Понятие точки понятие прямой и плоскости реферат по черчению
Обновлено: 05.07.2024
• В начертательной геометрии изображения
получают методом проецирования (от латинского
projectio – бросание вперед). Проекция – это
отображение образа (предмета) на плоскость
проекций. Идею метода можно рассмотреть на
примере проецирования любого образа.
Спроецируем призму. Методы проецирования
подразделяют на центральное и параллельное.
Проф. Пиралова О.Ф.
2
4. Метод центрального проецирования
• Сущность центрального проецирования заключается в
том, что при этом методе должен быть центр
проецирования S и плоскость проекций П1.
• Свойства центрального проецирования:
1. Проекция точки– точка.
2. Проекция прямой – прямая.
3. Сохраняется взаимная принадлежность
образов и их проекций.
• В машиностроительном черчении не применяется т. к.
размеры оригинала не соответствуют размерам
изображения.
Проф. Пиралова О.Ф.
4
5. Примеры центрального проецирования
6. Метод параллельного проецирования
Является частным случаем центрального
проецирования в котором центр проецирования S
удален в бесконечность и проецирующие прямые
в этом случае принимаются за параллельные.
Подразделяется на :
1. Косоугольное;
2. Прямоугольное (ортогональное)
Проф. Пиралова О.Ф.
6
7. Свойства параллельного проецирования
При параллельном проецировании сохраняются следующие
свойства:
1. Проекция точки есть точка.
2. Проекция прямой есть прямая.
3. Сохраняется взаимная
принадлежность образов и их
проекций (если точка принадлежит
линии, то ее ортогональные проекции
принадлежат соответствующим
проекциям линии).
4. Сохраняется простое отношение трех точек.
Проф. Пиралова О.Ф.
7
8. Примеры параллельного проецирования точки и плоскости
9. Метод ортогонального проецирования
• Широко применяется в инженерной
практике.
• Сущность этого метода в том, что
направление проецирования
перпендикулярно плоскостям проекций.
Проф. Пиралова О.Ф.
9
10. Пример ортогонального проецирования
13. Таблица знаков координат в октантах
14. Чертеж
• Проекционным чертежом называют такое графическое
изображение предмета, которое построено по законам
метода проецирования и отвечает требованию
обратимости. Обратимость изображения дает
возможность восстановить (реконструировать предмет в
пространстве) с точностью до всех его позиционных и
метрических свойств. К позиционным относят свойства,
которые связаны с вопросами относительного
расположения. Метрическими считаются свойства фигур,
связанные с вопросами измерения длин, расстояний,
углов, площадей и т.д.. Чертеж должен быть наглядным.
Проф. Пиралова О.Ф.
14
15. Преобразование пространственного чертежа в плоский
• Осуществляется путем совмещения
горизонтальной П1 и профильной П3
плоскостей проекций с фронтальной П2. Для
этого П1 поворачиваем на 90 градусов
вокруг оси Х в направлении движения
часовой стрелки, а П3 вправо вокруг оси Z.
Проф. Пиралова О.Ф.
15
16. Комплексный чертеж
• КЧ – это ортогональное отображение
предмета на 2 или 3 взаимно
перпендикулярные плоскости проекций,
развернутые до плоскости чертежа(П2).
Проф. Пиралова О.Ф.
16
17. Комплексный чертеж призмы
18. Точка
Точка. как математическое понятие не имеет размеров. Очевидно, если
объект проецирования является нульмерным образом, то говорить о его
проецировании бессмысленно.
В геометрии под точкой целесообразно понимать физический объект,
имеющий линейные измерения. Условно за точку будем принимать шарик с
бесконечно малым радиусом. При такой трактовке понятия точки можно
говорить о ее проекциях.
Пиралова О.Ф.
18
20. Эпюр прямой
Положение прямой линии однозначно в
пространстве определяется заданием двух ее
точек.
Комплексный чертеж прямой может быть
представлен двумя проекциями прямой.
Если прямая не параллельна ни одной
плоскости проекций, ее называют прямой
общего положения. Такая прямая изображена
на рисунке.
21. Ортогональные проекции прямой общего положения
Частные случаи расположения прямой
Кроме общего случая существуют частные
случаи расположения прямой по отношению к
заданной системе плоскостей проекций:
А. Прямая параллельна плоскости проекции.
Б. Прямая перпендикулярна плоскости проекции.
В. Прямая принадлежит плоскости проекции
(частный случай параллельности).
Пиралова О.Ф.
22
23. Проецирующие прямые
Это прямые, перпендикулярные к
плоскостям проекций.
Горизонтально-проецирующая –
прямая, перпендикулярная
горизонтальной плоскости проекции.
Такая прямая проецируется на
плоскость π1 в точку; ее фронтальная
проекция перпендикулярна оси x.
24. Иллюстрация горизонтально-проецирующей прямой
Фронтально-проецирующая – прямая,
перпендикулярная фронтальной плоскости
проекции.
Эта прямая проецируется на плоскость
π2 в точку, а ее горизонтальная проекция
перпендикулярна оси x.
26. Фронтально-проецирующая прямая
27. Прямые, параллельные плоскостям проекций (горизонталь, фронталь)
Горизонталь – прямая, параллельная
горизонтальной плоскости проекции: h ||
π1.
Все точки горизонтали удалены на
одинаковые расстояния от плоскости π1 .
Фронтальная проекция горизонтали h2 ||
оси x. Горизонтальная проекция может
занимать любое положение.
28. Иллюстрация линий уровня. Горизонталь
Фронталь – прямая, параллельная
фронтальной плоскости проекции: f || π2.
Все точки фронтали удалены на одинаковые
расстояния от плоскости π2.
Горизонтальная проекция f1 || оси x.
Фронтальная проекция может занимать
любое положение.
30. Иллюстрация линий уровня. Фронталь
31. Прямая, принадлежащая плоскости проекций
32. Следы прямой
Прямая общего положения пересекает
все основные плоскости проекций. Точку
пересечения (встречи) прямой с плоскостью
проекций называют следом прямой.
36. Задание плоскости на комплексном чертеже
Для задания
плоскости на эпюре
Монжа достаточно
указать проекции
а) трех различных
точек, не
принадлежащих
одной прямой
37. Задание плоскости на комплексном чертеже
Для задания плоскости
на эпюре Монжа
достаточно:
б) указать проекции
прямой и не
принадлежащей ей
точки
38. Задание плоскости
39. Задание плоскости
40. Задание плоскости следами
Задание плоскости
следами обладает
преимуществом перед
другими вариантами ее
изображения на эпюре:
1) сохраняется наглядность
изображения;
2) требуется указать только
две прямые вместо
четырех или шести .
На рис. Показана плоскость
общего положения.
41. Частные случаи расположения плоскости
Плоскости
фронтальнопроецирующая
горизонтальнопроецирующая
профильнопроецирующая
В2
В2
А2
В2
А2
А2
С3
С2
С2
Х1,2
В3
С2
Х1,2
Х1,2
В1
В1
В1
А1
А1
С1
45. Плоскость уровня
Плоскость,
параллельную плоскости
проекций называют
плоскостью уровня. Их
три.
Горизонтальная.
Фронтальная.
Профильная.
46. Плоскости уровня на комплексном чертеже
К замечательному свойству плоскостей уровня относят
следующее: если какая-либо фигура расположена в
плоскости уровня, то она проецируется без искажения
своего истинного вида на ту плоскость проекций, которой
параллельна плоскость уровня.
47. На комплексном чертеже
48. Линии уровня плоскости на комплексном чертеже
49. Главные линии плоскости. Их относительное расположение.
1. Горизонталь h.
2. Фронталь f.
3. Профильная прямая
p.
4. Линия наибольшего
наклона – прямая,
принадлежащая
плоскости и
перпендикулярная к
линиям уровня этой
плоскости.
50. Линия наибольшего наклона плоскости
51. Линия наибольшего наклона на комплексном чертеже
Линия наибольшего
наклона к π1
перпендикулярна к
горизонтальной
проекции горизонтали
плоскости или к
горизонтальному
следу плоскости
f0 ≡ f02
12
22
x2,1
11
f01≡ h02
21
h0 ≡ h01
52. Построить следы плоскости Σ (∆ АВС).
Позиционные задачи
Взаимная
принадлежность
Принадлежность
точки линии
Принадлежность
точки плоскости
Принадлежность
линии плоскости
Взаимное
пересечение
Метод конкурирующих
точек
D2
z
A2 ≡ B 2
ZD
A1
o
Взаимное
пересечение
плоскостей
YA
YB
B1
Пересечение линии с
плоскостью
C2
Zc
Х
Пересечение линии
линией
С1 ≡ D1
y
YA ZA), поэтому
на плоскости π1 видна точка В, которая
закрывает точку А (считается, что
наблюдатель смотрит на плоскости
проекций из бесконечности и направление
луча зрения параллельно проецирующему
лучу S).
S12
z, -y
B2
C2 ≡ D2
ZB
ZА
A2
О
x2,1
На плоскости π2 видна точка D, т. К.
она находится ближе к наблюдателю
(дальше от плоскости π2, YD>YC) и
закрывает невидимую точку С.
A1 ≡B1
YC
C1
YD
D1
S21
Проф. Пиралова О.Ф.
y, -z
60
61. Пример рассмотрения принадлежности точек прямой
62. Принадлежность линии поверхности
Линия
принадлежит
поверхности, если: 1.
Имеет две общих
точки;
2. Имеет одну
общую точку и прямую
параллельную
прямой,
принадлежащей
поверхности.
Дано: α(a b),
с α
Проф. Пиралова О.Ф.
a2
с2
12
22
b2
x2,1
b1
21
с1
a1
11
62
63. Условие принадлежности точки поверхности
Точка принадлежит
поверхности, если она
принадлежит прямой
принадлежащей
поверхности
Проф. Пиралова О.Ф.
63
64. Задача на определение принадлежности
a2
с2
Дано: α(a
d2
b),
d ║ с; с α.
12
22
Определить: принадлежит
ли d поверхности α ?
b2
x2,1
b1
21
с1
d1
a1
11
Проф. Пиралова О.Ф.
64
65. Задача
а2
b2
Дано: α(a ║ b), A2
Определить: A1, если А
принадлежит ( )
поверхности α(a ║ b),
A2
h2
22
12
x2,1
b1
a1
A1
h1
21
12
Проф. Пиралова О.Ф.
65
Задачи на
пересечение
Пересечение
линии с линией
l m
Пересечение
линии с
поверхностью
l α
Проф. Пиралова О.Ф.
Пересечение
поверхности
с поверхностью
α β
66
67. Взаимное положение прямых. Пересечение прямых
Две прямые в
пространстве могут
пересекаться, скрещиваться
и могут быть параллельны.
Прямые a и b ( a b)
пересекаются. Точки
пересечения одноименных
проекций пересекающихся
прямых расположены на
одной линии проекционной
связи.
Дано: m
n,
M
M
m;
n
n2
M2
m2
x2,1
m1
M1
n1
Проф. Пиралова О.Ф.
67
68. Параллельные прямые
На рис. представлены
параллельные прямые –
прямые, пересекающиеся в
несобственной точке (прямые,
лежащие в одной плоскости и
пересекающиеся в бесконечно
удаленной точке).
Из инвариантного
свойства 6 следует, что
проекции параллельных
прямых а и b параллельны.
b2
а2
x2,1
Проф. Пиралова О.Ф.
a1
b1
68
69. Скрещивающиеся прямые
Скрещивающиеся прямые
– это прямые, не лежащие в
одной плоскости, это прямые
не имеющие ни одной общей
точки.
На комплексном чертеже
точки пересечения проекций
этих прямых не лежат на одном
перпендикуляре к оси Х (в
отличие от пересекающихся
прямых).
n2
K2
M2
m2
x2,1
m1
K1
M1
n1
Проф. Пиралова О.Ф.
69
70. Условие перпендикулярности двух прямых
Две прямые перпендикулярны, если угол
между ними составляет 90°.
Кроме того, в начертательной геометрии
существует еще одно утверждение на эту
тему:
Две прямые перпендикулярны, если одна
из них линия уровня.
Для подтверждения этого заключения
рассмотрим примеры.
Проф. Пиралова О.Ф.
70
71. Пример: через точку А провести прямую ℓ, пересекающую горизонталь h под прямым углом ℓ h
┴
Так как одна из сторон h прямого угла параллельна
плоскости π1, то на эту плоскость прямой угол
спроецируется без искажения. Поэтому через
горизонтальную проекцию А1 проведем горизонтальную
проекцию искомой прямой ℓ 1 h 1. Отметим
┴
горизонтальную проекцию точки пересечения прямой и
горизонтали М1= ℓ1 ∩ h1. Отметим горизонтальную
проекцию точки пересечения прямой и горизонтали М1=
ℓ1 ∩ h1. Найдем по принадлежности фронтальную
проекцию точки пересечения М2. Точки А2 и М2
определяют фронтальную проекцию искомой прямой ℓ.
Две проекции прямой определяют ее положение в
пространстве.
Проф. Пиралова О.Ф.
71
Если вместо горизонтали будет задана
фронталь f, то геометрические построения
по проведению прямой ℓ f аналогичны ┴
рассмотренным с той лишь разницей, что
построения неискаженной проекции
прямого угла следует начинать с
фронтальной проекции (рис. б).
Проф. Пиралова О.Ф.
72
73. Прямые, перпендикулярные к линиям уровня
74. Алгоритм решения задачи
75. Пример. Из точки А, принадлежащей плоскости α (∆ ABC), восставить к плоскости α перпендикуляр АD.
В2
D2
Для определения
направления проекций
перпендикуляра,
проведем проекции
горизонтали h и
фронтали f плоскости ∆
ABC. После этого из точки А1
восстанавливаем
перпендикуляр к h1, а из А2
– к f2
21
12
f2
h2
А2
С2
С1
D1
11
А1
Проф. Пиралова О.Ф.
h1
f1
21
В1
75
Если плоскость задана следами, для
того, чтобы прямая в пространстве была
перпендикулярна плоскости, необходимо и
достаточно, чтобы проекции этой прямой
были перпендикулярны к одноименным
следам
Проф. Пиралова О.Ф.
76
77. Пример. Из точки А, принадлежащей плоскости α( h f) , восставить к плоскости α перпендикуляр АD.
78. Взаимно перпендикулярные плоскости
Две плоскости
перпендикулярны,
если одна из них
содержит прямую,
перпендикулярную
к другой плоскости
А2
a2
ℓ2
m2
h2
12
n1
f2
22
β2
32
42
X2,1
41
β1
a1
h1
11
m1
n2
f1
ℓ1
31
21
А2
Проф. Пиралова О.Ф.
78
79. Пересечение линии с поверхностью
Задача сводится к решению задачи на определение
точки, принадлежащей прямой и поверхности.
Для решения необходимо:
1) через одну из проекций прямой провести
конкурирующую прямую, принадлежащую поверхности;
2) найти ее проекцию во второй плоскости проекций.
Если эта проекция пересечет проекцию заданной
прямой, значит имеется точка пересечения прямой и
поверхности.
Проф. Пиралова О.Ф.
79
80. Задача
ℓ2
Дано: α (∆ ABC), (l1,l2 )
Определить: имеется ли
точка пересечения прямой с
поверхностью α ?
B2
A2
C2
x2,1
C1
A1
ℓ 1О.Ф.
Проф. Пиралова
B1 80
82. Пересечение плоскостей
Две плоскости
пересекаются по
прямой линии, для
определения которой
достаточно найти две
точки,
принадлежащие
одновременно
каждой из заданных
плоскостей.
Чтобы найти
такие точки
достаточно ввести
две вспомогательные
секущие плоскости.
Проф. Пиралова О.Ф.
82
83. Пример. Определить линию пересечения плоскостей α(a b) и β(с║d).
Алгоритм решения.
1. Проводим вспомогательную
горизонтально проецирующую плоскость γ
2. и 3. Определяем проекции прямых m
и n, по которым пересекаются плоскости
α(a b) и β(с║d).
4. Находим точки пересечения
одноименных фронтальных проекций
линий пересечения плоскостей α и β.
Проф. Пиралова О.Ф.
83
Понятие точка является определяющим понятием пространства, любая фигура пространства состоит из множества точек. Хранение в памяти компьютера информации о элементах пространства будем осуществлять с помощью хранения координат точек определяющих данный элемент пространства. Так для хранения информации о прямой достаточно всего двух различных точек принадлежащих этой прямой. По двум точкам задающим прямую можно составить каноническое уравнение прямой и далее оперировать этим уравнением:
, (1′)
где точки и принадлежат данной прямой. Или если использовать вектор т.е. , получим следующее уравнение прямой:
. (1′′)
Аналогично прямой, плоскость определяется тремя точками:
, (2′)
где точки , , принадлежат данной плоскости из этой матрицы можно получить уравнение плоскости:
, (2′′)
где коэффициенты ,,, определяются следующим способом:
;
;
;
.
Причем из этих формул полезно знать, что координатами вектора нормального к данной плоскости являются соответственно коэффициенты ,,. Этот вектор направлен в полупространство правого обхода точек.
Решая совместно уравнения (1′′) и (2′′) найдем координаты точки пересечения прямой и плоскости, при условии, что прямая пересекает плоскость. Пусть плоскость задана тремя точками: , , , а прямая задана двумя точками: и , тогда координаты точки пересечения находятся по формулам:
,
где , причем если , то ; (1x)
,
где , причем если , то ; (1y)
,
где , причем если , то . (1z)
В этих формулах координаты вектора для прямой вычисляется следующим образом: .
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 64015
Количество таблиц: 3
Количество изображений: 8
Основными фигурами в геометрии являются точка, прямая линия и плоскость.
Точка
Точка – это фигура, которая не имеет размерности. Поэтому говорят, что точка отображает в себе пространство нулевой размерности, т.е. точка сама является 0-мерным пространством и единственным элементом этого пространства.
Точки можно встретить и в других областях науки. Ими обычно обозначают неделимые элементы. В химии атомы, а в квантовой физике элементарные частицы рассматриваются как точки. Вообще существует мнение, что вся вселенная создана из точки сингулярности в результате Большого взрыва.
Думаю, достаточно объяснил понятие точки. Теперь перейдем к прямой линии.
Прямая
Прямая, имеет только длину. Не имеет ширину и толщину. Прямая бесконечно тянется в обе стороны.
Эвклид так дает определение прямой: “Прямая есть длина без ширины. Концы прямой суть точки”. Если прямая тянется бесконечно по обе стороны, значит точки, которые являются концами прямой, находятся в бесконечности. С другой стороны прямую можно представить как бесконечно выстроенную последовательность точек. Значит, внутри прямой везде одни точки, т.е. прямая линия, это совокупность точек, которая тянется из одной бесконечности к другой.
Чтобы представить прямую линию, вспомните растянутую струну. Эта струна является частью прямой.
Прямую обозначают маленькими латинскими буквами: $a$, $b$, $c$, . Также прямую можно обозначить двумя точками, находящимися на этой линии. Если точки $A$ и $B$ находятся на прямой, эту прямую обозначают как $AB$.
Полупрямая
Точка, которая находится на прямой, делит ее пополам. Это две части называют полупрямыми или лучом, с началом в этой точке. Иначе говоря, лучом называется совокупность точек прямой, которые находятся по одну сторону относительно данной точки.
На картинке точка $O$ делит прямую $a$ на две полупрямые. Полупрямые тоже обозначают маленькими латинскими буквами, или двумя точками, которые находятся на этой полупрямой. С условием, что одна точка находится в начале этой полупрямой. Например, луч $OC$.
Две различные лучи, которые находятся на одной прямой и имеют одинаковое начало, называются дополнительными или противоположными. Лучи $OD$ и $OC$ на картинке являются дополнительными.
Отрезок
Отрезок является частью прямой, ограниченной двумя точками. Эти две точки называются концами отрезка, а точки, которые находятся между этими двумя точками, называются внутренними.
Чтобы сравнить два отрезка их накладывают друг на друга. Если при наложении два отрезка полностью совпадают, их называют равными.
Отрезки обозначают либо их конечными точками, ($AB$ или $BA$), либо маленькими латинскими буквами: $a$, $b$, $c$, .
Плоскость
Плоскость, это идеально гладкая фигура без толщины, которая бесконечно простирается во все стороны.
А вот определение Эвклида: “Плоскость, это фигура, имеющая только длину и ширину. Грани плоскости являются прямыми линиями”.
Чтобы представить плоскость достаточно вспомнить оконное стекло или поверхность стола. Плоскость обозначают маленькими буквами греческого алфавита: $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, .
Прямая линия, которая находится на плоскости, делит его пополам. Каждая такая половина называется полуплоскостью. Точки $A$ и $B$ на картинке находятся на одной полуплоскости относительно прямой $a$, поэтому отрезок $AB$ не пересекает эту прямую. А точки $C$ и $D$ находятся на разных полуплоскостях, поэтому $CD$ пересекает эту прямую линию.
Взаимное расположение точки и прямой на плоскости
Через две точки плоскости можно проводить единственную прямую. Имеются, по крайней мере, 3 точки, не находящиеся на одной прямой. Из трех точек на одной прямой, только одна точка находится между двумя другими.
© Все права защищены
Все статьи этого сайта написаны Джафаром Н.Алиевым. Перепечатывание любой статьи на стороннем ресурсе должно сопровождаться именем автора и ссылкой на данный ресурс. Сам автор следует этим правилам.
Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой:
Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости:
Говорят, что прямая и плоскость пересекаются, если они имеют одну единственную общую точку:
Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек:
Признак параллельности прямой и плоскости:
Прямая, не лежащая в плоскости, параллельна этой плоскости тогда и только тогда, когда она параллельна некоторой прямой в этой плоскости:
Признак параллельности прямых:
Если прямая b параллельна плоскости α , а плоскость β проходит через b и пересекает плоскость α по прямой а , то прямые а и b параллельны:
Признак параллельности прямых:
Если прямая параллельна каждой из двух пересекающихся плоскостей, то она параллельна и линии пересечения этих плоскостей:
Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения этой прямой и плоскости.
Через любую точку пространства можно провести прямую, перпендикулярную данной плоскости, и притом только одну.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости:
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости:
Плоскость, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой:
Прямые, перпендикулярные одной плоскости, – параллельны:
Перпендикуляром, проведённым из данной точки к данной плоскости, называется отрезок, которые соединяет эту точку с точкой плоскости (основанием перпендикуляра) и лежит на прямой, которая перпендикулярна плоскости. Длину перпендикуляра, проведённого из данной точки к данной плоскости, считают расстоянием между этими точкой и плоскостью.
Наклонной, проведённой из данной точки к плоскости, называется любой отрезок, который соединяет эту точку с точкой плоскости (основанием перпендикуляра) и не является перпендикуляром, проведённым к этой плоскости.
Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведённых к плоскости из одной точки, называется проекцией (ортогональной проекцией) этой наклонной на плоскость.
АВ – перпендикуляр, проведённый из точки А к плоскости α ;
АС – наклонная, проведённая из точки А к плоскости α ;
В – основание перпендикуляра АВ ;
С – основание наклонной АС ;
ВС – проекция наклонной АС на плоскость α .
Свойства перпендикуляра и наклонной:
- перпендикуляр, проведённый из точки к плоскости, короче любой наклонной, проведённой из той же точки к той же плоскости;
- равные наклонные, проведённые из данной точки к плоскости, имеют равные проекции; и наоборот: равным проекциям соответствуют равные наклонные;
- из двух наклонных, проведённых из данной точки к одной плоскости, больше та, проекция которой больше.
Углом между наклонной и плоскость называется величина угла между наклонной и её ортогональной проекцией на эту плоскость:
Угол между наклонной и её ортогональной проекцией на плоскость меньше угла между этой наклонной и любой другой прямой, проходящей в этой плоскости через основание наклонной:
Теорема про три перпендикуляра:
Если прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной. И наоборот: если прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции этой наклонной:
Расстоянием от прямой до параллельной ей плоскости называется расстояние от любой точки этой прямой до плоскости:
АВ – расстояние от прямой а до плоскости α .
Отрезок АВ – общий перпендикуляр прямой а и плоскости α.
Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых ( a и b ) называется отрезок ( АВ ) с концами на этих прямых, являющийся перпендикуляром к каждой из них.
Две скрещивающиеся прямые всегда имеют общий перпендикуляр, и притом только один.
Длина общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых считается расстоянием между ними:
АВ – расстояние между скрещивающимися a и b .
Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку:
Говорят, что две плоскости совпадают, если каждая точка одной плоскости является точкой другой, и наоборот:
Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек:
Через точку вне плоскости можно провести плоскость параллельную данной и притом только одну.
Признак параллельности плоскостей:
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны:
Расстоянием между двумя параллельными плоскостями называется расстояние от любой точки одной плоскости до другой плоскости.
Длина некоторого отрезка выражает расстояние между двумя параллельными плоскостями, если этот отрезок является общим перпендикуляром этих плоскостей:
Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей ограничивающей их прямой.
Полуплоскости, о которых шла речь, называются гранями двугранного угла, а прямая – ребром двугранного угла:
α и β – грани, KL – ребро двугранного угла.
Плоскость γ , перпендикулярная ребру двугранного угла KL , пересекает его грани α и β по двум полупрямым: СА и СВ . Угол АВС , образованный этими полупрямыми, называется линейным углом двугранного угла.
Все линейные углы данного двугранного угла совмещаются параллельным переносом и равны.
Мера линейного угла служит мерой и двугранного угла, которому этот линейный угол соответствует.
Линейные углы, соответствующие равным двугранным углам, равны. И наоборот: равным линейным углам соответствуют равные двугранные углы.
Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется наименьшая из мер двухгранных углов, образованных этими плоскостями.
Две плоскости называются перпендикулярными ( α⊥β ), если угол между ними равен 90°.
Угол между параллельными плоскостями считается равным 0°.
Если φ – величина угла между некоторыми двумя плоскостями, то
Признак перпендикулярности плоскостей:
Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны:
Прямая, проведённая в одной из двух перпендикулярных плоскостей перпендикулярно линии их пересечения, перпендикулярна другой плоскости:
Отрезки параллельных прямых, заключённые между двумя параллельными плоскостями, равны:
Если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую плоскость; более того, эта прямая образует с параллельными плоскостями равные углы:
Прямые, полученные при пересечении двух параллельных плоскостей третьей плоскостью, параллельны между собой:
Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных плоскостей, перпендикулярна и другой плоскости:
Две плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны:
Плоскость, перпендикулярная одной из двух параллельных плоскостей, перпендикулярна и другой плоскости:
Читайте также: