Планирование экстремальных экспериментов реферат

Обновлено: 02.07.2024

Выполнил: студент гр. КБ-01
Иванов И.И.
Проверил: доцент кафедры СА
Петров П.П.

Красноярск 2013 г
Содержание

Введение…………………………………………………………………………. 3
1. Задачи и виды экспериментов ……………………………………………… 4
2. Стратегия и тактика экспериментов ……………………………………….. 8
3. Основы планирования экспериментов, выбор факторов ………………… 10
4. Методы и способы измерений, погрешности измерений ………………. 13
Заключение ……………………………………………………………………… 17
Список используемой литературы ……………………………………………. 18

Введение
Важнейшейсоставной частью научных исследований является эксперимент, основой которого является научно поставленный опыт с точно учитываемыми и управляемыми условиями. Основной целью эксперимента является выявление свойств исследуемых объектов, проверка справедливости гипотез и на этой основе широкое и глубокое изучение темы научного исследования.
В данной работе будут рассмотрены основные понятия наукипланирования эксперимента: задачи, виды, цели, стратегия, тактика, методика экспериментов; определение и виды факторов, их выбор и требования к ним.

1. Задачи и виды экспериментов
Наука – сфера исследовательской деятельности, направленная на получение новых знаний о природе, обществе и мышлении. В настоящее время развитие науки связано с разделением и кооперацией научного труда, созданием научныхучреждений, экспериментального и лабораторного оборудования.
Эксперимент в ходе развития науки выступал мощным средством исследования явлений природы и технических объектов. Но лишь сравнительно недавно он стал предметом исследования. Пристальное внимание ученых и инженеров к тому, как лучше и эффективней проводить эксперимент, возникло не случайно, а является следствием достигнутого уровня и масштабаэкспериментальных работ на современном этапе развития науки и техники. Этот этап с рассматриваемой точки зрения характеризуется ростом общего числа проводимых экспериментальных работ; увеличением количества специалистов, занимающихся экспериментальной деятельностью; существенным усложнением объектов исследования и используемого экспериментального оборудования; тенденцией к удлинению среднего времени экспериментированияи удорожанию исследований; начавшаяся процессом внедрения средств и систем автоматизации эксперимента.
Известно, что новая наука может возникнуть, если существует объективная необходимость ее появления и имеется предмет новой науки, представляющий общенаучный интерес. Сказанное в полной мере относится и к теории планирования эксперимента. Предмет исследования этого научного направления–эксперимент. Однако особенности планирования, постановки эксперимента рассматриваются и в физике, и в химии, и в прикладных науках. Для того, чтобы эксперимент стал предметом исследования отдельного научного направления, необходимо, чтобы он характеризовался некоторыми чертами, общими для любого эксперимента независимо от того, в какой конкретной области знаний эксперимент проводится. Такими общими чертамиэксперимента является необходимость:
1) контролировать любой эксперимент, т.е. исключать влияние внешних переменных, не принятых исследователем по тем или иным причинам к рассмотрению;
2) определять точность измерительных приборов и получаемых данных;
3) уменьшать до разумных пределов число переменных в эксперименте;
4) составлять план проведения эксперимента, наилучший с той или иной точки зрения;
5) проверятьправильность полученных результатов и их точность;
6) выбирать способ обработки экспериментальных данных и форму представления результатов;
7) анализировать полученные результаты и давать их интерпретацию в терминах той области, где эксперимент проводится.
Как и в любом сформировавшемся научном направлении, в теории.

статистическая обработка данных
планирование эксперимента и случайные процессы

Методы оптимизации при планировании экстремального эксперимента ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )

Одним из первых этапов при оптимизации технологических процессов является определение критерия оптимизации — функции отклика Y, значение которой будет положено в основу оценки процесса при его оптимизации. Задача оптимизации сводится к нахождению таких условий проведения технологического процесса, при которых критерий оптимизации достигает экстремума.

При исследовании технологических процессов электронных средств аналитическая зависимость У (Х) (где X — вектор управляемых, а следовательно, контролируемых факторовX = (Х_ЬХ₂, …, XJ) неизвестна и исследователь не может найти экстремум путем решения системы дифференциальных уравнений.

где к — число факторов.

Обычно исследователь может лишь наблюдать значения выходной величины при различных комбинациях варьируемых факторов (Х_г, Х₂, …, Х_к); в действительности же наблюдается сумма истинного значения у_ист и случайной ошибки опыта А:

Принято называть геометрическое изображение функции отклика в факторном пространстве (Х₁, Х₂, Х₃, …, Х_к) поверхностью отклика.

При поиске экстремальной точки, в отличие от аналитического исследования, осуществляется локальное изучение поверхности отклика по результатам ряда опытов, специально поставленных около исходной точки. Движение к экстремуму в п-мерном пространстве независимых переменных осуществляется обычно не непрерывно, а шагами. Анализируя результаты экспериментов и сравнивая их с результатами предыдущих, исследователь принимает решение о дальнейших действиях по поиску оптимума. Экстремальное значение отклика достигается с помощью многократного последовательного изучения поверхности отклика и продвижения в факторном пространстве. Существуют несколько экспериментальных методов оптимизации, различающихся способом определения направления движения и организацией самого движения.

Метод Гаусса — Зейделя.

При оптимизации по этому методу последовательное продвижение к экстремуму осуществляется путем поочередного варьирования каждым фактором до достижения частного экстремума функции отклика (рис. 2.5). На рисунке изображены кривые равного выхода для одного из технологических процессов, аналогично кривым равной высоты на географических картах. Таким образом, изображающая точка перемещается попеременно вдоль каждой из координатных осейХ, (i = 1, 2, 3, …, к) факторного пространства; переход к новой (7 + 1)-й координате осуществляется при достижении частного экстремума целевой функции Y (X) по предыдущей координате, т. е. в точке X_ih, где.

Рис. 2.5. Поиск экстремума функции отклика методом Гаусса — Зейделя.

Здесь и далее ищем экстремум в виде минимума функции отклика, максимум находится аналогично, меняется только знак [18, "https://referat.bookap.info"].

После достижения частного экстремума при изменении значений последнего фактора Х_к переходят снова к варьированию первым фактором и т, д.; в результате изображающая точка приближается к экстремуму. Направление движения вдоль (i + 1)-й координатной оси выбирается по результатам двух пробных экспериментов в окрестностях точки частного экстремума по предыдущему фактору. Поиск экстремума прекращается в точке, движение из которой в любом направлении не приводит к уменьшению значения выходного параметра (функции отклика У). Точка поверхности отклика, в которой значение функции отклика будет минимальным, и будет искомым оптимумом. Точность определения оптимальной точки зависит от шага варьирования ДХ,-, и для увеличения точности уменьшают величину шага при приближении к экстремуму.

Важным моментом при постановке эксперимента является выбор исходной точки и шага варьирования. Здесь необходимо учитывать свойства изучаемого процесса, особенности технологии и методов измерения.

Метод Гаусса — Зейделя и его разновидности очень широко распространены на практике. Обычно экспериментаторы стараются изменять факторы по очереди, варьируя одним фактором и стабилизируя в данной серии опытов другие факторы. Таким образом, удается получить зависимость исследуемого параметра только от одной независимой переменной, при этом такую зависимость легко представить графически; можно подобрать эмпирическую функцию и объяснить полученные результаты.

Основным недостатком метода являются большие временные затраты при движении к оптимуму. Особенно сильно этот недостаток проявляется при большом числе факторов, оказывающих влияние на выходной параметр процесса. При увеличении количества независимых переменных до 5—6 применять метод Гаусса — Зейделя для оптимизации процессов неэффективно.

Цель работы - рассмотреть основные положения теории планирования эксперимента и методы обработки результатов эксперимента
Ключевые слова
Эксперимент
Черный ящик
Фактор
Отклик
Планирование эксперимента
Матрица планирования
Метод наименьших квадратов
Регрессионный анализ
Адекватность

Содержание работы

ВВЕДЕНИЕ 3
1. Классическое и современное представление об эксперименте 5
1.1 Классическое представление об эксперименте 5
1.2 Современное представление об эксперименте 6
2.Основные понятия и определения 7
теории планирования эксперимента 7
3. История и этапы развития теории планирования эксперимента 12
4. Этапы планирования эксперимента 14
5. Требования к выбору плана эксперимента 17
6. МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА 19
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 23
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ 24

Файлы: 1 файл

иправ 2реферат планирование эксперим.docx

1. Классическое и современное представление об эксперименте 5

1.1 Классическое представление об эксперименте 5

1.2 Современное представление об эксперименте 6

2.Основные понятия и определения 7

теории планирования эксперимента 7

3. История и этапы развития теории планирования эксперимента 12

4. Этапы планирования эксперимента 14

5. Требования к выбору плана эксперимента 17

6. МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА 19

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ 24

ПЛАНИРОВАНИЕ И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА

Объем реферата 24 с, 3 рис, 5 источников

Объект исследования – планирование эксперимента

Цель работы - рассмотреть основные положения теории планирования эксперимента и методы обработки результатов эксперимента

Эксперимент
Черный ящик
Фактор
Отклик
Планирование эксперимента
Матрица планирования
Метод наименьших квадратов
Регрессионный анализ
Адекватность

ВВЕДЕНИЕ

Простая истина состоит в том, что ни измерение,

ни эксперимент, ни наблюдение невозможны

без соответствующей теоретической схемы.

физик, иностранный член АН СССР

Методы научных исследований – это совокупность приемов и операций, с помощью которых исследователь получает достоверные сведения, используемых затем для практического или теоретического освоения действительности, подчиненных решению конкретной задачи. В процессе научного исследования широко применяют различные методы : общенаучные и конкретно - научные (частные). Общенаучные методы используются в теоретических и эмпирических исследованиях.

Рисунок 1- Методы исследований

Они включают в себя анализ, синтез, индукцию и дедукцию, аналогию и моделирование, абстрагирование и конкретизацию, системный анализ и формализацию, гипотетический и аксиоматический методы, создание теории, наблюдение и эксперимент (рис.1).

Известно, что новая наука может возникнуть, если существует объективная необходимость ее появления и имеется предмет новой науки, представляющий общенаучный интерес. Сказанное в полной мере относится и к теории планирования эксперимента. Предмет исследования этого научного направления — эксперимент. Однако для того чтобы эксперимент стал предметом исследования отдельного научного направления необходимо, чтобы он характеризовался некоторыми чертами, общими для любого эксперимента независимо от того, в какой конкретной области знаний эксперимент проводится. Такими общими чертами эксперимента является необходимость:

1) контролировать любой эксперимент, т. е. исключать влияние внешних переменных, не принятых исследователем по тем или иным причинам к рассмотрению;

2) определять точность измерительных приборов и получаемых данных;

3) уменьшать до разумных пределов число переменных в эксперименте;

4) составлять план проведения эксперимента, наилучший с той или иной точки зрения;

5) проверять правильность (приемлемость) полученных результатов и их точность;

6) выбирать способ обработки экспериментальных данных и форму представления результатов;

7) анализировать полученные результаты и давать их интерпретацию в терминах той области, где эксперимент проводится.

Планирование эксперимента применяется при поиске оптимальных условий, построении интерполяционных формул, выборе значимых факторов, оценке и уточнении констант теоретических моделей и др.

1 Классическое и современное представление об эксперименте

1.1 Классическое представление об эксперименте

Эксперимент с некоторым объектом проводится, чтобы построить или уточнить модель этого объекта, поэтому постановка эксперимента определяется имеющейся до опыта моделью. Отношение между экспериментом и моделью находятся в одном цикле и нельзя определить, что же было вначале. В изначальном смысле отношение между экспериментом и моделью такие же как и между курицей и яйцом: они находятся в одном цикле, сложно определить, что было "в самом начале".

Природу эксперимента хорошо понимали и понимают выдающиеся естествоиспытатели древности и современности. Приведем некоторые высказывания крупных ученых по этому поводу:

1.2 Современное представление об эксперименте

Современное понимание эксперимента стало шире классического, предусматривающего лишь количественные и однозначные измерения

Стало ясно, что есть наблюдаемые явления, в принципе не допускающие числовой меры. Эти явления можно фиксировать с помощью качественных шкал и результаты учитывать в моделях.
Неотъемлемым свойством экспериментов является расплывчатость, для таких экспериментов разработан специальный математический аппарат.
Погрешность является неотъемлемым и неизбежным свойством эксперимента. Модели должны быть не только гипотезами об исследуемом объекте оригинале, но и гипотезами об ошибках измерения.
В современном эксперименте значительное место занимают статистические измерения. Для таких экспериментов используется математический аппарат теории вероятности.

2 Основные понятия и определения

теории планирования эксперимента

Как и в любом сформировавшемся научном направлении, в теории планирования эксперимента выработалась определенная система основополагающих понятий и терминов.

Объект исследования (ОИ) есть носитель некоторых неизвестных и подлежащих изучению свойств и качеств. Полагается, что исследователь обладает той или иной априорной информацией об объекте, хотя бы примерным перечнем переменных, влияющих па свойства объекта. [1]

1) входные контролируемые и управляемые переменные, которые исследователь может варьировать по своему усмотрению:

2) входные контролируемые, но неуправляемые переменные;

3) неуправляемые и неконтролируемые переменные;

4) выходные показатели (характеристика исследуемых свойств или качеств объекта )

В зависимости от того, какую роль играет переменная в процессе эксперимента, она может являться либо фактором, либо реакцией (откликом).

Фактором называется измеряемая переменная величина, принимающая в некоторый момент времени определенное значение. В практических задачах области определения факторов, как правило, ограничены. Ограничения могут носить принципиальный либо технический характер.

Факторы разделяются на количественные и качественные. Качественные факторы – это разные вещества, разные технологические способы, аппараты, исполнители и т. д.

Факторы могут быть наблюдаемыми и управляемыми. Каждый фактор может принимать одно из значений, называемых уровнями.

Если фактор управляемый, то уровни целенаправленно выбираются экспериментатором. Такой эксперимент называют активным.

Факторы могут меняться во времени как детерминированные

( предопределенные) или случайные переменные. Пространство контролируемых переменных образует факторное пространство. Переменные группы Е (рис.3) есть некоторые мешающие переменные, причем характер их влияния на Y может быть двояким. Если мысленно представить себе, что факторы X и Z стабилизированы во времени, то под влиянием переменных Е показатели Y могут меняться достаточно систематическим или практически непредсказуемым, случайным образом. Тогда говорят о наличии случайной помехи, случайного шумового поля. При этом, как правило, полагают, что вероятностные свойства шумового поля не меняются во времени. По физическому происхождению к переменным прежде всего относятся ошибки измерительных приборов или методов анализа, а также неконтролируемые изменения сырья в промышленных объектах или изменения свойств вследствие старения или износа установок, влияние внешней среды, обслуживающего персонала и т. д., включая воздействие тех переменных, которые в принципе могли бы контролироваться экспериментатором, но не включены им в число исследуемых факторов (вследствие трудностей их измерения, по ошибке или незнанию). К переменным группы Е должны быть отнесены и такие, как квалификация экспериментатора, особенности используемого экспериментального оборудования и методологии измерений, уровень метрологического обеспечения, т. е. переменные, действия которых в данном конкретном эксперименте могут и не проявиться, но которые могут сказаться на стадии сопоставления результатов различных экспериментаторов, лабораторий и т. д. Выходную переменную Y — зависимую переменную объекта — часто называют откликом, зависимость отклика от рассматриваемых факторов — функцией отклика, а геометрическое представление функции отклика — поверхностью отклика. Отметим, что объектами исследования в практике планирования могут быть:

реальные физические объекты (схемы, устройства, лабораторные и промышленные установки и т. д.);
физические модели реальных объектов (модели информационных систем, электролитические ванны при анализе полей и т. д.);
математические модели реальных систем

Эксперимент – это совокупность операций совершаемых над объектом исследования с целью получения информации о свойствах объекта при исследовательских испытаниях [1].

Если мы только регистрируем события на выбранных входах и выходах, то такой эксперимент называется пассивным экспериментом (или наблюдением).

Если же мы не только созерцаем и фиксируем происходящее, но и воздействуем, по своему усмотрению можем изменять условия проведения, то такой называется активным экспериментом.

Важнейшей задачей методов обработки полученной в ходе эксперимента информации является задача построения мат ематической модели изучаемого явления, процесса, объекта. Ее можно использовать и при исследовании систем и процессов и при проектировании объектов и систем.

План эксперимента – совокупность данных определяющих число, условия и порядок проведения опытов.

Опыт — это воспроизведение исследуемого явления в определенных условиях проведения эксперимента при возможности регистрации его результатов. Опыт — отдельная элементарная часть эксперимента.

Матрица плана — стандартная форма записи условий проведения экспериментов в виде прямоугольной таблицы, строки которой отвечают опытам, а столбцы — факторам.

Отклик должен быть определен количественно. Однако могут встречаться и качественные признаки Y. В этом случае возможно применение рангового подхода. Пример рангового подхода – оценка на экзамене, когда одним числом оценивается сложный комплекс полученных сведений о знаниях студента.

Независимые переменные Х1, Х2, …, Хn – иначе факторы, также должны иметь количественную оценку. Если используются качественные факторы, то каждому их уровню должно быть присвоено какое- либо число. Важно выбирать в качестве факторов лишь независимые переменные, т.е. только те которые можно изменять, не затрагивая другие факторы. Факторы должны быть однозначными. Для построения эффективной математической модели целесообразно провести предварительный анализ значимости факторов (степени влияния на функцию), их ранжирование и исключить малозначащие факторы.

Задачей планирования при экстремальном эксперименте является минимизация числа опытов при нахождении оптимальных условий. Например, необходимо найти температуру негрева заготовок и скорость деформирования, обеспечивающие минимальную себестоимость поковки при горячей изотермической штамповке

Простейшим методом планирования эксперимента является проведение испытаний при всевозможных сочетаниях факторов (способ перебора). Однако уже при двухфакторном эксперименте для получения полной картины необходимо проведение большого числа испытаний. Поэтому часто при решении экспериментальных задач используют следующий способ: изменяя только один фактор (остальные остаются постоянными), находят частный экстремум по данному фактору; затем последовательно определяют следующие экстремумы путем изменения второго, третьего и следующих факторов. Процедура повторяется до тех пор, пока не будет достигнут оптимум по всем факторам (рисунок 27).

Рисунок 27. Поиск оптимальной области путем последовательного определения частных оптимумов (штриховые линии) и методом крутого восхождения (штрих-пунктирные линии); сплошными

показаны линии равного уровня оптимизируемой функции

Такая схема приводит к значительному уменьшению числа опытов, но также не является оптимальной и иногда приводит к нахождению ложных экстремумов.

Характеристика цели при экстремальном эксперименте, заданная количественно, называется параметром оптимизации. Параметр оптимизации является откликом на воздействие факторов – независимых переменных. Результаты используют для получения математической модели – системы математических соотношений, описывающих изучаемый процесс. В частном случае – это уравнение, связывающее параметр оптимизации с факторами. Такое уравнение называется также функцией отклика.

В общем случае функция отклика может быть представлена выражением

где x_i – независимые переменные (факторы).

Функцию отклика, если она неизвестна из теории, можно представить, например, полиномом вида

где _i – коэффициент регрессии.

По результатам эксперимента можно определить только выборочные коэффициенты регрессии b_i, которые являются лишь оценками теоретических коэффициентов _i. На первом этапе для определения направления движения к оптимуму и крутого восхождения по поверхности отклика функции отклика выражают полиномом первой степени

Для определения коэффициентов этого уравнения надо реализовать факторный эксперимент типа 2 k . Планы такого эксперимента называются планами первого порядка. Крутое восхождение заканчивают после достижения области оптимума, которую чаще всего удается описать полиномом второй степени:

Чтобы определить все коэффициенты этого уравнения, необходимо реализовать план эксперимента, в котором каждый фактор варьируется не менее чем на трех уровнях. Такие планы называются планами второго порядка.

Итак, стратегия метода при исследовании поверхности отклика с целью нахождения экстремума состоит в следующем. На основе малой серии опытов находится локальное описание поверхности отклика в некоторой исходной области с помощью модели линейного вида. В центре области рассчитывается линейное приближение градиента, и в направлении градиента, т. е. в направлении наискорейшего подъема (крутого восхождения), проводятся опыты до достижения стационарной области, в которой расположен экстремум. Если найденное линейное приближение градиента для центра области существенно отличается от значения градиента в некоторой точке по направлению движения, то можно найти новое описание поверхности отклика с помощью полиномов первого порядка в окрестности этой точки и рассчитать новое значение градиента. В стационарной области линейная модель оказывается уже не адекватной, и для описания поверхности отклика в этой области, как правило, используются полиномы второй и даже третьей степени. В стационарной области требуется провести большее число экспериментов, так как здесь необходимо получить возможно более точное описание.

Вектор-градиент непрерывной функции y=f(x₁, x_{2, …} x_n) имеет вид

где i, j – единичные векторы по осям переменных x.

Этот вектор перпендикулярен поверхности равного уровня y=const и указывает направление наискорейшего подъема (крутого восхождения). Если модель линейная, то коэффициенты b_i являются координатами вектор-градиента. Если изменять факторы пропорционально найденным оценкам этих коэффициентов, то реализуется движение в направлении наискорейшего приближения к оптимуму.

Компоненты градиента экспериментально полученной линейной модели зависят от основного уровня и интервалов варьирования переменных.

Полный факторный эксперимент

Решение задачи оптимизации начинают с выбора области эксперимента на основе априорной информации. В области эксперимента устанавливают основные уровни и интервалы варьирования факторов. Основным, или нулевым, уровнем фактора называется его значение, принятое за исходное в плане эксперимента. Построение плана эксперимента состоит в выборе точек, симметричных относительно исходной точки.

Интервалом варьирования фактора называется число, прибавление которого к основному уровню дает верхний уровень фактора (соответственно – нижний). Уровни факторов кодируют:

где – натуральное значение фактора; интервал варьирования (чаще – половина интервала).

Эксперимент, в котором реализуются все сочетания уровней, называется полным факторным экспериментом. Если число уровней m, а факторов – k, то полное число опытов (без учета дублирующих, или параллельных, опытов)

При линейной модели N=2 k .

Факторный эксперимент осуществляют с помощью матрицы планирования. Например, для двух факторов матрица планирования показана в виде табл. 1. Число строк в матрице равно числу опытов. Кодированные значения факторов представляют сокращенно: + или -.

Матрица планирования при числе факторов 2

№ опыта	x₁	x₂	у
- + - +	- - + +	у₁ у₂ у₃ у₄

Для движения по градиенту вначале необходима линейная модель. При k=2

Значения коэффициентов в этом уравнении определяют с помощью значений функции отклика. Их три, а опытов – 4. Разность между числом опытов и числом коэффициентов модели называется числом степеней свободы

Число степеней свободы может быть использовано для проверки адекватности модели.

Величина и знак коэффициента в уравнении регрессии указывают на вклад данного фактора в общий результат.

Линейным называется эффект, характеризующий линейную зависимость параметра оптимизации от соответствующего фактора. Эффект совместного влияния нескольких факторов называется эффектом взаимодействия. С учетом эффекта взаимодействия при числе факторов k=2 (табл. 2):

Здесь х₀ – столбец фиктивной переменной. Он вводится для оценки величины b₀.

Матрица планирования при учете эффекта взаимодействия

№ опыта	х₀	х₁	х₂	х₁х₂	у
+ + + +	- + - +	- - + +	+ - - +	у₁ у₂ у₃ у₄

Для построения плана матриц с большим числом факторов можно пользоваться следующим приемом. В первом столбце х, знаки меняются поочередно, во втором – через 2, в третьем – через 4 и т.д.

Дробный факторный эксперимент

Для сокращения числа экспериментов в линейной модели типа 2 2 можно принять b₁₂=0, а столбец матрицы х₁х₂ использовать для третьего фактора х₃. Тогда

В связи с тем, что в дробных репликах часть взаимодействий замена новыми факторами, найденные коэффициенты уравнения регрессии будут являться совместными оценками линейных эффектов и эффектов взаимодействия. Такие оценки называются смешанными. Линейные эффекты рекомендуется смешивать с теми взаимодействиями, которые согласно априорной информации незначимы.

Число несмешанных эффектов в дробной реплике называется ее разрешающей способностью.

Часто приходится решать задачи, в которых заранее можно полагать, что эффекты взаимодействия, хотя и малы по сравнению с линейными, но все же не равны нулю. В таких случаях необходимо заранее определить, какие коэффициенты являются смешанными оценками. Тогда в зависимости от условий поставленной задачи, подбирается такая дробная реплика, с помощью которой можно извлечь максимальную информацию из эксперимента.

Прямая оценка разрешающей способности дробной реплики затруднена. Поэтому дробные реплики задают с помощью генерирующих соотношений. Генерирующим называется соотношение, которое показывает, какое из взаимодействий принято незначимым и заменено новым фактором (х₃=х₁х_2, например).

Дробная реплика, полученная заменой всех эффектов взаимодействия новыми факторами, называется насыщенной. Адекватность модели в этом случае проверить невозможно, т.к. число степеней свободы равно нулю

Свойства матриц полного и дробного факторного

1.Симметричность относительно центра эксперимента – алгебраическая сумма элементов столбца каждого фактора равна нулю:

где ϳ – номер опыта; i – номер фактора.

2.Свойство нормировки: сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов:

3.Свойство ортогональности – сумма построчных произведений элементов любых двух столбцов равна нулю:

где i, l – номера факторов, il.

Ортогональность матрицы позволяет оценить все коэффициенты уравнения регрессии независимо друг от друга. Если какой-либо коэффициент регрессии окажется незначимым, его можно отбросить, не пересчитывая остальных.

4.Свойство ротатабельности: точки в матрице планирования подбирают так, что математическая модель, полученная по результатам эксперимента, способна предсказывать значения параметра оптимизации с одинаковой точностью в любых направлениях на равных расстояниях от центра эксперимента.

Методы математического планирования эксперимента (МПЭ) возникли в результате развития математической статистики. Разработка этих методов была вызвана к жизни необходимостью резкого повышения эффективности научных исследований.

Математическое планирование эксперимента – это процедура выбора числа и условий постановки опытов, необходимых и достаточных для решения данной задачи с требуемой точностью, методов математической обработки результатов и принятия решений.

- стремиться к минимизации числа опытов;

- одновременно варьировать всеми переменными, определяющими процесс;

- использовать математическую модель, описывающую изучаемый процесс;

- выбирать оптимальную стратегию проведения эксперимента.

4.1.2 Объект исследования, критерий оптимизации и факторы

Задачи оптимизации возникают, когда необходимо найти наилучшие условия протекания процесса. Такие задачи приходится решать в ходе работ по повышению производительности оборудования, снижению затрат на получение продуктов, улучшению качества продукции и т.д.

Будем считать, что объект исследования описывается, с одной стороны, перечнем способов воздействия на него, т.е. факторов x_i , а с другой – набором измеренных характеристик. Одна из этих характеристик или какая-нибудь ее функция или комбинация нескольких измеренных характеристик объекта может быть выбрана в качестве критерия оптимизации. Критерий оптимизации часто называют также целевой функцией или откликом (см. р. III).

После выбора критерия оптимизации следует рассмотреть все существенные факторы, влияющие на процесс. Пропуск какого-либо фактора может привести к неправильным выводам. Если этот фактор бесконтрольно меняется во время эксперимента, то существенно увеличится ошибка опыта – критерий оптимизации окажется многозначной функцией остальных факторов. Если же пропущенный фактор поддерживается на некотором постоянном уровне, найденный оптимум может быть ложным, так как нет гарантии, что фиксированный уровень был оптимальным.

У реальных объектов исследования одни факторы, например, температура пульпы, концентрация и дозировка реагентов изменяются в некотором интервале непрерывно, другие же, например, количество стадий перечистки продуктов, могут принимать только ряд фиксированных значений.

Чтобы обеспечить единообразный подход как к непрерывно изменяющимся, так и к дискретным факторам, будем считать, что каждый фактор во время эксперимента принимает лишь некоторое число фиксированных значений, которые называются уровнем фактора.

Если число факторов равно n , число уровней каждого фактора p , то общее число возможных экспериментов с различным сочетанием уровней факторов равно p n .

Допустим имеется десять факторов, каждый из которых может находиться на четырех уровнях, то общее число возможных экспериментов 4 10 составляет более миллиона.

Математическое планирование дает научную основу для выбора из этой огромной совокупности небольшого числа экспериментов, достаточных для проведения процесса оптимизации.

Различают факторы количественные (температура, время, концентрация, производительность, содержание компонентов и т.д.) и качественные (различные реагенты, различные технологически е режимы, аппаратура, исполнители и др.).

В качестве факторов следует выбирать легко контролируемые и задаваемые величины. Фактором, который сам является функцией других переменных, трудно управлять.

4.1.3 Исследование поверхности отклика и ее линейная модель

В тех методах поиска оптимума, которые мы будем рассматривать, предполагается, что поверхность отклика является непрерывной, гладкой, и имеет не более чем один экстремум. Эти постулаты позволяет аппроксимировать поверхность отклика степенным рядом:

Читайте также: