Понятие о независимости событий реферат

Обновлено: 25.06.2024

Понятия зависимости и независимости случайных событий. Условная вероятность. Формулы сложения и умножения вероятностей для зависимых и независимых случайных событий. Формула полной вероятности и формула Байеса.

Теоремы сложения вероятностей

Найдем вероятность суммы событий Теорема 2.1. Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме их вероятностей:

Пример 1. Вероятность того, что в магазине будет продана пара мужской обуви 44-го размера, равна 0,12; 45-го — 0,04; 46-го и большего — 0,01. Найти вероятность того, что будет продана пара мужской обуви не меньше 44-го размера.

Решение. Искомое событие ), т. е. событие . События несовместны. Поэтому согласно теореме о сумме вероятностей получаем

Пример 2. При условиях примера 1 найти вероятность того, что очередной будет продана пара обуви меньше 44-го размера.

Решение. События "очередной будет продана пара обуви меньше 44-го размера" и "будет продана пара обуви размера не меньше 44-го" противоположные. Поэтому по формуле (1.2) вероятность наступления искомого события

поскольку , как это было найдено в примере 1.

Теорема 2.1 сложения вероятностей справедлива только для несовместных событий. Использование ее для нахождения вероятности совместных событий может привести к неправильным, а иногда и абсурдным выводам, что наглядно видно на следующем примере. Пусть выполнение заказа в срок фирмой "Electra Ltd" оценивается вероятностью 0,7. Какова вероятность того, что из трех заказов фирма выполнит в срок хотя бы какой-нибудь один? События, состоящие в том, что фирма выполнит в срок первый, второй, третий заказы обозначим соответственно . Если для отыскания искомой вероятности применить теорему 2.1 сложения вероятностей, то получим . Вероятность события оказалась больше единицы, что невозможно. Это объясняется тем, что события являются совместными. Действительно, выполнение в срок первого заказа не исключает выполнения в срок двух других.

Сформулируем теорему сложения вероятностей в случае двух совместных событий (будет учитываться вероятность их совместного появления).

Теорема 2.2. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих двух событий без вероятности их совместного появления:

Зависимые и независимые события. Условная вероятность

Различают события зависимые и независимые. Два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятность появления другого. Например, если в цехе работают две автоматические линии, по условиям производства не взаимосвязанные, то остановки этих линий являются независимыми событиями.

Пример 3. Монета брошена два раза. Вероятность появления "герба" в первом испытании (событие независимыми в совокупности , если любое из них не зависит от любого другого события и от любой комбинации остальных.

События называются зависимыми , если одно из них влияет на вероятность появления другого. Например, две производственные установки связаны единым технологическим циклом. Тогда вероятность выхода из строя одной из них зависит от того, в каком состоянии находится другая. Вероятность одного события условной вероятностью события .

Условие независимости события , а условие его зависимости — в виде . Рассмотрим пример вычисления условной вероятности события.

Пример 4. В ящике находятся 5 резцов: два изношенных и три новых. Производится два последовательных извлечения резцов. Определить условную вероятность появления изношенного резца при втором извлечении при условии, что извлеченный в первый раз резец в ящик не возвращается.

Решение. Обозначим . Поскольку извлеченный резец в ящик не возвращается, то изменяется соотношение между количествами изношенных и новых резцов. Следовательно, вероятность извлечения изношенного резца во втором случае зависит от того, какое событие осуществилось перед этим.

Следовательно, вероятность события

Формулы умножения вероятностей

Пусть события Теорема 2.3. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Следствие 2.1. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

Пример 5. Три ящика содержат по 10 деталей. В первом ящике — 8 стандартных деталей, во втором — 7, в третьем — 9. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все три вынутые детали окажутся стандартными.

Решение. Вероятность того, что из первого ящика взята стандартная деталь (событие . Вероятность того, что из второго ящика взята стандартная деталь (событие . Вероятность того, что из третьего ящика взята стандартная деталь (событие ), . Так как события независимые в совокупности, то искомая вероятность (по теореме умножения)

Пусть события и известны. Найдем вероятность произведения этих событий, т. е. вероятность того, что появится и событие Теорема 2.4. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Следствие 2.2. Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились.

Пример 6. В урне находятся 5 белых шаров, 4 черных и 3 синих. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его в урну. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар (событие ).

Решение. Вероятность появления белого шара при первом испытании . Вероятность появления черного шара при втором испытании, вычисленная в предположении, что при первом испытании появился белый шар, т. е. условная вероятность . Вероятность появления синего шара при третьем испытании, вычисленная в предположении, что при первом испытании появился белый шар, а при втором — черный, . Искомая вероятность

Формула полной вероятности

Теорема 2.5. Если событие , образующих полную группу несовместных событий, то вероятность события на соответствующую условную вероятность события :

При этом события называются гипотезами, а вероятности — априорными. Эта формула называется формулой полной вероятности.

Пример 7. На сборочный конвейер поступают детали с трех станков. Производительность станков не одинакова. На первом станке изготовляют 50% всех деталей, на втором — 30%, на третьем — 20%. Вероятность качественной сборки при использовании детали, изготовленной на первом, втором и третьем станке, соответственно 0,98, 0,95 и 0,8, Определить вероятность того, что узел, сходящий с конвейера, качественный.

Решение. Обозначим , и — события, означающие, что детали сделаны соответственно на первом, втором и третьем станке. Тогда

Формула Байеса

Эта формула применяется при решении практических задач, когда событие , образующих полную группу событий, произошло и требуется провести количественную переоценку вероятностей гипотез . Априорные (до опыта) вероятности известны. Требуется вычислить апостериорные (после опыта) вероятности, т. е., по существу, нужно найти условные вероятности . Для гипотезы формула Байеса выглядит так:

Раскрывая в этом равенстве по формуле полной вероятности (2.1), получаем

Пример 8. При условиях примера 7 рассчитать вероятности того, что в сборку попала деталь, изготовленная соответственно на первом, втором и третьем станке, если узел, сходящий с конвейера, качественный.

Мы живем в мире, где наряду с событиями непременно наступающими (например, смена времен года, восход и заход солнца, смена времен суток) происходят события, зависящие от случая. Случайно перегорела лампа, случайно произошло замыкание, случайно выиграл лотерейный билет, случайно сборная России по футболу стала участником финала чемпионата мира, случайно сегодня на уроке математики присутствует комиссия в данном составе директоров школ района.

Все это события, которые заранее предсказать невозможно.

Событие, которое в процессе наблюдения или испытания (эксперимента) может произойти или не произойти, называют случайным событием.

Приведем еще примеры случайных событий: поражение мишени или промах в результате произведенного выстрела, выигрыш или проигрыш команды в матче, выпадение орла или решки при подбрасывании монеты, выпадение четного числа очков при подбрасывании игральной кости.

Пусть определенное испытание повторяется много кратно и каждый раз фиксируется произошло или нет интересующее нас событие А. Обозначим через N(А) – число исходов испытания при которых произошло событие А. Общее число всех испытаний обозначим через

N. Тогда отношение N(А)/N называют статистической частотой случайного события.

Статистика показывает, что при проведении одного и того же опыта, допускающего многократные повторения в одних и тех же условиях, частота появления ожидаемого случайного события остается примерно одинаковой, незначительно отличаясь от некоторого постоянного числа.

Рассмотрим такой пример. Бросают монету. Она может упасть кверху орлом или решкой.

Фамилия	Количество бросков	Частота выпадений орла
Бюффон	4040	0,507
Де Морган	4092	0,5005
Джевонс	20480	0,5068
Романовский	80640	0,4923
Пирсон	24000	0,5005
Феллер	10000	0,4979

Рассмотрим другой пример.

Приведем данные о рождении девочек за 1935 год в Швеции. По данным статистики частота рождения девочек, т.е. отношение числа родившихся девочек к числу родившихся детей характеризуется

Месяц	январь	февраль	март	апрель	май	июнь	июль	август	сентябрь	октябрь	ноябрь	декабрь
Частота	0,486	0,489	0.490	0.471	0.478	0.482	0.462	0.484	0.495	0.491	0.482	0.473

Несмотря на то, что общее число родившихся в течение года меняется, частота колеблется около среднего значения 0,482.

Подобные закономерности позволяют подойти к статистическому определению вероятности.

Если в длинной серии экспериментов со случайными исходами, которые могут быть многократно проверены в одинаковых условиях, значения частот близки к некоторому постоянному числу, то это число принимают за статистическую вероятность данного события.

Итак, для того, чтобы найти частоту или статистическую вероятность наступления какого-нибудь случайного события, необходимо осуществить достаточно большое число испытаний и лишь после этого можно определить приближенную вероятность наступления данного события. В то же время, если все исходы равновозможны, то вероятность наступления случайного события можно определить с помощью здравого смысла, опираясь на логические рассуждения.

Вернемся к испытаниям с монетой. Если монета правильная, то нет оснований считать, что исходы не равновозможны. Аналогично и с игральным кубиком. Если он сделан из однородного материала, то все исходы равновозможны, т.е. множество – множество равновозможных исходов опыта при бросании кубика.

Пусть при бросании кубика событие А означает, что выпадает четное число очков. Тогда событие А произойдет, если выпадет 2,4 или 6 – т.е. 3 исхода благоприятны для события А, всего же исходов – 6. Тогда отношение 3/6 – и есть вероятность наступления события А.

Определение: Вероятностью события А называется отношение числа благоприятных для А исходов к числу всех равновозможных исходов.

Это определение называется классическим определением вероятности.

Сопоставляя классическое и статистическое определение вероятности, можно сделать вывод: нахождение классической вероятности не требует проведения испытаний в действительности, а нахождение статистической вероятности предполагает, чтобы испытания проводились фактически.

Поговорим немного о несовместных событиях. Так называются 2 события, которые не могут наступить одновременно. Если события А и В могут наступать одновременно то их называют совместными. В этом случае для нахождения вероятности Р (А+В) нужна не только сама сумма событий, но и их произведение.

Определение: Произведением событий А и В называется событие, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает и А и В. Оно обозначается А В.

Рассмотрим следующий пример. Дать описание произведения АВ событий А и В, если:

Мы видим, что произведение АВ событий А и В связано с пересечением множеств соответствующих событиям А и В.

Определение: Если Р(АВ) = Р(А) Р (В), то А и В – независимы.

Дать точное определение независимости двух событий по видимому невозможно. Мы ограничимся тем, что события А и В назовем независимыми, если Р(А) и Р(В) не зависят от наступления или не наступления второго события.

Приведем следующий пример, из которого становится ясно, что такое независимые или зависимые события. В урне 6 жетонов с номерами от 1 до 6 включительно. Из урны вынимают 1 жетон. Обозначим через А событие, которое означает, что из урны извлечен жетон с номером, кратным 2. После этого жетон возвращают в урну. Затем из урны вынимают снова жетон.

Пусть В – событие, означающее, что из урны извлекли жетон с номером кратным 3. Какова вероятность наступления события А и события В при этом испытании?

Для А благоприятны следующие исходы: 2, 4, 6. а для В – 3,6.

Р(А) = 3/6 = 1/2, Р(В) = 2/6 = 1/3.

Событие В не зависит от события А, т.к. вероятность повторного извлечения жетона не влияет на то, какой жетон был вынут первый раз (он был возвращен в урну)

Если же после первого извлечения жетона из урны его не возвратят в урну, вероятность повторного извлечения жетона (событие В) будет иной, т.к. в урне уже не 6 жетонов, а 5. Если в первый раз извлечен жетон , кратный 3, то Р(В) = 1/5, если нет – то Р(В) = 2/5.

В этом случае Р(В) зависит от события А, т.е. А и В зависимы.

Пример. Два стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в мишень. Р(А) = 0,9, Р(В) = 0,3 – вероятности попадания соответственно первого и второго стрелка. Найти вероятность того, что мишень будет поражена: \а) дважды; б) ровно 1 раз.

а) А и В независимы. Мишень будет поражена дважды, если одновременно произойдут события А и В, т.е. АВ.

Р (АВ) = Р(А) Р(В)= 0.27

б) мишень будет поражена 1 раз, если произошло событие А+В, но не произошло событие АВ, т.е. Р(А+В) - Р(АВ) =Р(А)+Р(В) – 2 Р(АВ)=0.9 + 0,3 – 2 0,9 0,3 = 0,66

Решение типичных упражнений.

Начнем с более простой задачи.

1. На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет четной и больше 3?

Второе задание немного сложнее.

2. Конференция по обмену опытом организации школьных музеев проводится в 4 дня. Всего запланировано 40 докладов. Первые 2 дня – по 12 докладов, остальные – поровну распределены на 3 и 4 дни. Какова вероятность того, что докладчик из Куринской школы выступить в последний день?.

Решим более сложную задачу.

4. В урне 5 белых и 6 черных шаров. Случайным образом достают 3 шара. Какова вероятность того, что среди них не менее двух белых шаров?

Решение № 1. – Всего имеется 10 равновозможных исходов. Указанному событию благоприятствуют исходы, означающие нажатие на 4,6,или 8, т.е. 3 исхода. Тогда Р = 3/10=0,3.

Решение № 2.- Число докладов в последний день равно (40-2х12):2=8, Значит, число благоприятных исходов - 8. Всего исходов-40, значит Р=8/40, а это равно 0,2.

Необходимо найти Р( АВ). Так как А и В – события независимые, то Р(АВ)=Р(А)Р(В)=0,7 х 0,6=0,42

Решение № 4. Пусть А- событие, означающее, что белых шаров 2, а черных – 1 .В- событие означающее, что все 3 шара белые.

Совместные события – события, одновременное появление которых возможно.

Несовместные события – события, одновременное появление которых невозможно.

События являются независимыми, если вероятность наступления любого из них не зависит от появления остальных событий рассматриваемого множества событий.

Событие В называется зависимым, если вероятность P(B) зависит от появления или непоявления события А. Вероятность события В, вычисленная в предположении того, что событие А уже произошло, называется условной вероятностью наступления события В и обозначается P_A(B).

Условная вероятность – вероятность наступления одного события при условии, что другое событие уже произошло.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014. с. 186-194.

Открытые электронные ресурсы:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Иногда нам требуется выяснить вероятность совместного появления зависимых событий. Самый простой пример – найти вероятность получить выигрышную комбинацию в азартной карточной игре, где вероятность выпадения каждой новой карты зависит от того, какие карты уже лежат на столе.

Рассмотрим примерную задачу:

Из колоды карт извлекают четыре карты. Первые две оказались семёрками. Какова вероятность, что одна или обе оставшиеся карты окажутся семёрками? (колода содержит 36 карт)

Теоретическая часть

События называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

Пример совместных событий: выпадение чётного числа и выпадение числа, кратного трём, при броске игрального кубика. Когда выпадает шесть, реализуются сразу оба события.

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании.

Пример несовместных событий: выпадение чётного числа и выпадение нечётного числа при броске игрального кубика.

Теорема о сумме двух событий:

Вероятность суммы любых двух событий А и В равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного осуществления: Р(А+В) = Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

В лотерее выпущено 10 000 билетов, из них: 10 выигрышей по 200 рублей, 100 выигрышей по 100 рублей, 500 выигрышей по 50 рублей и 1000 выигрышей по 10 рублей. Какова вероятность того, что человек, купивший билет, выиграет не менее 50 рублей?

Воспользуемся теоремой: Р(М)=Р(А)+Р(В)+Р(С)=0,061.

Дана вероятность исходного события. Чему равна вероятность противоположного события?

Вероятность исходного события А обозначим Р(А). Вероятность противоположного события Р(Ᾱ).

События А и Ᾱ образуют полную группу событий, вероятность которой равна 1.

Тогда вероятность противоположного события находится по формуле:

События являются независимыми, если вероятность наступления любого из них не зависит от появления остальных событий рассматриваемого множества событий.

Например, монета брошена два раза.

Теорема умножения вероятностей независимых событий: вероятность совместного появления независимых событий A и B равна произведению вероятностей этих событий:

Подбрасываются две монеты. Найдите вероятность выпадения двух орлов.

Введем обозначение событий:

A₁– на 1-й монете выпадет орёл;

A₂– на 2-й монете выпадет орёл.

Событие “выпадение двух орлов” заключается в том, что на 1-й монете появится орёл и на 2-й монете появится орёл, следовательно, это произведение событий A₁A₂. Вероятность выпадения орла на одной монете не зависит от результата броска другой монеты, следовательно, события A₁ и A₂ независимы. По теореме умножения вероятностей независимых событий получим:

Событие B называется зависимым, если вероятность P(B) зависит от появления или непоявления события А. Вероятность события B, вычисленная в предположении того, что событие А уже произошло, называется условной вероятностью наступления события В и обозначается P_A(B).

Отыскать вероятность совместного появления зависимых событий помогает теорема умножения вероятностей зависимых событий: вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже произошло: P(AB) = P(A)·P_A(B).

Связь теории вероятностей с теорией множеств.

В математике принято устанавливать связи между различными разделами. Связь между теорией вероятностей и теорией множеств устанавливается следующим образом: события отождествляются с множествами. В таком случае понятию исход будет эквивалентно понятие элемент множества. При таком подходе выберите из списка, какому понятию из теории множеств соответствует данное понятие из теории вероятностей:

- Невозможное событие (подмножество, бесконечное множество, пустое множество, пересечение множеств, объединение множеств, разность множеств, декартово произведение множеств)

- Сумма событий (подмножество, бесконечное множество, пустое множество, пересечение множеств, объединение множеств, разность множеств, декартово произведение множеств)

- Произведение событий (подмножество, бесконечное множество, пустое множество, пересечение множеств, объединение множеств, разность множеств, декартово произведение множеств)

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. В урне 6 черных, 5 красных и 4 белых шара. Последовательно извлекают три шара без возврата. Найдите вероятность того, что первый шар окажется черным, второй – красным и третий – белым.

А – первый шар окажется черным

В - второй шар красный

С - третий шар белый

2. Колю отпускают гулять при условии сделанных уроков с вероятностью 0,8. Папа выдает ему деньги на мороженое с вероятностью 0,6. С какой вероятностью Коля пойдет гулять без мороженого?

A – папа выдал Коле денег на мороженое

B – Колю отпустили гулять

Вероятность того, что Коля пойдёт гулять, есть в условии задачи P(B) = 0,8. Вероятность, что папа не выдаст ему деньги на мороженое, равна P(Ᾱ) = 1 – P(A) = 1 – 0,6 = 0,4. Вероятность одновременного осуществления двух независимых событий – произведение их вероятностей P(ᾹB) = P(Ᾱ)·P(B) = 0,8·0,4 = 0,32.

Если при наступлении события вероятность событияне меняется, то событияиназываютсянезависимыми.

Теорема: Вероятность совместного появления двух независимых событий и (произведения и) равна произведению вероятностей этих событий.

Действительно, так как событияинезависимы, то. В этом случае формула вероятности произведения событийипринимает вид.

События называютсяпопарно независимыми, если независимы любые два из них.

События называютсянезависимыми в совокупности (или просто независимыми), если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных.

Теорема: Вероятность произведения конечного числа независимых в совокупности событий равна произведению вероятностей этих событий.

Проиллюстрируем различие в применении формул вероятности произведения событий для зависимых и независимых событий на примерах

Пример 1. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,85, вторым 0,8. Орудия сделали по одному выстрелу. Какова вероятность того, что в цель попал хотя бы один снаряд ?

Решение: P(A+B) =P(A) +P(B) –P(AB) Так как выстрелы независимы, то

P(A+B) = P(A) +P(B) –P(A)*P(B) = 0.97

Пример 2. В урне находится 2 красных и 4 черных шара. Из нее вынимают подряд 2 шара. Какова вероятность того, что оба шара красные.

Решение: 1 случай. Событие А – появление красного шара при первом вынимании, событие В – при втором. Событие С – появление двух красных шаров.

2 случай. Первый вынутый шар возвращается в корзину

Формула полной вероятности.

Пусть событие может произойти только с одним из несовместных событий , образующих полную группу. Например, в магазин поступает одна и та же продукция от трех предприятий и в разном количестве. Вероятность выпуска некачественной продукции на этих предприятиях различна. Случайным образом отбирается одно из изделий. Требуется определить вероятность того, что это изделие некачественное (событие). Здесь события – это выбор изделия из продукции соответствующего предприятия.

В этом случае вероятность события можно рассматривать как сумму произведений событий.

По теореме сложения вероятностей несовместных событий получаем . Используя теорему умножения вероятностей, находим

Полученная формула называется формулой полной вероятности.

Формула Байеса

Задача состоит в том, что, имея новую информацию (событие Aпроизошло), нужно переоценить вероятности событий .

На основании теоремы о вероятности произведения двух событий

Полученная формула носит название формулы Байеса.

Основные понятия комбинаторики.

При решении ряда теоретических и практических задач требуется из конечного множества элементов по заданным правилам составлять различные комбинации и производить подсчет числа всех возможных таких комбинаций. Такие задачи принято называть комбинаторными.

При решении задач комбинаторики используют правила суммы и произведения.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Читайте также: