Основные теоремы о пределах реферат

Обновлено: 30.06.2024

Постоянное число а называется пределом последовательности n>, если для любого сколь угодно малого положительного числа e существует номер N, что все значения x_n_, у которых n>N, удовлетворяют неравенству

êx_n - a ê N, лежат внутри интервала (a-e, a+e), т.е. попадают в какую угодно малую e-окрестность точки а.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае - расходящейся.

Понятие предела функции является обобщением понятия предела последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции x_n = f(n) целочисленного аргумента n.

Пусть дана функция f(x) и пусть a - предельная точка области определения этой функции D(f), т.е. такая точка, любая окрестность которой содержит точки множества D(f), отличные от a. Точка a может принадлежать множеству D(f), а может и не принадлежать ему.

Определение 1. Постоянное число А называется пределом функции f(x) при x®a, если для всякой последовательности n> значений аргумента, стремящейся к а, соответствующие им последовательности n)> имеют один и тот же предел А.

Это определение называют определением предела функции по Гейне, или “на языке последовательностей”.

Определение 2. Постоянное число А называется пределом функции f(x) при x®a, если, задав произвольное как угодно малое положительное число e, можно найти такое d >0 (зависящее от e), что для всех x, лежащих в d-окрестности числа а, т.е. для x, удовлетворяющих неравенству 0 a = ( f(x)) a , где a = const, (6.7)

т.е. можно переходить к пределу в основании степени при постоянном показателе, в частности, ;

b f(x) =b A , где b = const, f(x)=A; (6.8)

log_c f(x) = log_c f(x), где c = const. (6.9)

Теорема 3. = 1, = 1, a = const, a >0,

= 1, (6.10)

(1 + a) 1/ a = e, (6.11)

Используются на практике и следствия формулы (6.11):

= log_c e, (6.12)

(a a - 1)/a = ln a, (6.13)

((1 + a) m - 1)/a = m, (6.14)

= 1.

Eсли x® a и при этом x > a, то пишут x® a+0. Если, в частности, a=0, то вместо символа 0+0 пишут +0. Аналогично если x®a и при этом x и называются соответственно пределом справа и пределом слева функции f(x) в точке а. Для существования предела функции f(x) при x®a необходимо и достаточно, чтобы =.

Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, если

. (6.15)

Условие (6.15) можно переписать в виде:

то есть возможен предельный переход под знаком функции, если она непрерывна в данной точке.

Если равенство (6.15) нарушено, то говорят, что при x = x_o функция f(x) имеет разрыв. Рассмотрим функцию y = 1/x. Областью определения этой функции является множество R, кроме x = 0. Точка x = 0 является предельной точкой множества D(f), поскольку в любой ее окрестности, т.е. в любом открытом интервале, содержащем точку 0, есть точки из D(f), но она сама не принадлежит этому множеству. Значение f(x_o)= f(0) не определено, поэтому в точке x_o = 0 функция имеет разрыв.

Функция f(x) называется непрерывной справа в точке x_o, если

и непрерывной слева в точке x_o, если

Непрерывность функции в точке x_o равносильна ее непрерывности в этой точке одновременно и справа и слева.

Для того, чтобы функция была непрерывна в точке x_o, например, справа, необходимо, во-первых, чтобы существовал конечный предел , а во-вторых, чтобы этот предел был равен f(x_o). Следовательно, если хотя бы одно из этих двух условий не выполняется, то функция будет иметь разрыв.

1. Если существует и не равен f(x_o), то говорят, что функция f(x) в точке x_o имеет разрыв первого рода, или скачок.

2. Если равен ¥ или не существует, то говорят, что в точке x_o функция имеет разрыв второго рода.

Например, функция y = ctg x при x® +0 имеет предел, равный +¥, значит, в точке x=0 она имеет разрыв второго рода. Функция y = E(x) (целая часть от x) в точках с целыми абсциссами имеет разрывы первого рода, или скачки.

Функция, непрерывная в каждой точке промежутка [a,b], называется непрерывной в [a,b]. Непрерывная функция изображается сплошной кривой.

Ко второму замечательному пределу приводят многие задачи, связанные с непрерывным ростом какой-либо величины. К таким задачам, например, относятся: рост вклада по закону сложных процентов, рост населения страны, распад радиоактивного вещества, размножение бактерий и т.п.

При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому пределу, равному приблизительно 271. Более чем в 2,71 раз капитал, положенный под 100% годовых, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу каждую секунду, потому что

= e.

Пример 3.1. Пользуясь определением предела числовой последовательности, доказать, что последовательность x_n =(n-1)/n имеет предел, равный 1.

Решение. Нам надо доказать, что, какое бы e>0 мы ни взяли, для него найдется натуральное число N, такое, что для всех n > N имеет место неравенство ½ x_n -1 ½ 0. Так как ½ x_n -1 ½=½(n+1)/n - 1½= 1/n, то для отыскания N достаточно решить неравенство 1/n 1/e и, следовательно, за N можно принять целую часть от 1/e, N = E(1/e). Мы тем самым доказали, что x_n = 1.

Пример 3.2. Найти предел последовательности, заданной общим членом x_n = .

Решение. Применим теорему о пределе суммы и найдем предел каждого слагаемого. При n ®¥ числитель и знаменатель каждого слагаемого стремится к бесконечности, и мы не можем непосредственно применить теорему о пределе частного. Поэтому сначала преобразуем x_n, разделив числитель и знаменатель первого слагаемого на n 2 , а второго на n. Затем, применяя теорему о пределе частного и о пределе суммы, найдем:

x_n = .

Пример 3.3. x_n = . Найти x_n.

Решение. =.

Здесь мы воспользовались теоремой о пределе степени: предел степени равен степени от предела основания.

Пример 3.4. Найти ().

Решение. Применять теорему о пределе разности нельзя, поскольку имеем неопределенность вида ¥ - ¥. Преобразуем формулу общего члена:

= .

Пример 3.5. Дана функция f(x)=2 1/x . Доказать, что не существует.

Решение. Воспользуемся определением 1 предела функции через последовательность. Возьмем последовательность < x_n >, сходящуюся к 0, т.е. x_n =0. Покажем, что величина f(x_n)= для разных последовательностей ведет себя по-разному. Пусть x_n = 1/n. Очевидно, что 1/n =0, тогда = 2 n = +¥. Выберем теперь в качестве x_n последовательность с общим членом x_n = -1/n, также стремящуюся к нулю. = 2 - n = 1/2 n = 0. Поэтому 2 1/x не существует.

Пример 3.6. Доказать, что sin x не существует.

Решение. Пусть x₁, x₂. x_n. - последовательность, для которой x_n = ¥. Как ведет себя последовательность n)> = n > при различных x_n ®¥ ?

Если x_n= pn, то sin x_n= sin pn = 0 при всех n и sin x_n =0. Если же x_n=2pn+p/2, то sin x_n= sin(2pn+p/2) = sin p/2 = 1 для всех n и следовательно sin x_n =1. Таким образом, sin x не существует.

Пример 3.7. Найти .

Решение. Имеем: = 5. Обозначим t = 5x. При x®0 имеем: t®0. Применяя формулу (3.10), получим 5.

Пример 3.8. Вычислить .

Решение. Обозначим y=p-x. Тогда при x®p, y®0.Имеем:

sin 3x = sin 3(p-y) = sin (3p-3y) = sin 3y.

sin 4x = sin 4(p-y) = sin (4p-4y)= - sin 4y.

=- .

Пример 3.9. Найти .

Решение. Обозначим arcsin x=t. Тогда x=sin t и при x®0 t®0. =.

Пример 3.10. Найти 1) ; 2) ; 3) .

1. Применяя теорему 1 о пределе разности и произведения, находим предел знаменателя: .

Предел знаменателя не равен нулю, поэтому, по теореме 1 о пределе частного, получаем: =.

2. Здесь числитель и знаменатель стремятся к нулю, т.е. имеет место неопределенность вида 0/0. Теорема о пределе частного непосредственно неприменима. Для “раскрытия неопределенности” преобразуем данную функцию. Разделив числитель и знаменатель на x-2, получим при x ¹ 2 равенство:

Так как (x+1) ¹ 0, то, по теореме о пределе частного, найдем

= = .

3. Числитель и знаменатель при x®¥ являются бесконечно большими функциями. Поэтому теорема о пределе частного непосредственно не применима. Разделим числитель и знаменатель на x 2 и к полученной функции применим теорему о пределе частного:

Пример 3.11. Найти .

Решение. Здесь числитель и знаменатель стремятся к нулю:, x-9®0, т.е. имеем неопределенность вида .

Преобразуем данную функцию, умножив числитель и знаменатель на неполный квадрат суммы выражения , получим

Пример 3.12. Найти .

Решение. =.

Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 149274
Количество таблиц: 13
Количество изображений: 5

Геометрический смысл модуля числа - расстояния от начала отсчёта до точки, которой соответствует это число на координатной прямой. Бесконечно малая функция и ее свойства. Основные теоремы о пределах, их единственность, арифметические операции над ними.

Рубрика	Математика
Вид	реферат
Язык	русский
Дата добавления	29.11.2016
Размер файла	279,4 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Теория пределов

Абсолютная величина

Абсолютной величиной , или модулем действительного числа а называют неотрицательное число |a|, равное числу а, если а ? 0, и числу -а, если а 0:

5)|x-a| 0, что при всех х, удовлетворяющих условию

Геометрический смысл предела

Неравенство (1) означает, что х отстает от точки а не дальше, чем на b, т.е. принадлежит b - окрестности точки а на оси Ох.

Неравенство (2) означает, что функция y=f(x) не выходит из интервала ] a-е, a+е[ оси Оу, т.е. принадлежат е-окрестности точки b этой оси.

Следовательно, если выполняется неравенство (3),то точка А графика функции y=f(x) должна находиться в полоске шириной 2е, ограниченной прямыми y=b-е, y=b+е для всех значений х, удаленных от точки а не дальше чем на b.

Докажем, что предел постоянной функции равен этой же постоянной. В самом деле, если f(x)=C для всех х из некоторого интервала, содержащего точку а , то для таких х

|f(x)-C|=|C-C|=0 3, f(x)>-6

В самом дле, х?-3

Следовательно, , если |x-(-3)| a).Когда а=0,то вместо 0-0 пишут -0,вместо 0+0 пишут +0,поэтому последние принимают вид:

Отметим без доказательства, что если односторонний предел равен

То предел b в точке х=а существует и равен односторонним пределам:

Если односторонние пределы различны:

или хотя бы один из них существует, то не существует и предел функции в точке x=a.

Говоря о пределе функции, мы предполагали что а- конечное число. Однако части приходится исследовать и тот случай, когда х стремится к бесконечности (х>-?,х>+?), т.е. неограниченно возрастает по модулю. Сформулируем определение предела функции для этого случая.

Число b называется пределом функции y=f(x) при х, стремящемся к -? или +?,если для любого числа ??>0 можно указать такое положительное число М ,чтобы для всех значений х, удовлетворяющих условию |x|>M,выполнялось неравенство : |f(x)-b| а или х>?, если

1) Ф-ия б(х)=(х-3) 2 есть БМ при х>3 т.к.

3)б(x)=0 - это единственная постоянная функция, являющаяся БМ

Принимая во внимание понятие предела функции, определение БМ можно также сформулировать следующим образом.

Функция ??=??(х) называется бесконечно малой при х>а, если, задав любое число ??>0,можно указать такое b ,что для всех х, удовлетворяющих условию 0 a, то

где б=б(х)- БМ при х > а

Если , то по определению ? е>0 ? b>0, что |y-b| а.

Обратно, если y=b+б, где б-БМ при х>а, то при |б| а

Пусть u(x)=б(x)+в(x)+г(x), где б(x),в(x),г(x)- БМ при х>а . Следовательно

Замечание. Если число слагаемых увеличивается, то утверждение теоремы может оказаться неверным, сумма х слагаемых не является БМ.

Где х =1,2,3,…

Хотя каждый из слагаемых при х>? есть БМ функция.

Функция f(x) , определённа я на D, называется ограниченной, если существует такое число М, что ? x? D выполняется неравенство: |f(x)|?M => -M?f(x)?M, x? D. График ограниченной функции расположим в полосе между двумя прямыми у=-М, у=М, параллельными оси Ох.

Примером ограниченной функции является синус: |sin x|?1.

Произведения БМ на ограниченную функцию есть БМ.

Пусть б=б(х)-БМ при х>а, а z=z(x)- функция , ограниченная в некоторой окрестности точки х=а, т.е. для некоторого числа с>0 найдется окрестность этой точки, в которой |z(x)| 0 сложно указать окрестность точки x=a, в которой выполняется неравенство:

В наименьше из этих двух окрестностей будет выполнено неравенство:

Произведение двух БМ есть БМ.

Произведение БМ на постоянную есть БМ. (БМ и постоянная - ограниченные функции)

Бесконечно большие функции (ББ)

Функция y=f(x) называется ББ при x>a, если ? N>0, ? b>0, что для всех значений х, отличных от а и удовлетворяющих условию 0 N (8)

ББ ф-я предела не имеет при х>а , но иногда условно говорят, что ее предел равен бесконечности:

Если f(x) стремится к бесконечности при х>а, принимая только положительные или только отрицательные значения, то пишут

Если ф-я f(x) стремится к бесконечности при x>?, то пишут

1) при х>0 ББ ф-я . В самом деле, при любом N>0 нер-во будет выполнено, если . Эта ф-я принимает положительные значения при x>0 () и отрицательные при x 2. Действительно,? N>0 нер-во >N будет выполнено, если или . Данная ф-я принимает только положительные значения .

Теорема 4. (связь БМ с ББ)

Если ф-я б=б(х) стремится к нулю при х>а (х>?) и не обращается в нуль, то ф-я стремится к бесконечности.

Доказательство. При любом, сколь угодно большом числе N>0 нер-во будет выполнено, если . Последнее нер-во выполняется для всех значений б(х), начиная с некоторого, т.к. б(х)>0.

Основные теоремы о пределах

Теорема 5. (единственность предела).

Функция y=y(x) не может иметь более одного предела при х>а.

Предположим противное, пусть . предел модуль функция теорема

Согласно теореме 1 из этих равенств следует, что y=b₁+б₁ , y=b₂+б₂, где б₁, б₂-БМ. Поэтому b₁+б₁?b₂+б₂ => b₁-b₂=б₂-б₁ . Последнее равенство невозможно, т.к. в левой части стоит постоянная величина, отличная от нуля, в правой - БМ.

Теорема 6. (арифметические операции над пределами)

Если каждая из функций y=y(x) , z=z(x) имеет предел при х>а, то сумма, разность и произведение этих функций также имеют пределы, причем

Если, кроме того, , то и частное y(x)/z(x) имеет предел, причем

Пусть , тогда на основании Теоремы 1. y(x) =b + в(x), z(x) = c + г(x) , где в(x), г(x) - БМ при х>а. Имеем y(x) ± z(x) = (b±c) + ( г(x) ± в(x)) , где (b+c) - постоянная; ( г(x) ± в(x)) - БМ при х>а. Согласно Теореме 1 из последнего равенства следует

y(x)*z(x)=(b+в(x))*(c+г(x))=b*c+(b*г(x)+c*в(x)+в(x)*г(x)) => y(x)*z(x)=b*c+b(x), где bc - const, b(x)=(b*г(x)+c*в(x)+в(x)*г(x)) - БМ при х>а , то на основании Теоремы 1 получаем

Подобные документы

Общее понятие числовой последовательности. Предел функции в точке. Бесконечно большая и малая функция. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией. Признаки существования пределов. Основные теоремы о пределах: краткая характеристика.

презентация [137,0 K], добавлен 25.01.2013

Определение предела функции в точке. Понятие односторонних пределов. Геометрический смысл предела функции при х, стремящемся в бесконечности. Основные теоремы о пределах. Вычисление пределов и раскрытие неопределенностей. Первый замечательный предел.

презентация [292,4 K], добавлен 14.11.2014

Предел последовательности, его графическое изображение. Основные свойства сходящихся последовательностей. Бесконечно большие и бесконечно малые функции, связь между функций, ее приделом и бесконечно малой функцией. Первый и второй замечательный предел.

контрольная работа [152,0 K], добавлен 14.05.2009

Сущность предела функции, ее производной и дифференциала. Основные теоремы о пределах и методы их математического вычисления. Производная, ее физический и геометрический смысл. Связь непрерывности и дифференцируемости, основные правила дифференцирования.

презентация [128,4 K], добавлен 24.06.2012

Определение производной функции, геометрический смысл ее приращения. Геометрический смысл заданного отношения. Физический смысл производной функции в данной точке. Число, к которому стремится заданное отношение. Анализ примеров вычисления производной.

Число А наз-ся пределом последоват-ти X_n если для любого числа Е>0, сколь угодно малого, $ N₀ , такое что при всех n>N₀ будет выполн-ся нер-во |X_n -A| A-E N₀ попадают в Е-окрестность (.)А.

Св-ва послед-ти, имеющей предел:

1.если послед-ть имеет предел, то он единственный.

Док-во:предп, что пределы различны: lim Xn=a, lim Xn=b (n®¥), тогда |a-b|=|a-Xn+Xn-b|. Из lim Xn=a (n®¥) => " E/2 $ N₁ "n>N₁ |a-Xn| " E/2 $ N₂ "n>N₂ |Xn-и| N₀ . |a-b|=|a-Xn+Xn-b|£|a-Xn|+|Xn-b| |a-b|=0 => a=b.

2.теорема о сжатой переменной. n>N₁ Xn³Zn³Yn $ limXn = lim Yn = a (n®¥) => $ lim Zn=a (n®¥)

Док-во:1. из того, что $ lim Xn=a (n®¥) => n>N₂ |Xn-a| n>N₃ , a-E N₀ Xn³Zn³Yn. a+E>Xn³Zn³Yn>a-E => lim Zn=a (n®¥)

Функция y=f(x) наз-ся ограниченной в данной обл-ти изменения аргумента Х, если сущ-ет положит число М такое, что для всех значений Х, принадлежащих рассматриваемой обл-ти, будет выполн-ся нер-во |f(x)|£M. Если же такого числа М не сущ-ет, то f(x) наз-ся неограниченной в данной обл-ти.

Бесконечно малая величина.

Величина Xn наз-ся бесконечно малой при n®¥, если lim Xn = 0 (n®¥). "E>0, N₀ , n>N₀ , |Xn| " E/2 $N₁ , n>N₁ |Xn| " E/2 $N₂ , n>N₂ |Yn| N₀ ,|Xn±Yn|£|Xn|+|Yn| lim(Xn±Yn)=0 (n®¥). Теорема справедлива для любого конечного числа б.м. слагаемых.

2.Произведение ограниченной величины на б.м. величину есть величина б.м.

Док-во:Xn – огр. величина => $ K, |Xn| £ K,

Yn – б.м. => " E/K $N₀ n>N₀ |Yn| Xn=a+Yn, Yn – б.м.

Док-во:Из lim Xn=a (n®¥) => "E $N₀ n>N₀ |Xn-a| Xn=a+Yn. Справедливо и обратное: если переменную величину можно представить в виде суммы Xn=a+Yn (Yn – б.м.), то lim Xn=a (n®¥).

Бесконечно большая величина

Xn – бесконечно большая n®¥, если "M>0 $N₀ , n>N₀ , |Xn|>M => M "M $N₁ , n>N₁ |Xn|>M

2.Обратная величина б.м. есть б.б. Обратная величина б.б. есть б.м. lim Xn=¥ (n®¥) – б.б. Yn=1/Xn – б.м. Из lim Xn=¥ => M=1/E $N₀ , n>N₀ |Xn|>M =>n>N₀ .

|Yn|=1/|Xn| Yn – б.м. => lim Yn=0 (n®¥).

3.Сумма б.б величины и ограниченной есть б.б. величина.

Основные теоремы о пределах:

1. lim Xn=a, lim Yn=b => lim (Xn±Yn)=a±b (n®¥)

Док-во:lim Xn=a => Xn=a+a_n ; lim Yn=b => Yn=b+b_n ;

2. limXnYn = lim Xn * lim Yn (n®¥).

3. lim Xn=a, lim Yn=b (n®¥) => lim Xn/Yn =
(lim Xn)/(lim Yn) = a/b.

Пределы ф-ии непрерывного аргумента.

Число А наз-ся пределом ф-ии y=f(x) при х®x₀ , если для любого Е>0 сколь угодно малого сущ-ет такое число d>0, что при "x будет выпол |x-x₀ | A-E 0 сколь угодно большого $d>0, что "x |x-x₀ | M, "x x₀ -d f(x)>M.

Lim f(x)= ¥ (x ® x₀ ).

Число А наз-ся пределом y=f(x) x ® ¥ , если для любого Е>0 можно найти число К, "x |x|>K |f(x)-A| (sinX)/x>cosX.

Lim cosX=1, lim 1=1 (x®0) =>lim (sinX)/x=1.

II замечательный предел.

Бином Ньютона: (a+b) n =a n +na n-1 b+(n(n-1)a n-2 b 2 )/2!+. +(n(n-1)(n-2)(n-3)a n-4 b 4 )/4!+. +b n .

(1+1/n) n =1+n1/n+n(n-1)/2!n 2 +n(n-1)(n-2)/3!n 3 +. +1/n n = =2+1/2!(1-1/n)+1/3!(1-1/n)(1-2/n)+1/4!(1-1/n)(1-2/n)(1-3/n)+. +1/n n = 2 (1-1/n)(1-2/n)+1/2 3 (1-1/n)(1-2/n)(1-3/n)+1/2 n 2 +1/2 3 +. +1/2 n =2+0.5(1-1/2 n )/(1-0.5)=2+1-1/2 n =3-1/2 n n $ lim_n _® _¥ (1+1/n) n =e.

-фун. y=f(x) наз. непрерывной в точке х₀ , если сущ. предел фун. y=f(x) при х®х₀ равный значению фун f(x₀ ).limf(x)=f(x₀ )

Если Х₀ т-ка разрыва и выполн усл-ие 2, то Х₀ – 1 род

Если Х₀ – 1 род и выполн усл-ие 3, то разрыв устран.

Если Х₀ т-ка разрыва и не вып усл-ие 2, то Х₀ – 2род.

Св-ва непрерывности в точке:

1.Если фун f₁ (x) и f₂ (x) непрерывны в точке х₀ , то сумма (разность) y(х)=f₁ (x)±f₂ (x), произведение у(х)=f₁ (x)*f₂ (x), а также отношение этих фун у(х)=f₁ (x)/f₂ (x), есть непрерывная фун в точке х₀ .

2.Всякая непрерывная фун непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

3.Если фун z=j(х) непрерывна в точке х=х₀ , а фун y=f(z) непрерывна в соот-й точке z₀ =j(х₀ ), то фун y=f(j(х)) непрерывна в точке х₀ .

Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в), где а Dy=Df(x₀ )=f(x₀ +Dx)-f(x₀ ), Dy/Dx=(f(x₀ +Dx)-f(x₀ ))/Dx.

Если $ lim_Dx _®0 Dy/Dx, то этот предел наз-ся производн ф-ии в т-ке Х₀ . · Если f(x) имеет производ в кажд т-ке xÎX, то мы можем брать прозвол Х, считая его фиксир, х+DхÎХ. Lim_Dх _®0 (f(x₀ +Dx)-f(x₀ ))/Dx= =f / (х)=df(x)/dx=dy/dx=y | (x).

2. Геометр смысл производ.

Производная фун f(x) в точке х₀ равна угловому коэф-ту касательной к гр-ку фун f(x) в точке М (х₀ ; f(x₀ )).

Если т-ка М будет приближ-ся к т-ке М₀ (при Dх®0), то секущая приближ-ся к касат.

3. Основ теоремы о производных.

2. y=uv, y | =u | v+uv | . Док-во: y+Dy=(u+Du)(v+Dv), Dy=(u+Du)(v+Dv)-uv=Duv+uDv+DuDv, Dy/Dx=Duv/Dx+Dvu/Dx+DuDv/Dx,

3. y=u/v, y | =(u | v-uv | )/v 2 . Док-во: y+Dy=(u+Du)/(v+Dv), Dy=(u+Du)/(v+Dv)-u/v=(vDu-uDv)/v(v+Dv)

4. y=a x , y | =a x ln a. Док-во: ln y=x ln a, y | /y=ln a, y | =yln a y | =a x ln a.

Неявно задан фун и нахождение ее производ.

Говорят, что соот-е F(x;y)=0 задается неявно, если сущ фун у=f(x), х принадлежит отрезку [а,в] и, если подстав-е в F(x;y)=0 соот-е обращает его в тождество(º)·

Правило нахождения: Если F(x;y)=0 задает фцн неявно, т.е это будет тождество, то тождественное равенство можно по членно продифференцировать.

Формула Лейбница.

y ( n ) =(uv) (n) =(u) (n) v+nu (n-1) v | +([n(n-1)]/[1*2])*n (n-2) v || +…+uv (n)

Дифференцирование ф-ии в точке.

Ф-ия y=f(x) наз-ся дифференцируемой в т-ке Х₀ , если Dy=ADx+O(Dx), где А не зависит от DХ, О(DХ) – б.м., более высокого порядка малости, чем DХ, когда DХ®0, т.е. lim_D _x _® ₀ O(Dx)/Dx=0. АDХ – главная часть приращения.

Теорема : y=f(x) дифф-ма в т-ке Х₀ т и тт, когда она в этой т-ке имеет конечную производную A=f \ (x₀ ).

Необход усл-ие дифф-ти: если ф-ия дифф-ма, то она имеет кон производ. Дано: Dy=ADx+O(Dx)

Достат усл-ие дифф-ти: если ф-ия в заданной т-ке имеет кон производ, то она дифф-ма. Дано: $f \ (x₀ ) – число, f \ (x₀ )=lim_Dx _®0 Dy/Dx => Dy/Dx=f \ (x₀ )+a(Dx) , Dy=f \ (x₀ )Dx+a(Dx)Dx => Dy=f \ (x₀ )Dx+O(Dx), т.е. O(Dx)=a(Dx)Dx => lim_Dx _®0 O(Dx)/Dx=lim_Dx _®0 a(Dx)=0. Дифференциал ф-ии это главная часть приращения, линейная относит DХ.

Величины постоянные и переменные
Понятие функции:
определение функции
область определения, значения
сложная функция
способы задания функции
Основные элементарные функции, их свойства, графики
Непрерывность функции. Предел функции
Бесконечно малые и бесконечно большие величины
Основные теоремы о пределах
Методы раскрытия неопределенностей

Прикрепленные файлы: 1 файл

08. dxqyqbawkjil 10 czcmshcteelniy. mluhqxehwviw. ppt

Функции. Теория пределов.

Величины постоянные и переменн ые

Понятие функции: