Площадь криволинейной трапеции реферат
Обновлено: 05.07.2024
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ
Для самостоятельной работы студентов
По учебному предмету: МАТЕМАТИКА (включая алгебру и начала математического анализа; геометрию)
Специальность: 34.02.01 Сестринское дело Курс: 1
Рассмотрено на заседании предметной цикловой
Методической комиссии по общеобразовательным предметов,
общему гуманитарному и социально-экономическому, математическому и
Автор – составитель: преподаватель математики высшей категории Тюменцева О.Н.
Пояснительная записка к методическому пособию
Методическое пособие предназначено для повторения теоретических и практических знаний по теме.
Данное пособие рекомендовано для студентов первого курса специальности 34.02.01 Сестринское дело. Пособие содержит определения и формулы по теме: Площадь криволинейной трапеции, тест для самоконтроля и критерии оценки теста.
Пособие направлено на формирование навыков самостоятельной работы с учебным материалом, формирование навыков решения задач, формирование и развитие творческого потенциала, повышение интереса к предмету.
Площадь криволинейной трапеции
1. Площадь фигуры, ограниченной сверху графиком функции , снизу – осью , слева и справа – прямыми и .
Пусть функция неотрицательна и непрерывна на отрезке . Тогда, согласно геометрическому смыслу определенного интеграла , площадь криволинейной трапеции , ограниченной сверху графиком этой функции, снизу – осью , слева и справа – прямыми и (Рис.1) вычисляется по формуле:
. (7)
Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линией и осью .
Решение: Графиком функции является парабола , ветви которой направлены вниз. Построим ее (Рис. 1). Чтобы определить пределы интегрирования, найдем точки пересечения линии (параболы) с осью (прямой ). Для этого решаем систему уравнений
Получаем: , откуда , ; следовательно, , .
Площадь фигуры находим по формуле (5):
(кв. ед.).
Если функция неположительна и непрерывна на отрезке , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной снизу графиком данной функции, сверху – осью , слева и справа – прямыми и , вычисляется по формуле
. (8)
В случае если функция непрерывна на отрезке и меняет знак в конечном числе точек, то площадь заштрихованной фигуры (Рис. 2) равна алгебраической сумме соответствующих определенных интегралов:
. (9)
Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью и графиком функции при .
Решение: Сделаем чертеж (Рис. 4). Искомая площадь представляет собой сумму площадей и . Найдем каждую из этих площадей. Вначале определим пределы интегрирования, решив систему . Получим , . Следовательно:
;
.
Таким образом, площадь заштрихованной фигуры равна
(кв. ед.).
2. Площадь фигуры, ограниченной линиями - сверху, - снизу, слева прямой , справа прямой .
Пусть, криволинейная трапеция ограничена сверху и снизу графиками непрерывных на отрезке функций и , а слева и справа – прямыми и (Рис. 5). Тогда ее площадь вычисляется по формуле
. (9)
Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями и .
Решение: Данная фигура изображена на Рис. 7. Площадь ее вычислим по формуле (8). Решая систему уравнений находим , ; следовательно, , . На отрезке имеем: . Значит, в формуле (7) в качестве возьмем x, а в качестве – . Получим:
(кв. ед.).
Более сложные задачи на вычисление площадей решают путем разбиения фигуры на непересекающиеся части и вычисления площади всей фигуры как суммы площадей этих частей.
Пример 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , , .
Решение: Сделаем чертеж (Рис. 8). Данную фигуру можно рассматривать как криволинейную трапецию, ограниченную снизу осью , слева и справа – прямыми и , сверху – графиками функций и . Так как фигура ограничена сверху графиками двух функций, то для вычисления ее площади разобьем данную фигуру прямой на две части (1 – это абсцисса точки пересечения линий и ). Площадь каждой из этих частей находим по формуле (4):
(кв. ед.);
(кв. ед.). Следовательно:
(кв. ед.).
Если криволинейная трапеция ограничена прямыми и , осью и непрерывной на кривой (Рис. 9), то ее площадь находится по формуле
Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.
Дополнительная литература:
ОрловаЕ. А., СеврюковП. Ф., СидельниковВ. И., СмоляковА.Н.Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком непрерывной и не меняющей на отрезке [а;b] знака функции f(х), прямыми х=а, x=b и отрезком [а;b].
Отрезок [a;b] называют основанием этой криволинейной трапеции
формула Ньютона – Лейбница
Если в задаче требуется вычислить площадь криволинейной трапеции, то ответ всегда будет положительный. Если требуется, используя чертеж, вычислить интеграл, то его значение может быть любым(зависит от расположения криволинейной трапеции).
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
№1.Найти площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке
Для вычисления площади криволинейной трапеции воспользуемся формулой Ньютона – Лейбница.
№2. Вычислить определенный интеграл:
Решение: Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница.
Сначала находим первообразную функцию F(x) . Далее подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию: F(b) .
Затем подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию: F(а).
Рассчитываем разность F(b) - F(а), это и будет ответ.
№3. Найти площадь криволинейной трапеции (х-1) 2 , ограниченной линиями х=2 и х=1, осью 0х
Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница.
Сначала находим первообразную функцию F(x). Далее подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию: F(b) .
Затем подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию: F(а).
Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями , .
Решение: Сначала нужно выполнить чертеж. Вообще говоря, при построении чертежа в задачах на площадь нас больше всего интересуют точки пересечения линий. Найдем точки пересечения параболы и прямой . Это можно сделать двумя способами. Первый способ – аналитический. Решаем уравнение:
А теперь рабочая формула : Если на отрезке некоторая непрерывная функция больше либо равна некоторой непрерывной функции , то площадь фигуры, ограниченной графиками данных функций и прямыми , , можно найти по формуле:
В рассматриваемом примере очевидно, что на отрезке парабола располагается выше прямой, а поэтому из необходимо вычесть
Завершение решения может выглядеть так:
Искомая фигура ограничена параболой сверху и прямой снизу.
На отрезке , по соответствующей формуле:
Пример 2
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .
Решение: Сначала выполним чертеж:
Этот пример еще полезен и тем, что в нём площадь фигуры считается с помощью двух определенных интегралов. Действительно:
1) На отрезке над осью расположен график прямой ;
2) На отрезке над осью расположен график гиперболы .
Совершенно очевидно, что площади можно (и нужно) приплюсовать, поэтому:
SОСД = F(3) – F(0), где F(x) первообразная для функции f(х) = 4х – х 2
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ,
В таких случаях приходиться тратить дополнительное время и уточнять пределы интегрирования аналитически.
Найдем точки пересечения прямой и параболы .
Для этого решаем уравнение:
Дальнейшее решение тривиально, главное, не запутаться в подстановках и знаках, вычисления здесь не самые простые.
На отрезке , по соответствующей формуле:
Пример 5
Вычислить S фигуры, ограниченной линиями у = (х + 2) 2 , х = 0, у = 0.
Решение:
Пример 6
Найти S фигуры, ограниченной параболой у = х 2 + 1 и прямой у = х + 3.
Решение:
Построим в одной системе координат графики данных функций.
Пример 7:
Функция неотрицательна на [1;3]
1) Схематично изобразим данную фигуру (рис. 12)
3) Найдем площадь фигуры
Ответ: Sф = .
Пример 9
у=х 3 +1, у=0, х=0, х=2.
S = F(2) – F(0) = 16/4 + 2 – 0/4 + 0 = 6
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , и осью
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
Что делать, если криволинейная трапеция расположена под осью ?
На отрезке график функции расположен над осью , поэтому:
Ответ:
Примечание: В задачах на нахождение площадей преподаватели часто требуют записывать ответ не только точно, но и, в том числе, приближенно.
Пример 11 : Найти площадь фигуры, ограниченной линиями ,
Цели проекта:
а) закрепить навыки нахождения определенного интеграла;
в) отработать навыки нахождения площади криволинейной трапеции путем вычитания площадей.
а) развитие психических качеств учеников (умений применять полученные знания на практике);
б) развитие познавательных умений и мышления (выделять главное, анализировать, сравнивать, определять и объяснять понятия).
а) воспитание положительного отношения к знаниям;
б) воспитание дисциплинированности;
в) воспитание эстетических взглядов.
Задачи проекта:
а) закрепить навыки нахождения определенного интеграла;
в) усвоить различные способы нахождения площади криволинейной трапеции;
г) отработать навыки нахождения площади криволинейной трапеции.
Формы организации учебной деятельности: фронтальная, групповая, индивидуальная.
Методы организации учебной деятельности: словесный, наглядный, исследование.
ПРОЕКТ УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ
Тема учебного занятия
Площадь криволинейной трапеции
Тип занятия
Цели обучающегося:
а) закрепить навыки нахождения определенного интеграла;
в) усвоить различные способы нахождения площади криволинейной трапеции;
г) отработать навыки нахождения площади криволинейной трапеции.
Этапы учебного занятия:
Деятельность педагога
Деятельность обучающегося
I. Самоопределение к деятельности (оргмомент)
Проверяет готовность обучающихся к уроку, формулирует тему и цели урока
Готовятся к восприятию материала
II. Актуализация опорных знаний
Обеспечивает повторение знаний и умений, полученных на предыдущих уроках:
Фронтальный опрос с решением примеров
1). Сформулируйте формулу Ньютона-Лейбница
1)
2) Вычислите интеграл (задание на интерактивной доске ИД)
2) Решают пример на ИД
3) Сформулируйте определение определенного интеграла
3) Приращение F (b) – F (a) любой из первообразных функций F (x) + C при изменении аргумента от х = а до х = b называется определенным интегралом от а до b функции f (x):
4) Вычислите интеграл (задание на интерактивной доске ИД)
4) Решают пример на ИД
5) В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла?
5) Определенный интеграл – это площадь фигуры, сверху ограниченной графиком функции f (x), снизу – осью абсцисс, по бокам – прямыми х = а и х = b
1) Формулирует тему урока (слайд 1)
Записывают тему урока в тетрадях
2) Формулирует определение криволинейной трапеции (слайды 2, 3) и геометрический смысл определенного интеграла (слайд 4)
Делают чертеж и записывают определение в тетрадях
3) Опираясь на геометрический смысл определенного интеграла, предлагает решить две задачи из Открытого банка (слайды 5, 6)
Делают чертеж и записывают решение в тетрадях
4) Записывает формулу площади криволинейной трапеции (слайд 7)
Записывают формулу в тетрадях
5) Приводит способы нахождения площадей различных фигур (слайды 8, 9, 10)
Отвечают на поставленные вопросы. Записывают в тетрадях
IV. Применение знаний, формирование умений
1) Предлагает записать интеграл для нахождения площади заданной трапеции
Записывают решение в тетрадях
2) Рассматривает обратную задачу – по заданному интегралу нарисовать криволинейную трапецию
Решают примеры и записывают их в тетрадях
3) Контролирует написание тестовой работы
Решают тестовую самостоятельную работу
V. Подведение итогов.
Выставление оценок. Домашнее задание
Записывают домашнее задание в тетрадях
Список учебных элементов содержания
Название учебного элемента
Геометрический смысл определенного интеграла
Площадь криволинейной трапеции
Логическая структура содержания темы
Методы обучения
Название
Обоснование
- способствует быстрому прохождению материала
- эффективно содействует отработке практических умений и навыков
Виды контроля
Что контролируется?
- умение находить определенный интеграл;
- навыки применения определенного интеграла к вычислению площади криволинейной трапеции.
Приемы контроля
Ожидаемые результаты
Сформированные навыки применения определенного интеграла к вычислению площади криволинейной трапеции.
Особенностью данного занятия является применение информационно-коммуникационных технологий.
При изучении нового материала используется презентация PowerPoint с элементами мультимедиа.
Использование интерактивной доски на этом этапе урока позволяет сократить время на построение графиков, запись формул и определений. Материал становится более наглядным и более доступным.
Бòльшая часть урока отводится на закрепление полученных теоретических знаний. Закрепление материала заключается в решении задач из электронного учебного пособия.
При выполнении домашнего задания ученики будут использовать ресурсы сети Интернет, что одновременно способствует совершенствованию навыков работы с цифровыми образовательными ресурсами и повышает интерес к предмету, а, следовательно, способствует совершенствованию достижений навыков образовательных результатов.
Закрепление новых знаний.
Найти площадь фигуры, ограниченной параболой , прямой x=2 и осью OX
Читайте также: