Площади и объемы 5 класс реферат

Обновлено: 08.07.2024

Цель: изучить площади геометрических фигур и объемы геометрических тел.

- рассмотреть геометрические фигуры: прямоугольник, квадрат, треугольник;

- рассмотреть геометрические тела: прямоугольный параллелепипед и куб.

- изучить основные формулы площади и объема;

- изготовить схему-плакат для изучения площадей и объемов.

Ход выполнения проекта.

Поиск и изучение литературы по теме проекта.

Составление краткой характеристики плоских фигур и объемных тел.

Используемые источники:

Учебник. Математика: 5 класс: для общеобразовательных организаций/ А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. – М.: Вентана-Граф, 2017.

Учебник. Математика: 5 класс: для общеобразовательных учреждений/ Н.Я Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцберд. – М.: Мнемозина, 2010.

Различные интернет ресурсы.

Часто встречаются фигуры; прямоугольники, квадраты, прямоугольные параллелепипеды, кубы. Например форму прямоугольного параллелепипеда имеют коробка, кирпич, книжный шкаф, комната и т.д.. Форму прямоугольника имеют крышка парты, окно, дверь, потолок, пол, школьная доска, лист альбома, тетради Более сложные фигуры состоят из простых. Изучением таких фигур занимается наука геометрия - раздел математики. Геометрия возникла в результате практической деятельности людей: нужно было строить жилища, прокладывать дороги, устанавливать границы земельных участков и определять их длины, размеры.

В пятом классе мы более подробно изучили такие фигуры как прямоугольник, квадрат, треугольник, прямоугольный параллелепипед и куб.

Мне стало интересно более подробно изучить данные фигуры На уроках математики мы вместе изготавливали схемы для работы на уроках.

P=2(a+b)

P=2a+2b

S=ab

P=4a

S=a 2

L= 4(a+b+c)

Сумма длин всех ребер

S_{поверхн.=}2(ab+bc+ac)

L=12a

Сумма длин всех ребер

S_{поверхн.}₌6a 2

Чтобы найти площадь прямоугольника надо умножить его длину на ширину – S=ab.

Если длина и ширина измерены в разных единицах, то их надо выразить в одних единицах.

Квадрат – это прямоугольник с равными сторонами.

Площадь квадрата равна квадрату его стороны – S=a 2 .

Площадь треугольника равна половине площади всего прямоугольника – S=ab:2.

Второй столбец содержит информацию о мерах площади и объема.

Третий столбец содержит информацию об объеме прямоугольного параллелепипеда и куба.

Прямоугольный параллелепипед имеет три измерения: длину, ширину и высоту.

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений – V=abc.

Куб – это прямоугольный параллелепипед, у которого все измерения равны. Его объем вычисляется по формуле – V=a 3 .

ГОСТ

Площади

История нахождения площадей фигур начинается еще с древнего Вавилона. Уже тогда вычисляли площади прямоугольника, а древние египтяне пользовались методами вычисления площадей различных фигур, похожими на наши методы.

Сегодня с помощью современных методов можно найти площадь любой фигуры с большой точностью.

Рассмотрим одну из простейших фигур -- прямоугольник -- и формулу нахождения его площади.

Формула площади прямоугольника

Рассмотрим фигуру (рис. 1), которая состоит из $8$ квадратов со сторонами по $1$ см. Площадь одного квадрата со стороной $1$ см называют сантиметром квадратным и записывают $1\ см^2$.

Площадь данной фигуры (рис. 1) будет равна $8\ см^2$.

Площадь фигуры, которую можно разбить на несколько квадратов со стороной $1\ см$ (например, $p$), будет равна $p\ см^2$.

Другими словами, площадь фигуры будет равна стольким $см^2$, на сколько квадратов со стороной $1\ см$ можно разбить эту фигуру.

Рассмотрим прямоугольник (рис. 2), который состоит из $3$ полос, каждая из которых разбита на $5$ квадратов со стороной $1\ см$. весь прямоугольник состоит из $5\cdot 3=15$ таких квадратов, и его площадь равна $15\ см^2$.

Готовые работы на аналогичную тему

Площадь фигур принято обозначать буквой $S$.

Для нахождения площади прямоугольника нужно его длину умножить на ширину.

Если обозначить буквой $a$ его длину, а буквой $b$ - ширину, то формула площади прямоугольника будет иметь вид:

Фигуры называют равными, если при наложении их одна на другую фигуры совпадут. Равные фигуры имеют равные площади и равные периметры.

Площадь фигуры можно найти как сумму площадей ее частей.

Например, на рисунке $3$ прямоугольник $ABCD$ разбит на две части линией $KLMN$. Площадь одной части равна $12\ см^2$, а другой - $9\ см^2$. Тогда площадь прямоугольника $ABCD$ будет равна $12\ см^2+9\ см^2=21\ см^2$. Найдем площадь прямоугольника по формуле:

\[S=a\cdot b=3\cdot 7=21\ см^2.\]

Как видим, площади, найденные обоими способами, равны.

Отрезок $AC$ делит прямоугольник на два равных треугольника: $ABC$ и $ADC$. Значит площадь каждого из треугольников равна половине площади всего прямоугольника.

Прямоугольник с равными сторонами называется квадратом.

Если обозначить сторону квадрата буквой $a$, то площадь квадрата будет находится по формуле:

Отсюда и название квадрат числа $a$.

Например, если сторона квадрата равна $5$ см, то его площадь:

Объемы

С развитием торговли и строительства еще во времена древних цивилизаций появилась необходимость в нахождении объемов. В математике существует раздел геометрии, который занимается изучением пространственных фигур, называемый стереометрией. Упоминания об этом отдельном направлении математики встречались уже в $IV$ веке до н.э.

Древними математиками был выведен способ вычисления объема несложных фигур -- куба и параллелепипеда. Все сооружения тех времен были именно такой формы. Но в дальнейшем были найдены способы вычисления объема фигур более сложных форм.

Объем прямоугольного параллелепипеда

Если наполнить формочку влажным песком и потом перевернуть, то получим объемную фигуру, которая характеризуется объемом. Если сделать таких фигур несколько с помощью одной и той же формочки, то получатся фигуры, которые имеют одинаковый объем. Если наполнить формочку водой, то объем воды и объем фигуры из песка также будут равными.

Сравнить объемы двух сосудов можно, наполнив один водой и перелив ее во второй сосуд. Если второй сосуд окажется полностью заполненным, то сосуды имеют равные объемы. Если при этом в первой вода останется, то объем первого сосуда больше объема второго. Если при переливании воды из первого сосуда не удается полностью заполнить второй сосуд, значит объем первого сосуда меньше объема второго.

Объем измеряется с помощью следующих единиц:

$мм^3$ -- миллиметр кубический,

$см^3$ -- сантиметр кубический,

$дм^3$ -- дециметр кубический,

$м^3$ -- метр кубический,

$км^3$ -- километр кубический.

Например, сантиметр кубический -- это объем куба с ребром $1\ см$ (рис.~6).

В школьном курсе математики 4-5 класса рассматривается понятие площади. Это значение часто встречается как в реальной жизни, где мы постоянно интересуемся площадью квартиры, так и при решении задач.

Определение понятия

Площадь указывает на размер плоскости, которую занимает фигура. Если вырезать любую фигуру из листа бумаги, положить на поверхность, а потом обвести карандашом, мы получим визуальное воплощение характеристики площади.

Площади двух абсолютно разных фигур могут быть одинаковыми. Почему так происходит? Потому что площадь – это характеристика. Можно провести простую аналогию с деньгами: сто грамм конфет и полкилограмма крупы стоят одинаково, но это совершенно разные вещи. Так треугольник и прямоугольник могут иметь одинаковую площадь. Фигуры, имеющие одинаковую площадь, называют равновеликими.

Характеристики понятия

Площадь имеет несколько характеристик:

Положительность. Площадь не может быть отрицательной, как не может быть отрицательным пространство. Есть единственный случай, когда площадь стремится к нулю: измерение площади точки.
Нормируемость.

На практике площадь можно определять с помощью палетки или специального измерительного прибора – планиметра.

Площади простых фигур

Формула для определения площади зависит от фигуры. Обозначение площади, чаще всего, остается неизменным – это латинская заглавная буква “S”. Это не правило, просто одна из традиций обозначения площади. В высшей математике, теплотехнике и многих других дисциплинах площадь могут обозначать другими буквами.

Рассмотрим наиболее популярные формулы определения площадей:

Прямоугольник. S=a*b – произведение длины на ширину.
Треугольник. $S=<1\over2>a*h$ – половина произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию.
Круг. $S=\pi*r^2$ – отдельно нужно отметить, что окружность площади иметь не может. Только круг.

Предварительно нужно убедиться в том, что параметры фигуры находятся в одинаковых единицах измерения. Например, когда ширина прямоугольника представлена в миллиметрах, а длина в сантиметрах, следует перевести сантиметры в миллиметры и только потом использовать формулу.

Рис. 2. Площадь прямоугольника.

Что такое площадь квадрата? Это сторона фигуры, возведенная в квадрат. Потому что квадрат это прямоугольник, длина и ширина которого равны:

Если у квадрата одна сторона равняется 100 м, то его площадь равна одному гектару. Эту единицу используют, когда необходимо оценить размеры земной поверхности при распределении сельскохозяйственных угодий:

Площадь произвольной фигуры

Площадь сложной фигуры можно определить, просуммировав площади ее частей. Для этого нужно просто разделить произвольную геометрическую фигуру на простые составляющие так, чтобы можно было легко определить их квадратуры.

Рис. 3. Площадь сложной фигуры.

Фигуру на рисунке 3 можно разбить на 12 квадратов со сторонами 1 см. Тогда площадь каждого квадрата будет равняться $1см^2$. Получается, что площадь рассматриваемой фигуры будет $12 см^2$.

Что мы узнали?

Мы познакомились с понятием площади. Узнали, что для каждой фигуры есть свой метод определения площади. Важно, чтобы основные параметры фигуры были выражены в одних и тех же единицах.

№ слайда 1

Ростовская область Неклиновский район МБОУ Вареновская СОШПонятие площади и объёма.Презентация для учащихся 5 класса.Автор учитель математики: Мартынова Светлана Анатольевна.

№ слайда 2

Цель урокаОбобщение и систематизация знаний понятия площади и объёма. Отработка навыков умения переводить одни единицы измерения в другие. Применение формул площади и объёма в задачах.

№ слайда 3

Площадь многоугольника – это величина той части плоскости, которую занимает многоугольникПлощадь обозначается буквой SПлощадь S

№ слайда 4

За единицу измерения площадейпринимается квадрат со стороной 1 см. Такой квадрат называется квадратным сантиметром и обозначается см2 Меры площади мм2, м2, дм2, км2, га, арСвязь между площадями:1км2=1000.000м21м2 = 100 дм2 = 10.000см21га = 100 ар = 10.000 м21ар = 100 м2

№ слайда 5

№ слайда 6

Если многоугольник составлен из несколькихмногоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

№ слайда 7

Равные многоугольники имеют равные площади.

№ слайда 8

Что значит найти площадь? Чтобы ответить на этот вопрос найдем площадь прямоугольника ABCD в см 2. Для этого нужно знать Сколько квадратов со стороной 1 см уложиться в этом прямоугольнике.

№ слайда 9

№ слайда 10

квадратРешение: S=9*9=81кв. ед.

№ слайда 11

№ слайда 12

кроссвордЗнак математического действияНаименьшее двузначное числоРезультат сложенияПервый месяц годаЧисло над чертой дробиСумма сторон многоугольникаЕденица измерения массыЕденица измерения площади.

№ слайда 13

№ слайда 14

физкультминуткаДружно встали– это”раз” Вправо, влево голова—это”два”.Руки вверх, вперёд смотри—это”три”.Руки в стороны пошире развернули на “четыре”.С силой их к плечам прижать—это”пять”.Всем ребятам надо сесть—это”шесть”.

№ слайда 15

Объём.Объём- это величина той части пространства, которую занимает фигура.Объём обозначается буквой – V.

№ слайда 16

За единицу измерения объёма принимают куб, ребро которого равно 1 см. Такой куб называется кубический сантиметр и обозначается: Меры объёма:Связь между единицами объёма:

№ слайда 17

№ слайда 18

сведения из истории200 лет назад в разных странах, в том числе и в России, применялись различные меры измерения величин. Соотношения между ними были очень сложны. Поэтому назрела необходимость введения единой системы мер.Такая система -её назвали метрической системой мер -была разработана во Франции.В России её введение началось с 1899 года.