Приложение определенного интеграла реферат
Обновлено: 07.07.2024
Функция "чтения" служит для ознакомления с работой. Разметка, таблицы и картинки документа могут отображаться неверно или не в полном объёме!
Определенный интеграл СодержаниеЛекция 1. Определенный интеграл
1. Понятие определенного интеграла
2. Геометрический смысл определенного интеграла
3. Основные свойства определенного интеграла
4. Формула Ньютона–Лейбница
5. Замена переменной в определенном интеграле
6. Интегрирование по частям
Лекция 2. Применение определенных интегралов. несобственные интегралы
1. Площадь криволинейной трапеции
2. Объем тела вращения
3. Длина дуги плоской кривой
4. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
5. Несобственные интегралы от неограниченных функций
Литература Лекция 1. Определенный интеграл
Понятие определенного интеграла
Пусть функцияопределена на отрезке , . Выполним следующие операции:
разобьем отрезокточкамина n частичных отрезков ;в каждом из частичных отрезков ,выберем произвольную точкуи вычислим значение функции в этой точке: ;найдем произведения , где– длина частичного отрезка , ;составим сумму
, (1) которая называется интегральной суммой функции y = f(x) на отрезке [а, b]. С геометрической точки зрения интегральная суммапредставляет собой сумму площадей прямоугольников, основаниями которых являются частичные отрезки , а высоты равнысоответственно (рис. 1). Обозначим черездлину наибольшего частичного отрезка ;
найдем предел интегральной суммы, когда .
Рис. 1 Определение. Если существует конечный предел интегральной суммы (1) и он не зависит ни от способа разбиения отрезкана частичные отрезки, ни от выбора точекв них, то этот предел называется определенным интегралом от функциина отрезкеи обозначается .
В этом случае функцияназывается интегрируемой на . Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования,– подынтегральной функцией,– подынтегральным выражением,– переменной интегрирования; отрезокназывается промежутком интегрирования.
Теорема 1. Если функциянепрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.
Геометрический смысл определенного интеграла
Пусть на отрезкезадана непрерывная неотрицательная функция . Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная сверху графиком функции y = f(x), снизу – осью Ох, слева и справа – прямыми x = a и x = b (рис. 2).
Определенный интегралот неотрицательной функциис геометрической точки зрения численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , слева и справа – отрезками прямыхи , снизу – отрезкомоси Ох. 3. Основные свойства определенного интеграла
Значение определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования: .
2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:
Если , то, по определению, полагаем Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла: Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций:
ГОСТ
Определенный интеграл (ОИ) широко используется в практических приложениях математики и физики.
В частности, в геометрии с помощью ОИ находят площади простых фигур и сложных поверхностей, объемов тел вращения и тел произвольной формы, длин кривых на плоскости и в пространстве.
В физике и теоретической механике ОИ применяют для вычисления статических моментов, масс и центров масс материальных кривых и поверхностей, для вычисления работы переменной силы по криволинейному пути и др.
Площадь плоской фигуры
Пусть некоторая плоская фигура в декартовой прямоугольной системе координат $xOy$ сверху ограничена кривой $y=y_ \left(x\right)$, снизу -- кривой $y=y_ \left(x\right)$, а слева и справа вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$ соответственно. В общем случае площадь такой фигуры выражается с помощью ОИ $S=\int \limits _^\left(y_ \left(x\right)-y_ \left(x\right)\right)\cdot dx $.
Если же некоторая плоская фигура в декартовой прямоугольной системе координат $xOy$ справа ограничена кривой $x=x_ \left(y\right)$, слева -- кривой $x=x_ \left(y\right)$, а снизу и сверху горизонтальными прямыми $y=c$ и $y=d$ соответственно, то площадь такой фигуры выражается с помощью ОИ $S=\int \limits _^\left(x_ \left(y\right)-x_ \left(y\right)\right)\cdot dy $.
Пусть плоская фигура (криволинейный сектор), рассматриваемая в полярной системе координат, образована графиком непрерывной функции $\rho =\rho \left(\phi \right)$, а также двумя лучами, проходящими под углами $\phi =\alpha $ и $\phi =\beta $ соответственно. Формула для вычисления площади такого криволинейного сектора имеет вид: $S=\frac \cdot \int \limits _^\rho ^ \left(\phi \right)\cdot d\phi $.
Длина дуги кривой
Если на отрезке $\left[\alpha ,\; \beta \right]$ кривая задана уравнением $\rho =\rho \left(\phi \right)$ в полярной системе координат, то длина её дуги вычисляется с помощью ОИ $L=\int \limits _^\sqrt \left(\phi \right)+\rho '^ \left(\phi \right)> \cdot d\phi $.
Готовые работы на аналогичную тему
Если на отрезке $\left[a,\; b\right]$ кривая задана уравнением $y=y\left(x\right)$, то длина её дуги вычисляется с помощью ОИ $L=\int \limits _^\sqrt \left(x\right)> \cdot dx $.
Если на отрезке $\left[\alpha ,\; \beta \right]$ кривая задана параметрически, то есть $x=x\left(t\right)$, $y=y\left(t\right)$, то длина её дуги вычисляется с помощью ОИ $L=\int \limits _^\sqrt \left(t\right)+y'^ \left(t\right)> \cdot dt $.
Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений
Пусть необходимо найти объем пространственного тела, координаты точек которого удовлетворяют условиям $a\le x\le b$, и для которого известны площади сечений $S\left(x\right)$ плоскостями, перпендикулярными оси $Ox$.
Формула для вычисления объема такого тела имеет вид $V=\int \limits _^S\left(x\right)\cdot dx $.
Объем тела вращения
Пусть на отрезке $\left[a,\; b\right]$ задана неотрицательная непрерывная функция $y=y\left(x\right)$, образующая криволинейную трапецию (КрТ). Если вращать эту КрТ вокруг оси $Ox$, то образуется тело, называемое телом вращения.
Вычисление объема тела вращения является частным случаем вычисления объема тела по известным площадям его параллельных сечений. Соответствующая формула имеет вид $V=\int \limits _^S\left(x\right)\cdot dx =\pi \cdot \int \limits _^y^ \left(x\right)\cdot dx $.
Пусть некоторая плоская фигура в декартовой прямоугольной системе координат $xOy$ сверху ограничена кривой $y=y_ \left(x\right)$, снизу -- кривой $y=y_ \left(x\right)$, где $y_ \left(x\right)$ и $y_ \left(x\right)$ -- неотрицательные непрерывные функции, а слева и справа вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$ соответственно. Тогда объем тела, образованного вращением этой фигуры вокруг оси $Ox$, выражается ОИ $V=\pi \cdot \int \limits _^\left(y_^ \left(x\right)-y_^ \left(x\right)\right)\cdot dx $.
Пусть некоторая плоская фигура в декартовой прямоугольной системе координат $xOy$ справа ограничена кривой $x=x_ \left(y\right)$, слева -- кривой $x=x_ \left(y\right)$, где $x_ \left(y\right)$ и $x_ \left(y\right)$ -- неотрицательные непрерывные функции, а снизу и сверху горизонтальными прямыми $y=c$ и $y=d$ соответственно. Тогда объем тела, образованного вращением этой фигуры вокруг оси $Oy$, выражается ОИ $V=\pi \cdot \int \limits _^\left(x_^ \left(y\right)-x_^ \left(y\right)\right)\cdot dy $.
Площадь поверхности тела вращения
Пусть на отрезке $\left[a,\; b\right]$ задана неотрицательная функция $y=y\left(x\right)$ с непрерывной производной $y'\left(x\right)$. Эта функция образует КрТ. Если вращать эту КрТ вокруг оси $Ox$, то она сама образует тело вращения, а дуга КрТ -- его поверхность. Площадь поверхности такого тела вращения выражается формулой $Q=2\cdot \pi \cdot \int \limits _^y\left(x\right)\cdot \sqrt \left(x\right)> \cdot dx $.
Предположим, что кривую $x=\phi \left(y\right)$, где $\phi \left(y\right)$ -- заданная на отрезке $c\le y\le d$ неотрицательна функция, вращают вокруг оси $Oy$. В этом случае площадь поверхности образованного тела вращения выражается ОИ $Q=2\cdot \pi \cdot \int \limits _^\phi \left(y\right)\cdot \sqrt <1+\phi '^<2>\left(y\right)> \cdot dy $.
Пусть требуется найти значение какой – либо геометрической или физической величины (площадь фигуры, объем тела, давление жидкости на вертикальную пластину и т.д.), связанной с отрезком изменения независимой переменной x. Предполагается, что при разбиении отрезка точкой на части [a,c] и [c,b] значение величины , соответствующее всему отрезку равно сумме ее значений, соответствующих [a,c] и [c b]
Для нахождения этой величины можно руководствоваться одной из двух схем: I схема (или метод интегральных сумм) и II схема (или метод дифференциала).
Первая схема базируется на определении определенного интеграла.
.
При нахождении приближенного значения допустимы некоторые упрощения: дугу на малом участке можно заменить хордой, стягивающей ее концы; переменную скорость на малом участке можно приближенно считать постоянной и т. д.
Получим приближенное значение величины в виде интегральной суммы:
3. Искомая величина равна пределу интегральной суммы, т. е.
Схема I была применена для выяснения геометрического и физического смысла определенного интеграла.
1) на отрезке а,b выбираем произвольное значение х и рассматриваем переменный отрезок [a,x На этом отрезке величина становится функцией , т. е. считаем, что часть искомой величины есть неизвестная функция , где - один из параметров величины ;
2) находим главную часть приращения при изменении x на малую величину , т. е. находим дифференциал d функции , где определяемая из условия задачи, функция переменной x (здесь также возможны различные упрощения);
3) считая, что при находим искомую величину путем интегрирования в пределах от до :
· Вычисление длины дуги плоской кривой
Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая AB, уравнение которой, , где .
Под длиной дуги AB понимается предел, к которому стремиться длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена ее стремиться к нулю.
Покажем, что если функция и ее производная непрерывна на отрезке , то кривая АВ имеет длину, равную
Применим схему I (метод сумм).
1. Точками разобьем отрезок на частей (рис. 2). Пусть этим точкам соответствуют точки на кривой AB. Проведем хорды , длины которых обозначим соответственно через
Получим ломанную длина которой равна
2. Длину хорды (или звена ломаной) можно найти по теореме Пифагора из треугольника с катетами Δ и Δ :
где , .
По теореме Лагранжа о конечном приращении функции
поэтому
а длина всей ломанной равна
3. Длина кривой AB, по определению, равна
Заметим, что при также и и, следовательно, . Функция непрерывна на отрезке так как, по условию, непрерывна функция Следовательно, существует предел интегральной суммы (1), когда :
Если уравнение кривой АВ задано в параметрической форме
,
Где и – непрерывные функции с непрерывными производными и , , то длина кривой АВ находится по формуле
Формула (3) может быть получена из формулы (2) подстановкой
,
· Вычисление объема тела
Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений.
Пусть требуется найти объем тела, причем известны площади сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси, например оси
Применим схему II (метод дифференциала).
1. Через произвольную точку проведем плоскость, перпендикулярную оси (рис. 3). Обозначим через площадь сечения тела этой плоскостью; считаем известной и непрерывно изменяющейся при изменении . Через обозначим объем части тела, лежащее левее плоскости. Будем считать, что на отрезке величина есть функция от x, т. е.
3. Находим искомую величину путем интегрирования в пределах от
.
Полученная формула называется формулой объема тела по площади параллельных сечений.
Объем тела вращения.
Пусть вокруг оси вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией , отрезком и прямыми и (рис. 4). Полученная от вращения фигура называется телом вращения.
Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси , проведенной через произвольную точку оси , есть круг с радиусом . Следовательно,
Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции и прямыми , то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси , по аналогии с формулой (5), равен
· Вычисление площади поверхности вращения
Пусть кривая АВ является графиком функции , где , а функция и ее производная непрерывны на этом отрезке.
Найдем площадь поверхности, образованной вращением кривой АВ вокруг оси .
Применим схему II (метод дифференциала).
1. Через произвольную точку проведем плоскость, перпендикулярную оси . Плоскость пересекает поверхность вращения по окружности с радиусом (рис. 5). Величина поверхности части фигуры вращения, лежащей левее плоскости, является функцией от , т.е.
и
2. Дадим аргументу приращение . Через точку также проведем плоскость, перпендикулярную оси . Функция получит приращение . Найдем дифференциал площади , заменяя образованную между сечениями фигуру усеченным конусом, образующая которого равна , а радиусы оснований равны и . Площадь его боковой поверхности равна
Отбрасывая произведение как бесконечно малую высшего порядка, чем получаем , или, так как
, то
3. Интегрируя полученное равенство в пределах получаем
.
Если кривая AB задана параметрическими уравнениями то формула для площади поверхности вращения принимает вид
· Вычисление площади плоской фигуры
Пусть функция непрерывна на сегменте Если на [a,b], то площадь S криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=f(x), y=0, x=a, x=b, равна интегралу
Если же на то — на Поэтому площадь S соответствующей криволинейной трапеции выразится формулой
Если, наконец, кривая пересекает ось Ох, то сегмент надо разбить на части, в пределах которых не меняет знака, и к каждой такой части применить ту из формул, которая ей соответствует.
· Вычисление площади цилиндрической поверхности
Введем дугу в качестве параметра; тогда не только уравнения и кривой AB заменятся уравнениями и но и уравнение перейдет в уравнение . Впишем в кривую АВ ломаную и, в соответствии с этим, в кривую CD – ломаную , из трапеций составим призматическую поверхность, вписанную в рассматриваемую цилиндрическую поверхность. Под площадью цилиндрической поверхности будем понимать предел P площади Q призматической поверхности при стремлении к нулю наибольшей из частичных дуг. Полагая, что , имеем
Предел суммы будет вычисляться по формуле
в которой легко узнать интегральную сумму. Окончательно
Возвращаясь к произвольному параметру t, легко получить и общую формулу
Наконец, для случая явного задания кривой АВ: y=f(x) эта формула перепишется так:
Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси функции,, непрерывной вместе со своей первой производной, вычисляется по формуле:.Пример. Вычислить поверхность шара радиуса. Решение: полагаем, что поверхность шара (сфера) образована вращением окружности вокруг оси. Изуравненияокружности,. Тогда. Заключение. Определенныйинтеграл — одно из основных понятий математического анализа… Читать ещё >
Приложения определённых интегралов ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )
Содержание
- ВВЕДЕНИЕ
- ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
- ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
- 1. 1. Вычисление площади плоской фигуры
- 1. 2. Вычисление объема тела вращения
- 1. 3. Вычисление длины дуги
- 1. 4. Вычисление поверхности тел вращения
Замечание.Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой и прямыми вращается вокруг оси, то объем полученного тела вращения вычисляется по формуле.Пример. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями (см. рис. 12).Решение:
Рис. 12. Тогда. Вычисление длины дуги
Длина дуги плоской кривой, определенной в прямоугольных координатах уравнением, , находится по формуле, где и — соответственно абсциссы начала и конца дуги. Вывод формулы стандартный для интегрального исчисления: получить соответствующуюю интегральную сумму и совершить предельный переход.Пример. Вычислить длину дуги кривой от до. Решение: найдем производную функции :=ctgxНаходим подынтегральное выражение:.Отсюда:.Ответ:.Если кривая задана параметрическими уравнениями, то длина дуги этой кривой вычисляется по формуле:.Пример. Вычислить длину одной арки циклоиды:
Решение: найдем производные: ,. Тогда. Следовательно, .
1.4. Вычисление поверхности тел вращения
Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси функции, , непрерывной вместе со своей первой производной, вычисляется по формуле:.Пример. Вычислить поверхность шара радиуса. Решение: полагаем, что поверхность шара (сфера) образована вращением окружности вокруг оси. Изуравненияокружности,. Тогда. Заключение
Определенныйинтеграл — одно из основных понятий математического анализа. Он является мощным средством исследования в различных областях знаний. Интегральное исчисление дает богатый математический аппарат для исследования различных процессов. Литература
Пискунов, Н. С Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов/Н.С.Пискунов.
М.: Наука, 1978 — 1996.-Т.
1.Щипачев, В. С. Курс высшей математики/В.С.Щипачев.-М.:Изд. МГУ, 1981.-Т.
1.Минорский, В. П. Сборник задач по высшей математике/В.П.Минорский.- М.: Наука, 1971
Сборник задач по математике для втузов/ под ред. А. В. Ефимова и Б. П. Демидовича . — М.: Наука, 1981.
Читайте также: