Представление чисел в цвм реферат
Обновлено: 04.07.2024
Для многих чисел указанный процесс умножения потенциально никогда не кончается. Поэтому он продолжается до тех пор, пока не будет получено необходимое число цифр дробной части. При переводе числа с целью представления ее в “машинной” форме можно точно указать требуемое количество цифр. (Это будет рассматриваться позже, в разделе 1.5).
Пример. Перевести в двоичную систему счисления десятичную дробь 0,7243.
Основание исходной системы счисления R=10. Основание новой системы счисления Q=2.
Согласно приведенного правила исходное число 0,7243 надо умножать на основание новой системы (на 2) по правилам десятичной системы счисления (исходная с/с). Выполним серию умножений до получения, например, шести цифр в двоичном числе:
Искомые цифры дроби:
0,7243 * 2 = 1 ,4486 1 -> старшая цифра
0,4486 * 2 = 0 ,8972 0
0,8942 * 2 = 1 ,7944 1
0,7944 * 2 = 1 ,5888 1
0,5888 * 2 = 1 ,1776 1
0,1776 * 2 = 0 ,3552 0
0,3552 * 2 = 0 ,7104 0
Искомое представление число 0,7243 в двоичной системе счисления -> 0,101110.
Обратите внимание, что для получения шести цифр дроби выполнено семь умножений
Это связано с необходимостью выполнить округление, чтобы представить дробь заданной длины более точно.
Из последнего примера, конечная дробь в одной системе счисления может стать бесконечной в другой. Это утверждение справедливо для всех случаев, когда одна система счисления не может быть получена возведением в целую степень основания другой.
· Десятичная дробь 0,2 представляется бесконечной дробью 0,33333. в шестнадцатиричной системе счисления (основания с/с 10 и 16).
· Шестнадцатиричная дробь 0,В1 представляется конечной дробью 0,10110001 в двоичной системе счисления (основания с/с 16 и 2).
Правило 3. Перевод неправильной дроби
Перевод неправильной дроби из одной системы счисления в другую осуществляется отдельно для целой и дробной части по правилам, изложенным выше.
1.3. Двоичные коды для десятичных цифр
В ряде случаев в вычислительной технике применяется не только двоичная, но и десятичная система счисления. Однако и в этом случае для представления десятичных цифр используется оборудование, разработанное для представления двоичных цифр. В этом случае говорят о двоично-десятичных кодах десятичных цифр.
Согласно формулы Хартли для представления 10 различных цифр требуется четыре бита информации:
Представление действительных чисел в памяти компьютера в двоичных кодах с фиксированной и плавающей запятой. Форма представления и основные форматы хранения числовых данных с плавающей запятой. Выполнение арифметических операций с такими числами.
| Рубрика | Программирование, компьютеры и кибернетика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 10.01.2016 |
| Размер файла | 28,9 K |
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Представление числовых данных в памяти ЭВМ
Содержание
1. Способы представления чисел в памяти ЭВМ
2. Форма представления чисел с плавающей точкой
3. Форматы хранения чисел с плавающей точкой
Введение
Множество целых чисел бесконечно, но мы всегда можем подобрать такое число бит, чтобы представить любое целое число, возникающее при решении конкретной задачи. Множество действительных чисел не только бесконечно, но еще и непрерывно, поэтому, сколько бы мы не взяли бит, мы неизбежно столкнемся с числами, которые не имеют точного представления. Числа с плавающей запятой - один из возможных способов представления действительных чисел, который является компромиссом между точностью и диапазоном принимаемых значений.
Число с плавающей запятой состоит из набора отдельных разрядов, условно разделенных на знак, знак порядка, порядок и мантиссу. Порядок и мантисса - целые числа, которые вместе со знаком дают представление числа с плавающей запятой.
1. Способы представления чисел в памяти ЭВМ
Числа в памяти ЭВМ в двоичных кодах представляются как с фиксированной точкой (запятой), так и с плавающей точкой (запятой).
Представление чисел в формате с фиксированной точкой получило название естественная форма числа, а представление с плавающей точкой - нормальная форма числа.
Для чисел в естественной форме положение точки жестко фиксируется:
- для целых чисел точка располагается справа от младшего разряда:
- для правильных дробей - перед старшим разрядом:
- для смешанных дробей - в определенном месте, отделяющем целую часть числа от дробной:
Наиболее часто такая форма используется для целых чисел и целых чисел без знака. Количество разрядов может быть либо 16 (формат H), либо 32 (формат F) (рис. 1)
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Современный персональный компьютер позволяет работать с разнообразными данными: числами, символьными данными (текстом), графическими данными, звуковыми данными.
Все данные в компьютере хранятся и обрабатываются в унифицированном (единообразном) виде – двоичном цифровом коде. Требуется это для того, чтобы большое количество различных видов данных можно было обрабатывать одним устройством.
Числа, используемые человечеством, представляют бесконечно непрерывный ряд, различаются на положительные и отрицательные числа, целые и дробные, рациональные и иррациональные. Реализовать представление такого бесконечного множества в технических устройствах невозможно. Необходимы ограничения, как диапазона, так и точности представления чисел, система компьютерного представления чисел конечна и дискретна. В компьютерах размеры ячеек памяти (регистров) фиксированы, причем ограничения налагаются и на диапазон, и на точность представления чисел. Кроме того целесообразно представлять числа в той форме, на которую требуется меньшее количество компьютерной памяти.
При разделении записи числа на составляющие (знак числа, значение числа, знак порядка, значение порядка) легче перейти к конечной и дискретной форме, необходимой для представления в компьютере.
Любое действительное число можно записать в нормальной форме:
A = ± m × P q , где
m – правильная дробь, называемая мантиссой числа
P – основание системы счисления
q – целое число, называемое характеристикой.
На пример, запись числа в нормальной форме имеет вид:
12345,67 = 0,1234567 ´ 10 5 ;
- 9875=- 0,9875 ´ 10 4
Каждый разряд десятичного числа отличается от соседнего на степень числа 10, умножение на 10 равносильно смещению десятичного разделителя на одну позицию вправо. Деление на 10 сдвигает десятичный разделитель на позицию влево. Поэтому можно продолжить любое равенство:
12345,67 = 0,1234567 ´ 10 5 = 1,234567 ´ 10 4 = 0,01234567 ´ 10 7 = 1234567 ´ 10 -2
В целях эффективного использования памяти для представления в компьютере целых чисел (вещественных с нулевой дробной частью) и вещественных (дробная часть которых предполагается ненулевой) используются различные форматы. Стандартными форматами для целочисленного хранения являются байт, слово (двухбайтовый регистр) и двойное слово (четырехбайтовый регистр).
При хранении вещественного числа используются форматы одинарной точности (32-разрядный) и двойной точности (64 - разрядный).
Разделение способов хранения целых и вещественных чисел объясняется тем, что большое количество информации представляет собой именно целочисленные данные, а, как было указано выше, форматы хранения целых чисел экономичнее форматов хранения вещественных чисел.
Целые числа хранятся в компьютере в форме записи с фиксированной точкой (в англоязычных странах разделитель целой и дробной части числа обозначается точкой). Такое представление предполагает, что разделить целой и дробной части находится вне разрядной сетки числа, справа от младшего цифрового разряда, т.е. дробная часть равна нулю.
Всего в разрядную сетку регистра-байта с помощью двоичного кода можно записать 256 вариантов значений: 2 8 =256. Иначе говоря, одного байта достаточно, чтобы записать целое положительное число (в двоичной системе счисления) в диапазоне от 0 до 256.
Еще одна возможность использования одного байта – хранение знакового диапазона: в этом случае старший (самый левый) бит разрядной сетки отводится под признак знака (1 – отрицательное число, 0 – положительное число), при этом количество значимых байтов уменьшается до семи, а диапазон числа будет иным, от -2 7 =-128 до 2 7 =128.
Такой диапазон чисел явно недостаточен даже для бытовых расчетов. Для записи числа, принадлежащего большему диапазону, требуется памяти больше, чем один байт. Двухбайтовая ячейка (часто ее называют словом) дает диапазон хранения чисел соответственно 0–65536 либо, для знаковых целых чисел -32768 – 32767.
В редких случаях также используется представление целых чисел в четырехбайтовых ячейках. В некоторых случаях для хранения целых чисел небольшого разряда используют упаковку в 64-разрядное слово. Такое случается при использовании мультимедийной информации.
В современной микропроцессорной технике используются все указанные форматы хранения целых чисел.
Говоря о хранении вещественных чисел, следует особо рассмотреть вопрос точности их представления. При бытовых исчислениях обычно обходятся точностью до 2-3-го десятичного знака после запятой, практика научных и инженерных измерений использует 5-6 знаков. Однако нельзя исключать возможность использования очень длинной дробной части числа (допустим, числа p с высокой точностью) или бесконечной периодической дроби (например, результат деления 1/3).
Длина ячейки памяти конечна (кратна 8, разрядной длине байта), следовательно, имея в виду вышесказанное дробную часть нужно усекать до некоторой длины – для обеспечения оговоренной точности. В дальнейшем, при выполнении арифметических действий, неточности такого рода нарастают.
В компьютерах используется представление рациональных чисел с плавающей точкой.
Для представления двоичного числа с плавающей точкой требуется два битовых поля разной длины для отдельного хранения мантиссы и порядка. Точность хранения числа определяется количеством разрядов, отведенных для хранения мантиссы.
В целях увеличения количества разрядов мантиссы (а значит количества значащих цифр) вещественные числа хранятся в нормализованном виде. Нормализованное число в старшем разряде мантиссы обязательно имеет цифру отличную от нуля:
0,005432110*10 3 =0,5432110*10 5 – нормализованное десятичное число
0,01001012*2 -2 = 0,1001012*2 -1 – нормализованное двоичное число
Формат чисел одинарной точности использует старший бит как знаковый флаг, 8 разрядов для хранения порядка и 23 разряда для хранения мантиссы.
В пособии рассматриваются способы представления информации в цифровых вычислительных машинах, позиционные системы, основы машинной арифметики. Изложение материала сопровождается примерами. Включённые в пособие методические материалы по выполнению соответствующей лабораторной работы и пример её выполнения позволяют студенту самостоятельно изучить соответствующий раздел курса.
Позиционные системы счисления
Выполнение любых вычислений базируется на определенной форме представления чисел. Это определяется принятой системой счисления - совокупностью символов и правил для представления чисел. Символы называются цифрами данной системы счисления. Системы счисления могут быть позиционными и непозиционными.
Непозиционной системой называется такая, в которой значение символа не зависит от его места расположения в числе. Для образования числа в непозиционной системе счисления используются операции арифметического сложения и вычитания. Примером непозиционной системы счисления является римская:
В позиционной системе счисления значение каждого символа-цифры зависит от его места расположения в числе. Справедливо следующее представление числа в позиционной системе счисления:
x(q) - число в системе счисления с основанием q;
a i - цифра i-ого разряда в числе;
n - количество целых разрядов числа;
m - количество дробных разрядов числа.
Под основанием системы счисления q, с одной стороны, понимают количество различных цифр, ее образующее, а с другой стороны - число, показывающее во сколько раз вес цифры данного разряда меньше веса соседнего старшего разряда.
Очевидно, что используемая система счисления определяет набор правил (алгоритмов) выполнения операций над числами. Поэтому важное значение имеет правильное представление чисел и преобразование чисел в различных системах счисления.
Наибольшее распространение в вычислительной технике имеют системы счисления с основаниями 2,8,16 - двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная.
Перевод чисел из одной системы счисления в другую.
Здесь различают три ситуации при переводе чисел:
- перевод числа из десятичной системы в систему с любым основанием;
- перевод числа из системы с любым основанием в десятичную;
- перевод числа из системы с основанием q1 в систему с основанием q2.
Правила, используемые для перевода целых и дробных чисел различны.
Для перевода целого числа из десятичной системы счисления в систему с основанием q, число нужно последовательно делить на основание q до тех пор, пока не будет получена целая часть частного, равная 0, то есть будет получен остаток от деления, меньший q. Число в системе счисления с основанием q записывается в виде упорядоченной последовательности остатков от деления в порядке, обратном получению остатков, то есть старшей цифрой числа будет последний остаток.
При переводе числа в шестнадцатеричную систему счисления необходимо помнить, что шестнадцатеричные числа представляются символами 1, 2, . 8, 9, A(10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15).
Для перевода правильной дроби из десятичной системы счисления в систему с основанием q число нужно последовательно умножать на основание q (причем умножению подвергаются только дробные части) до тех пор, пока не будет обеспечена заданная точность представления числа. Дробь в системе счисления с основанием q записывается в виде упорядоченной последовательности целых частей произведений в порядке их получения. Если требуемая точность перевода q, то число указанных последовательных произведений (то есть цифр в представлении дроби) равно k+1. По (k+1)-ой цифре производится округление k-той цифры.
Пример : перевести число 9510 в следующие системы счисления:
Вы можете изучить и скачать доклад-презентацию на тему Представление чисел в ЭВМ. Презентация на заданную тему содержит 22 слайдов. Для просмотра воспользуйтесь проигрывателем, если материал оказался полезным для Вас - поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте наш сайт презентаций в закладки!
Общие сведения Любые данные (числа, символы, графические и звуковые образы) в компьютере предста-вляются в виде последовательностей из нулей и единиц.
Общие сведения Эти последовательности можно считать словами в алфавите <0,1>, так что обработку данных внутри компьютера можно воспринимать как преобразование слов из нулей и единиц по правилам, зафиксированным в микросхемах процессора.
Элемент последовательности из нулей и единиц (член такой последовательности) называют битом. Отображение внешней информации во внутреннее представление называется кодированием.
Кодом (франц. code, от лат. codex — свод законов) называют как сам способ отображения, так и множество слов (кодовых комбинаций), используемых при кодиро-вании.
Память ЭВМ построена из запоминающих элементов, обладающих двумя устойчивыми состояниями, одно из которых соответствует нулю, а другое - единице. Совокупность определенного количества этих элементов служит для представления многоразрядных двоичных чисел и составляет разрядную сетку ЭВМ.
Числа с фиксированной точкой При представлении в ЭВМ чисел в естественной форме устанавливается фиксированная длина разрядной сетки. При этом распределение разрядов между целой и дробной частями остается неизменным для любых чисел.
Числа с фиксированной точкой В связи с этим в информатике существует другое название естественной формы представления чисел - с фиксированной точкой (запятой).
Работая на компьютере, мы можем вводить числа с фиксированной запятой в любом виде. Работая на компьютере, мы можем вводить числа с фиксированной запятой в любом виде. Так же они будут высвечиваться на экране компьютера, но перед занесением в память компьютера они преобразуются в соответствии с разрядной сеткой и хранятся либо с запятой, фиксированной после последнего разряда (целые числа), либо с запятой перед старшим разрядом дроби.
Обычно целые числа в ЭВМ занимают один, два или четыре байта. Обычно целые числа в ЭВМ занимают один, два или четыре байта. Один, как правило, старший бит отводится под знак числа. Знак положительного числа "+" кодируется нулем, а знак отрицательного числа "-" - единицей. Целые числа без знака в двух байтовом формате могут принимать значения от 0 до 216-1 (до 65535), а со знаком "-" от -215 до 215-1, то есть от -32768 до 32767.
Во всех разрядах всегда должно быть что-то записано, даже если это "незначащий" ноль. Число располагается так, что его самый младший двоичный разряд записывается в крайний правый бит разрядной сетки. Во всех разрядах всегда должно быть что-то записано, даже если это "незначащий" ноль. Число располагается так, что его самый младший двоичный разряд записывается в крайний правый бит разрядной сетки. Например, десятичное число 19 (100112) в 16-разрядной сетке записывается так:
Пример 1. Пусть разрядная сетка имеет 8 двоичных разрядов. Разместить в ней двоичное число –101112. Пример 1. Пусть разрядная сетка имеет 8 двоичных разрядов. Разместить в ней двоичное число –101112.
Числа с плавающей точкой (запятой) Для представления вещественных чисел используется логарифмическое представление, или форма с плавающей точкой, или экспоненциальная форма. Она была введена в обиход в 1937 году немецким ученым Конрадом Цузе. Формальная запись такой формы имеет вид: x = m×b e, x – вещественное число, m – мантисса числа, b – основание системы счисления, e – порядок (целое). При обозначении основания b и порядка e используется, как правило, десятичная система счисления. При обозначении мантиссы m применяется, как правило, та система счисления, в которой представлено само число x.
Данная форма позволяет перемещать десятичную запятую в вещественном числе вправо и влево, не меняя истинного значения числа. Данная форма позволяет перемещать десятичную запятую в вещественном числе вправо и влево, не меняя истинного значения числа. Мантисса нормализованного числа может изменяться в диапазоне: 1/q ≤ | m |
Для представления чисел в машинном слове выделяют группы разрядов для изображения мантиссы, порядка, знака числа и знака порядка: Для представления чисел в машинном слове выделяют группы разрядов для изображения мантиссы, порядка, знака числа и знака порядка: а) представление чисел в формате полуслова
Наиболее типично представление ЧПТ в формате слова (32 разряда). Наиболее типично представление ЧПТ в формате слова (32 разряда). Пример 2. Число А=-3.510=-11.12=-0.111х1010
Пример 3. Выполнить представление в логарифмической форме десятичного числа 34,28, превратив его в правильную дробь. Пример 3. Выполнить представление в логарифмической форме десятичного числа 34,28, превратив его в правильную дробь. Для решения этой задачи надо десятичную запятую в числе сместить как минимум на 2 разряда влево, т.е. в таком случае уменьшить число на 2 порядка. Для сохранения первоначального значения числа введем в его запись порядок, равный +2. Имеем: 34,28 = 0,3428×10+2. Здесь 0,3428 – мантисса числа, 10 – основание системы счисления, +2 (можно просто 2) – порядок.
Пример 4. Выполнить представление в логарифми-ческой форме двоичного числа 0,1011012, превратив его в целое число. Пример 4. Выполнить представление в логарифми-ческой форме двоичного числа 0,1011012, превратив его в целое число. Для решения задачи необходимо сдвинуть десятичную запятую на 6 разрядов вправо, т.е. увеличить число на 6 порядков. Для сохранения первоначального значения числа в его запись введем порядок, равный -6. Имеем: 0,1011012 = 1011012×2-6. Для простоты обозначения числа в логарифмической форме используют специальный разделитель – букву Е (от слова exponential, англ., - экспоненциальный). Тогда результаты из предыдущих примеров приобретут другой вид: 0,3428 ×102 = 0,3428Е2, 1011012 × 2-6 = 1011012Е-6.
Разновидностью экспоненциальной формы является ее нормализованный вид. Разновидностью экспоненциальной формы является ее нормализованный вид. Нормализованное вещественное число в экспоненциальной форме имеет мантиссу в виде правильной дроби, у которой старший дробный разряд отличен от 0. Например, 0,2345; 0,10112; 0,ADC2316. Разрядная сетка для вещественного числа состоит из двух частей: одна предназначена для размещения порядка, другая – для мантиссы. По одному разряду в обеих частях отводится для знака - порядка и мантиссы. Перед размещением в разрядной сетке вещественное число в обязательном порядке должно быть нормализовано.
Пример 5. Пусть разрядная сетка имеет 14 двоичных разрядов, из них 5 разрядов отводятся под порядок, 9 – под мантиссу. Пусть под знак отводятся самые левые разряды в соответствующих частях разрядной сетки. Разместить в сетке двоичное отрицательное число -0,11101101112Е4. Пример 5. Пусть разрядная сетка имеет 14 двоичных разрядов, из них 5 разрядов отводятся под порядок, 9 – под мантиссу. Пусть под знак отводятся самые левые разряды в соответствующих частях разрядной сетки. Разместить в сетке двоичное отрицательное число -0,11101101112Е4. Результат показан на рисунке:
Читайте также: