Определение вероятностей состояния системы реферат

Обновлено: 03.07.2024

Структурная схема ИС выглядит следующим образом:

Расчеты показали, что наибольшую вероятность отказа имеет клавиатура. Но это объясняется просто - прямое физическое воздействием на ее элементы. Наиболее частой причиной выхода из строя клавиатур являются физические повреждения. Второе место по вероятности отказа занял монитор. Так как наша система является восстанавливаемым объектом, то выбираем только один элемент системы, а именно монитор.

Постепенно, но мы уже отвыкли от старых и громоздких ЭЛТ мониторов для персональных компьютеров. На смену пришли новые, тонкие, легкие и удобные жидкокристаллические мониторы (ЖК LCD мониторы).

Напомню, что в данной ИС используется монитор Samsung S27D590CS.
Ниже приведены его технические характеристики:

VA со светодиодной (WLED) подсветкой

68 см (27 дюймов)

16:9 (597,9×336,3 мм)

1920×1080 пикселей (Full HD)

Статическая 3000:1, динамическая Mega ∞

178° (гор.) и 178° (верт.)

4 мс (от серого к серому — GTG)

Количество отображаемых цветов

16,7 млн. (24 бита)

Видео/аудиовход HDMI
Видео/аудиовход DisplayPort
Видеовход VGA
Аудиовход (гнездо 3,5 мм миниджек)
Выход на наушники (гнездо 3,5 мм миниджек)

VGA — до 1920×1080/60 Гц (Отчет MonInfo)
HDMI — до 1920×1080/60 Гц (Отчет MonInfo)
DisplayPort — до 1920×1080/60 Гц (Отчет MonInfo)

Встроенные громкоговорители, 2×5 Вт

Вогнутый экран
Подставка: наклон 2° (±2,0°) вперед и 20° (±2,0°) назад
Режим для игр
Разъем для кенсингтонского замка
100×100 мм площадка VESA для настенного монтажа

623,5×366×59,5 мм без подставки
623,5×463×182 мм с подставкой

5,0 кг без подставки
5,6 кг с подставкой

24 Вт
0,3 Вт в режиме ожидания и выключенном состоянии

100—240 В, 50/60 Гц

Экраны LCD-мониторов (Liquid Crystal Display, жидкокристаллические мониторы) сделаны из вещества (цианофенил), которое находится в жидком состоянии, но при этом обладает некоторыми свойствами, присущими кристаллическим телам. Фактически это жидкости, обладающие анизотропией свойств (в частности оптических), связанных с упорядоченностью в ориентации молекул.

Работа ЖКД основана на явлении поляризации светового потока. Известно, что так называемые кристаллы поляроиды способны пропускать только ту составляющую света, вектор электромагнитной индукции которой лежит в плоскости, параллельной оптической плоскости поляроида. Для оставшейся части светового потока поляроид будет непрозрачным. Таким образом поляроид как бы "просеивает" свет, данный эффект называется поляризацией света. Когда были изучены жидкие вещества, длинные молекулы которых чувствительны к электростатическому и электромагнитному полю и способны поляризовать свет, появилась возможность управлять поляризацией. Эти аморфные вещества за их схожесть с кристаллическими веществами по электрооптическим свойствам, а также за способность принимать форму сосуда, назвали жидкими кристаллами.
Основываясь на этом открытии и в результате дальнейших исследований, стало возможным обнаружить связь между повышением электрического напряжения и изменением ориентации молекул кристаллов для обеспечения создания изображения. Первое свое применение жидкие кристаллы нашли в дисплеях для калькуляторов и в электронных часах, а затем их стали использовать в мониторах для портативных компьютеров. Сегодня, в результате прогресса в этой области, начинают получать все большее распространение LCD-дисплеи для настольных компьютеров.

А) напряжения нет

Б) напряжение есть

В присутствии электрического поля поворота вектора поляризации происходит на меньший угол, тем самым второй поляризатор становится только частично прозрачным для излучения. Если разность потенциалов будет такой, что поворота плоскости поляризации в жидких кристаллах не произойдет совсем, то световой луч будет полностью поглощен вторым поляризатором, и экран при освещении сзади будет спереди казаться черным (лучи подсветки поглощаются в экране полностью). Если расположить большое число электродов, которые создают разные электрические поля в отдельных местах экрана (ячейки), то появится возможность при правильном управлении потенциалами этих электродов отображать на экране буквы и другие элементы изображения. Электроды помещаются в прозрачный пластик и могут иметь любую форму. Технологические новшества позволили ограничить их размеры величиной маленькой точки, соответственно на одной и той же площади экрана можно расположить большее число электродов, что увеличивает разрешение LCD монитора, и позволяет нам отображать даже сложные изображения в цвете. Для вывода цветного изображения необходима подсветка монитора сзади, таким образом, чтобы свет исходил из задней части LCD дисплея. Это необходимо для того, чтобы можно было наблюдать изображение с хорошим качеством, даже если окружающая среда не является светлой. Цвет получается в результате использования трех фильтров, которые выделяют из излучения источника белого света три основные компоненты. Комбинируя три основные цвета для каждой точки или пикселя экрана, появляется возможность воспроизвести любой цвет.

График положения рабочего тока стабильного свечения ламп

Инвертор выполняет следующие функции:
• преобразует постоянное напряжение (обычно +12 В) в высоковольтное переменное;
• стабилизирует ток лампы и при необходимости регулирует его;
• обеспечивает регулировку яркости;
• согласует выходной каскад инвертора со входным сопротивлением ламп;
• обеспечивает защиту от короткого замыкания и перегрузки.

Вероятности состояний системы из п элементов, в которых было h отказавших элементов, определяют с помощью биномиального распределения. Однако биномиальное распределение справедливо для случая, когда все элементы системы имеют одинаковые вероятности отказа. В реальных системах уровень надежности элементов может оказаться различным. Кроме того, в больших системах предусматривается резервирование. Резервные элементы также могут иметь уровень надежности, отличный от уровня основных элементов. [2]

Вероятностью состояния системы называется число микросостояний, отвечающих данному макросостоянию. Одному и тому же макросостоянию соответствует очень большое число разных микросостояний. [3]

Если вероятности состояния системы llj не могут быть определены или оценены рассмотренными способами, то применяют специальные критерии: мавсвминный, минимаксный и промежуточный. [4]

Знание вероятности состояния системы в молекулярной физике позволяет предсказать дальнейшее поведение этой системы. [5]

Мерой вероятности состояния системы является энтропия 8 ( Дж / моль К) - величина, пропорциональная числу равновероятных микросостояний, которыми может быть реализовано данное макросостояние. [6]

Так как вероятности состояний системы 0 Р ( Л (): 1, то энтропия представляет существенно положительную величину. [7]

При этом вероятности состояний системы могут быть выражены через параметры вероятностей продолжительности периодов состояний объектов. [8]

Количественной мерой вероятности состояния системы ( упорядоченности ее частиц) и является энтропия. [9]

Дайте определение вероятностей состояний системы , в которой протекает марковский случайный процесс с непрерывным временем. [10]

Зная закон распределения вероятностей состояний системы , легко теперь рассчитать другие вероятностные характеристики системы. [11]

О 5.8.9. Знание вероятности состояния системы в молекулярной физике позволяет предсказать дальнейшее поведение этой системы. [12]

Авогадро; W - вероятность состояния системы , возрастающая с увеличением хаотичности микросостояния системы. [13]

В более общем случае вероятности состояний системы описываются неоднородной марковской цепью. [15]

Вероятностное описание тех или иных явлений получило широкое распространение в современной науке, в частности в эконометрике, статистической физике макроскопических систем, где даже в случае классического детерминированного описания движения частиц детерминированное описание всей системы частиц не представляется практически возможным и целесообразным. В квантовой физике сами описываемые процессы имеют вероятностную природу. Вероятность — степень (мера, количественная оценка) возможности наступления некоторого события. Когда основания для того, чтобы какое-нибудь возможное событие произошло в действительности, перевешивают противоположные основания, то это событие называют вероятным, в противном случае — невероятным или маловероятным.

Содержание

Введение
1Вероятность
1.1 Определение
1.2 Возникновение понятия и теории вероятности
2.1 Классическое определение вероятности
2.2Примеры
3.1Статистическое определение вероятности
3.2 Примеры
Заключение
Список литературы

Прикрепленные файлы: 1 файл

Содержание.doc

1.2 Возникновение понятия и теории вероятности

2.1 Классическое определение вероятности

3.1Статистическое определение вероятности

Вероятностное описание тех или иных явлений получило широкое распространение в современной науке, в частности в эконометрике, ст атистической физике макроскопических (термодинамических) систем, где даже в случае классического детерминированного описания движения частиц детерминированное описание всей системы частиц не представляется практически возможным и целесообразным. В квантовой физике сами описываемые процессы имеют вероятностную природу.

Возникновение понятия и теории вероятности.

Первые работы об учении о вероятности относится к 17 веку. Такие как переписка французских учёных Б . Паскаля, П. Ферма (1654 год) и голландского учёного X. Гюйгенса (1657 год) давшего самую раннюю из известных научных трактовок вероятности. По существу Гюйгенс уже оперировал понятием математического ожидания. Швейцарский математик Я. Бернулли, установил закон больших чисел для схемы независимых испытаний с двумя исходами (посмертно, 1713 год). В XVIII в. — начале ХIХ в. теория вероятностей получает развитие в работах А. Муавра (Англия)(1718 год), П. Лаплас (Франция), К. Гаусса (Германия) и С. Пуассона (Франция). Теория вероятностей начинает применяться в теории ошибок наблюдений, развившейся в связи с потребностями геодезии и астрономии, и в теории стрельбы. Необходимо отметить, что закон распределения ошибок по сути предложил Лаплас сначала как экспоненциальная зависимость от ошибки без учета знака (в 1774 год), затем как экспоненциальную функцию квадрата ошибки (в 1778 году). Последний закон обычно называют распределением Гаусса или нормальным распределением. Бернулли (1778 год) ввел принцип произведения вероятностей одновременных событий. Адриен Мари Лежандр (1805) разработал метод наименьших квадратов.

Во второй половине XIX в. развитие теории вероятностей связано с работами русских математиков П. Л. Чебышева, А. М. Ляпунова и А. А. Маркова ( старшего), а также работы по математической статистике А. Кетле (Бельгия) и Ф. Гальтона (Англия) и статистической физике Л. Больцмана (в Австрия), которые создали основу для существенного расширения проблематики теории вероятностей. Наиболее распространённая в настоящее время логическая (аксиоматическая) схема построения основ теории вероятностей разработана в 1933 советским математиком А. Н. Колмогоровым .

Классическое определение вероятности.

Классическое "определение" вероятности исходит из понятия равно возможности как объективного свойства изучаемых явлений. Равно возможность является неопределяемым понятием и устанавливается из общих соображений симметрии изучаемых явлений. Например, при подбрасывании монетки исходят из того, что в силу предполагаемой симметрии монетки, однородности материала и случайности (непредвзятости) подбрасывания нет никаких оснований для предпочтения "решки" перед "орлом" или наоборот, то есть выпадение этих сторон можно считать равновозможными (равновероятными).

Наряду с понятием равновозможности в общем случае для классического определения необходимо также понятие элементарного события (исхода), благоприятствующего или нет изучаемому событию A. Речь идет об исходах, наступление которых исключает возможность наступления иных исходов. Это несовместимые элементарные события. К примеру при бросании игральной кости выпадение конкретного числа исключает выпадение остальных чисел.

Классическое определение вероятности можно сформулировать следующим образом:

Вероятностью случайного события A называется отношение числа n несовместимых равновероятных элементарных событий, составляющих событие A, к числу всех возможных элементарных событий N:

Например, пусть подбрасываются две кости. Общее количество равновозможных исходов (элементарных событий) равно очевидно 36 (6 возможностей на каждой кости). Оценим вероятность выпадения 7 очков. Получение 7 очков возможно следующими способами: 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1. То есть всего 6 равновозможных исходов, благоприятствующих событию A - получению 7 очков. Следовательно, вероятность будет равна 6/36=1/6. Для сравнения вероятность получения 12 очков или 2 очков равна всего 1/36 - в 6 раз меньше.

1. Колода из 32-х карт тщательно перетасова на. Найти вероятность того, что все четыре туза лежат в колоде один за другим, не перемежаясь другими картами.

Решение. Число всех возможных способов расположения карт в колоде равно 32! Чтобы подсчитать число благоприятных исходов, сначала представим себе, что четыре туза располагаются каким-то образом один за другим и склеиваются между собой так, что они, как бы составляют одну карту (неважно, что она оказалась толще, чем все остальные). В полученной колоде стало 32 – 4 + 1 = 29 карт. Карты в этой колоде можно расположить числом способов, равным 29! Количество всех благоприятных исходов получается, если это число умножить на 4! – число возможных способов упорядочения четырёх тузов. Отсюда получаем ответ задачи: .

2. Между двумя игроками проводится n партий, причем каждая партия кончается или выигрышем, или проигрышем, и всевозможные исходы партий равновероятны. Найти вероятность того, что определённый игрок выиграет ровно m партий, 0 £ m £ n.

Решение. Каждая партия имеет два исхода – выигрыш одного или другого участника. Для двух партий имеется 22 = 4 исходов, для трёх партий – 23 =8 исходов, для n партий – 2n исходов. Среди них ровно исходов соответствуют выигрышу одного из игроков m партий. Таким образом, искомая вероятность равна .

3. Бросается n игральных костей. Найти вероятность того, что на всех костях выпало одинаковое количество очков.

Решение. Общее число исходов здесь равно 6n. Число благоприятных исходов – 6. Ответ задачи: .

4. В урне a белых и b чёрных шаров (a ³ 2; b ³ 2). Из урны без возвращения извлекаются 2 шара. Найти вероятность того, что шары одного цвета.

Решение. Эта вероятность равна

5. В урне находятся a белых и b черных шаров. Шары без возвращения извлекаются из урны. Найти вероятность того, что k-й вынутый шар оказался белым.

Решение. Представим процесс случайного извлечения шаров из урны следующим образом: шары произвольным образом размещены по расположенным в ряд ячейкам, и извлекаются из ячеек один за другим слева направо. Тогда благоприятный исход наступает в том случае, когда в k-й ячейке лежит белый шар.

Всего возможно (a + b)! различных способов расположения шаров по ячейкам. Займём k-ю ячейку одним из белых шаров, что можно сделать a различными способами. Тогда остальные ячейки можно заполнить (a + b – 1)! способами, и получается, что число благоприятных исходов равно (a + b – 1)!a, а искомая вероятность – .

Статистическое определение вероятности.

Классическое определение при рассмотрении сложных проблем наталкивается на трудности непреодолимого характера. В частности, в некоторых случаях выявить равновозможные случаи может быть невозможно. Даже в случае с монеткой, как известно существует явно не равновероятная возможность выпадения "ребра", которую из теоретических соображений оценить невозможно (можно только сказать, что оно маловероятно и то это соображение скорее практическое). Поэтому еще на заре становления теории вероятностей было предложено альтернативное "частотное" определение вероятности. А именно, формально вероятность можно определить как предел частоты наблюдений события A, предполагая однородность наблюдений (то есть одинаковость всех условий наблюдения) и их независимость друг от друга:

где - количество наблюдений, а - количество наступлений события .

Несмотря на то, что данное определение скорее указывает на способ оценки неизвестной вероятности - путем большого количества однородных и независимых наблюдений - тем не менее в таком определении отражено содержание понятия вероятности. А именно, если событию приписывается некоторая вероятность, как объективная мера его возможности, то это означает, что при фиксированных условиях и многократном повторении мы должны получить частоту его появления, близкую к (тем более близкую, чем больше наблюдений). Собственно, в этом заключается исходный смысл понятия вероятности. В основе лежит объективистский взгляд на явления природы. Ниже будут рассмотрены так называемые законы больших чисел, которые дают теоретическую основу (в рамках излагаемого ниже современного аксиоматического подхода) в том числе для частотной оценки вероятности.

Рассмотрим случайный эксперимент, заключающийся в том, что подбрасывается игральная кость, сделанная из неоднородного материала. Ее центр тяжести не находится в геометрическом центре. В этом случае мы не можем считать исходы (выпадение единицы, двойки и т.д.) равновероятными. Из физики известно, что кость более часто будет падать на ту грань, которая ближе к центру тяжести. Как определить вероятность выпадения, например, трех очков? Единственное, что можно сделать, это подбросить эту кость n раз (где n-достаточно большое число, скажем n=1000 или n=5000), подсчитать число выпадений трех очков n3 и считать вероятность исхода, заключающегося в выпадении трех очков, равной n3/n – относительной частоте выпадения трех очков. Аналогичным образом можно определить вероятности остальных элементарных исходов – единицы, двойки, четверки и т.д. Теоретически такой образ действий можно оправдать, если ввести статистическое определение вероятности.

Вероятность P(wi) определяется как предел относительной частоты появления исхода wi в процессе неограниченного увеличения числа случайных экспериментов n, то есть

Так как здесь не приводится никаких доказательств, мы можем только надеяться, что предел в последней формуле существует, обосновывая надежду жизненным опытом и интуицией.

В практике очень часто возникают задачи, в которых какой-либо другой способ определения вероятности события, кроме статистического определения, найти невозможно или крайне трудно.

Непрерывное вероятностное пространство.

Как уже говорилось ранее, множество элементарных исходов может быть более, чем счетным (то есть несчетным). Так несчётное множество исходов имеет эксперимент, состоящий в случайном бросании точки на отрезок [a1; a2]. Можно себе представить, что эксперимент, заключающийся в измерении температуры в заданный момент в заданной точке тоже имеет несчётное число исходов (действительно, температура может принять любое значение из некоторого промежутка, хотя в действительности мы можем измерять её лишь с определённой точностью, и практическая реализация такого эксперимента даст конечное число исходов). В случае эксперимента с несч ётным множеством W элементарных исходов нельзя считать любое подмножество множества W событием. Следует заметить, что подмножества W, не являющиеся событиями, являются математическими абстракциями и не встречаются в практических задачах. Поэтому в нашем курсе данный параграф является необязательным.

Чтобы ввести определение случайного события, рассмотрим систему (конечную или счетную) подмножеств пространства элементарных исходов W.

В случае выполнения двух условий:

1) из принадлежности А этой системе следует принадлежность этой системе;

2) из принадлежности и этой системе следует принадлежность Ai Aj этой системе

такая система подмножеств называется алгеброй.

Пусть W — некоторое пространство элементарных исходов. Убедитесь в том, что две системы подмножеств:

1) W, Æ; 2) W, А, , Æ (здесь А— подмножествоW) являются алгебрами.

Пусть A1 и A2 принадлежат некоторой алгебре. Докажите, что A1 \ A2 и принадлежат этой алгебре.

Назовём s-алгеброй систему Á подмножеств множества W, удовлетворяющую условию 1) и условию 2)¢:

2)¢ если подмножества А1, А2,¼, Аn, ¼принадлежат Á, то их счётное объединение (по аналогии с суммированием это счётное объединение кратко записывается формулой ) тоже принадлежит Á.

Подмножество А множества элементарных исходов W является событием, если оно принадлежит некоторой s-алгебре.

Можно доказать, что если выбрать любую счётную систему событий, принадлежащих некоторой s- алгебре и проводить с этими событиями любые принятые в теории множеств операции (объединение, пересечение, взятие разности и дополнения), то результатом будет множество или событие, принадлежащее той же s-алгебре.

Сформулируем аксиому, называемую аксиомой А.Н. Колмогорова.

Каждому событию соответствует неотрицательное и не превосходящее единицы число P(А), называемое вероятностью события А, причем функция P(А) обладает следующими свойствами:

2) если события A1, A2. An, ¼ несовместны, то

Если задано пространство элементарных исходов W, алгебра событий и определенная на ней функция Р, удовлетворяющая условиям приведенной аксиомы, то говорят, что задано вероятностное пространство.

Это определение вероятностного пространства можно перенести на случай конечного пространства элементарных исходов W. Тогда в качестве алгебры можно взять систему всех подмножеств множества W.

ПРИМЕР 1: При подбрасыванием идеальной монеты вероятность появления герба в каждом отдельном испытании равна Р(А) = 1/2. Ниже в таблице приведены результаты длинных серий опытов.

Рассмотрим математическое описание марковского процесса с дискретными состояниями и непрерывным временем* на примере случайного процесса из примера 1, граф которого изображен на рис. 1. Будем полагать, что все переходы системы из состояния в происходят под воздействием простейших потоков событий с интенсивностями ; так, переход системы из состояния в будет происходить под воздействием потока отказов первого узла, а обратный переход из состояния в — под воздействием потока "окончаний ремонтов" первого узла и т.п.

Граф состояний системы с проставленными у стрелок интенсивностями будем называть размеченным (см. рис. 1). Рассматриваемая система имеет четыре возможных состояния: .

Вероятностью i-го состояния называется вероятность того, что в момент . Очевидно, что для любого момента

Рассмотрим систему в момент , найдем вероятность того, что система в момент будет находиться в состоянии . Это достигается разными способами.

1. Система в момент находилась в состоянии , а за время не вышла из него.

Вывести систему из этого состояния (см. граф на рис. 1) можно суммарным простейшим потоком с интенсивностью , т.е. в соответствии с формулой (7), с вероятностью, приближенно равной . А вероятность того, что система не выйдет из состояния , равна . Вероятность того, что система будет находиться в состоянии по первому способу (т.е. того, что находилась в состоянии и не выйдет из него за время ), равна по теореме умножения вероятностей:

2. Система в момент (или ) находилась в состоянии или и за время перешла в состояние .

Потоком интенсивностью (или — с- рис. 1) система перейдет в состояние с вероятностью, приближенно равной (или ). Вероятность того, что система будет находиться в состоянии по этому способу, равна (или ).

Применяя теорему сложения вероятностей, получим

Переходя к пределу при (обозначим ее для простоты ):

Получили дифференциальное уравнение первого порядка, т.е. уравнение, содержащее как саму неизвестную функцию, так и ее производную первого порядка.

Рассуждая аналогично для других состояний системы , можно получить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний:

Сформулируем правило составления уравнений Колмогорова . В левой части каждого из них стоит производная вероятности i-го состояния. В правой части — сумма произведений вероятностей всех состояний (из которых идут стрелки в данное состояние) на интенсивности соответствующих потоков событий, минус суммарная интенсивность всех потоков, выводящих систему из данного состояния, умноженная на вероятность данного (i-го состояния).

В системе (9) независимых уравнений на единицу меньше общего числа уравнений. Поэтому для решения системы необходимо добавить уравнение (8).

Особенность решения дифференциальных уравнений вообще состоит в том, что требуется задать так называемые начальные условия, т.е. в данном случае вероятности состояний системы в начальный момент , т.е. при начальных условиях .

Уравнения Колмогорова дают возможность найти все вероятности состояний как функции времени . Особый интерес представляют вероятности системы в предельном стационарном режиме , т.е. при предельными (или финальными) вероятностями состояний.

В теории случайных процессов доказывается, что если число состояний системы конечно и из каждого из них можно (за конечное число шагов) перейти в любое другое состояние, то предельные вероятности существуют.

Предельная вероятность состояния имеет четкий смысл: она показывает среднее относительное время пребывания системы в этом состоянии . Например, если предельная вероятность состояния , т.е. , то это означает, что в среднем половину времени система находится в состоянии .

Так как предельные вероятности постоянны, то, заменяя в уравнениях Колмогорова их производные нулевыми значениями, получим систему линейных алгебраических уравнений, описывающих стационарный режим. Для системы с графом состояний, изображенном на рис. 1), такая система уравнений имеет вид:

Систему (10) можно составить непосредственно по размеченному графу состояний, если руководствоваться правилом , согласно которому слева в уравнениях стоит предельная вероятность данного состояния , умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, ведущих из данного состояния, а справа — сумма произведений интенсивностей всех потоков, входящих в i-е состояние, на вероятности тех состояний, из которых эти потоки исходят.

Пример 2. Найти предельные вероятности для системы из примера 1, граф состояний которой приведен на рис. 1, при

Решение. Система алгебраических уравнений, описывающих стационарный режим для данной системы, имеет вид (10) или

(Здесь мы вместо одного "лишнего" уравнения системы (10) записали нормировочное условие (8)).

Решив систему (11), получим , т.е. в предельном, стационарном режиме система в среднем 40% времени будет находиться в состоянии (оба узла исправны), 20% — в состоянии (первый узел ремонтируется, второй работает), 27% — в состоянии (второй узел ремонтируется, первый работает) и 13% времени — в состоянии (оба узла ремонтируются)

Пример 3. Найти средний чистый доход от эксплуатации в стационарном режиме системы в условиях примеров 1 и 2, если известно, что в единицу времени исправная работа первого и второго узлов приносит доход соответственно в 10 и 6 ден.ед., а их ремонт требует затрат соответственно в 4 и 2 ден.ед. Оценить экономическую эффективность имеющейся возможности уменьшения вдвое среднего времени ремонта каждого из двух узлов, если при этом придется вдвое увеличить затраты на ремонт каждого узла (в единицу времени).

Решение. Из примера 2 следует, что в среднем первый узел исправно работает долю времени, равную , а второй узел — . В то же время первый узел находится в ремонте в среднем долю времени, равную , а второй узел — . Поэтому средний чистый доход ден. ед.

Уменьшение вдвое среднего времени ремонта каждого из узлов в соответствии с (6) будет означать увеличение вдвое интенсивностей потока "окончаний ремонтов" каждого узла, т.е. теперь и система линейных алгебраических уравнений (10), описывающая стационарный режим системы , вместе с нормировочным условием (8) примет вид:

Решив систему, получим .

Учитывая, что , а затраты на ремонт первого и второго узла составляют теперь соответственно 8 и 4 ден.ед., вычислим средний чистый доход в единицу времени:

Процесс гибели и размножения

В теории массового обслуживания широкое распространение имеет специальный класс случайных процессов — так называемый процесс гибели и размножения . Название этого процесса связано с рядом биологических задач, где он является математической моделью изменения численности биологических популяций.

Граф состояний процесса гибели и размножения имеет вид, показанный на рис. 4.

Рассмотрим упорядоченное множество состояний системы . Переходы могут осуществляться из любого состояния только в состояния с соседними номерами, т.е. из состояния возможны переходы только либо в состояние , либо в состояние .

Предположим, что все потоки событий, переводящие систему по стрелкам графа, простейшие с соответствующими интенсивностями или .

По графу, представленному на рис. 4, составим и решим алгебраические уравнения для предельных вероятностей состояний (их существование вытекает из возможности перехода из каждого состояния в каждое другое и конечности числа состояний).

В соответствии с правилом составления таких уравнений (см. 13) получим: для состояния

для состояния имеем , которое с учетом (12) приводится к виду

Аналогично, записывая уравнения для предельных вероятностей других состояний, можно получить следующую систему уравнений:

к которой добавляется нормировочное условие

При анализе численности популяций считают, что состояние соответствует численности популяции, равной в состояние происходит при рождении одного члена популяции, а переход в состояние - при гибели одного члена популяции.

Решая систему (14), (15), можно получить

Легко заметить, что в формулах (17) для коэффициенты при есть слагаемые, стоящие после единицы в формуле (16). Числители этих коэффициентов представляют произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих слева направо до данного состояния , а знаменатели — произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих справа налево до состояния .

Пример 4. Процесс гибели и размножения представлен графом (рис. 5). Найти предельные вероятности состояний.

Решение. По формуле (16) найдем

т.е. в установившемся, стационарном режиме в среднем 70,6% времени система будет находиться в состоянии , 17,6% — в состоянии и 11,8% — в состоянии .

Важнейшими характеристиками поведения системы являются вероятности состояний системы.

Физическая система S со множеством состояний S₁,S₂. S_i. S_j. S_n в любой момент времени t может быть в одном из этих состояний с вероятностями

которые называются вероятностями состояний системы. Здесь P_i(t) при i= 1,2. n - вероятность того, что система S находится в состоянии S_i в момент времени t, т.е.

Сумма всех вероятностей состояний системы для любого момента времени равна единице:

Совокупность вероятностей состояний (66) не является исчерпывающей характеристикой процесса. Полное представление о случайном процессе в системе дают зависимости от времени вероятностей состояний системы, которые могут быть получены из решения системы линейных дифференциальных уравнений.

Дифференциальные уравнения вероятностей состояний

Дифференциальные уравнения вероятностей состояний системы в общем случае (уравнения Колмогорова) имеют вид

Интенсивности потоков l_ij(t) могут быть зависящими от времени и не зависящими от него.

Дифференциальные уравнения составляют по размеченному графу состояний системы (рис. 36) и следующему правилу. Производная вероятности каждого состояния равна сумме всех потоков вероятности, идущих из других состояний в данное, минус сумма всех потоков вероятности, идущих из данного состояния в другие. Рис. 36. Граф. состояний

Потоком вероятности перехода объекта:

системы из состояния S_i в состояние Sp - работоспособное сос-

S_j называется величина l_ij(t)P_i. тояние объекта (системы);

Отсюда дифференциальные ура- Sн - неработоспособное

внения: состояние объекта

где w - интенсивность потока отказов; m - интенсивность потока восстановлений.

Сумма всех вероятностей состояний объекта для любого момента времени равна единице, т.е. K(t)+k(t)=1.

Общее решение дифференциального уравнения (67) вероятности работоспособного состояния объекта называется функцией готовности и имеет вид

Общее решение дифференциального уравнения (67) вероятности неработоспособного состояния объекта называется функцией простоя и имеет вид:

Произвольная постоянная С определяется из начальных условий, зависящих от того, работоспособен или неработоспособен объект в момент времени t=0:

К_р(0)=1; k_р(0)=0 - при работоспособном состоянии объекта,

К_н(0)=0; k_н(0)=1 - при неработоспособном состоянии объекта.

Готовность объекта

Функция готовности объекта

Функция готовности определяет вероятность работоспособного состояния объекта в произвольный момент времени.

Эта функция является решением дифференциального уравнения вероятности работоспособного состояния объекта:

- для работоспособного состояния объекта в момент времени t=0 из уравнения (69) находим К_р(0)=1 и С= , а функция готовности примет вид (рис. 37)

- для неработоспособного состояния объекта в момент времени t=0, K_н(0)=0 и из формулы (69) находим C= , а функция готовности примет вид (см. рис. 37)

Функция готовности слагается из двух составляющих - переходной и установившейся (постоянной).

Установившееся значение функции готовности, являющееся асимптотой, называется коэффициентом готовности и не зависит от состояния объекта в начальный момент времени. Иначе функцию готовности называют нестационарным коэффициентом готовности.

Рис. 37. Функция готовности

Функция готовности зависит и от показателя w - безотказности, и от показателя m - восстанавливаемости объекта. Значит, функция готовности является комплексным показателем надежности, характеризующим два свойства - безотказность и восстанавливаемость (ремонтопригодность).

Функция простоя

Функция простоя определяет вероятность неработоспособного состояния объекта в произвольный момент времени. Эта функция - решение дифференциального уравнения вероятности неработоспособного состояния объекта:

- для работоспособного состояния объекта в момент t=0 и k_p(t)=0 из формулы (70) находим C= , а функция простоя примет вид (рис. 38)

Рис. 38. Функция простоя

- для неработоспособного состояния объекта в момент t=0 и k_н(0)=1 из формулы (28) находим С= , а функция простоя примет вид (см. рис. 38)

Функция простоя слагается из двух составляющих - переходной и установившейся (постоянной).

Установившееся значение функции простоя, являющееся асимптотой, называется коэффициентом простоя и не зависит от состояния объекта в начальный момент времени. Иначе функция простоя называется нестационарным коэффициентом простоя.

Функция простоя зависит и от показателя w - безотказности, и от показателя m - восстанавливаемости объекта. Таким образом, функция простоя является комплексным показателем надежности, характеризующим два свойства - безотказность и восстанавливаемость (ремонтопригодность).

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого.

Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим.

Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰).

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций.

Читайте также: