Паркеты из многоугольников реферат

Обновлено: 02.07.2024

3. Что такое паркет?

Парке́т — замощение плоскости многоугольниками без
пробелов и перекрытий, в котором любые два
многоугольника имеют либо общую сторону, либо только
общую вершину, либо вовсе не имеют общих точек.
ЧТО ТАКОЕ ПАРКЕТ?

4. Терминология.

Паркеты иначе
называются замощениями, мозаиками разбиениями
плоскости паркетажами. Замощения трёхмерного
пространства и пространств высших размерностей часто
называют со́тами.
Паркеты с областями (плитками) произвольной формы
иногда называют картами.
ТЕРМИНОЛОГИЯ.

5. Виды паркетов.

Правильные паркеты
Паркеты, составленные из одинаковых правильных многоугольников,
называют правильными паркетами. Существует три правильных замощения
плоскости: треугольный паркет, квадратный паркет и шестиугольный паркет.
Шестиугольный
Паркет.
Квадратный
Паркет.
ВИДЫ ПАРКЕТОВ.
Треугольный
Паркет.

6. Полуправильные паркеты.

Паркеты, состоящие из правильных многоугольников двух или более типов, такие,
что для любых двух вершин паркета существует преобразование симметрии
(самосовмещение), переводящее одну из них в другую,
называются полуправильными паркетами или архимедовыми паркетами.
Существует 8 полуправильных паркетов. Один из восьми полуправильных паркетов
(курносый тришестиугольный паркет[en]) является хиральным, то есть не совпадает с
собственным зеркальным отражением.
Курносый тришестиугольный паркет.
ПОЛУПРАВИЛЬНЫЕ ПАРКЕТЫ.

7. Остальные виды паркетов.

Квазиправильный паркет (или многогранник)— однородный паркет (или
многогранник), состоящий из граней двух видов, чередующихся вокруг каждой
вершины; иными словами, каждая грань окружена гранями другого типа.
Неоднородные паркеты Существует бесконечное множество неоднородных
паркетов, состоящих из правильных многоугольников.
Сферический паркет или сферический многогранник —
разбиение сферы на сферические многоугольники дугами больших кругов.
ОСТАЛЬНЫЕ ВИДЫ ПАРКЕТОВ.

8. Задачи на паркетах.

Большое количество задач и головоломок связано с
разбиением прямоугольников (или других связных фигур) на
плитки из определённого заданного множества протоплиток.
Сами протоплитки при этом могут представлять
собой связные объединения ячеек правильного паркета.
ЗАДАЧИ НА ПАРКЕТАХ.

9. Паркеты в природе.

Пчелы-удивительные творения природы. Геометрические
способности пчел проявляются при построении сот. Если
разрезать пчелиные соты плоскостью, перпендикулярной их
ребрам, то станет видна сеть равных друг другу правильных
шестиугольников, уложенных в виде паркета.
ПАРКЕТЫ В ПРИРОДЕ.

10. Вывод.

По результатам работы можно сделать следующие выводы: паркеты из правильных многоугольников можно сделать
только с помощью правильных треугольников, квадратов и
правильных шестиугольников. с помощью неправильных
многоугольников можно придумать огромное количество
паркетов. в основе создания паркета лежит деление
плоскости на многоугольники. количество полуправильных
паркетов конечно и равно 8. из правильных: треугольника,
квадрата и шестиугольника одинаковой площади
наименьший периметр будет у шестиугольника.
ВЫВОД.

цель: подробно изучить паркеты.

Выдвинута проблема: определить количество правильных паркетов.

Изучить литературу, интернет-ресурсы по заданной теме.

Закрепить знания свойств правильных многоугольников в процессе исследования вопроса о покрытии плоскости правильными многоугольниками.
Обосновать с помощью математических фактов, как можно уложить паркет.
Оформить презентацию для защиты работы.

Выдвигаю гипотезу: количество правильных паркетов бесчисленное множество.

Объект исследования - паркеты.

Методы исследования: анализ научной, учебной литературы; сравнение и анализ результатов, полученных разными авторами; их систематизация; метод аналогии.

Паркет из правильных многоугольников

Что же называется правильным паркетом?

Обозначим через n число сторон правильного многоугольника, тогда n-2∙180° – сумма всех внутренних углов многоугольника. αn=n-2n∙180°- каждый угол правильного многоугольника.

Чтобы можно было сгруппировать вокруг какой – то точки определенное число одинаковых правильных многоугольников, необходимо, чтобы сумма их углов, сходящихся в данной точке, равнялось 360 .

Определение паркета: Паркетом называется заполнение плоскости многоугольниками, при котором любые два многоугольника либо имеют общую сторону, либо имеют общую вершину, либо не имеют общих точек.

Паркет называется правильным, если он состоит из правильных многоугольников и вокруг каждой вершины правильные многоугольники расположены одним и тем же способом.

Изучив литературу, я узнала, что паркетов, необязательно правильных существует бесчисленное множество. Однако, подобно тому как при бесчисленном множестве многогранников вообще существует лишь конечное число правильных многогранников, так и при бесчисленном множестве паркетов, существует лишь конечное число правильных паркетов.

I. Замощение окрестности точки плоскости правильными многоугольниками одного типа .

Паркеты, состоящие только из правильных треугольников.

Количество сторон: n=3 ;

Угол многоугольника: αn=n-2n∙180°=3-23∙180°=60°

Количество многоугольников: 360°:60°=6 – натуральное число.

Паркеты, состоящие из правильных четырехугольников (квадрат).

Количество сторон: n=4 ;

Угол многоугольника: αn=n-2n∙180°=4-24∙180°=90°

Количество многоугольников: 360°:90°=4 – натуральное число.

Паркеты, состоящие из правильных пятиугольников.

Количество сторон: n=5 ;

Угол многоугольника: αn=n-2n∙180°=5-25∙180°=108°

Количество многоугольников: 360°:108°=3,(3) – ненатуральное число.

Паркет, состоящие из правильных шестиугольников.

Количество сторон: n=6 ;

Угол многоугольника: αn=n-2n∙180°=6-26∙180°=120°

Количество многоугольников: 360°:120°=3

Итак , величина угла правильного n-угольника определяется по формуле αn=n-2n∙180°

Используя эту формулу , для различных значений получаем следующие величины углов правильных n-угольников

Многие из вас, наверняка, встречали рисунки на плоскости, например на полу или потолке. При которых вся плоскость оказывалась замощена различными причудливыми узорами, геометрическими фигурами, либо же изображениями животных или растений. Так вот, при некоторых условиях, данные способы замощения плоскости могут называться паркетом.

Паркет из многоугольников

Паркет из многоугольников – это такое разбиение плоскости на многоугольники, при котором любые два из них имеют общую точку, либо общую прямую, либо же не пересекаются.

Если все многоугольники паркета являются правильными, то такой паркет называется паркетом из правильных многоугольников. Именно данный вид паркетов мы и рассмотрим в нашей работе.

Цели и задачи работы

Исследовать, от чего зависят площади повторяющихся элементов, паркета и вывести формулы для их нахождения.
Исследовать, от чего зависит количество повторяющихся элементов паркета, и вывести формулы для их нахождения.

Объекти предмет ииследования

Объектом нашего исследования являются различные паркеты, состоящие из правильных многоугольников, а предметом – зависимости площадей и количества повторяющихся элементов паркета от его геометрических характеристик и площади, которую требуется замостить.

Паркеты из одинаковых правильных многоугольников

Сначала рассмотрим паркеты, состоящие из правильных многоугольников с одинаковым количеством сторон. То есть когда все многоугольники паркеты одинаковы.

Мы взяли произвольную точку на плоскости и рассчитали, сколько же правильных многоугольников нужно, чтобы замостить ими площадь вокруг нее. Наши расчеты приведены в работе.

В результате мы получили, что замостить плоскость вокруг точки с помощью правильных многоугольников возможно лишь тремя способами: шести треугольников, четырёх квадратов и трёх шестиугольников.

Полуправильные паркеты

Полуправильный паркет это паркет, при составлении которого использовалось несколько правильных многоугольников с различным числом сторон.

Формула площади правильного многоугольника

Найдем площадь правильного многоугольника с количеством сторон n и стороной a .

Для этого соединим все вершины многоугольника с его центром в точке О. Таким образом, данный многоугольник разбивается на n равных треугольников. Мы рассчитали, что площадь каждого такого треугольника равна

Тогда площадь всего правильного n-угольника вычисляется по формуле:

А затем рассчитали количество правильных элементов, которое необходимо, чтобы уложить данным паркетом площадь, равную S.

Рассчеты представлены в нашей работе. Здесь мы приведем лишь полученные результаты.