Осевая и центральная симметрия реферат
Обновлено: 08.05.2024
- Как проявляется гармоничность симметрии в природе;
- Какие виды симметрий, встречаются в природе;
- Как применяет красоту симметрии в своих творениях человек?
§2. Что такое симметрия? Ее виды в геометрии.
О, симметрия! Гимн тебе пою!
Тебя повсюду в мире узнаю.
Ты в Эйфелевой башне, в малой мошке,
Ты в елочке, что у лесной дорожки.
С тобою в дружбе и тюльпан, и роза,
И снежный рой – творение мороза!
В начале я рассмотрю какие виды симметрии встречаются в школьном курсе геометрии, а это:
- центральная (относительно точки)
- осевая ( относительно прямой)
- зеркальная (относительно плоскости).
Центральная симметрия.
Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает центральной симметрией (см.рис. 1).
Осевая симметрия.
Фигура называется симметричной относительно прямой а , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а , также принадлежит этой фигуре. Прямая а называется осью симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает осевой симметрией (см. рис. 2).
Зеркальная симметрия.
Зеркальной симметрией (симметрией относительно плоскости) называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей относительно этой плоскости точку М1(см. Рис 3).
Теперь я хочу, понаблюдав и изучив специальную литературу, посмотреть, где найдет свое отображение симметрия. Почему мы находим одни вещи красивыми, а другие нет? Почему смотреть на симметричные изображения приятнее, нежели на асимметричные?
§3. Проявление симметрии в живой и неживой природе
То, что Земля — шар, стало известно образованным людям еще в древности. Земля в представлении большинства начитанных людей до эпохи Коперника была центром мироздания. Поэтому прямые, проходящие через центр Земли, они считали центром симметрии Вселенной. Поэтому даже макет Земли – глобус имеет ось симметрии (см. рис. 4).
Среди цветов, например, наблюдается поворотная симметрия. Многие цветы можно повернуть так, что каждый лепесток займет положение соседнего, цветок совместится с самим собой. Минимальный угол такого поворота для различных цветов неодинаков. Для ириса он равен 120° (см. рис. 5), для колокольчика – 72° (см. рис. 6), для нарцисса – 60° (см. рис. 7). В расположении листьев на стеблях растений наблюдается винтовая симметрия. Располагаясь винтом по стеблю, листья как бы раскидываются в разные стороны и не заслоняют друг друга от света (см. рис. 8), хотя сами листья тоже имеют ось симметрии (см. рис. 9). Рассматривая общий план строения какого-либо животного, мы замечаем обычно известную правильность в расположении частей тела или органов, которые повторяются вокруг некоторой оси или занимают одно и то же положение по отношению к некоторой плоскости. Эту правильность называют симметрией тела. Явления симметрии столь широко распространены в животном мире, что весьма трудно указать группу, в которой никакой симметрии тела подметить нельзя. Симметрией обладают и маленькие насекомые, и крупные животные (см.рис. 10,11, 12).
· Среди бесконечного разнообразия форм неживой природы в изобилии встречаются такие совершенные образы, чей вид неизменно привлекает наше внимание. Наблюдая за красотой природы, можно заметить, что при отражении предметов в лужах, озерах проявляется зеркальная симметрия.
Видите? Это же голая зеркальность!
Глупая, глупая природа, ни о чем она не заботится так рьяно,
как о равновесии (см. рис. 13).
(Венедикт Ерофеев)
В мир неживой природы очарование симметрии вносят кристаллы (см.рис.14). Каждая снежинка- это маленький кристалл замерзшей воды. Форма снежинок может быть очень разнообразной, но все они обладают поворотной симметрией и, кроме того, зеркальной симметрией (см. рис. 15).
(форму куба имеют, например, кристаллы поваренной соли). Всего существует 32 вида симметрий идеальных форм кристалла.
Легко вообразить, какая бы царила на Земле неразбериха, если бы симметрия в природе была нарушена!
§4. Применение законов симметрии человеком
Увидев проявление симметрии в природе, мне захотелось узнать, применяет ли человек эти закономерности в своих творениях.
Нельзя не увидеть симметрию и в ограненных драгоценных камнях. Многие гранильщики стараются придать бриллиантам форму тетраэдра, куба, октаэдра или икосаэдра. Так как гранат имеет те же элементы что и куб, он высоко ценится знатоками драгоценных камней. Художественные изделия из гранатов были обнаружены в могилах Древнего Египта, относящихся еще к додинастическому периоду (свыше двух тысячелетий до н.э.).
В коллекциях Эрмитажа особым вниманием пользуются золотые украшения древних скифов. Необычайно тонка художественная работа золотых венков, диадем, дерева и украшенных драгоценными красно-фиолетовыми гранатами (см.рис. 17, 18).
Одним из самых наглядных использований законов симметрии в жизни служат строения архитектуры. Это то, что чаще всего мы можем увидеть. В архитектуре оси симметрии используются как средства выражения архитектурного замысла. Примеров использования симметрии в архитектуре множество, одним из них является прекрасный Новосибирский театр оперы и балета (см. рис. 19). И даже у нас, в г. Купино есть здание, имеющее симметрию – здание Администрации Купинского района (см. рис. 20).
Еще одним примером использования человеком симметрии в своей практике - это техника. В технике оси симметрии наиболее четко обозначаются там, где требуется оценить отклонение от нулевого положения, например на руле грузовика или на штурвале корабля. Или одно из важнейших изобретений человечества, имеющих центр симметрии, является колесо (см. рис. 21), также центр симметрии есть у пропеллера и других технических средств.
Существуют языки, в которых начертание знаков опирается на наличие симметрии. Так, в китайской письменности иероглиф означает именно истинную середину.
Симметрия также есть и в числах, например, √12345678987654321=111111111; √123454321=11111 и т.д.
симметрия центральная осевая зеркальная геометрия
Таким образом, изучая симметрию законов природы, рано или поздно удается глубже проникнуть в сущность живого, объяснить ход эволюции и дать возможность человеку чаще применять данные законы симметрии в жизни.
Рассматривая архитектуру зданий, предметы украшения и быта, технические изобретения, мы видим в них присутствие центральной, поворотной, переносной, осевой и зеркальной видов симметрии, которые дают ощущение спокойной уверенности и эстетической привлекательности.
Симметрия, проявляясь в самых различных объектах природного мира, несомненно, отражает наиболее общие ее свойства. Поэтому изучение симметрии разнообразных природных объектах и сопоставление его (изучения) результатов удобным и надежным инструментом познания гармонии мира.
1) Тарасов Л.В. Этот удивительно симметричный мир. – М.: Просвещение, 1982.
3) Кошелев А.И. Проявление симметрии в различных формах материи.
4) Вейль Г. Симметрия. М.: Едиториал УРСС, 2003
5) Климова Н.Т. Народный орнамент в композиции художественных изделий. - М.: Изобразительное искусство, 1993.
Прямая, вокруг которой вращаются различные предметы, и называется ось. Данное слово имеет греческое происхождение и связано как вы уже поняли с математикой. Может быть, некоторые не знают, но симметрия может быть очень тесно связана с красотой. Она была рождена при помощи природы и спустя некоторое время прочно вошли не только в нашу жизнь, но и в жизнь наших предков.
Вначале были разные кристаллы правильной формы и правильного объема.
Кроме этого если рассматривать землю, то она тоже относится к симметрии. И поэтому природа использовала ее и давала представление по различным формам и объемам. Правой частью тела обычно управляет левое полушарие и наоборот, левой частью тела управляет правое полушарие.
Если организмы не подвижны, то они относятся к лучевой симметрии. Симметрия использовалась еще в древних веках: в орнаментах, строительстве, в разных предметах быта или архитектуре. Но это еще не все, кроме этого симметрия может встречаться еще и в природе. Это могут быть обычные листья, находящиеся на деревьях или растения. Также симметрия встречается и в органах животных, снежинке, которая падает с неба или в бабочке, которая порхает по воздуху и наслаждается природой.
Также она может применяться еще и в различной практике. Она применяется не только в строительстве, но еще и в технике. Каждое античное здание строится при помощи симметрии и без нее ни одно здание не могло быть выстроено. Кроме этого она еще применяется и для создания различных ваз, создания Кремля, различных машин или самолетов. Центральной симметрией называется симметрия относительной точки. А вот осевой симметрией называется симметрия относительной прямой.
Сначала мы рассмотрим симметрию относительно точки. Дается какая-нибудь прямая, по краям которой располагаются точки. Точек может быть очень много.
Вариант №2
Симметрия – вечная спутница жизни каждого человека. Предметы, природа, одежда, даже само тело человека симметрично. Идентичные половины изображений, объектов, предметов могут быть созданы как человеком специально, так и самой природой.
С точки зрения математической науки, симметрия подразделяется на симметричность по прямой линии – оси и симметричность по одной центральной точке.
Осевая симметрия
Теорема: Фигура является симметричной относительно линии A, если для любой точки фигуры симметричная для нее точка относительно линии Aтакже находится в пространстве этой фигуры.
Объектом с таким видом симметрии является тот предмет (тело, фигура), который, если зрительно или практически сложить пополам, то полученные половины относительно сгиба (оси предмета) будут идентичны.
Также стоит отметить, что если фигуры симметричны по прямой линии, то они будут равны между собой по размерам.
К таким предметам и фигурам относятся: круг (имеет одну ось), квадрат (четыре оси), прямоугольник (две оси), равнобедренный треугольник (одну ось), тело человека (одну ось), лист бумаги (одну ось), многие насекомые и растения, предметы искусства, отражения объектов в воде или на стекле, зеркале.
Внимание! Существуют фигуры, не имеющие осей симметрии. К ним относятся параллелограмм и большинство треугольников (оси имеет только равнобедренный), т.к. все их стороны разные.
Практически каждое здание имеет симметричность. А многие дворцы в мире построены симметрично специально – чтобы сложнее было ориентироваться незнакомым с пространством людям, попавшим во дворец. Это являлось своеобразной защитой от чужаков и нежелательных гостей. Всех ценных и желанных гостей встречали, а вот нежеланные посетители блуждали по замкам.
Центральная симметрия
Симметричность относительно одной точки называют центральной симметрией.
Теорема: Если фигура переходит в себя, будучи симметричной для точки A, то A будет являться точкой симметрии этой фигуры.
Если предмет относительно одной точки симметричен, то этот предмет обладает именно центральной симметрией.
Такой симметрией обладает шар, круг, параллелограмм, прямая линия, снежинка, цветок, паутина, пчелиные соты, иголки сосновой ветки, ракушки морских обитателей, круги на полях и даже наша галактика – Млечный путь!
Центры геометрических фигур и объектов вокруг нас:
- для круга или шара центральной точкой является его центр;
- для параллелограмма это точка, где пересекаются диагонали фигуры;
- для прямой линии – точка, лежащая на самой прямой, т.е. прямая линия имеет бесконечное множество центральных точек симметрии;
- у снежинки центром симметрии является место пересечения всех лучей снежинки;
- у цветка – место пересечения лучей, проведенных через середину каждого лепестка;
- для пчелиной соты – точка пересечения лучей из каждой вершины многоугольника;
- веточка сосны с иголками – сама веточка. Иглы крепятся вокруг центрально стержня ветки.
Таким образом, симметрия становится постоянно спутницей жизни каждого человека. Окружая нас везде, мы сами не замечаем, что почти каждый предмет имеет определенную симметричность. Благодаря симметрии объекты выглядят более полными, объемными и аккуратными.
Осевая и центральная симметрия
В России хвойные места занимают очень много площади. В Российском лесе растет очень много растений. Лес является огромным подарком природы для людей. Благодаря лесу легко дышать ведь деревья выделяют кислород.
Осина обыкновенная – крепкое дерево с широкой корневой системой. Относится к семейству Ивовые. Осина представляет собой лиственное дерево.
Драцена – довольно популярное декоративное растение. Часто модно встретить его на подоконниках квартир и офисов. Имеет несколько подвидов, различающихся размером и расцветкой, благодаря чему подходит как для небольшого уголка в квартире,
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Министерство Образования Республика Крым
Управление Образования г. Ялта
Симеизский УВК
Подготовила: Присяжнюк Владислава Руслановна
Учитель: Титова Валентина Николаевна
Понятие симметрии в математике и физике:
Центральная симметрия
Симметрия вращения
Осевая симметрия
Зеркальная симметрия
Симметрия в искусстве:
Симметрия архитектуре
Симметрия в скульптуре
Симметрия в живописи
Список литературы
Под симметрией в широком смысле понимают правильность в строении тела и фигуры. Учение о симметрии представляет собой большую и важную ветвь тесно связанную с науками разных отраслей. С симметрией мы часто встречаемся в искусстве, архитектуре, технике, быту. Так, фасады многих зданий обладают осевой симметрией. В большинстве случаев симметричны относительно оси или центра узоры на коврах, тканях, комнатных обоях. Симметричны многие детали механизмов, например, зубчатые колеса. Замечу также, что симметрия широко используется в искусстве, особенно в европейском.
Мне это было интересно, потому что данная тема затрагивает не только математику, хотя она и лежит в её основе, но и другие области науки, техники, искусства. Симметрия, как мне кажется, является фундаментом природы, представление о котором слагалось в течение десятков, сотен, тысяч поколений людей.
Мне захотелось узнать побольше не только об особенностях симметрии, но и о том, как она проявляется в искусстве, как она себя ведет в математике.
Симметрия в математике, физике
Но вместе с тем симметрия воспринимается нами как элемент красоты вообще и красоты природы в частности. Математики вкладывают в понятие симметрия точный математический смысл, рассматривают специальные виды симметрии. И в результате симметрия становится мощным средством математических исследований, помогает решать трудные задачи.
Итак, геометрический объект или физическое явление считаются симметричными, если с ними можно сделать что-то такое, после чего они останутся неизменными. И если говорить о геометрических объектах, то симметрию можно будет называть геометрической, если о физических явлениях, то – физическая симметрия.
Например, пятиконечная звезда, будучи повёрнута на 72° (360°: 5), займёт первоначальное положение, а ваш будильник одинаково звенит в любом углу комнаты. Благодаря симметрии все физические приборы (в том числе и будильник) одинаково работают в разных точках пространства, если, конечно, не изменяются окружающие физические условия. Легко вообразить, какая бы царила на Земле неразбериха, если бы эта симметрия была нарушена: вещи бы были непонятной формы, зеркало бы показывало наше отражение задом, а не передом, а мы бы с вами просто не смогли бы ходить, видели одним глазом и ели бы одной рукой.
Таким образом, общим для всех них (геометрических объектов или физических явлений) принципом симметрии пронизаны многообразные физические и биологические законы гравитации, электричества и магнетизма, ядерных взаимодействий, наследственности, начиная от текстильного производства, кончая тонкими вопросами строения вещества.
Центральная симметрия
Примерами фигур, обладающих центральной симметрией, являются окружность и параллелограмм. Центром симметрии окружности является центр окружности, а центром симметрии параллелограмма – точка пересечения его диагоналей. Любая прямая также обладает центральной симметрией. Однако, в отличие от окружности и параллелограмма, которые имеют только один центр симметрии, у прямой их бесконечно много – любая точка прямой является её центром симметрии. Примером фигуры, не имеющей центра симметрии, является произвольный треугольник.
В алгебре при изучении чётных и нечётных функций рассматриваются их графики. График чётной функции при построении симметричен относительно оси ординат, а график нечётной функции – относительно начала координат, т.е. точки О . Значит, нечётная функция обладает центральной симметрией, а чётная функция – осевой.
В других источниках определение центральной симметрии раскрывается следующим образом: геометрическая фигура (или тело) называется симметричной относительно центра C , если для каждой точки A этой фигуры может быть найдена точка E этой же фигуры, так что отрезок AE проходит через центр C и делится в этой точке пополам ( AC = CE ). Точка C называется центром симметрии. Фигура ABCDE составлена из двух треугольников АВС и EDC , у которых стороны попарно равны и служат продолжением друг друга, обладает центром симметрии С (рис. 1) . Между соответствующими парами точек всегда лежат равные отрезки; соответствующие друг другу углы двух половин тела, обладающего центральной симметрией, тоже равны. Две половины тела с центральной симметрией не могут накладываться одна на другую, как и две половины тела, обладающие зеркальной симметрией. Более того, одну из половин тела с центральной симметрией можно поворотом на 180 º поставить в зеркально симметричное положение. Поэтому две половины тела с центральной симметрией зеркально равны друг другу.
Также рассмотрим пример с пирамидой. Если продолжить ребра SA , SB , SC , . пирамиды SABCDE на расстояния, равные длинам этих рёбер, в противоположную сторону от вершины, то две пирамиды SABCDE и S АВCDE вместе образуют тело, симметричное относительно центра S (рис. 2) .
Рассмотрим ещё один пример. Если плоская фигура
ABCD (рис. 3) имеет ось симметрии второго порядка, перпендикулярную к плоскости фигуры (прямая KL ), то точка О , в которой KL пересекает плоскость фигуры, служит центром симметрии фигуры ABCD . Обратно, если плоская фигура ABCD имеет центр симметрии О (он непременно лежит в плоскости фигуры), то эта фигура имеет ось симметрии второго порядка, проходящую через О перпендикулярно к плоскости фигуры.
Таким образом, две центрально симметричные плоские фигуры всегда можно наложить друг на друга, не выводя их из общей плоскости. Для этого достаточно одну из них повернуть на угол 180° около центра симметрии.
Как в случае зеркальной, так и в случае центральной симметрии плоская фигура непременно имеет ось симметрии второго порядка, но в первом случае эта ось лежит в плоскости фигуры, а во втором – перпендикулярна к этой плоскости.
Симметрия вращения
Тело (или фигура) обладает симметрией вращения, если при повороте на угол 360 º / n , где n целое число, около некоторой прямой АВ (ось симметрии) оно полностью совмещается со своим исходным положением. Если число n равно 2, 3, 4 и т.д., то ось симметрии называется осью второго, третьего и т.д. порядка.
Например, если мы разрежем круг на три части с центральными углами по 120º , наложим эти секторы друг на друга (не переворачивая их другой стороной) и прорежем на них фигуру а произвольной формы, то, сложив снова части так, как они лежали, получим фигуру (круг с дырочками), обладающую осью симметрии 3-его порядка. Эта ось перпендикулярна к плоскости чертежа. Поворотом на 120 º фигура полностью совмещается со своим исходным положением (рис. 4) .
Радиальная симметрия – форма симметрии , сохраняющаяся при вращении объекта вокруг определённой точки или прямой . Часто эта точка совпадает с центром тяжести объекта, то есть той точкой, в которой пересекается бесконечное количество осей симметрии. Подобными объектами могут быть круг , шар , цилиндр или конус .
Приведу примеры тел, обладающих перечисленными видами симметрии.
Шар обладает и центральной, и зеркальной, и осевой симметрией. Центром симметрии является центр шара, плоскостью симметрии — плоскость любого большого круга; осью — любой диаметр шара. Порядок оси — любое целое число.
Круглый конус имеет осевую симметрию (любого порядка); ось симметрии — ось конуса. Рис.4.
Правильная пятиугольная призма имеет плоскость симметрии, идущую параллельно основаниям на равном от них расстоянии, и ось симметрии пятого порядка, совпадающую с осью призмы. Плоскостью симметрии может также служить плоскость, делящая пополам один из двугранных углов, образуемых боковыми гранями Осевая симметрия
Приведу примеры фигур, обладающих осевой симметрией. У неразвернутого угла одна ось симметрии — прямая, на которой расположена биссектриса угла. Равнобедренный (но не равносторонний) треугольник имеет также одну ось симметрии, а равносторонний треугольник— три оси симметрии. Прямоугольник и ромб, не являющиеся квадратами, имеют по две оси симметрии, а квадрат— четыре оси симметрии. У окружности их бесконечно много — любая прямая, проходящая через её центр, является осью симметрии.
Имеются фигуры, у которых нет ни одной оси симметрии. К таким фигурам относятся параллелограмм, отличный от прямоугольника, разносторонний треугольник (рис. 5).
рис.5
Зеркальная симметрия
Зеркальная симметрия хорошо знакома каждому человеку из повседневного наблюдения. Как показывает само название, зеркальная симметрия связывает любой предмет и его отражение в плоском зеркале. Говорят, что одна фигура (или тело) зеркально симметрично другой, если вместе они образуют зеркально симметричную фигуру (или тело) (рис. 6) .
Важно отметить, что два симметричных друг другу тела не могут быть вложены или наложены друг на друга. Так перчатку правой руки нельзя надеть на левую руку. Симметрично зеркальные фигуры при всём своём сходстве существенно отличаются друг от друга. Чтобы убедиться в этом, достаточно поднести лист бумаги к зеркалу и попытаться прочесть несколько слов, напечатанных на ней, буквы и слова просто-напросто будут перевёрнуты справа налево. По этой причине симметричные предметы нельзя называть равными, поэтому их называют зеркально равными.
Две зеркально симметричные плоские фигуры всегда можно наложить
друг на друга. Однако для этого необходимо вывести одну из них (или обе) из их общей плоскости.
Вообще зеркально равными телами (или фигурами) называются тела (или фигуры) в том случае, если при надлежащем их смещении они могут образовать две половины зеркально симметричного тела (или фигуры).
рис.6
Симметрия в архитектуре
Композиция в русской традиционной архитектуре в значительной степени основывалась на специфическом применении симметрии, широко применялись как классическая, так и неклассические симметрии. Применение симметрии основывалось на особенностях зрительного восприятия сооружений в натуре. Поэтому на чертежах и планах симметрия может отсутствовать.
В искусстве симметрия играет огромную роль, многие шедевры архитектуры обладают симметрией. При этом обычно имеется в виду зеркальная симметрия.
Немалую роль симметрия играет в архитектурной композиции — закономерное расположение частей формы относительно друг друга. История архитектуры полна всеми видами симметричных преобразований, основными из которых являются отражение, поворот и перенос. В вопросе о симметрии архитектурного сооружения важно помнить, что сама функция постройки часто диктует симметричность или асимметричность построения. Так зрелищные сооружения (цирки, театры), мемориальные комплексы и другие архитектурные композиции, где есть явно выраженный главный функциональный элемент (сцена, главный монумент) тяготеют к симметричности, к организованности пространства вокруг этого главного элемента. И вовсе не случайно строго симметричные сооружения использовались для воплощения идей строгой централизации общества и строгого упорядочения устройства мира (Мавзолей В.И. Ленина в Москве) (рис. 7) . Напротив, сложные в функциональном отношении сооружения требуют свободного, асимметричного расположения элементов, т.к. симметричное построение композиции трудноосуществимо. Например, никогда еще не удавалось уложить в строгую симметричную схему такое многофункциональное сооружение, как город. В этих случаях применяют в архитектуре асимметрию. Средством создания единства в асимметричных композициях является зрительное равновесие частей по массе, фактуре, цвету и пр. В сложных композициях могут сочетаться симметрия и асимметрия.
Таким образом, архитектор, используя объективные свойства архитектурных форм (геометрический вид, положение в пространстве, величину, массу, фактуру, свет и цвет), с помощью ритма, пропорционирования, масштабирования, используя тождество, нюанс, контраст и симметрию, создает целостную архитектурную композицию. Всеми вышеперечисленными приёмами он выстраивает программу восприятия зрителем архитектурного образа.
Различные виды симметрии применяют в особой области убранства архитектуры – орнаментальном декоре. Орнамент – ритмично повторяющийся рисунок, основанный на симметричной композиции его элементов и выражаемый линией, цветом или рельефом. Исторически сложилось несколько типов орнаментов на основе двух источников – природных форм и геометрических фигур. Основные типы орнаментов – сетчатые, прямолинейные (ленточные) орнаментальные полосы, круговые (кольцевые) орнаментальные композиции, центрические (розетты), основанные на симметрии многоугольников, и др.
Примеры сетчатого геометрического орнамента можно увидеть в композициях ряда металлических решеток и оград, плиточных покрытий полов, в декоративном решении стен с узорной кирпичной кладкой . Ленточный орнамент использован в порезках карнизов античных храмов, в росписях стен древнерусских храмов. Орнаментальные заполнения филёнок, пилястр и панно чаще имели симметричные композиции, за исключением стилей рококо и модерн, где встречались асимметричные.
рис. 7
Симметрия в скульптуре
Симметрия предполагает сведение структурных элементов в единую систему , подчиненную законам построения геометрических фигур на плоскости и в про-странстве. То есть ,скульптура и будет являться построенной фигурой в пространстве.
Под симметрией понимается такое качество предметов, что их можно совместить друг с другом при некоторых преобразованиях.
Что такое симметрия
Наиболее часто это понятие встречается в геометрии. Объект считается симметричным, если после некоторых геометрических преобразований он смог сохранить свои первоначальные свойства.
В качестве примера стоит рассмотреть обычный круг. Если его вращать вокруг условного центра, он сохранит свою форму и первоначальные характеристики. Поэтому этот геометрический предмет смело можно назвать симметричным.
Виды симметрии определяются возможными преобразованиями для данного объекта и его свойствами, которые в результате проведенных манипуляций должны сохраниться. В случае, когда это условие не соблюдается, можно утверждать о наличии асимметрии.
Рис. 1 Фигуры, обладающие симметричностью
Центральная симметрия
Это явление относительно некой точки. Она представляет собой преобразование множества точек пространства или поверхности, во время которого ее центр всегда постоянен и не меняет своего положения.
Данный вид симметрии предполагает, что на равном расстоянии от ее центра располагаются два предмета, например, две точки. Если провести между ними условную прямую, они будут располагаться на ее противоположных концах, а середина этой прямой и будет являться осевым центром.
Если считать центр неподвижным и начать преобразовывать прямую (т. е. вращать ее относительно центральной точки), то точки на ее концах опишут две кривые. Все точки одной кривой будут иметь такие же симметричные точки на другой кривой.
Объекты, обладающие центром симметрии, представляют большой интерес для ученых. В геометрии насчитывается достаточно много таких объектов. К ним относятся прямые, отрезки, окружность, прямоугольник и др. Центрально симметричные объекты встречаются и в природе.
Рис. 2 Графическое представление центральной симметрии
Осевая симметрия
Это симметрия относительно прямой. В данном классе две точки симметричны относительно некой прямой, если она пересекает центр отрезка, соединяющего эти две точки и является перпендикуляром к нему. Любая точка прямой симметрична сама себе.
Рис. 3 Наглядное представление осевой симметрии
Объект симметричен относительно прямой, если все его точки имеют такие же симметричные аналоги относительно этой прямой. Она же - центр симметрии.
В качестве наглядно примера можно взять обычный бумажный лист, если его сложить пополам. Если через линию сгиба провести прямую – это и будет центром.
Определенная точка одной половины листы имеет такую же симметричную точку на другой его части, расположенную на перпендикуляре на таком же расстоянии от осевой линии. Одна часть листа тетради является по сути зеркальным отображением другой.
Рис. 4 Примеры осевой симметрии
Фигуры, имеющие несколько осей симметрии
Есть предметы и геометрические фигуры с некоторым числом осей. Для начала в качестве примера стоит рассмотреть прямоугольник и ромб, которые имеют две такие оси.
Две оси симметрии характерны для прямоугольника. Это прямые, которые проведены через точки, являющиеся серединами его противоположных сторон.
То же самое (наличие двух осей) присуще и ромбу. Оси являются прямыми, содержащими диагонали данной геометрической фигуры.
Интерес представляет и квадрат, у которого насчитывается четыре оси. Данная фигура является одновременно и ромбом, и прямоугольником. Остальные виды параллелограммов не имеют осей симметрии вообще.
Рис. 5 Оси симметрии ромба
Единственной фигурой, у которой есть три оси симметрии, является равносторонний треугольник. Они представляют собой не что иное, как его медианы, линии соединяющие середины его сторон. Медианы равностороннего треугольник – это его и биссектрисы, и высоты.
Рис. 6 Оси симметрии равностороннего треугольника
В обычной жизни многие даже не задумываются о том, как часто они сталкиваются с различными видами симметрии. Это понятие характерно не только для мира математики.
Симметрия встречается в мире природы, архитектуре, в мире искусства и композиции, а также в других сферах человеческой жизни.
Осознание данного факта прошло долгий путь во времени, над ним задумывались великие умы на протяжении многих столетий. С древних времен и до настоящего времени определение этого понятия прошло долгий путь развития.
Читайте также: