Последовательности и прогрессии в жизни реферат
Обновлено: 05.07.2024
2. Оглавление
1. Введение
2. Историческая справка
3. Понятие последовательности, прогрессии
4. Решение задач древности и современного
мира при помощи свойств и формул
прогрессий
5. Исследовательская работа
6. Способы решения задач, используемых в
ЕГЭ по математике
7. Заключение
8. Список используемой литературы
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
1
2
4
3. 1.Введение
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Проблема , изложенная в моем проекте, заключается в том, что для
успешной сдачи ЕГЭ требуется умение решать задачи на
последовательности и прогрессии (задание вида С6). Но в курсе
средней школы эта тема изучается только в 9 классе и немного в
10. По моему мнению, в процессе изучения материала
недостаточное внимание уделяется задачам повышенной
трудности, умение решать которые –необходимое условие для
качественной подготовки к ЕГЭ.
Цель:
1)Узнать, как открыли прогрессии, кто из математиков занимался
этим вопросом;
2)Узнать применение формул арифметической и геометрической
прогрессии при решении задач древности;
3) Хорошо подготовиться к сдаче ЕГЭ, научившись решать задания
вида С6.
1
2
4
4. Задачи исследования: 1.Расширить свои знания в математике, связанные с понятием “последовательности и прогрессии”. 2.Повысить
5. 2.Историческая справка.
6. Арифметическая и геометрическая прогрессии в древности.
7. 3.Понятие последовательности и прогрессии. Основные виды.
Числовая последовательность - множество чисел, занумерованных с помощью
чисел0001
и расположенных
0011 натуральных
0010 1010 1101
0100 1011 в порядке возрастания их номеров, т.е. а1, а2,
а3, …, an, … или сокращенно (an). Числа, из которых составлена
последовательность, называют членами.
1
2
4
Последовательность бывает: стационарная, устанавливающаяся, ограниченная,
неограниченная, монотонная и другие.
8. Прогрессия.
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Прогрессия - последовательность чисел,
получаемых по некоторому правилу.
1
2
4
9. Арифметическая прогрессия.
Арифметическая прогрессия –
это последовательность чисел,
в которой каждый член
получается из предыдущего
путем прибавления к нему
одного и того же числа,
называемого разностью этой
арифметической прогрессии.
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
1
2
4
10. Геометрическая прогрессия.
Геометрическая прогрессия это последовательность чисел,
все члены которой отличны от
нуля и каждый член которой,
начиная со второго, получается
из предыдущего члена
умножением его на одно и то
же число q, называемое
знаменателем геометрической
прогрессии.
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
1
2
4
11. 4.Решение задач древности и современного мира при помощи свойств и формул прогрессий.
Абрахам
Муавр
– 1011
0011
0010 1010де
1101
0001 0100
английский математик, обнаружил,
что продолжительность его сна
увеличивается на 15 минут в день.
Составив арифметическую
прогрессию, он определил дату,
когда она достигла бы 24 часов.
Это — 27 ноября 1754 года. В этот
день он и умер.
Так с помощью арифметической
прогрессии можно предугадать
какой-либо результат развития
природного явления.
1
2
4
12. Какую награду получил Полководец Теренций от скупого императора?
13. Задача № R79 папируса Ринда.
14. Задача из современного мира.
В соревнованиях по стрельбе за каждый промах в серии из 25 выстрелов
стрелок
получал
штрафные
очки: за первый промах - одно очко, за
0011 0010
1010
1101 0001
0100 1011
каждый последующий – на 0,5 очка больше, чем за предыдущий.
Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 7 штрафных очков?
Решение:
Каждый промах является членом арифметической прогрессии (an).
Первый промах а1=1, Следующий промах а1+0,5 = a2, значит , d=0,5.
Всего штрафных очков Sn=7. Всего выстрелов 25.
Sn=
Получаем, что 7=
и в результате получается, что n=4.
Значит, стрелок попал в цель 21 раз (25-4=21 раз).
Ответ: 21 раз.
1
2
4
15. 5.Исследовательская задача.
5.Исследовательская задача.
Цель исследовательской работы: Выяснить применение формул
геометрической прогрессии при решении задач современного мира.
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Задачи исследования:
– Условие задачи,
– Решение задачи алгебраическим методом,
– Решение задачи с использованием формул геометрической прогрессии.
1
2
Задача: С какой скоростью распространяется важная и интересная информация в
школе?
4
Условие задачи: В нашей школе 1000 учеников. Учитель в 8.30 сообщил четырем
учащимся важную и интересную информацию. В свою очередь эти четыре
ученика рассказали эту информацию четырем своим соседям и так далее. За какое
время эта информация станет известна всем учащимся?
16. Решение задачи (способ I):
Время
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Число людей,
которым известна
информация.
8.45
1+4=5
9.00
5+4•4=21
9.15
21+4•16=85
9.30
85+4•64=341
9.45
341+4•256=1365
1
2
4
Если в 9.45 новость станет известна 1365 учащимся, а значит и 1000
учащимся будет известна тем более!
17. Решение задачи (способ II):
Решение задачи (способ II):
Зная формулу суммы n первых членов геометрической
0011 прогрессии,
0010 1010 1101
0001 0100 1011
определим
параметры задачи:
b1=1, q=4, Sn=1000, Sn=
,
1000=
=
,
решая это уравнение, получаем:
3001 = ,
Sn=
=
=1365.
1
2
4
Значит, в 9.45 важная информация станет известна 1365
учащимся, а значит и 1000 учащимся будет известна тем
более!
Ответ: понадобится менее часа.
6.Способы решения задач, используемых в ЕГЭ по
математике.
Задача:
Решение:
Бесконечная десятичная
Очевидно , а3 3, причем , а3=3 только если а1=1 и а2=2, то есть если
дробь устроена
десятичная дробь начинается: 0,123…(четвертая цифра не 0).
следующим
образом.
0011
0010 1010
1101 0001 0100 1011
Перед десятичной
Заметим, что таким образом начинается, например число
запятой стоит нуль.
m=10-1 + 2•10-2 + 3•10-3 + … + n•10-n + …
После запятой подряд
Найдем число m и проверим, удовлетворяет ли оно условиям задачи.
выписаны члены
Для этого запишем сумму подробнее:
возрастающей
m=10-1 + 10-2 + 10-3 + … +10-n + … +10-2 + 10-3 + … + 10-n + …. +
последовательности
10-3 + … + 10-n + … + …
натуральных чисел. В
В каждой строчке — сумма геометрической прогрессии со
результате получилось знаменателем 10-1 . Получаем:
рациональное число,
которое выражается
несократимой дробью,
знаменатель которой
Получается, что m — рациональное число, и оно представляется
меньше 100. Найдите
наименьшее возможное дробью со знаменателем 81, что меньше ста. Число m удовлетворяет
условию задачи и для этого числа .
значение а3.
1
Ответ: а3 =3.
2
4
Задача:
Все члены конечной
0011 последовательности
0010 1010 1101 0001
0100 1011
являются
натуральными числами. Каждый член
этой последовательности, начиная со
второго, либо в 15 раз больше, либо в
15 раз меньше предыдущего. Сумма
всех членов последовательности равна
2193.
А) может ли последовательность
состоять из двух членов?
Б) может ли последовательность
состоять из трех членов?
В) Какое наибольшее количество
членов может быть в
последовательности?
Решение:
А) Если последовательность состоит из двух
членов, а и 15а (в произвольном порядке), то
а+15а=2193. Уравнение 16а=2193 не имеет
решений в натуральных числах (а=137,0625).
Поэтому последовательность не может состоять
из двух членов.
Б) Последовательность может состоять из трех
членов: 129, 1935, 129, т.к. 129•15=1935. Сумма
всех членов этой последовательности
соответствует условию т.е. а1 + а2+а3=2193.
В) Приведем пример последовательности из 275
членов: 1;
1
2
4
Сумма ее членов равна 1+ 16•137=2193.
Оценка: Допустим, что в последовательности
более чем 275 членов. Разобьем первые 276
членов на 138 пар соседних членов: первый и
второй, третий и четвертый, пятый и шестой, и
т.д. Сумма двух членов в каждой паре делится на
16 и поэтому не меньше 16. Значит сумма всех
членов последовательности не меньше 16, чем
138•16=2208>2193. Противоречие.
Ответ: а) нет, б) да, в) 275.
20. Задача: Решение:
Задача:
На доске написано более 42, но
менее 56 целых чисел. Среднее
0011арифметическое
0010 1010 1101 этих
0001чисел
0100 равно
1011
4, среднее арифметическое всех
положительных чисел равно 14, а
среднее арифметическое всех
отрицательных чисел равно -7.
А) сколько чисел написано на
доске?
Б) каких чисел написано больше:
положительных или
отрицательных?
В) Какое наибольшее количество
отрицательных чисел может быть
среди них?
Решение:
Пусть написано k –положительных чисел, l
-отрицательных и m нулей. Сумма набора
чисел равна количеству чисел в этом
наборе, умноженному на его среднее
арифметическое, поэтому
14k-7l+0m=4(k+l+m).
А) В левой части каждое слагаемое
делится на 7, поэтому k+l+m делится на
7. По условию 42 l. Значит, положительных чисел
больше, чем отрицательных.
В) Оценка. Подставим k+l+m=49 в правую
часть равенства14k-7l=4(k+l+m),получим
14-7l=196, откуда l=2k-28. Так как k+l≤49,
получаем: 3k-28≤49, 3k≤77, k≤25; то есть
отрицательных чисел не более 22
(2•25-28=22).
Ответ: а) 49, б) положительных, в) 22.
1
2
4
21. Задача: Решение:
Задача:
Найдутся ли хотя бы
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
три десятизначных
числа, делящиеся на 11,
в записи каждого из
которых использованы
все цифры от 0 до 9?
Решение:
Число делится на 11 тогда и только тогда,
когда разность между суммами его цифр,
стоящих на нечётных и на чётных местах,
делится на 11. Запишем все цифры
подряд: 9 876 543 210. В написанном
числе указанная разность сумм равна 5.
Меняя местами, например, 5 и 8 (получим
число 9 576 843 210) , мы одну сумму
увеличиваем на 3, а другую уменьшаем на
3. Значит, разность между суммами его
цифр, стоящих на нечетных и на четных
местах, становится равной 11. Меняя
местами, например, 4 и 1 (получим число
9 876 513 240) , или 3 и 6 (получим число
9 873 546 210) , получаем числа, которые
делятся на 11. Значит, найдутся хотя бы
три десятизначных числа, которые
делятся на 11 без остатка, т.е.
9 576 843 210, 9 876 513 240,
9 873 546 210. В задаче не требуется
нахождение всех чисел, обладающих
указанным свойством. Ответ: да.
1
2
4
22. 7.Заключение.
Работа над проектом завершена. И я довольна результатом. Во-первых,
историю
последовательностей, как решать задачи
0011 узнала
0010 1010
1101 возникновения
0001 0100 1011
на эту тему, во-вторых, научилась решать эти задачи, в-третьих, думаю,
что достигла своей цели и поставленных задач.
Математика развивает мышление человека, учит посредством логики
находить разные пути решения. Так, научившись решать задачи на тему
последовательности и прогрессии, я поняла, что использовать их можно
не только для выполнения конкретных математических примеров, но и
для решения различных задач в жизни и в быту.
Я думаю, что проект может принести пользу не только мне, но и тем
учащимся, которые так же как и я, захотят ознакомиться с этой темой в
процессе подготовки к итоговой аттестации по математике в форме ЕГЭ.
Моя работа будет являться хорошим помощником им в этом.
1
2
4
Данный проект показывает примеры использования прогрессии в жизни, материал может быть использован учителем на уроках по заявленной теме.
Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение
Имени Героя Советского Союза Бориса Самуиловича Семёнова.
Руководитель: Метелёва Т.В.
Исполнитель: Куваев Максим
Глава1.Понятие числовой последовательности. История возникновения. . 4
Глава 2.Геометрические прогрессии в биологии………………………………6
Глава 3.Арифметические прогрессии в медицине, спорте и строительстве. ..8
Глава 4.Слухи и финансы…………………………………………………. 9
Таким образом, объектом моего исследования являются арифметическая и геометрическая прогрессия.
Предмет исследования: практическое применение этих прогрессий.
Гипотеза исследования: на уроках математики мы много раз слышали о том, что математика – наука очень древняя и возникла она из практических нужд человека. Видимо, и прогрессии имеют определенное практическое значение.
Цель исследования: установить картину возникновения понятия прогрессии и выявить примеры их применения.
1. Изучить наличие задач на прогрессии с практическим содержанием в различных учебных пособиях.
- когда и в связи с какими потребностями человека появилось понятие последовательности, в частности -прогрессии;
- какие ученые внесли большой вклад в развитие теоретических и практических знаний по изучаемой проблеме.
3. Установить: имеют ли арифметическая и геометрическая прогрессии прикладное значение?
4. Найти: задачи на применение прогрессий в нашей жизни.
Анализ школьных учебников математики, математической, справочной литературы, литературы по истории математики, материала из Интернета.
Обобщение найденных фактов в учебниках по биологии и по экологии, и в медицинских справочниках.
Глава1. Понятие числовой последовательности. История возникновения.
В этой части исследовательской работы, содержится информация по решению проблемного вопроса, представленной в начале работы, а именно: Арифметическая прогрессия — числовая последовательность, в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего увеличением его на определённое число.
Геометрическая прогрессия — последовательность чисел, в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число.
Понятие числовой последовательности возникло и развивалось задолго до создания учения о функциях. На связь между прогрессиями первым обратил внимание великий АРХИМЕД (ок. 287–212 гг. до н.э)
Термин “прогрессия” был введен римским автором Боэцием (в 6 веке) и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность. Названия “арифметическая” и “геометрическая” были перенесены из теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки.
Формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим ученым Диофантом (в 3 веке). Формула суммы членов геометрической прогрессии дана в книге Евклида “Начала” (3 век до н.э.).
Есть довольно интересная легенда, содержание которой позволяет сделать вывод о практическом применении геометрической прогрессии еще много-много лет назад.
Первые теоретические сведения, связанные с прогрессиями, дошли до нас в документах Древней Греции. В Древнем Египте в V в до н.э. греки знали прогрессии и их суммы: 1+2+3+…+n = =2+4+6+…+2n = n·(n+1). Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским ученым в V веке. Примеры отдельных арифметических и геометрических прогрессий можно встретить еще в древневавилонских и греческих надписях, имеющих возраст около четырех тысячелетий и более. В древней Греции еще пять столетий до н.э. были известны такие суммы:
В клинописных табличках вавилонян, как и в египетских папирусах, относящихся ко второму тысячелетию до нашей эры, встречаются примеры арифметических и геометрических прогрессий. В Германии молодой Карл Гаусс (1777-1855) нашел моментально сумму всех натуральных чисел от 1 до 100, будучи ещё учеником начальной школы.
=101x50 =5050. Это – арифметическая прогрессия.
О том, как давно была известна геометрическая прогрессия, свидетельствует знаменитое предание о создании шахмат. Рассказывают, что индийский принц Сирам рассмеялся, услышав, какую награду попросил у него изобретатель шахмат: за первую клетку шахматной доски – одно зерно, за вторую – два, за третью – четыре, за четвертую – восемь и так до 64-го поля. Здесь явная геометрическая прогрессия с первым членом, равным 1, и знаменателем, равным 2. В результате получилось 18 446 744 073 709 551 615 зёрен. Для такого урожая необходимо поле, которое превосходит сушу земного шара в 28 раз.
Каков же заложен потайной смысл в легенде? Умение применять математику может пригодиться в самой неожиданной ситуации.
Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и другие.
Глава 2. Геометрическая прогрессия в биологии.
Довольно часто, рассказывая о некоторых процессах в жизни, стараясь подчеркнуть некий смысл, говорят, что они растут в геометрической прогрессии. Какой в этом заложен смысл?
Все организмы обладают интенсивностью размножения в геометрической прогрессии. Примеры этих организмов:
ИНФУЗОРИИ… Летом инфузории размножаются бесполым способом делением пополам. Вопрос: сколько будет инфузорий после 15-го размножения?
Ответ: b15 = 2·2 14 = 32 768 (геометрическая прогрессия)
БАКТЕРИИ… Известно, что бактерии размножаются делением: одна бактерия делится на две; каждая из этих двух в свою очередь тоже делится на две, и получаются четыре бактерии; из этих четырех в результате деления получаются восемь бактерий и т. д. (геометрическая прогрессия). Результат каждого удвоения будем называть поколением.
Способность к размножению у бактерий настолько велика, что если бы они не гибли от разных причин, а беспрерывно размножались, то за трое суток общая масса потомства одной только бактерии могла бы составить 7500 тонн. Таким громадным количеством бактерий можно было бы заполнить около 375 железнодорожных вагонов.
Бактерия, попав в живой организм, к концу 20-й минуты делится на две бактерии, каждая из них к концу следующих 20 минут делится опять на две и т.д. Найдите число бактерий, образующихся из одной бактерии к концу суток. [Задача №524. Алгебра. 9 класс, в 2ч. Ч.2. Учебник для общеобра-зовательных учреждений/ Мордкович А.Г., П.В. Семенов , -М.: Мнемозина, 2014, -224с.(108) ]
Решение. В сутках 1440 минут, каждые двадцать минут появляется новое поколение - за сутки 72 поколения. По формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии, у которой b1=1, q=2, n=72, находим, что S72=2 72 -1= 4 722 366 482 869 645 213 696 - 1=
= 4 722 366 482 869 645 213 695 .Это число читается:
Интенсивность размножения бактерий используют в пищевой промышленности (для приготовления напитков, кисломолочных продуктов, при квашении, солении и др.), в фармацевтической промышленности (для создания лекарств, вакцин), в сельском хозяйстве (для приготовления силоса, корма для животных и др.), в коммунальном хозяйстве и природоохранных мероприятиях (для очистки сточных вод, ликвидации нефтяных пятен).
К сожалению, интенсивность размножения бактерий играет свою негативную роль, например, в период эпидемии гриппа.
ОДУВАНЧИК……. “Потомство одного одуванчика за 10 лет может покрыть пространство в 15 раз больше суши земного шара”.
Задача: одно растение одуванчика занимает на земле площадь 1 кв. метр и даёт в год около 100 летучих семян.
а) Сколько кв. км площади покроет всё потомство одной особи одуванчика через 10 лет при условии, если он размножается беспрепятственно по геометрической прогрессии?
Ответ: 1012 км 2
б) Хватит ли этим растениям на 11-й год места на поверхности суши земного шара?
Ответ: нет, Sсуши = 148 млн км 2
ТЛЯ……. Всего за пять поколений, то есть за 1 – 1,5 летних месяцев,
одна единственная тля может оставить более 300 млн. потомков, а за год её потомство способно будет покрыть поверхность земного шара слоем толщиной почти в 1 метр.
ВОРОБЬИ…… Потомство пары птиц величиной с воробья при продолжительности жизни в четыре года может покрыть весь земной шар за 35 лет.
Глава 3. Арифметические прогрессии в медицине, спорте строительстве.
Оказывается, прогрессии применяются и в медицине.
Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий. Приняв 40 капель, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)?
Найдя сумму п первых членов арифметической прогрессии, найдете, что вам надо купить 180 капель. Т.е. 2 пузырька лекарства. [Алгебра. 9 класс, в 2ч. Ч.2. Учебник для общеобразовательных учреждений/ Мордкович А.Г., П.В. Семенов , -М.: Мнемозина, 2014, -224с.(с.100)
Решение. Составим математическую модель задачи:
5, 10, 15,…,40, 40, 40, 35, 30,…,5
40=5+5(п-1),
Sп=((a1+aп)n)/2, S8 =(5+40)·8:2=180,
180 капель больной принимал по схеме в первый период и столько же по второй период. Всего он принял 180+40+180=400(капель), всего больной выпьет 400:250=1,6 (пузырька). Значит, надо купить 2 пузырька лекарства.
В спорте …Альпинисты в первый день восхождения поднялись на высоту 1400 м, а затем каждый следующий день они проходи ли на 100 м меньше, чем в предыдущий. За сколько дней они покорили высоту в 5000м?[Задача № 471 Алгебра. 9 класс, в 2ч. Ч.2. Учебник для общеобразовательных учреждений/ Мордкович А.Г., П.В. Семенов , -М.: Мнемозина, 2014, -224с.(с.100)
Дано: a1=1400; d=-100, Sn=5000. Надо найти n.
5000= (2·1400-100 · (n-1)) n:2; Условию задачи удовлетворяет
10000= (2800-100 n+100) n; n=4 ( при n=25 аn=-1000, но аn0)
10000= (2900-100 n) n; Значит, альпинисты покорили
100 n 2 -2900 n+10000=0; высоту за 4 дня.
n 2 -29 n+100=0; n=25, n=4. Ответ: за 4 дня.
В строительстве… Возведение многоэтажного здания — пример арифметической прогрессии. Каждый раз высота здания увеличивается на 3 метра.
Глава 4.Слухи и финансы.
Удивительно, как быстро разбегаются по посёлку слухи! Иной раз не пройдет и двух часов со времени какого– нибудь происшествия, которое видели всего несколько человек, а новость уже облетела весь посёлок: все о ней знают, все слышали. Итак, задача:
В поселке 16 000 жителей. Приезжий в 8.00 рассказывает новость трем соседям; каждый из них рассказывает новость уже трем своим соседям и т. д. Во сколько эта новость станет известна половине посёлка?
Если слух распространяется по посёлку и далее таким способом, то есть каждый узнавший эту новость успевает в ближайшие четверть часа передать её трём согражданам, то осведомление посёлка будет происходить по следующему расписанию:
в 9.00 новость узнают 40+27 ·3=121 (человек);
9.15 121+81 ·3 =364 (человек);
9.30 364+243 ·3=1093 (человек);
10.00 3280 + 2187 ·3 =9841(человек).
Эту задачу можно решить по-другому, используя формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии.
Для того, чтобы не попасть в затруднительное финансовое положение разберем механизм финансовых пирамид. Организатор начинает вовлекать в свою организацию и говорит, что, если внести указанную плату по указанным адресам по 1 рублю, а затем заплатить ещё по 5 таким же адресам, вычеркнув первый адрес и дописав свой последним, то через некоторое время вы получите уйму денег. Хотя желающих разбогатеть по щучьему веленью немало, но в выигрыше оказываются только учредители такой игры.
Решение: Дело в том, что число участников увеличивается в 5 раз с каждым кругом. Если пятёрка устроителей подпишет, допустим, 120 человек со своими адресами, то в первом круге участвуют 120 человек, во втором – 600, в третьем – 3 000, …, в десятом – 234 375 000 человек; это намного больше населения страны. Так что участник, включившийся в восьмом или девятом круге, уже ничего не получит.
Решение: данная зависимость строится по закону геометрической прогрессии. Для вычисления необходимой суммы нужно воспользоваться формулой сложных процентов. Необходимые вычисления вручную займут много времени, поэтому воспользуемся программой Excel.
Вклады… Срочный вклад, положенный в сберегательный банк, ежегодно увеличивается на 5%. Каким станет вклад через 5 лет, если вначале он был равен 1000р.?
(1000; 1050; 1102,5; 1157,625;1215,5025;…)
Таким образом, мы убедились, что арифметическая и геометрическая прогрессия существуют не только теоретически и знания основ этой темы помогает человеку легко ориентироваться в жизни, не попадая в неприятные ситуации.
Понятие арифметической прогрессии. Место арифметической и геометрической прогрессии в нашей жизни. Ученые, которые положили начало изучению прогрессий. Теоретические и практические основы решения задач. Примеры существования прогрессий в нашей жизни.
| Рубрика | Математика |
| Вид | научная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 26.04.2019 |
| Размер файла | 913,8 K |
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Арифметическая и геометрическая прогрессии в повседневной жизни
Актуальность
Видимо, прогрессии имеют определенное практическое значение.
В каких сферах деятельности человека используются знания об арифметической и геометрической прогрессиях?
Объект исследования: арифметическая и геометрическая прогрессии.
Выяснить, какое место в нашей жизни имеют арифметическая и геометрическая прогрессии.
Задачи исследования:
1) Выяснить, какие ученые положили начало изучению прогрессий.
2) Изучить теоретические сведения по данному вопросу.
3) Найти примеры существования и применения прогрессий в нашей жизни.
Методы исследования:
1) Анализ достоверных источников информации.
2) Сравнение различных сведений, касающихся исследования.
3) Систематизация и обобщение информации.
1. ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА
В задаче надо было найти сумму 64 членов геометрической прогрессии с первым членом единицей и знаменателем 2.
Известна история о немецком математике К. Гауссе (1777-1855). В детстве на уроке математике он поразил учителя тем, что быстро сложил числа от 1 до 100. Он использовал такой способ.
2.ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Арифметическая прогрессия
Определение. Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. Это число называется разностью арифметической прогрессии. Каждая арифметическая прогрессия имеет вид: a, a + d, a + 2d, a + 3d, . и обозначается знаком: ч
Свойства арифметической прогрессии:
n-ный (общий) член арифметической прогрессии:
Характеристическое свойство арифметической прогрессии: каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому между предшествующим и последующим членом.
Если разность арифметической прогрессии d> 0, то прогрессия называется возрастающей, если d 0, то прогрессия является монотонной последовательностью.
Однако, если q = 1, то все члены прогрессии равны между собой. В этом случае прогрессия является постоянной последовательностью.
Любая геометрическая прогрессия обладает определенным характеристическим свойством. Это свойство является следствием самого правила задания геометрической прогрессии: последовательность (bn) является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, есть среднее геометрическое соседних с ним членов. Пользуясь этим свойством можно находить любой член геометрической прогрессии, если известны два рядом стоящие.
Для нахождения n-ого члена геометрической прогрессии есть формула:.
Для нахождения суммы числа членов геометрической прогрессии применяют следующую формулу:
У геометрической прогрессии есть еще одно свойство, а именно: из определения знаменателя геометрической прогрессии следует, что, т. е. произведение членов, равноотстоящих от концов прогрессии, есть величина постоянная.
3.ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ, ПОКАЗЫВАЮЩИЕ НАЛИЧИЕ ПРОГРЕССИЙ В ЖИЗНИ
1. Прогрессии в природе
Самым показательным примером прогрессий может служить природа. Ученые-биологи обнаружили, что одноклеточные микроорганизмы размножаются с геометрической прогрессией. Одна бактерия делится на две; каждая из этих двух в свою очередь тоже делится на две, и получаются четыре бактерии; из этих четырех в результате деления получаются восемь бактерий и т. д.
Способность к размножению у бактерий настолько велика, что если бы они не гибли от разных причин, а беспрерывно размножались, то за трое суток общая масса потомства одной только бактерии могла бы составить 7500 тонн.
Интенсивность размножения бактерий используют в пищевой промышленности (для приготовления напитков, кисломолочных продуктов, при квашении, солении и др.), в фармацевтической промышленности (для создания лекарств, вакцин), в сельском хозяйстве (для приготовления силоса, корма для животных и др.), в коммунальном хозяйстве и природоохранных мероприятиях (для очистки сточных вод, ликвидации нефтяных пятен).
Каждое простейшее одноклеточное животное инфузория-туфелька размножается делением на 2 части. Сколько инфузорий было первоначально, если после шестикратного деления стало 640?
Пусть первоначально было b1 инфузорий. Количество инфузорий увеличивается с геометрической прогрессией. Тогда после шестого деления их стало
Ответ: 10 инфузорий было первоначально.
Те же законы применимы и для размножения рептилий, птиц, млекопитающих. Используя общеизвестные формулы и специальные знания, ученые-естественники могут рассчитать прирост животных в заповедниках и в дикой природе.
Популяция кабанов в заповеднике увеличивается каждый год на 10%. По прошествии скольких лет число кабанов удвоится?
Пусть было х кабанов. Тогда через год их стало:
2х кабанов станет по прошествии n лет.
Ответ: по прошествии 8 лет число кабанов удвоится.
Практически ничем не отличаются задачи, связанные с демографией человечества.
Задача 3
Население города составляет 60 тысяч человек. За последние годы наблюдается ежегодный прирост населения на 2%. Каким будет население города через 5 лет, если эта тенденция сохранится?
Ответ: 66 тысяч человек.
2. Прогрессии строительстве и инженерном деле
Представьте, что вы - учетчик на стройке. Привезли большое количество бревен строевого леса. Нужно быстро определить, сколько бревен привезли. Рассмотрим такую задачу.
Задача 4
При хранении бревен строевого леса их укладывают так, как показано на рисунке. Сколько бревен находится в одной кладке, если в ее основании положено 12 бревен?
1 = 12 + (n - 1)·(-1)
Ответ: 78 бревен.
Иногда формулами арифметической прогрессии пользуются в своих расчетах инженеры. Например, при строительстве зданий и конструкций.
Витя решил сделать садовую лестницу с таким расчетом, чтобы нижняя ступенька имела длину 60 см, а каждая из следующих 12 ступенек была на 2 см короче предыдущей. Какой длины должна быть верхняя ступенька лестницы?
Ответ:36 сантиметров.
3. Прогрессии в медицине и при планировании лечения
Курс воздушных ванн начинают с 15 мин. в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 10 минут. Сколько дней следует принимать ванны в указанном режиме, чтобы достичь их максимальной продолжительности 1 час45 минут?
an = 1ч 45 мин = 105 мин
Найти:
Решение:
105 = 15 + (n - 1) · 10
105 = 15 +10 n - 10
-10n = 15 - 10 - 105
Ответ: 10 дней следует принимать воздушные ванны.
Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день -- на 5 капель больше, чем в предыдущий. Приняв 40 капель, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)?
5, 10, 15,…,40, 40, 40, 35, 30,…,5 - математическая модель прогрессии
40 = 5+ 5 · (n - 1), откуда n=8
180 капель больной принимал по схеме в первый период и столько же во второй период. Всего он принял 180+40+180=400, всего больной выпьет 400:250=1,6 пузырька. Значит, надо купить 2 пузырька лекарства.
Ответ: 2 пузырька.
4. Прогрессии в банковских расчетах
Денежные вклады под проценты -- это пример геометрической последовательности. Зная формулы суммы членов геометрической последовательности, можно подсчитывать сумму на вкладе. Каждому в жизни приходится решать задачи, связанные с денежными вкладами.
Задача 8
Вкладчик 1 января 2017 г внес в сберегательный банк 40 000 р. Какой была сумма его вклада на 1 января 2019 г., если сбербанк начислял ежегодно 6% от суммы вклада?
Ответ:44944 рублей стала сумма вклада.
5. Прогрессии в спорте
Задача 9
В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 25 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах -- одно штрафное очко, за каждый последующий -- на 0,5 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 7 штрафных очков?
Подсчитаем количество промахов.
- не удовлетворяет условию задачи
Ответ: 21 раз попал в цель стрелок.
Альпинисты в первый день восхождения поднялись на высоту 1400 м, а затем каждый следующий день они проходи ли на 100 м меньше, чем в предыдущий. За сколько дней они покорили высоту в 5000 м?
- не удовлетворяет условию задачи
Ответ: за 4 дня альпинисты покорили высоту.
6. Прогрессии в других областях деятельности
В каких процессах ещё встречаются такие закономерности? Деление ядер урана происходит с помощью нейтронов. Нейтрон, ударяя по ядру урана раскалывает его на две части. Получается два нейтрона. Затем два нейтрона, ударяя по двум ядрам, раскалывают их еще на 4 части и т.д. -- это геометрическая прогрессия.
При повышении температуры в арифметической прогрессии скорость химической реакции вырастает в геометрической прогрессии.
Возведение многоэтажного здания -- пример арифметической прогрессии. Каждый раз высота здания увеличивается на 3 метра.
Вписанные друг в друга правильные треугольники -- это геометрическая прогрессия.
Равноускоренное движение -- арифметическая прогрессия, т.к. за каждые промежутки времени тело увеличивает скорость в одинаковое число раз.
Даже деревенские слухи можно описать с помощью геометрической прогрессии. Приведем пример.
В поселке 2 000 жителей. Приезжий рассказывает новость трем соседям; каждый из них рассказывает новость уже трем своим соседям и т. д. Новость распространяются с геометрической прогрессией.
Таким образом, в ходе работы было установлено, что сами по себе прогрессии известны так давно, что сложно говорить о том, кто их открыл. Также мы убедились в том, что задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, как и многие другие знания по математике, были связаны с запросами хозяйственной жизни.
Мы выяснили, какие ученые внесли свой вклад в развитие теории прогрессий и как теоретические знания применяются на практике в современной жизни.
Проанализировав различные задачи, мы увидели, что прогрессии встречаются при решении задач в медицине, в строительстве, в банковских расчетах, в живой природе, в спортивных соревнованиях и в других жизненных ситуациях.
Получив такой результат, я решил узнать, что мои одноклассники знают о прогрессиях и использовали они или их семья эти знания в своей жизни. С этой целью я провел среди них опрос. Результаты опроса представлены на диаграммах.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
арифметический прогрессия задача
1. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч.2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений/ А.Г.Мордкович, Л.А. Александрова, Т.К. Мишустина. - Москва, Мнемозина, 2010.
2. Алгебра. 9 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений/ Ю.Н. Макарычев и др. под ред. С.А. Теляковского. -Москва, Просвещение, 2017.
3. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7-9 классов средней школы. -Москва, Просвещение, 1990.
4. Савин А. П. Энциклопедический словарь юного математика. - Рипол Классик, 1989.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Результат анкетирования
1) Знаете ли вы, как найти любой член арифметической или геометрической прогрессии?
2) Известно ли вам что-либо из истории возникновения прогрессий?
3) Люди каких профессий чаще всего сталкиваются с прогрессиями?
4) Связана ли тема “Прогрессии” с банковским делом?
5) Ваши родители когда-нибудь брали кредит?
На основе полученных данных можно сделать вывод о том, что знания арифметической и геометрической прогрессий помогают человечеству решать многие проблемы. Арифметическая и геометрическая прогрессии не только связаны с красивыми задачами и легендами прошлого, но и с нашей повседневной жизнью, и позволяют изучать часто встречающиеся на практике процессы.
Это еще раз доказывает, что математика - не абстрактная наука, а наука, имеющая прямое отношение к нашей жизни.
Подобные документы
Квадратичная функция. Графиком квадратичной функции является парабола. Логарифмическая функция. Синус, косинус, тангенс, котангенс угла. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия. Сумма бесконечной геометрической прогрессии.
контрольная работа [166,3 K], добавлен 19.05.2006
Определение номера и значения членов прогрессии для бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Вычисление относительной погрешности величины. Определение значений машинного нуля и бесконечности. Поведение погрешностей в зависимости от аргумента.
лабораторная работа [283,1 K], добавлен 15.11.2014
Натуральные, целые, иррациональные числа. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Экономические вопросы, связанные с деньгами, прибылью, доходами. История открытий (Эвклид, Архимед, Лобачевский, Эйнштейн).
творческая работа [50,0 K], добавлен 18.06.2007
Формулировка и доказательство теоремы о простых числах в арифметической прогрессии (теорема Дирихле). Определение и основные свойства характеров. Суммы характеров и соотношение ортогональности. Характеры, L-функция Дирихле. Доказательство основных лемм.
курсовая работа [214,2 K], добавлен 12.08.2009
Определение числового ряда, его основные свойства. Ряды геометрической прогрессии. Исследование на сходимость гармонического ряда. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Признак сходимости Лейбница.
лекция [137,2 K], добавлен 27.05.2010
Достижения древнеегипетской математики. Источники, по которым можно судить об уровне знаний древних египтян. Задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии, нахождение числа Пи, подчёркивают практический и теоретический характер древней математики.
реферат [165,8 K], добавлен 14.12.2009
Прогрессии многочленов и их матриц. Описание вертикальных рядов. Построение алгебраической трапеции из ограниченного количества чисел ряда последовательности. Свободные члены выражений. Особенности разрешимости Диофантовых уравнений. Расшифровка формул.
Применение понятия "прогрессия" в жизни
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Цель работы:
1. Выяснить, имеют ли прогрессии практическое применение в повседневной жизни.
Объект исследования:
1. Арифметическая и геометрическая прогрессии.
Предмет исследования:
1. Практическое применение прогрессий в жизни.
Результаты анкетирования
(см. Приложение 1)
Результаты анкетирования оказались неоднозначными. Всего было опрошено 35 человек, из них 31 % ответили на вопрос положительно, а 69 % не знают, как применять свойства прогрессии в жизни.
Также мы провели еще одно анкетирование и выяснили, что большая часть опрошенных (83 %) хотела бы узнать о необычном применении прогрессии в жизни. В связи с этим, мы считаем, что данная тема является интересной для изучения на сегодняшний день.
Определения и формулы
Арифметическая прогрессия
- это числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с постоянным для этой последовательности числом d.
Число d называется разностью прогрессии.
Любой член арифметической прогрессии вычисляется по формуле:
Сумма n первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:
Геометрическая прогрессия
- это числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное для этой последовательности число q.
Число q называется знаменателем прогрессии.
Любой член геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
Сумма n первых членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
Зная эти формулы можно решить большое количество интересных задач: литературного, исторического и практического содержания.
Историческая справка
Первые представления об арифметической и геометрической прогрессиях были еще у древних народов. Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и др.
На связь между прогрессиями первым обратил внимание великий ученый Архимед (287–212 гг. до н. э). Для нахождения площадей и объемов фигур он вывел формулу суммы квадратов натуральных чисел.
Термин “прогрессия” (от латинского progression , что означает движение вверх) был введен римским автором Боэцием (в VI веке) и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность.
Формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим ученым Диофантом (в 3 веке).
Формула суммы членов геометрической прогрессии дана в книге Евклида “Начала” (3 век до н.э.).
Древняя Греция
Сведения, связанные с прогрессиями, впервые встречаются в дошедших до нас документах Древней Греции. Уже в V в. до н. э. греки знали следующие прогрессии и их суммы:
Известна интересная история о знаменитом немецком математике К. Гауссе (1777 – 1855), который еще в детстве проявлял выдающиеся способности к математике. Учитель предложил учащимся сложить все натуральные числа от 1 до 100. Маленький Гаусс решил эту задачу за одну минуту, сообразив, что суммы 1+100, 2+99 и т.д равны, он умножил 101 на 50, т.е. на число таких сумм. Иначе говоря, он заметил закономерность, присущую арифметическим прогрессиям.
Задача – легенда:
Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен её остроумием и разнообразием возможных в ней положений. Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку. Изобретатель, его звали Сета, явился к трону повелителя. Это был скромно одетый ученый, получавший средства к жизни от своих учеников.
Изобретатель шахмат попросил в награду за свое изобретение столько пшеничных зерен, сколько их получится, если на первую клетку шахматной доски положить одно зерно, на вторую – в 2 раза больше, т. е. два зерна, на третью – еще в 2 раза больше, т. е. 4 зерна и так далее до 64 – ой клетки.
Царь был удивлен, когда узнал, что такую, казалось бы, скромную просьбу невозможно выполнить.
Можно подсчитать, что масса такого числа пшеничных зерен больше триллиона тонн. Это заведомо превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до настоящего времени.
Если бы царю удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности Земли, считая моря, и океаны, и горы, и пустыню, и Арктику с Антарктикой, и получить удовлетворительный урожай, то, пожалуй, лет за 5 он смог бы рассчитаться.
Применение прогрессий в жизни
1. Финансовая пирамида.
Разберёмся в механизмах этих организаций.
Финансовая пирамида – способ обеспечения дохода участникам структуры за счет постоянного привлечения денежных средств. Доход первым участникам пирамиды выплачивается за счет вкладов последующих участников. В большинстве случаев истинный источник получения дохода скрывается, а декларируется вымышленный или малозначимый. Подобная подмена является мошенничеством.
Как правило, в финансовой пирамиде обещается высокая доходность, которую невозможно поддерживать длительное время, а погашение обязательств пирамиды перед всеми участниками является заведомо невыполнимым. Закономерным итогом такой ситуации является банкротство проекта и убытки последних инвесторов.
Человек собирается организовать финансовую пирамиду.
Представим, что число участников увеличивается в 5 раз с каждым кругом. В первом кругу участвуют 120 человек, во втором – 600, в третьем – 3 000, на четвертом – 15 000, на пятом – 75 000, на шестом – 375 000, на седьмом – 1 875 000, на восьмом – 9 375 000, на девятом – 46 875 000, на десятом – 234 375 000 человек.
Численность населения Воронежа составляет 1 039 801 человек (данные 2018 года). Следовательно, на седьмом кругу количество участников финансовой пирамиды превысит численность населения нашего города.
Численность населения России составляет 146 877 088 человек (данные 2018 года). Можно заметить, что на десятом кругу количество участников значительно превышает численность населения страны.
Так что участник, включившийся на седьмом или десятом круге, уже ничего не получит.
Такая закономерность чисел, также является геометрической прогрессией
В жизненной практике геометрическая прогрессия появляется в первую очередь в задаче об исчислении так называемых “сложных процентов”.
Каждому в жизни приходится решать задачи, связанные с денежными вкладами.
Применение понятия на практике
Воспользуемся конкретным примером. Размер материнского капитала составляет 453 000 р. Можно ли вложить такую сумму в банк под выгодный процент и к совершеннолетию ребенка приобрести ему квартиру?
Первоначально вложено 453 000 р. через год сумма возрастет на 5% составит 105% от 453 000 р.
453 000 * 1, 05 (сумма составит через год)
453 000; 453 000 * 1, 05; 453 000 * 1, 05 2 ; 453 000 * 1, 05 3 ; 453 000 * 1, 05 4
Последовательность имеет вид геометрической прогрессии, где
b 1 = 453 000; g = 1, 05
453 000 * 1, 05 18 = 1, 0902 * 10 6 = 1090200 р.
Учитывая, что средняя стоимость однокомнатной квартиры в г. Воронеже составляет 1900000 р., на сумму 1090200 приобрести жилище не возможно, но подобное вложение денежных средств является достаточно выгодным.
В XIII веке в Англии ростовщики давали деньги под 50% годовых. Это вызывало страшное недовольство. Издавались законы, ограничивающие процент. Король Генрих VII даже совсем отменил взимание процентов, что привело в упадок, как банковское дело, так и промышленность, лишившуюся возможности получения кредитов. В конце концов, взимание процентов было разрешено, но не должно было быть большим 10%.
3. Изменение массы радиоактивного вещества со временем - еще один пример геометрической прогрессии.
Известно, что за единицу времени такое вещество теряет определенную часть своей массы (она переходит в другое вещество и энергию). Для каждого радиоактивного вещества определяется величина T –период полураспада. Массы нераспавшегося вещества в моменты 0, T, 2T, 3T,… будут образовывать бесконечно убывающую геометрическую прогрессию.
4. Прирост древесины в лесном массиве происходит по законам геометрической прогрессии. При этом у каждой породы дерева свой коэффициент годового роста объема. Учет этих изменений позволяет планировать вырубку части лесных массивов и одновременную работу по восстановлению лесов.
5. Прогрессии в природе
Все организмы обладают интенсивностью размножения в геометрической прогрессии.
Известно, что бактерии размножаются делением: одна бактерия делится на две; каждая из этих двух в свою очередь тоже делится на две, и получаются четыре бактерии; из этих четырех в результате деления получаются восемь бактерий и т. д. (геометрическая прогрессия). Результат каждого удвоения называется поколением.
Способность к размножению у бактерий настолько велика, что если бы они не гибли от разных причин, а беспрерывно размножались, то за трое суток общая масса потомства одной только бактерии могла бы составить 7500 тонн. Таким громадным количеством бактерий можно было бы заполнить около 375 железнодорожных вагонов.
Интенсивность размножения бактерий использую в пищевой промышленности (для приготовления напитков, кисломолочных продуктов, при квашении, солении и др.), в фармацевтической промышленности (для создания лекарств, вакцин), в сельском хозяйстве (для приготовления силоса, корма для животных), в коммунальном хозяйстве и природоохранных мероприятиях (для очистки сточных вод, ликвидации нефтяных пятен).
6. Прогрессии - оправдание войн
Английский экономист епископ Мальтус использовал геометрическую и арифметическую прогрессии для оправдания войн: средства потребления (пища, одежда) растут по законам арифметической прогрессии, а люди размножаются по законам геометрической прогрессии. Мальтус считал, для того, чтобы избавиться от лишнего населения, необходимы войны.
8. Наследство
Человек получил наследство. Первый месяц он истратил 100$, а каждый следующий месяц он тратил на 50$ больше, чем в предыдущий. Каков размер наследства, если денег хватило на год такой безбедной жизни?
9. Прогрессии в музыке
В музыке прогрессией называется постепенное повторение мотива в один или два такта в восходящем или нисходящем порядке. При таком повторении мотива выбирается интервал, на который мотив должен постоянно перестанавливаться в восходящем или нисходящем направлении. Прогрессия бывает точная или неточная. В точной, мотив повторяется на другой ступени буквально, т. е. с сохранением не только названий всех своих интервалов, но и их точной величины. В неточной прогрессии допускаются отступления от точной величины интервалов мотива, и интервала, на которой мотив перестанавливается. Прогрессия в музыке называется секвенцией.
10. Прогрессии в литературе
Даже в литературе мы встречаемся с математическими понятиями. Вспомним строки из "Евгения Онегина".
. Не мог он ямба от хорея,
Как мы не бились отличить.
Ямб - это стихотворный размер с ударением на чётных слогах 2; 4; 6; 8. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью прогрессии 2.
Прогрессия: 2; 4; 6; 8.
Хорей - это стихотворный размер с ударением на нечётных слогах стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию 1; 3; 5; 7. С первым членом 1 и разностью прогрессии 2.
Прогрессия: 1; 3 ;5; 7.
Как вы могли заметить, исходя из вышеизложенного материала, что зная основные формулы геометрической и арифметической прогрессий, можно решить большое количество интересных задач литературного, исторического и практического содержания. Формулы и математические законы описывают явления в разных областях знаний, на первый взгляд далеких от математики.
На сегодняшний день, изучение происхождения и использования в жизни геометрической и арифметической прогрессий является актуальной и важной задачей для современных ученых.
Список литературы
Дэвисон Р. К. Прогрессии / Р. К. Дэвисон. - М. Мир Урании 2016г. 328 стр.
Рассел Д. Геометрическая прогрессия / Д. Рассел. - Издательство: "VSD" (2012)
Рассел Д. Арифметическая прогрессия / Д. Рассел. - Издательство: VSD, 2012 г.
Читайте также: