым, а множество переопределяется как интервал , где . Выражение для производной, даваемое теоремой 2.6, объединяет обе возникающие здесь неявные функции (или, как иногда говорят, обе ветви многозначной функции, задаваемой уравнением вида (6) ).

Заметим, что условия теоремы 2.6 в точках не выполняются, так как в этих точках частная производная обращается в ноль.

В рассмотренном примере мы могли непосредственно из уравнения получить обе неявные функции и продифференцировать их, не прибегая к теореме 2.6. Это связано с тем, что наше уравнение позволяет аналитически (явно) выразить одну переменную через другую. Разумеется, это далеко не всегда так. Например, уравнение

неразрешимо относительно любой из переменных. Но теорема 2.6 позволяет дифференцировать неявную функцию и в этом случае. Например, для функции , определяемой уравнением (9), получим производные:

Эти выражения, конечно, имеют смысл в точках, в которых выполняются условия теоремы 2.6.

Следовательно, теорема о производной неявной функции позволяет дифференцировать неявную функцию даже тогда, когда она не может быть выражена аналитически через свои переменные, а может быть определена только некоторым уравнением, и получать при этом производные для всех неявных функций, которые существуют при условиях теоремы.

В общем случае для числовой неявной функции, т.е. при , оператор есть обычная частная производная в точке, и мы получаем формулы для частных производных неявной функции:

Определим матрицу Якоби для неявной функции .

(здесь использовано сокращенное обозначение частной производной в виде - даже без штриха!).

Детерминант второй матрицы равен (и, следовательно, отличен от нуля во всех точках, в которых и ).

Тогда матрица Якоби будет равна

(т.е. ).

Содержание
1. Вступление
2. Теоретическая часть
2.1 Понятие и условие существования Н.Ф.
2.2 Теоремы о Н.Ф.
2.3 Дифференцирование Н.Ф.
3. Некоторые приложения теории Н.Ф.
3.1 Условный экстремум
3.2 Особые точки поверхности и плоской кривой
3.3 Условия, обеспечивающие существование обратной функции
3.4 Метод множителей Лагранжа
3.5 Нелинейные спектральные задачи
3.6 Приближенныевычисления Н.Ф.
4. Выводы
5. Список использованной литературы

Вступление
Несомненно, в нашем сознании образ функции ассоциируется с равенством и соответствующей ему линией – графиком функции. Например, - функциональная зависимость, графиком которой является квадратичная парабола с вершиной в начале координат и направленными вверх ветвями; - функция синуса, известная своими волнами.
В этихпримерах в левой части равенства находится y, а в правой части – выражение, зависящее от аргумента x. Другими словами, имеем уравнение, разрешенное относительно y. Представление функциональной зависимости в виде такого выражения называется явным заданием функции (или функцией в явном виде). И этот тип задания функции является для нас наиболее привычным. В большинстве примеров и задач нам предстают именноявные функции.
Однако, функция подразумевает соответствие между множеством значений величины x и множеством значений y, причем это соответствие не обязательно устанавливается какой-либо формулой или аналитическим выражением. То есть, существует множество способов задания функции помимо привычного . Неявная функция определяется соотношением . Но не все такие соотношения между x и y задаютфункцию. Например, ни одна пара действительных чисел x и y не удовлетворяет равенству , следовательно, это соотношение неявную функцию не задает.
В данной курсовой работе рассмотрим неявные функции и способы их выражения, их свойства, нахождения их производных а также некоторые их приложения к другим разделам математики.

2. Теоретическая часть
2.1 Понятие и условия существования НФПусть в некоторой области плоскости задана функция, и пусть линия уровня этой функции, обусловлена уравнением, является графиком некоторой функции, обусловленной уравнением. В этом случае говорят, что функция задана неявно уравнением. Для существования неявной функции требуется выполнение следующих условий: функция и ее частные производные непрерывны . Функция у = f (x) называется неявной, еслиона задана с помощью недозволенного (относительно у) уравнения F (x, y) = 0, она становится явной, если рассматривается непосредственная зависимость у от х. Противопоставление неявного и явного задания функции с полной четкостью возможно только, если под явным заданием понимать явное аналитическое задание. Если же под явным понимать задачи с помощью любого правила, то задача функции у от х спомощью уравнения F (x, y) = 0 ничем не хуже всякого другого.
Если уравнение F (x, y) = 0 алгебраическое, то эта функция является целым многочленом относительно х и у, то и скрытая функция называется алгебраической. Если степень уравнения (относительно у) не выше 4, то алгебраическая функция допускает явное выражение в радикалах.
Рассмотрим геометрическое трактовку неявных функций. Приопределенных условиях уравнение F (x, y) = 0 выражает кривую на плоскости (например, уравнение выражает эллипс), в этом случае оно называется неявным уравнением кривой.
Главный вопрос заключается в том, может ли кривая F (x, y) = 0 (или ее часть) быть выражена обычным уравнением вида у = f (x)? Геометрически это означает, что кривая (или ее часть пересекается прямой, параллельной оси у, только в однойточке.
При изучении однозначной функции нужно ограничить не только область изменения х, но и область изменения у.
В прямоугольнике (а b, c, d) уравнения F (x, y) = 0 определяет в как однозначную функцию от х, если при каждом значении х в промежутке (а, в) уравнения F (x, y) = 0 имеет один, и только один, корень в в промежутке (c, d).
Некоторые.

В этой статье мы расскажем, что из себя представляет производная обратной функции и как ее вычислить. Перед изучением данной темы советуем повторить, что такое обратная функция и какими свойствами она обладает.

Чтобы избежать разночтений, мы будем обозначать аргумент функции, по которому она дифференцируется, в нижнем регистре, т.е. запись f x ' ( x ) будет означать производную функции f ( x ) по x .

Для начала определим правило, по которому производится вычисление производной обратной функции.

Допустим, у нас есть две взаимно обратные функции x = g ( y ) и y = f ( x ) , которые определены на соответствующих интервалах y ∈ c ; d и x ∈ [ a ; b ] . Если у нас есть некая точка x 0 ∈ [ a ; b ] , в которой расположена конечная производная f ( x ) , отличная от 0 , то должна быть и конечная производная g ( y ) , такая, что g y ' ( y 0 ) = 1 f x ' ( x 0 ) . Иначе это можно записать как f x ' ( x 0 ) = 1 g y ' ( y 0 ) .

Данное правило может быть сформулировано для любого x , принадлежащего интервалу [ a ; b ] . Тогда мы получим следующее: g y ' ( y 0 ) = 1 f x ' ( x 0 ) , f x ' ( x 0 ) = 1 g y ' ( y 0 ) . Истинность этих формул можно проверить с помощью следующих рассуждений.

У нас есть натуральный логарифм вида y = f ( x ) = ln x , где y является функцией, а x – аргументом. Найдем его обратную функцию. Для этого нам потребуется разрешить уравнение относительно x . Получим x = g ( y ) = e y (здесь x будет функцией, а y – ее аргументом). Значит, функции x = g ( y ) = e y и y = f ( x ) = ln x по отношению друг к другу являются взаимно обратными.

Проверим значения в таблице производных: y x ' = f x ' ( x ) = ln x x ' = 1 x , а x y ' = g y ' ( y ) = e y y ' = e y .

Тот же результат мы получим при использовании формулы обратных производных:

g y ' ( y ) = 1 f x ' ( x ) = 1 ( ln x ) x ' = 1 1 x = x = e y f x ' ( x ) = 1 g y ' ( y ) = 1 e y y ' = 1 e y = 1 e l n x = 1 x

Поскольку полученный результат соответствует значению, указанному в таблице производных, то данная формула будет верна.

Используя эти знания, мы можем перейти к доказательству формул производных обратных тригонометрических функций.

Производные функции арксинус и арккосинус

Первое, что мы сделаем, – научимся определять производную функции арксинус.

Поскольку y = a r c sin x , x ∈ - 1 ; 1 , то обратная функция будет выглядеть как x = sin y , y ∈ - π 2 ; π 2 .

Берем нужную формулу и вычисляем:

y x ' = ( arcsin x ) x ' = 1 ( sin y ) y ' = 1 cos y = 1 cos ( arcsin x )

Теперь нам надо преобразовать полученное выражение.

Поскольку область значения арксинуса представляет собой промежуток arcsin x ∈ - π 2 ; π 2 , значит, cos ( arcsin x ) ≥ 0 (при необходимости повторите материал об основных элементарных функциях, их свойствах и графиках).

Следовательно, cos ( arcsin x ) = 1 - sin 2 ( arcsin x ) - 1 - x 2 . Выражение cos ( arcsin x ) = 1 - sin 2 ( arcsin x ) - 1 - x 2 мы рассматривать не будем.

Мы получили, что arcsin x x ' = 1 cos ( arcsin x ) = 1 1 - x 2 .

Производная арксинуса определена на промежутке ( - 1 ; 1 ) .

Для функции арккосинус все вычисления будут точно такими же.

y x ' = ( a r c cos ) x ' = 1 ( cos y ) y ' = 1 - sin y = - 1 sin ( a r c cos x ) = = - 1 1 - cos 2 ( a r c cos x ) = - 1 1 - x 2

Производные функции арктангенс и арккотангенс

Теперь вычислим производную арктангенса.

Поскольку для y = a r c t g x , x ∈ ( - ∞ ; + ∞ ) обратной функцией будет x = t g y , y ∈ - π 2 ; π 2 , то y ' x = a r c t g x x ' = 1 ( t g y ) y ' = 1 1 cos 2 y = cos 2 ( a r c t g x ) .

Для упрощения результата нужно выразить арктангенс через арккосинус.

Допустим, что a r c t g x = z , значит:

t g ( a r c t g x ) = t g z ⇒ x = t g z = sin z cos z = 1 - cos 2 z cos z ⇒ x · cos z = 1 - cos 2 z ⇒ x 2 · cos 2 z = 1 - cos 2 z ⇒ ( x 2 + 1 ) · cos 2 z = 1 ⇒ cos 2 z = 1 x 2 + 1 ⇒ cos z = 1 x 2 + 1 ⇒ z = a r c cos 1 x 2 + 1 ⇒ a r c t g x = a r c cos 1 x 2 + 1

Следовательно, можно записать так:

a r c t g x x ' = cos 2 ( a r c t g x ) = = cos 2 a r c cos 1 x 2 + 1 = 1 x 2 + 1 2 = 1 x 2 + 1

Для вычисления производной арккотангенса действуем по аналогии:

y x ' = ( a r c c t g x ) x ' = 1 ( c t g y ) y ' = 1 - 1 sin 2 y = - sin 2 ( a r c c t g x ) = = - sin 2 a r c sin 1 x 2 + 1 = - 1 x 2 + 1

Формула производной функции, заданной неявно. Доказательство и примеры применения этой формулы. Примеры вычисления производных первого, второго и третьего порядка.

Производная первого порядка

Пусть функция задана неявным образом с помощью уравнения
(1) .
И пусть это уравнение, при некотором значении , имеет единственное решение . Пусть функция является дифференцируемой функцией в точке , причем
.
Тогда, при этом значении , существует производная , которая определяется по формуле:
(2) .

Доказательство

Для доказательства рассмотрим функцию как сложную функцию от переменной :
.
Применим правило дифференцирования сложной функции и найдем производную по переменной от левой и правой частей уравнения
(3) :
.
Поскольку производная от постоянной равна нулю и , то
(4) ;
.

Производные высших порядков

Перепишем уравнение (4), используя другие обозначения:
(4) .
При этом и являются сложными функциями от переменной :
;
.
Зависимость определяет уравнение (1):
(1) .

Поскольку производная правой части уравнения (4) равна нулю, то
(5) .
Подставив сюда производную , получим значение производной второго порядка в неявном виде.

Дифференцируя, аналогичным образом, уравнение (5), мы получим уравнение, содержащее производную третьего порядка :
.
Подставив сюда найденные значения производных первого и второго порядков, найдем значение производной третьего порядка.

Продолжая дифференцирование, можно найти производную любого порядка.

Примеры

Пример 1

Найдите производную первого порядка от функции, заданной неявно уравнением:
(П1) .

Решение по формуле 2

Находим производную по формуле (2):
(2) .

Перенесем все переменные в левую часть, чтобы уравнение приняло вид .
.
Отсюда .

Находим производную по , считая постоянной.
;
;
;
.

Находим производную по переменной , считая переменную постоянной.
;
;
;
.

По формуле (2) находим:
.

Мы можем упростить результат если заметим, что согласно исходному уравнению (П.1), . Подставим :
.
Умножим числитель и знаменатель на :
.

Решение вторым способом

Решим этот пример вторым способом. Для этого найдем производную по переменной левой и правой частей исходного уравнения (П1).

Подставим (из уравнения (П1)):
.
Умножим на :
.

Пример 2

Найти производную второго порядка от функции , заданной неявно с помощью уравнения:
(П2.1) .

Дифференцируем исходное уравнение, по переменной , считая что является функцией от :
;
.
Применяем формулу производной сложной функции.
.

Дифференцируем исходное уравнение (П2.1):
;
.
Из исходного уравнения (П2.1) следует, что . Подставим :
.
Раскрываем скобки и группируем члены:
;
(П2.2) .
Находим производную первого порядка:
(П2.3) .

Чтобы найти производную второго порядка, дифференцируем уравнение (П2.2).
;
;
;
.
Подставим выражение производной первого порядка (П2.3):
.
Умножим на :

;
.
Отсюда находим производную второго порядка.

Пример 3

Найти производную третьего порядка при от функции , заданной неявно с помощью уравнения:
(П3.1) .

Дифференцируем исходное уравнение по переменной считая, что является функцией от .
;
;
;
;
;
;
(П3.2) ;

Дифференцируем уравнение (П3.2) по переменной .
;
;
;
;
;
(П3.3) .

Из уравнений (П3.2), (П3.3) и (П3.4) находим значения производных при .
;
;
.

Читайте также: