Применение интегралов в медицине реферат
Обновлено: 02.07.2024
Презентация на тему: " Применение интегралов в науке и технике Выполнил студент группы И 3-14 Андреев Роман." — Транскрипт:
1 Применение интегралов в науке и технике Выполнил студент группы И3-14 Андреев Роман
2 Содержание: 1. Определение интеграла 2. Интеграл в древности 3. Зачем нужны интегралы? 4. Применение в науке 5. Применение в технике 6. Заключение 7. Список используемых источников
3 Определение Интеграл функции аналог суммы бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых. В простейшем случае имеется в виду разбиение области интегрирования, являющейся отрезком, на бесконечно малые отрезки, и сумма произведений значения функции аргумента, принадлежащего каждому отрезку, и длины соответствующего бесконечно малого отрезка области интегрирования, в пределе, при бесконечно мелком разбиении:
5 Зачем нужны интегралы? Ученые стараются все физические явления выразить в виде математической формулы. Как только у нас есть формула, дальше уже можно при помощи нее посчитать что угодно. А интеграл это один из основных инструментов работы с функциями. Например, если у нас есть формула круга, мы можем при помощи интеграла посчитать его площадь. Если у нас есть формула шара, то мы можем посчитать его объем. При помощи интегрирования находят энергию, работу, давление, массу, электрический заряд и многие другие величины.
6 Применение в науке Все процессы в природе, в которых постоянно меняются какие-то параметры, например время, температура, давление, координаты, изучаются и вычисляются только с помощью дифференциального и интегрального исчисления. Интегралы при этом только азы. Без них не вычислишь даже площадь какой-либо криволинейной поверхности. Математика вообще развивает логическое мышление, что всем полезно. Конечно, они забываются, если эти знания по жизни не востребованы. Но это не значит, что их вообще не нужно изучать.
7 При обучении важно понять смысл мат. аппарата в целом и научиться применять его к решению бытовых задач, выработать определенный стиль мышления при котором ты не будешь полагаться на интуицию при принятии каких-то решений, а сможешь точно оценить результат и следствия поступков. Большинство интегралов получены как мат. модели каких-либо естественных процессов в рамках медицины, биологии, химии, экономики, и т.д. Конкретно математический анализ, внутри которого выводятся методы решения интегралов, помогает понять откуда что взялось.
8 Применение в технике Так же интегралы нашли себе широкое применение в технике. Например в ПИД-регуляторе с использованием его интегральной составляющей. Её используют для устранения статической ошибки. Она позволяет регулятору со временем учесть статическую ошибку.
9 Вот примерный принцип работы интегральной составляющей. Интегрирующая составляющая пропорциональна интегралу по времени от отклонения регулируемой величины. Её используют для устранения статической ошибки. Она позволяет регулятору со временем учесть статическую ошибку. Если система не испытывает внешних возмущений, то через некоторое время регулируемая величина стабилизируется на заданном значении, сигнал пропорциональной составляющей будет равен нулю, а выходной сигнал будет полностью обеспечиваться интегрирующей составляющей. Тем не менее, интегрирующая составляющая также может приводить к автоколебаниям при неправильном выборе её коэффициента.
10 Заключение В результате работы над презентации, мы узнали что применение интегралов очень широко. Интегралы применяют как в науке, для вычисления каких-либо данных, так и в технике, в различных роботизированной технике.
Символ интеграла введен с 1675г., а вопросами интегрального исчисления занимаются с 1696г. Хотя интеграл изучают, в основном, ученые–математики, но и физики внесли свой вклад в эту науку. Практически ни одна формула физики не обходится без дифференциального и интегрального исчислений. Поэтому, я и решила исследовать интеграл и его применение.
История интегрального исчисления
В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласил ись с предложением Я. Бернулли. Тогда же, в 1696 г., появилось и название новой ветви математики—интегральное исчисление (calculusintegralis ), которое ввел И. Бернулли.
В современной литературе множество всех первообразных для функции f(х) называется также неопределенным интегралом. Это понятие выделил Лейбниц, который заметил, что вс е первообразные функции отличаются на произвольну ю постоянну ю. b
называют определенным интегралом (обоз начение ввел К. Фурье (1768—1830), но пределы интегрирования указывал уже Эй лер).
Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении задач на нахождение квадратур (т. е. вычисление площадей) плоских фигур, а также кубатур (вычисление объемов) тел связаны с применением метода исчерпывания, предложенным Евдоксом Книдским (ок. 408 — ок. 355 до н.э.). С помощью этого метода Евдокс доказал, например, что площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров, а объем конуса равен 1/3 объёма цилиндра, имеющего такие же основание и высоту.
Метод Евдокса был усовершенствован Архимедом. Основные этапы, характеризующие метод Архимеда: 1) доказывается, что площадь круга меньше площади любого описанного около него правильного многоугольника, но больше площади любого вписанного; 2) доказывается, что при неограниченном удвоении числа сторон разность площадей этих многоугольн иков стремится к нулю; 3) для вычисления площади круга остается найти значение, к которому стремится отношение площади правильного многоугольника при неограниченном удвоении числа его сторон.
С помощью метода исчерпывания, целого ряда других остроумных соображений (в том числе с привлечением моделей механики) Архимед решил многие задачи. Он дал оценку числа p (3.10/71
Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. (Добавим, что практически и первые теоремы о пределах были доказаны им.) Но потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления.
Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод — метод неделимых, который также зародился в Древней Греции (он связан в первую очередь с атомистическими воззрениями Демокрита). Например, криволинейную трапецию (рис. 1, а) они представляли себе составленной из вертикал ьных отрезков длиной f(х), которым тем не менее приписывали площадь, равну ю бесконечно малой величине f(х)dx . В соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме
a t1) прошла путь S, то
Объём — количественная характеристика пространственного тела. За единицу измерения объёма принимают куб с ребром 1мм(1ди, 1м и т.д.).
Количество кубов единичного объёма размещенных в данном теле — объём тела.
Объём — это неотрицательная величина.
Объём тела равен сумме объёмов тел, его составляющих.
Найдем формулу для вычисления объёма:
выберем ось ОХ по направлению расположения этого тела;
определим границы расположения тела относительно ОХ;
введем вспомогательную функцию S(x) задающую следующее соответствие: каждому x из отрезка [a;b] поставим в соответствие площадь сечения данной фигуры плоскостью, проходящей через заданную точку x перпендикулярно оси ОХ.
разобьем отрезок [a;b] на n равных частей и через каждую точку разбиения проведём плоскость перпендикулярную оси ОХ, при этом наше тело разобьется на части. По аксиоме
V=V1+V2+. +Vn=lim(S(x1)Dx +S(x2)Dx+. +S(xn)Dx
Dx®0, а Sk®Sk+1, а объем части, заключенной между двумя соседними плоскостями равна объему цилиндра Vц=SоснH.
Имеем сумму произведений значений функций в точках разбиения на шаг разбиения, т.е. интегральную сумму. По определению определенного интеграла, предел этой суммы при n®¥ называется интегралом a
V= òS(x)dx, где S(x) – сечение плоскости, проходящей через
bвыбранную точку перпендикулярно оси ОХ.
Для нахождения объема надо:
1). Выбрать удобным способом ось ОХ.
2). Определить границы расположения этого тела относительно оси.
3). Построить сечение данного тела плоскостью перпендикулярно оси ОХ и проходящей через соответственную точку.
4). Выразить через известные величины функцию, выражающую площадь данного сечения.
5). Составить интеграл.
6). Вычислив интеграл, найти объем.
Объем фигур вращения
Тело, полученное в результате вращения плоской фигуры, относительно какой-то оси, называют фигурой вращения.
Функция S(x) у фигуры вращения есть круг.
Длина дуги плоской кривой
Пусть на отрезке [a;b] функция y = f(x) имеет непрерывную производную y’ = f ’(x). В этом случае длину дуги l “куска” графика функции y = f(x), xÎ[a;b] можно найти по формуле
Список литературы
М.Я.Виленкин, О.С.Ивашев–Мусатов, С.И.Шварцбурд, “Алгебра и математический анализ”, Москва,1993г.
Задача 1За первые 13 дней химиотерапии масса злокачественного новообразования уменьшалась со скоростьюграмм в день.
Какова масса опухоли на десятый день лечения, если начальная ее масса равнялась 180 грамм?
Ответ: 175 грамм.
Задача 2 Количество миллиграмм тетрациклина m(t), поступающее в кровоток черезt минут после приема таблетки определяется скоростью его поступления. Какое количество тетрациклина окажется в крови через 15 минут после приема, если скорость его поступления подчиняется законумг/мин.?
Решение Проводим интегрирование по частям. Положим u=3t, , тогда du=3dt, а . Используя фомулу , решим нашу задачу.
7. Дифференциальные уравнения. Введение. Постановка задачи
Очень часто при решении физических задач мы не можем непосредственно установить характер зависимости yот x, но можем установить зависимость междуx,yи производными отyпо x: y, y. y n .
Рассмотрим это на примере закона радиоактивного распада элементов.
Известно, что атомы радиоактивных элементов с течением времени распадаются. Экспериментально было установлено, что скорость распада атомов пропорциональна числу нераспавшихся атомов в данный момент времени, т.е., если
N -число нераспавшихся атомов в момент времениt,то
.
Чтобы эту запись превратить в равенство, необходимо ввести константу пропорциональности. Обозначим эту константу . Обычно этой буквой обозначается постоянная радиоактивного распада, которая является характеристикой радиоактивного элемента.
Тогда имеем уравнение вида:
(1)
Примечание: знак минус обусловлен тем, что число нераспавшихся атомов с течением времени уменьшается.
Итак, мы получили соотношение (1),связывающее неизвестную функцию N и ее производную, т.е., мы имеем дифференциальное уравнение.
Определение 10. Дифференциальным уравнениемназывается уравнение, связывающее независимую переменнуюx, искомую функциюy = f (x) и ее производнуюy, y . y n .
Символически дифференциальное уравнение можно написать так:
Определение 11. Порядкомдифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.
Например: y- 2 xy 2 + 5 = 0 есть дифференциальное уравнение первого порядка,
y + y - by - sin x =0 - дифференциальное уравнение второго порядка.
Определение 12. Решениемилиинтеграломдифференциального уравнения называется всякая функцияy = f (x), которая, будучи подставлена в уравнение, превращает его в тождество.
Следовательно, решить дифференциальное уравнение - это значит найти такую функцию, y = f (x), которая тождественно удовлетворяет данному дифференциальному уравнению.
Таким образом, чтобы решить наше дифференциальное уравнение (1) необходимо найти функцию . Решение этого уравнения приведено ниже.
7.1. Дифференциальные уравнения первого порядка (общие понятия)
Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и производную этой функции. Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид:
F(x, y, y )=0
Условия, заключающиеся в том, что при заданных значениях аргумента значения функции или ее производной должны равняться конкретному числу, называются начальными условиями.
Начальные условия можно записать следующим образом:
y = y0 при x = x0 или y|x=x0 = y0.
Рассматривая выше распад радиоактивного элемента, мы получили дифференциальное уравнение первого порядка
(1)
т.е. F( t, N, N )=0
Попробуем решить это уравнение. Разделим переменные. Уравнение (1) тогда будет иметь вид:
Проинтегрируем это выражение.
(1а)
Замечание: Имея ввиду дальнейшие преобразования, мы обозначили произвольную постоянную через ln C, что вполне допустимо, т.к.ln C(приC0) может принимать любые значения от -до +.
С полученным выражением (1а) проведем несложные алгебраические преобразования
(2)
Нетрудно проверить, что полученная функция (2) удовлетворяет уравнению (1), каково бы ни было постоянное число C.
Следовательно,данная совокупность функцийN = f (t), является решением дифференциального уравнения.
Определение 13. Общим решениемдифференциального уравнения первого порядка называется функция y = (x, C), которая зависит от произвольного постоянногоC и удовлетворяет следующим условиям
1. обращает в тождество дифференциальное уравнение при любом конкретном C;
2. каковы бы ни были начальные условия y = y0 при x = x0 можно найти такое значениеC=C0, что функция y = (x, C0) удовлетворяет данным начальным условиям.
Рассмотрим далее наш пример. Зададим начальные условия, в момент t = 0- т.е. начало радиоактивного распада, число нераспавшихся атомов былоN=N0 . Тогда легко можно найти величинуC = C0, соответствующую данным начальным условиям. Подставляя в выражение (2) вместоN, N0, а вместо t нуль, имеем
Таким образом, число нераспавшихся атомов зависит от времени по следующему закону
Это выражение есть частное решение дифференциального уравнения.
Определение14. Частным решениемдифференциального уравнения называется любая функцияy = (x, C0), которая получается из общего решения y = (x, C), если произвольному постоянному C придать определенное значение C=C0.
Итак, решить дифференциальное уравнение - значит:
Найти его общее решение или общий интеграл (если начальные условия не заданы).
Найти то частное решение, которое удовлетворяет заданным начальным условиям (если таковые имеются).
В статье рассматриваются вопросы применения математических методов в медицине, описывается взаимосвязь между медициной и арифметикой, проблема о наследственности, проблема математической статистики в медицине. Анализируются сферы применения математики в медицине и биологии. Так, в сфере медицинской диагностики для постановки диагноза необходимо принимать во внимание наиболее разнообразные данные. Поскольку общее число данных стремительно возрастает и существуют такие заболевания, о каких ранее написано немало, то в точности исследовать, дать оценку, пояснить и применить всю существующую информацию при постановке диагноза математическими методами однозначно невозможно. В связи с этим, эксперты в сфере неточных наук зачастую заявляют о том, что общематематическое исследование приводит к неправильным решениям и выводам и по этой причине его лучше избегать. Однако мнение по этому вопросу не окончательное и дебаты в этом направлении продолжаются.
1. Мелешко С.В., Воропаева Д.С., Пшеничная П.И. Применение математических методов в биологии // Аграрная наука Северо-Кавказскому Федеральному округу: сборник научных трудов по материалам 81-й Ежегодной научно-практической конференции / Ответственный за выпуск Т.А. Башкатова. – 2016. – С. 201–205.
2. Мелешко С.В., Беляева Е.Д., Куксова Е.В. Золотое сечение в математике и других областях // Современные наукоемкие технологии. – 2013. – № 6. – С. 78–79.
4. Харченко М.А. Направления развития автоматизированных учетно-аналитических систем // Аграрная наука Северо-Кавказскому Федеральному округу: сборник научных трудов по материалам 81-й Ежегодной научно-практической конференции / Ответственный за выпуск Т.А. Башкатова, 2016. – С. 140–144.
5. Литвин Д.Б., Гулай Т.А., Долгополова А.Ф. Применение операционного исчисления в моделировании экономических систем // Аграрная наука, творчество, рост. – 2013. – С. 263–265.
6. Попова С.В., Смирнова Н.Б. Элементы алгоритмизации в процессе обучения математике в высшей школе // Современные проблемы развития экономики и социальной сферы: сб. материалов Междунар. науч.-практ. конф., посвященной 75-летию Ставропольского государственного аграрного университета, 2005. – С. 526–531.
7. Долгополова А.Ф., Колодяжная Т.А. Руководство к решению задач по математическому анализу. Часть 1 // Международный журнал экспериментального образования. – 2011. – № 12. – С. 62–63.
8. Гулай Т.А., Гатауллина К.Р., Фурсов Д.И., Применение классического метода при математическом расчете переходных процессов // Международный студенческий научный вестник. – 2017. – № 4–4. – С. 511–513.
9. Гулай Т.А., Жукова В.А., Мелешко С.В., Невидомская И.А., Математика: рабочая тетрадь. – Ставрополь, 2015.
10. Элементы теории вероятностей случайных событий: Рабочая тетрадь / И.А. Невидомская, С.В. Мелешко, Т.А. Гулай. – Ставрополь: Сервисшкола, 2015.
Математика – весьма сильный и эластичный предмет при исследовании находящегося вокруг нас общества. В каждой академической дисциплине имеется собственная методика, базирующаяся на исполнении определенных исследований. Далее, данные сведения обрабатываются и закрепляются в числовом варианте. Атак как обрабатыванием числовых данных занимается математика, вот и возникла взаимосвязь между медициной и арифметикой, а теперь более непосредственно.
Поскольку статистика как термин возникла в среднии века, означавшая политическое состояние государства, то в науку этот термин ввел немецкий ученный Ахенваль. В настоящее время этот термин употребляют в четырех значениях:
– комплекс дисциплин – учебный предмет;
– отрасль практической деятельности по сбору и обработке, анализу и публикации массовых цифровых данных о различных явлениях и процессов общественной жизни;
– совокупность цифровых сведений;
– статистические методы, принимаемые для изучения экономических явлений. [9]
Статистика, изучающая вопросы, связанные с медициной и здравоохранением носит в настоящее время название мед. Мед статистика делится на три раздела:
– статистика общественного здоровья;
Существуют различные задачи, решаемые математическими методами. К таким задачам относятся задачи на проценты, а также задачи с метрическими системами мер. Так, например, спецмерами объема являются:
1) объем чайной ложки равен 5 мл;
объем десертной ложки равен 10 мл;
объем столовой ложки равен 15 мл.
2) 1 мл водного раствора равен 20 каплям;
1 мл спиртового раствора равен 40 каплям;
1 мл спиртово-эфирного раствора равен 60 каплям.
Существует также метрическая шкала, которой удобно пользоваться при переводе и производить расчеты доз препаратов. Дозы препаратов подразделяют на;
Точно можно разделить только таблетки только таблетки с риской, капсулы, жидкие лекарственные средства с мерной посудой. При расчете разовой дозы препарата по формуле:
разовая доза препарата = требуемая доза / количество препарата лекарственного средства
Надо помнить, что назначение врача и содержимое лекарственных единиц должно быть в одинаковых единицах измерения. Таким образом, вышесказанное дает возможность утверждать, что знание математики в медицине как науке играет немаловажное значение [5].
Также очень важна проблема о том, в каких сферах применимы арифметические методы. Следует заметить, что необходимость в математическом описании возникает при каждой попытке осуществлять рассмотрение в конкретных суждениях и что это относится даже к таким непростым сферам, как этические нормы и искусство. В этой области мы точнее проанализируем сферы применения математики в медицине и биологии [10.]
Хорошо известно, что одним из подходов к отображению картины природы является сознание иерархии уровней учреждения, исследуемых разными науками. Согласно уровню абстракции, присущему любой из них, данные науки можно разместить в такой очередности: физика, социология, химия, психология, физиология, биология. Мы начинаем с ключевых вещественных компонентов реального общества, то есть с субатомного уровня, и заканчивает многосторонними проявлениями духовной жизни людского общества. В данной очередности уровней формирование и сложность постоянно увеличиваются. На любом уровне функционируют собственные законы и по этой причине их можно исследовать вплоть до определенного уровня независимо друг от друга. Но каждый из них неразрывно связан с закономерностями, действующими в наиболее низких уровнях. Таким образом, законы химии и физики в некоторой степени распространяются и на психологию, несмотря на то, что принципы и законы последней выходят за границы химических и физических законов [2, 8].
Задачи, затрагивающие учреждения и деятельность клиник, необходимо относить к наиболее значительному уровню абстракции, нежели, к примеру, патологию и физиологию лица. Однако, несмотря на то, что логическая сущность этой более высокой степени в независимости от наиболее низкого, задачи патологии и физиологии обязаны предусматриваться при разрешении каждой задачи, относящейся к учреждениям больничных служб. Мы не полагаем уходить с головой в данные общефилософские размышления либо оценивать отдельные их составляющие, а полагаем только выделить, что избирательная очередность уровней приблизительно соответствует порядку возрастания проблем при применении научных методов и проведении арифметических исследований.
При переходе на более значительные уровни абстракции, мы встречаемся не только с более непростыми задачами, но и с растущей ступенью изменчивости, по большей части непрогнозируемой. К примеру, абсолютная ситуация конкурентной борьбы среди некоторых разновидностей, обитающих в конкретной сфере, содержит колоссальное число условий. В сфере научных экологических описаний, произведенных главным образом в вербальной форме, достигнуты существенные преимущества, но создание математических модификаций находится тут еще на самом простом уровне. Иным образцом может быть сфера медицинской диагностики. С целью постановки диагноза доктор вместе с другими экспертами зачастую должен принимать во внимание наиболее разнообразные данные, делая упор на индивидуальный опят, и частично на использованные материалы, приводимые в множественных медицинских книгах и журналах [1, 4].
Поскольку общее число данных возрастает с растущей интенсивностью и существуют такие заболевания, о каких ранее написано столько, что один человек не в состоянии в точности исследовать, дать оценку, пояснить и применить всю существующую информацию при постановке диагноза в любом определенном случае. Безусловно, добросовестный диагностик, применяя собственный опыт и проницательность, способен выбрать нужную часть значимых сведений и предоставить довольно четкое решение. Все же, как это ни парадоксально звучит, по мере накапливания знаний положение ухудшается.
Непосредственно, в подобного рода моментах, когда сознание одного человека никак не способно осилить трудности важных вопросов и изложить их разрешение в общей вербальной форме, эксперты в сфере неточных наук зачастую заявляют, о том, что общематематическое исследование несовершенно, оно приводит к неправильным решениям, и по этой причине его лучше избегать. Данное отрицание содержит разумное звено, однако пройдет время, и мы заметим, что справедливо будет как раз обратное.
Читайте также: