Определитель 2 и 3 порядка реферат

Артамонов Вячеслав Введение в высшую алгебру и аналитическую геометрию. Изд-во: Факториал, Факториал Пресс, 2007. - 128с.

Рябушко А.П., Бархатов В.В., Державец В.В., Юруть И.Е. Индивидуальные задания по высшей математике. В 4 частях. Часть 1. Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Минск: Высшая школа, 2007.

Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах. В трех томах. ПОЛИТЕХНИКА, 2003.

Определители впервые были введены для решения системы уравнений первой степени. В 1750 году швейцарский математик Г. Крамер дал общие формулы, выражающие неизвестные через Определители , составленные из коэффициентов системы. Примерно через сто лет теория определителей, выйдя далеко за пределы алгебры, стала применяться во всех математических науках.

В настоящем реферате рассмотрены определители второго и третьего порядка, приведены примеры решения систем уравнений методом определителей

Определители второго порядка.

Рассмотрим систему уравнений:

Данную систему можно решить традиционными методами - подстановки и сложения уравнений. Однако, в ряде случаев оказывается легче применить определители

Представим систему в виде квадратной матрицы:

число а1b1– а2b2 называют определителем системы и обозначаютdetA или D

Определитель Dx получается из D заменой элементов первого столбца свободными членами системы; аналогично Dy.

Возможны три случая:

Случай 1: определитель системы не равен нулю: D ¹ 0. Тогда система имеет единственное решение: x = Dx/D , y= Dy/D.

Случай 2: определитель системы равен нулю: D = 0 (т.е. коэффициенты при неизвестных пропорциональны). Пусть при этом один из определителей Dx, Dy не равен нулю (т.е. свободные члены не пропорциональны коэффициентам при неизвестных). В этом случае системы не имеет решений.

Случай 3: D = 0, D x = 0, D y = 0 (т.е. коэффициенты и свободные члены пропорциональны). Тогда одно из уравнений есть следствие другого: система сводится к одному уравнению с двумя неизвестными и имеет бесчисленное множество решений.

Рассмотрим несколько примеров решения систем двух уравнений с двумя неизвестными методом определителей.

Пример 1. Решить систему уравнений:

D= | | = -31 Dx = | | = -31 Dy = | | = - 62

Система имеет единственное решение.

х = Dx/D =1 y = Dy/D = 2

Пример 2. Решить систему уравнений:

D = | | = 0, при этом Dx = | |= 18 ¹ 0. | |

Коэффициенты пропорциональны, а свободные члены не подчинены той же пропорции. Система не имеет решений.

Пример 3. Решить систему уравнений:

| 2 3 | | 8 3 | | 2 8 |

D = | |= 0 Dx = | | =0 Dy = | | =0

| 4 6 | | 16 6 | | 4 16 |

Одно из уравнений есть следстввие другого (например, второе получается из первого, умножая на два). Система сводится к одному уравнению и имеет бесчисленное множество решений.

Определители третьего порядка.

Решение систем из трех линейных уравнений с тремя неизвестны-ми также можно решить методом определителей .

Определителем квадратной матрицы третьего порядка

| a1b1c1 | называется выражение D = а1b2c3 – a1b3c2 + b1c2a3 –

А= | a2 b2 c2 | b1c3a2 + c1a2b3 – c1a3b2

или, если выразить его через определители 2-го порядка:

| b2 c2| | a2 c2 | | a2 b2 |

| b3 c3| | a3 c3 | | a3 b3|

Определители n –го порядка

Определителем квадратной матрицы n-го порядка А, где

| a11 a12 …a1n | | a22 a23…a2n |

| a21 a22 … a2n | называют число D = a11 | …………… | -

A = | ………………… | | an2 an3…annn|

| a21 a23…a2n | | a21 a22…a2(n-1)|

| an1 an3…ann | | an1 an2…an(n-1) |

т.е. мы имеем знакочередующуюся сумму произведений, в которых один из из множителей – элемент первой строки, а другой – определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученной вычеркиванием той строки и того столбца которым принадлежит первый множитель.

| 2 3 2 1 | | 3 2 1 | | 2 2 1 | | 2 3 1 | | 2 3 2 |

| 5 2 1 4 | = 4 | 2 1 4 | - 1 | 5 1 4 | + 3 | 5 2 4 | - 5 | 5 2 1 |

| 11 6 5 10| | 6 5 10| | 11 5 10 | |11 6 10 | | 11 6 5 |

= 4( 3(10-20) – 2(20-24) + 1(10-6)) – 1( 2(10-20) –2(50-44) + 1(25-11)) +

+ 3( 2(20-24) – 3(50-44) + 1(30-22)) –5( 2(10-6) – 3(25-11) +2(30-22)) = -28

Свойства определителей.

1. Величина определителя не изменяется, если каждую строку заменить столбцом с тем же номером.

| a1 b1 | | a1 a2 | | 2 3 | | 2 7 |

| a2 b2 | | b1 b2 | | 7 -5 | | 3 -5 |

2. При перестановке каких-либо двух строк или каких-нибудь двух столбцов абсолютное значение определителя остается прежним, а знак меняется на обратный.

| a1 b1 c1 | | a1 b1 c1 | (переставлены вторая и третья строки)

| a2 b2 c2 | = - | a3 b3 c3 |

| а3 b3 c3 | | a3 b3 c3 |

Пример 2: | 2 3 | | 5 7 |

3. Определитель, у которого элементы одной строки (или столбца) соответственно пропорциональны элементам другой строки (или столбца), равен нулю. В частности, определитель с двумя одинаковыми строчками (столбцами) равен нулю.

Пример 3: | 2 -1 3|

| 6 -3 2| = 0 (первый и второй столбцы пропорциональны).

| -5 -3 -3| = 0 (второй и третий столбцы одинаковы).

4. Общий множитель всех элементов одной строки (или столбца) можно вынести за знак определителя.

| mama’ ma’’ | | aa’ a’’ | Пример 4: | 3 5 | | 1 5 |

| bb’ b’’ | = m | bb’ b’’ | | 6 7 | = 3 | 2 7 |

5. Если каждый элемент какого-либо столбца (строки) есть сумма двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей: в одном вместо каждой суммы стоит только первое слагаемое, в другом – только второе (остальные элементы в обоих определителях те же, что в данном ).

| a1 (b1+c1) d1 | | a1 b1 d1 | | a1 c1 d1 |

| a2 (b2+c2) d2 | = | a2 b2 d2 | + | a2 c2 d2 |

| a3 (b3+c3) d3 | | a3 b3 d3 | | a3 c3 d3 |

| 5 13 | | 5 6 | | 5 7 |

| 3 7 | = | 3 3 | + | 3 4 |

6. Если ко всем элементам какого-либо столбца прибавить слагаемые, пропорциональные соответствующим элементам другого столбца, то новый определитель равен старому. То же для строк.

определитель | 4 1 -3 | = 12.

Прибавим к этим элементам первой строки элементы второй и получим | 6 0 0 | Этот определитель тоже = 12, но вычисляется

| 4 1 3 | проще ( в разложении по элементам первой

| 5 0 2 | строки два слагаемых равны нулю.

Для вычисления определителя

| 4 2 3 | прибавим к элементам первого столбца элементы второго,

|-1 3 5 | умноженные на -2

| -7 3 5 | Этот определитель легко вычислянтся

| 0 3 -1 | разложением по элементам первого столбца

В настоящем реферате показан способ решения линейных уравнений любого сколь угодно большого порядка методом определи-елей. Рассмотрены свойства определителей, решены примеры . Метод определителей позволяет ввести единый алгоритм решения систем, т.е. дает возможность запрограммировать это решение. Таким образом, чем выше порядок системы, тем больше будет выигрыш при решении систем методом определителей, чем при традиционных способах решения.

Список литературы

1. Энциклопедический словарь юного математика /Сост.А.П.Савин.- М.: Педагогика, 1989.

2. Петраков И.С. Математические кружки в 8 –1 0 классах: Кн. для учителя.- М.: Просвещение, 1987.

Определители второго порядка, их особенности. Примеры решения систем двух уравнений с двумя неизвестными методом определителей. Решение систем из трех линейных уравнений с тремя неизвестными методом определителей. Основные свойства определителей.

Подобные документы

Равенство матриц, действия над ними. Умножение матрицы на матрицу-столбец. Определения определителей второго и третьего порядков. Понятие обратной матрицы. Решение систем линейных уравнений с неизвестными матричным методом и по формулам Крамера.

контрольная работа, добавлен 26.09.2017

Понятие и структура матрицы второго порядка, принципы и порядок ее формирования, отличительные черты от матрицы третьего порядка. Сущность и характерные свойства определителей. Методика вычисления определителя i-го порядка. Применение метода Крамера.

лекция, добавлен 12.03.2013

Виды систем из p линейных алгебраических уравнений с n неизвестными переменными. Недостаток метода Крамера - трудоемкость вычисления определителей, когда число уравнений системы больше трех. Алгоритм исключения неизвестных переменных методом Гауса.

курсовая работа, добавлен 26.02.2014

Рассмотрение решения уравнений с двумя переменными, систем уравнений, методов решения систем, таких как метод подстановки, сложения, графический, метод введения новых переменных, определителей второго и третьего порядков и теоремы Кронекера-Капеллы.

научная работа, добавлен 25.02.2014

Понятие матрицы. Основные операции над матрицами. Понятие определителя матрицы. Вычисление определителей матрицы. Способ вычисления определителя n-го порядка. Основные свойства определителей. Методика решения систем линейных уравнений методом Крамера.

реферат, добавлен 20.02.2012

Элементы теории матриц. Системы линейных уравнений. Элементы векторной алгебры. Прямая на плоскости. Определители третьего порядка. Кривые второго порядка. Плоскость и прямая в пространстве. Поверхности второго порядка. Понятие комплексных чисел.

лекция, добавлен 23.08.2016

Знакомство с методами вычисления определителей третьего порядка. Рассмотрение особенностей решения системы линейных уравнений методом Гаусса. Характеристика основных способов нахождения косинуса угла между векторами. Этапы вычисления объема тетраэдра.

контрольная работа, добавлен 04.05.2013

Методы решения систем линейных уравнений: Гаусса (последовательного исключения), Крамера, матричный метод. Классификация систем линейных уравнений по числу уравнений, неизвестных. Свойства определителей. Система ступенчатого вида с единственным решением.

контрольная работа, добавлен 23.04.2011

Ознакомление с действиями над матрицами. Рассмотрение и характеристика свойств определителей (детерминант). Изучение сущности алгебраического дополнения минора матрицы. Анализ условий применения матричного метода решения систем линейных уравнений.

контрольная работа, добавлен 12.10.2016

Изучение формул вычисления определителей второго и третьего порядков. Применение методов Крамера и Гаусса для решения систем линейных уравнений. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве. Представление комплексных чисел и операции над ними.

.

Числа а₁₁, а₁₂, а₂₁, а₂₂ называются элементами определителя (они же элементы матрицы А).

Элементы а₁₁, а₂₂ составляют главную диагональ, а элементы а₂₁, а₁₂ – побочную диагональ.

Пусть дана квадратная матрица 3-го порядка:

.

Определение. Определителем 3-го порядка, соответствующим матрице А, называется число D, которое определяется выражением:

Элементы а₁₁, а₂₂, а₃₃ – расположены на главной диагонали, элементы а₁₃, а₂₂, а₃₁ – на побочной диагонали.

Вычисление определителей 2-го и 3-го порядка

Определитель 2-го порядка вычисляется по определению:

.

Для вычисления определителя 3-го порядка можно воспользоваться следующими правилами:

,

Вычислить .

,

Пример 3

Вычислить определитель по правилу треугольника: .

Решение

Свойства определителей

Рассмотрим свойства определителей на примере определителя 3-го порядка.

.

Определение. Минором некоторого элемента определителя называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых стоит этот элемент. Обозначение минора .

Пример 4

Минор элемента а₁₂: .

Определение. Алгебраическим дополнениемлюбого элемента определителя называется минор этого элемента, взятый со своим знаком, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит этот элемент, есть число четное, либо с противоположным знаком, если эта сумма есть число нечетное. Обозначение алгебраического дополнения А_ij.

Пример 5

Свойство 1.Определитель равен сумме произведений элементов какого-нибудь столбца (или строки) на их алгебраические дополнения.

Пример 6

Вычислим определитель, разложив его по элементам 1-ой строки:

.

Свойство 2. Величина определителя не изменится, если каждую его строку заменить столбцом с тем же номером.

Свойство 3. Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна его умножению на (–1).

Свойство 4.Общий множитель всех элементов одного столбца или одной строки определителя можно вынести за знак определителя.

Свойство 5. Если все элементы какой-либо строки или какого-либо столбца равны нулю, то определитель равен нулю.

Свойство 6. Определитель, имеющий два одинаковых столбца или две одинаковых строки, равен нулю.

Свойство 7. Определитель равен нулю, если элементы двух столбцов или двух строк пропорциональны.

Свойство 8. Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки (столбцы), кроме данной, прежние, а в данной строке (столбце) в первом определителе стоят первые слагаемые, а во втором – вторые:

.

Свойство 9.Если к элементам некоторого столбца (или строки) определителя прибавить соответствующие элементы другого столбца (или строки), умноженные на общий множитель, то величина определителя не изменится.

Пример 7

,

при вычислении определителя первую строку умножили на 2 и сложили со второй, затем разложили определитель по 2-й строке.

Свойство 10. Сумма произведений элементов какого-нибудь столбца (или строки) на алгебраические дополнения элементов другого столбца (или строки) определителя равна нулю.

Обратная матрица

Пусть дана квадратная матрица А порядка n.

Обратной матрицей по отношению к данной А называется матрица , которая будучи умноженной, как справа, так и слева на данную матрицу, дает единичную матрицу.

А · = · А = Е.

Квадратная матрица называется неособенной или невырожденной, если определитель ее отличен от нуля. В противном случае матрица называется особенной или вырожденной.

Всякая неособенная матрица имеет обратную матрицу, которую можно найти по формуле

,

где - определитель матрицы А, - союзная матрица по отношению к данной матрице, в которой элементы каждой строки данной матрицы заменены алгебраическими дополнениями элементов соответствующих столбцов. Например, для квадратной матрицы 2-го порядка союзной является матрица

,

для квадратной матрицы 3-го порядка союзной является матрица

.

Пример

Для матрицы найти обратную.

Обратную матрицу находим по формуле

.

Определитель матрицы , следовательно, матрица неособенная и обратная матрица существует. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы:

.

Тогда обратная матрица имеет вид

.

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры.

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам.

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор.

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

1. Понятие определителя

Матрица - это прямоугольная таблица, составленная из чисел. Особое место среди матриц занимают квадратные матрицы. Рассмотрим произвольную квадратную матрицу порядка или просто :
.
Оказывается, что с такой матрицей всегда можно связать вполне определенную числовую характеристику.
Определение 1. Численная характеристика квадратной матрицы называется ее определителем.
Рассмотрим матрицу первого порядка .
Определение 2. Численной характеристикой матрицы первого порядка, то есть определителем первого порядка, называется величина ее элемента .
Обозначается определитель одним из символов .
Определение 3. Определителем второго порядка, соответствующим матрице второго порядка, называется число, равное .
Обозначается определитель одним из символов
.
Очевидно, что для составления определителя второго порядка, необходимо найти разность произведения элементов, стоящих на главной диагонали матрицы, и произведения элементов, стоящих на побочной диагонали этой матрицы.
Поскольку одна из форм обозначения определителя и обозначения матрицы имеют много общего (записывается таблица из чисел), то так же, как и у матрицы, говорят о столбцах, строках и элементах определителя.
После того как рассмотрены определители 1-го и 2-го порядков, можно перейти к понятию определителя любого порядка. Но перед этим введем понятие минора.
Определение 4. Минором любого элемента квадратной матрицы порядка называется определитель порядка , соответствующий той матрице, которая получается из первоначальной матрицы в результате вычеркивания -ой строки и -го столбца, на пересечении которых стоит элемент .
Обычно минор элемента обозначается .
Определение 5. Определителем порядка , соответствующим матрице порядка , называется число, равное
.
Обозначается определитель одним из символов
.
Приведенное выражение представляет собой правило вычисления определителя -го порядка по элементам первой строки соответствующей ему матрицы и по минорам элементов этой строки, которые являются определителями порядка . Для это правило дает:
.
В приведенном правиле вычисления определителя фигурирует лишь первая строка. Возникает вопрос, а нельзя ли вычислить определитель, используя элементы других строк?
Теорема 1. Каков бы ни был номер строки ( ), для определителя -го порядка справедлива формула
,
называемая разложением этого определителя по -ой строке.
Нетрудно заметить, что в этой формулировке степень при (-1) равна сумме номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент .
Докажем сначала эту теорему для . В этом случае может быть равно только 2, так как входит в основное определение величины определителя. Итак:
.
Полученное выражение совпадает с тем, которое было дано в определении, следовательно, для определителя 2-го порядка теорема доказана.
Для произвольного данная теорема доказывается методом математической индукции.
Итак, показано, что определитель может быть разложен по любой строке. Возникает вопрос, а нельзя ли сделать то же самое, использовав произвольный столбец.
Теорема 2. Каков бы ни был номер столбца ( ), для определителя -го порядка справедлива формула
,
называемая разложением этого определителя по -му столбцу.
Докажем теорему для :
.
Данное выражение равно величине определителя, введенной по определению.
Итак, на основании теорем можно сказать, что для вычисления определителя -го порядка необходимо его разложить по произвольной строке или столбцу.

2. Свойства определителей

Рассмотрим ряд свойств, которыми обладают определители.
1. Равноправность строк и столбцов.
Определение 1. Транспонированием определителя называется операция, в результате которой меняются местами строки и столбцы с сохранением порядка их следования.
Определитель, полученный в результате транспонирования, называется транспонированным по отношению к исходному и обозначается .
Свойство 1. При транспонировании величина определителя сохраняется, то есть .
Доказательство этого свойства вытекает из того, что разложение определителя по первой строке тождественно совпадает с разложением по первому столбцу. Данное свойство указывает на равноправность строк и столбцов, поэтому все дальнейшие свойства можно рассматривать лишь для строк.
2. Антисимметрия при перестановке двух строк.
Свойство При перестановке местами двух строк определитель сохраняет свою абсолютную величину, но меняет знак на противоположный.
Докажем для определителя второго порядка. Действительно,
; .
Для определителя -го порядка докажем это свойство по индукции. Пусть свойство справедливо для определителя -го порядка. Разложим определитель -го порядка по любой строке, отличной от переставленных. Тогда переставленные строки входят во все миноры, на которые умножаются элементы , но эти миноры являются определителями -го порядка и меняют свой знак при перестановке строк. Следовательно, и определитель -го порядка также меняет свой знак.

3. Линейное свойство определителя.

Определение Некоторая строка ( ) является линейной комбинацией строк ( ) и ( ) с коэффициентами и , если .
Пользуясь этим определением, перейдем к самому свойству.
Свойство 3. Если в определителе -го порядка некоторая строка ( ) является линейной комбинацией двух строк ( ) и ( ) с коэффициентами и , то , где - определитель, у которого -ая строка равна ( ), а все остальные - те же, что и у , а - определитель, у которого -ая строка равна ( ), а все остальные - те же, что и у .
Для доказательства разложим каждый из определителей по -ой строке. Очевидно, что у всех разложений миноры соответствующих элементов будут одинаковы. Вычислим :

Итак, свойство доказано. Очевидно, оно справедливо и для столбцов.
Приведенные три свойства называются основными. Остальные являются их следствиями.
Свойство 4. Умножение всех элементов некоторой строки или столбца определителя на число равносильно умножению определителя на число .
Для доказательства положим в свойстве 3 , тогда получим . Значит, общий множитель всех элементов некоторого ряда можно выносить за определитель.
Свойство 5. Если все элементы некоторой строки или столбца определителя равны 0, то и сам определитель равен 0.
Для доказательства разложим определитель по нулевому ряду.
Свойство 6. Определитель с двумя равными строками или столбцами равен 0.
Действительно, переставив местами равные строки или столбцы, получим тот же определитель, но по свойству 2 его знак изменится на противоположный. Итак, с одной стороны , а с другой . Следовательно, .
Свойство 7. Если соответствующие элементы двух строк или столбцов определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.
Действительно, согласно свойству 4 общий множитель можно выносить за определитель, и мы получим определитель с двумя равными строками, который по свойству 6 равен нулю.
Свойство 8. Если к элементам некоторой строки или столбца определителя прибавить соответствующие элементы другой строки или столбца, умноженные на произвольный множитель , то величина определителя не изменится.
Доказательство. Рассмотрим определитель . Прибавим к элементам второй строки элементы первой с коэффициентом :
.
Тогда, по свойству 3 получим:
.
После перечисления всех свойств определителей введем еще одно определение.
Определение 3. Алгебраическим дополнением данного элемента определителя -го порядка называется число, равное , которое обозначается .
Значит, алгебраическое дополнение отличается от соответствующего минора только лишь знаком. Теперь величину определителя можно вычислить с помощью формул:
.
Пользуясь свойствами, любой определитель можно вычислить не на основании основного правила, а предварительно упростив его (приводя, например, к треугольному виду).

Литература

Читайте также:

  
• Реферат на тему саки
  
• Особенности культуры древней месопотамии реферат
  
• Тенденции развития субд реферат
  
• Правовая культура сотрудников овд реферат
  
• Аудит в бухгалтерском учете реферат