Операционный метод решения дифференциальных уравнений и систем реферат

Обновлено: 04.07.2024

* Данная работа не является научным трудом, не является выпускной квалификационной работой и представляет собой результат обработки, структурирования и форматирования собранной информации, предназначенной для использования в качестве источника материала при самостоятельной подготовки учебных работ.

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

При решении многих задач требуется найти функции y₁=y₁(x), y₂=y₂(x),…, y_n=y_n(x), которые удовлетворяют системе дифференциальных уравнений, содержащих аргумент x, искомые функции y₁, y₂,,…, y_n и их производные.

Рассмотрим систему уравнений первого порядка:

где y₁, y₂,,…, y_n – искомые функции, x – аргумент.

Такая система, когда в левой части уравнений стоят производные первого порядка, а правые части не содержат производных, называется нормальной.

Проинтегрировать систему – значит определить функции y₁, y₂,,…,y_n, удовлетворяющие системе уравнений (1) и данным начальным условиям:

Продолжая далее, таким же образом получим, наконец, уравнение

Итак, мы получаем следующую систему:

как функции от x, C₁, C₂,,…,C_n.

Подставляя эти функции в уравнение (4), определяем y₂, y₃,,…,y_n:

Для того, чтобы полученное решение удовлетворяло заданным начальным условиям (2), остается лишь найти из уравнений (6) и (7) соответствующие значения постоянных C₁, C₂,,…,C_n (подобно тому, как это делалось в случае одного дифференциального уравнения).

Замечание 1. Если система (1) линейна относительно искомых функций, то и уравнение (5) будет линейным.

Замечание 2. В приведенных рассуждениях мы предполагали, что из первых n-1 уравнений системы (3) можно определить функции y₂, y₃,,…,y_n. Может случиться, что переменные y₂,y₃,,…,y_n исключаются не из n, а из меньшего числа уравнений. Тогда для определения y мы получим уравнение, порядок которого ниже n.

В дифференциальные уравнения системы могут входить производные высших порядков. В этом случае получается система дифференциальных уравнений высших порядков.

Так, например, задача о движении материальной точки под действием силы F сводится к системе трех дифференциальных уравнений второго порядка. Пусть F_x, F_y, F_z – проекции силы F на оси координат. Положение точки в любой момент времени t определяется ее координатами x, y, z. Следовательно, x, y, z являются функциями от t. Проекция вектора скорости точки на оси координат будут

Предположим, что сила F, а следовательно, и ее проекции F_x, F_y, F_z зависят от времени t, положения x, y, z точки и от скорости движения точки, т.е. от

Искомыми функциями в этой задаче являются три функции:

x=x(t), y=y(t), z=z(t).

Эти функции определяются из уравнений динамики (закон Ньютона):

Получили систему трех дифференциальных уравнений второго порядка. В случае плоского движения, т.е. движения, когда траекторией является плоская кривая (лежащая, например, в плоскости Oxy), получаем систему двух уравнений для определения функций x(t) и y(t):

Решать систему дифференциальных уравнений высших порядков можно путем сведения ее к системе уравнений первого порядка. На примере уравнений (9) и (10) покажем, как это делается. Введем обозначения:

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Пусть мы имеем систему дифференциальных уравнений

где коэффициенты a_ij суть постоянные. Здесь t – аргумент, x₁(t), x₂(t),…x_n(t) – искомые функции. Система (1) называется системой линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Эту систему можно решить путем сведения к одному уравнению n-го порядка, которое в данном случае будет линейным. Но можно решать систему (1) и другим методом, не сводя к уравнению n-го порядка. Этот метод дает возможность более наглядно анализировать характер решений.

Будем искать частное решение системы в следующем виде:

Требуется определить постоянные ₁,₂,,…,_n и k так, чтобы функции ₁e kt , ₂e kt ,…,_ne kt удовлетворяли системе уравнений (1). Подставляя их в систему (1), получим:

Таким образом, нетривиальные решения (2) мы получим только при таких k, при которых определитель (4) обращается в нуль. Мы приходим к уравнению n-го порядка для определения k:

Это уравнение называется характеристическим уравнением для системы (1), его корни называются корнями характеристического уравнения.

Рассмотрим несколько случаев.

Корни характеристического уравнения действительные и различные.

Обозначим через k₁, k₂,,…,k_n корни характеристического уравнения. Для каждого корня k_i напишем систему (3) и определим коэффициенты

Можно показать, что один из них произвольный, его можно считать равным единице. Таким образом, получаем:

для корня k₁ решение системы (1):

Путем непосредственной подстановки в уравнения, можно убедиться, что система функций

Этим корням будут соответствовать решения

Снова ищем решение в форме

Подставляя эти выражения в систему (10) и сокращая на e kt , получаем систему уравнений для определения , и k:

Это есть характеристическое уравнение для системы (10); оно является уравнением 4-го порядка относительно k. Пусть k₁, k₂, k₃ и k₄ – его корни (предполагаем, что корни различны). Для каждого корня k_i из системы (11) находим значения и . Общее решение, аналогично (6), будет иметь вид

Операционное исчисление в настоящее время стало одной из важнейших глав практического математического анализа. Операционный метод непосредственно используется при решении обыкновенных дифференциальных уравнений и систем таких уравнений; его можно использовать и при решении дифференциальных уравнений в частных производных.
Основателями символического (операционного) исчисления считают русских ученых М. Е. Ващенко – Захарченко и А. В. Летникова.

Содержание

Введение 3
§1. Оригиналы и изображения функций по Лапласу 5
§2. Основные теоремы операционного исчисления 8
2.1 Свертка оригиналов. 8
2.1 Свойство линейности. 9
2.2 Теорема подобия. 9
2.3 Теорема запаздывания. 10
2.4 Теорема смещения. 10
2.5 Теорема упреждения. 11
2.6 Умножение оригиналов 11
2.7 Дифференцирование оригинала 11
2.8 Дифференцирование изображения 12
2.9 Интегрирование оригинала 12
2.10 Интегрирование изображения 13
§3. Изображения простейших функций 13
§4. Отыскание оригинала по изображению 15
4.1 Разложение на простейшие дроби. 15
4.2. Первая теорема разложения 16
§5 Решение задачи Коши для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 1

Вложенные файлы: 1 файл

Решение систем дифференциальных уравнений при помощи операционного исчисления.doc

Министерство высшего и среднего специального образования Республики Узбекистан

Бухарский Инженерно-технический институт

Тема: Решение систем дифференциальных уравнений при помощи операционного исчисления

Выполнил: ст. гр. 25-11 ЕСМТ Аппазов Энвер

Принял: доц. Рахманов Каим Киямович

Бухара – 2012 год

§1. Оригиналы и изображения функций по Лапласу 5

§2. Основные теоремы операционного исчисления 8

2.1 Свертка оригиналов. 8

2.1 Свойство линейности. 9

2.2 Теорема подобия. 9

2.3 Теорема запаздывания. 10

2.4 Теорема смещения. 10

2.5 Теорема упреждения. 11

2.6 Умножение оригиналов 11

2.7 Дифференцирование оригинала 11

2.8 Дифференцирование изображения 12

2.9 Интегрирование оригинала 12

2.10 Интегрирование изображения 13

§3. Изображения простейших функций 13

§4. Отыскание оригинала по изображению 15

4.1 Разложение на простейшие дроби. 15

4.2. Первая теорема разложения 16

§5 Решение задачи Коши для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 18

Введение

Основателями символического (операционного) исчисления считают русских ученых М. Е. Ващенко – Захарченко и А. В. Летникова.

Операционное исчисление обратило на себя внимание после того, как английский инженер-электрик Хевисайд, используя символическое исчисление, получил ряд важных результатов. Но недоверие к символическому исчислению сохранялось до тех пор, пока Джорджи, Бромвич, Карсон, А. М. Эфрос, А. И. Лурье, В. А. Диткин и другие не установили связи операционного исчисления с интегральными преобразованиями.

Идея решения дифференциального уравнения операционным методом состоит в том, что от дифференциального уравнения относительно искомой функции-оригинала f(t) переходят к уравнению относительно другой функции F(p), называемой изображением f(t). Полученное (операционное) уравнение обычно уже алгебраическое (значит более простое по сравнению с исходным). Решая его относительно изображения F(p) и переходя затем к соответствующему оригиналу, находят искомое решение данного дифференциального уравнения.

Операционный метод решения дифференциальных уравнений можно сравнить с вычислением различных выражений при помощи логарифмов, когда, например, при умножении вычисления ведутся не над самими числами, а над их логарифмами, что приводит к замене умножения более простой операцией – сложением.

Так же как и при логарифмировании, при использовании операционного метода нужны:

таблица оригиналов и соответствующих им изображений;
знание правил выполнения операций над изображением, соответствующих действиям, производимым над оригиналом.

§1. Оригиналы и изображения функций по Лапласу

Определение 1. Будем действительную функцию действительного аргумента f(t) называть оригиналом, если она удовлетворяет трем требованиям:

1) f (t) º 0 , при t 0 , где M > 0, s₀ ³ 0 — некоторые действительные постоянные, s₀ называют показателем роста функции f(t).

3) На любом конечном отрезке [a, b] положительной полуоси Ot функция f(t) удовлетворяет условиям Дирихле, т.е.

b) либо непрерывна, либо имеет лишь конечное число точек разрыва I рода,

c) имеет конечное число экстремумов.

Функции, удовлетворяющие этим трем требованиям, называются в операционном исчислении изображаемыми по Лапласу или оригиналами.

Простейшим оригиналом является единичная функция Хевисайда

Если функция удовлетворяет условию 2 и не удовлетворяет 1, то произведение будет удовлетворять и условию 1, т.е. будет оригиналом. Для упрощения записи будем, как правило, множитель H (t) опускать, считая, что все рассматриваемые функции равны нулю при отрицательных значениях t.

Интегралом Лапласа для оригинала f(t) называется несобственный интеграл вида

где – комплексный параметр.

Интеграл Лапласа абсолютно сходится в полуплоскости (то есть изображение F(p) заведомо определено при ), где s₀ – показатель роста f (t).

, но по свойству модулей .

Заметим, что по определению оригинала

Вычислим этот интеграл:

То есть получаем что F(p) существует при

Замечание. Из доказательства теоремы следует оценка:

Определение 2. Изображением по Лапласу функции f (t) называется функция комплексного переменного p = s + iσ, определяемая соотношением

Тот факт, что функция F(t) является изображением оригинала f (t), символически это записывается так:

§2. Основные теоремы операционного исчисления

2.1 Свертка оригиналов.

Сверткой оригиналов и называется функция

Функции f (t) и g(t) называются компонентами свертки.

Найдем для примера свертку произвольного оригинала и единичной функции Имеем .

Теорема 1. Если и , то

Действительно, по определению интеграла Лапласа имеем

Воспользуемся определением свертки:

Изменив порядок интегрирования в двойном интеграле, получим

Введем вместо t новую переменную . Тогда

что и требовалось доказать. ▲

Свойство линейности.

Для любых комплексных постоянных a и b:

Это свойство вытекает из свойства линейности интеграла.

Домножим равенство на α:

Так как , то , то есть

2.2 Теорема подобия.

Для любого постоянного a > 0:

Умножение аргумента оригинала на положительное число a приводит к делению изображения и его аргумента на это число a.

Положим αt=u. Тогда .

Таким образом, при t=0 получаем u=0, при получаем и

2.3 Теорема запаздывания.

Таким образом, запаздывание аргумента оригинала на положительную величину t приводит к умножению изображения оригинала без запаздывания F(p) на e -pt .

2.4 Теорема смещения.

Для a >0 имеет место соотношение:

Из определения изображения имеем:

2.5 Теорема упреждения.

При а > 0 имеет место соотношение:

2.6 Умножение оригиналов

2.7 Дифференцирование оригинала

Если и – оригиналы и , то

В самом деле, исходя из формулы Ньютона – Лейбница, в силу (2.1.1) будем иметь

Тогда по теореме 1

Отсюда , что и требовалось доказать.

Применив формулу (2.7.1) дважды, получим

и т.д. В частности, если , то , т.е. в этом случае дифференцирование оригинала сводится к умножению его изображения на p.

2.8 Дифференцирование изображения

Если , то , то есть умножению оригинала на (-t) соответствует производная от изображения F(p).

Путем последовательного дифференцирования по параметру p равенства получим:

2.9 Интегрирование оригинала

Если , то , то есть интегрированию оригинала в пределах от 0 до t соответствует деление изображения на р.

Если f(t) принадлежит множеству оригиналов, то и будет принадлежать множеству оригиналов.

Пусть и . Из видно, что

Применим свойство дифференцирования оригинала к , и в силу последних двух равенств получим

Но, по условию теоремы, . Следовательно, или .

А отсюда и из соотношений и следует, что .

2.10 Интегрирование изображения

Если и принадлежит множеству оригиналов, то .

§3. Изображения простейших функций

Единичная функция Хевисайда.

Так как при , то .

Для функции Хевисайда с запаздывающим аргументом по теореме запаздывания получим

Экспонента. По теореме смещения

Гиперболические и тригонометрические функции.

В силу линейности преобразования Лапласа имеем

Степенная функция с натуральным показателем.

Положим , где . Тогда при

Полученные с помощью формулы (1) изображения некоторых функций сведены в таблицу (см. приложение). Ее можно использовать для нахождения изображений функций.

§4. Отыскание оригинала по изображению

Для нахождения оригинала f(t) по известному изображению F(p) нужно использовать формулы обращения Римана-Меллина

Если функция f(t) является оригиналом, т.е. удовлетворяет условиям 1-3 определения 1 и F(p) служит ее изображением, то в любой точке своей непрерывности функция f(t) равна:

Формула обращения Римана-Меллина дает выражение оригинала f(t) через изображение F(p), причем α – произвольное число, удовлетворяющее неравенству α>s₀.

Вычисление оригинала по формуле Римана-Меллина довольно трудоёмко, поэтому на практике при решении задач применяют другие методы, которые рассматриваются ниже.

4.1 Разложение на простейшие дроби.

Если есть дробно-рациональная функция, причем степень числителя A(p) меньше степени знаменателя B(p), то эту дробь разлагают на сумму простых дробей и находят оригиналы для каждой простой дроби либо непосредственно по формуле (1), либо по таблице (см. приложение).

Рассмотрим задачу, наиболее часто встречающуюся в теории дифференциальных уравнений, — задачу Коши для линейных дифференциальных уравнений и систем.

а) линейное обыкновенное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

где — порядок дифференциального уравнения; — заданные коэффициенты; — заданная функция;

б) начальные условия:

Требуется найти решение дифференциального уравнения, которое удовлетворяет начальным условиям (решить задачу Коши (5.24),(5.25)).

Замечание 5.6. Переменная

а) система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами, записанная в нормальной форме:

где — вектор неизвестных; матрица коэффициентов; — заданная вектор-функция;

б) начальные условия (где — вектор начальных значений):

Требуется найти решение системы, которое удовлетворяет начальным условиям (решение задачи Коши (5.26),(5.27)).

Во многих учебниках изложены классические аналитические и численные методы решения задачи Коши. Здесь будем предполагать, что заданная функция и искомая функция принадлежат классу оригиналов. Для решения задач (5.24),(5.25) и (5.26),(5.27) можно применить аппарат операционного исчисления метода решения задач, суть которого состоит в следующем.

Поставленная в классе оригиналов задача переводится с помощью преобразования Лапласа в задачу для изображений. Эта задача решается, и определяете изображение искомой функции. Затем применяется обратное преобразование Лапласа и находится оригинал — решение поставленной задачи.

Алгоритм решения задачи Коши операционным методом

1. Применить преобразование Лапласа: от известных и неизвестных функций перейти к их изображениям, записать уравнение (систему) в изображениях, соответствующее решаемой задаче Коши.

2. Решить полученное уравнение (систему): найти изображение искомого решения.

3. Применить обратное преобразование Лапласа: найти оригинал для полученного в п.2 изображения.

1. Преимущество операционного метода заключается в том, что при его применении функции из пространства оригиналов и производимые над ними операции заменяются функциями и операциями в пространстве изображений, которые оказываются более простыми. Так, вместо дифференциальных уравнений решаются алгебраические уравнения (рис. 5.8).

2. Начальные условия при записи уравнений в изображениях учитываются автоматически, и нет необходимости решать систему для нахождения произвольных постоянных, как это делается при применении классического метода.

3. Операционное исчисление позволяет найти не только частное, но и общее решение уравнения (5.24). Для этого достаточно положить . При нахождении общего решения системы (5.26) следует принять .

4. Операционное исчисление можно применять для широкого класса кусочно-непрерывных функций и функций, заданных графически; для решения уравнений с переменными коэффициентами, уравнений в частных производных, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений; для вычисления несобственных интегралов и суммирования рядов.

5. При решении уравнения (системы) для изображений не следует приводить дроби к общему знаменателю, так как следующий этап — нахождение оригинала — связан с представлением дробей в виде суммы.

Пример 5.30. Решить задачи Коши: а) ; б) .

а) Воспользуемся алгоритмом.

1. Перейдем от оригиналов к изображениям:

Здесь использованы формулы (5.11) и 1 из табл. 5.1. Запишем уравнение для изображений:

2. Решим уравнение для изображений:

3. Найдем оригинал для функции . Применяя формулы 15,6 из табл. 5.1, получаем:

б) Воспользуемся алгоритмом.

1. Перейдем от оригиналов к изображениям:

Здесь использованы формулы 3,2 из табл. 5.1. и (5.11). Запишем уравнение для изображений:

Решим уравнение для изображений: .

3. Найдем оригинал для функции . Применяя формулы 18,15 из табл. 5.1, получаем

Пример 5.31. Решить задачу Коши: .

1. Перейдем от оригиналов к изображениям:

Запишем уравнение для изображений:

2. Решим уравнение для изображений:

3. Найдем оригинал для функции .

Пример 5.32. Решить задачу Коши методами операционного исчисления

1. Перейдем от оригиналов к изображениям:

Запишем уравнение для изображений: .

2. Решим уравнение для изображений:

3. Применяя формулы 10,9,8 из табл. 5.1, найдем оригинал для функции

а) Воспользуемся алгоритмом.

1. Перейдем от оригиналов к изображениям:

Запишем уравнение для изображений: .

2. Решим уравнение для изображений:

3. Применяя формулы 1,9 из табл. 5.1, найдем оригинал для функции .

б) Решим вторую задачу, пользуясь алгоритмом.

1. Перейдем от оригиналов к изображениям:

Запишем уравнение для изображений:

2. Решим уравнение для изображений: .

3. Найдем оригинал для функции .

Пример 5.34. Решить задачу Коши: .

1. Перейдем от оригиналов к изображениям:

Запишем уравнение для изображений:

2. Решим уравнение для изображений:

3. По формулам 7, 6 из табл. 5.1 найдем оригинал для функции .

Пример 5.35. Решить систему ДУ: операционным методом.

1. Перейдем от оригиналов к изображениям:

Запишем систему уравнений для изображений:

2. Решим систему уравнений для изображений. Из первого уравнения выразим

и подставим во второе: . Отсюда имеем

Разложим каждое слагаемое на элементарные дроби:

3. По формулам 6, 2, 3, 15, 16 из табл. 5.1 найдем оригиналы для функций и

Пример 5.36. Решить задачу Коши: .

1. Перейдем от оригиналов к изображениям:

Запишем систему уравнений для изображений:

2. Решим систему уравнений для изображений.

Умножим второе уравнение на , а из первого выразим

Из второго уравнения системы

Представим второе слагаемое в виде

где — неопределенные коэффициенты. Отсюда находим .

При последовательно получаем

3. По формулам 15,2,6,7 из табл. 5.1 найдем оригиналы для функций и

Пример 5.37. Решить задачу Коши: .

Перейдем от оригиналов к изображениям:

Запишем систему уравнений для изображений:

2. Решим систему уравнений для изображений. Для этого умножим первое уравнение на и подставим во второе:

3. По формулам 8, 2, 9 из табл. 5.1 найдем оригиналы для функций и

Замечание 5.8. Во многих практических задачах правая часть дифференциального уравнения задается графически. В этом случае алгоритм решения задачи не изменяется, а для нахождения изображения оригинала, заданного графиком, используются методы, изложенные в разд. 5.1.3.

Пример 5.38. Решить задачу Коши: , где — функция, изображенная на рис. 5.9 (а).

1. Перейдем от оригиналов к изображениям:

Функцию можно записать в форме . Ее изображение находится по свойству запаздывания: .

Запишем уравнение для изображений: .

2. Решим уравнение для изображений: .

3. Найдем оригинал для функции . Первому слагаемому по формуле 15 из табл. 5.1 соответствует оригинал . Оригинал для второго слагаемого находится по теореме запаздывания (5.9):

Пример 5.39. Решить задачу Коши: , где — функция, изображенная на рис. 5.9 (б).

1. Перейдем от оригиналов к изображениям:

Так как функцию можно записать в виде

то по формуле 9 из табл. 5.1 и по теореме запаздывания находим соответствующее изображение:

Запишем уравнение для изображений: .

2. Решим уравнение для изображений: .

3. Найдем оригинал для функции по формуле 10 из табл. 5.1 и с учетом теоремы запаздывания (5.9):

Пример 5.40. Решить задачу Коши: , где — функция, изображенная на рис. 5.5 (з).

1. Аналогично примеру 5.39 перейдем от оригиналов к изображениям:

Согласно результату примера 5.22,п."з": .

Запишем уравнение для изображений: .

2. Решим уравнение для изображений:

3. Найдем оригинал для функции . Так как

Пример 5.41. Решить задачу Коши: , где — функция, изображенная на рис. 5.5 ( и ).

1. Перейдем от оригиналов к изображениям:

Согласно результату примера 5.22 п."и" .

Запишем уравнение для изображений:

2. Решим уравнение для изображений:

3. Найдем оригинал для функции . По формуле 17 из табл. 5.1 с учетом теоремы запаздывания (5.9) получаем

Пример 5.42. Решить задачу Коши: , где — функция, изображенная на рис. 5.5,г.

1. Перейдем от оригиналов к изображениям:

Согласно результату примера 5.22,г . Запишем уравнение для изображений:

2. Решим уравнение для изображений:

3. Найдем оригинал для функции . Заметим, что .

Согласно формулам 8, 3 из табл. 5.1 этому изображению соответствует оригинал . Раскрывая скобки во втором слагаемом и при меняя теорему запаздывания при , получаем:

Применение интеграла Дюамеля и теоремы Бореля

Рассмотрим задачу решения дифференциального уравнения (5.24) с нулевыми начальными условиями:

Рассмотрим два способа ее решения, применение которых не требует нахождения изображения правой части дифференциального уравнения.

Первый способ. Наряду с уравнением (5.24) рассмотрим уравнение, получающееся из него при , с нулевыми начальными условиями, т.е.

Решением уравнения (5.29) является функция , которая называется единичной переходной функцией.

Применим к задачам (5.24), (5.28) и (5.29) алгоритм решения задачи Коши, описанный в данном разделе.

Перейдем от оригиналов к изображениям:

Так как начальные условия нулевые, то . В результате получаем уравнения в изображениях, соответствующие уравнениям (5.24) и (5.29):

Исключая , находим . Используя интеграл Дюамеля (5.17), можно найти оригинал

Так как в силу (5.29) , то окончательно получаем

На основании (5.30) можно сформулировать алгоритм решения задачи Коши:

Алгоритм решения задачи Коши (5.31) с помощью единичной переходной функции

1. Найти единичную переходную функцию , решая задачу (5.29). Для этого можно применить операционное исчисление или другие методы.

2. Найти производную единичной переходной функции.

3. Определить решение задачи (5.31) по формуле (5.30).

Второй способ. В качестве вспомогательного уравнения для решения задачи (5.24),(5.28) рассмотрим уравнение с правой частью (см. пример 5.10) и нулевыми начальными условиями, т.е.

Решением уравнения (5.32) является функция , которая называется импульсной переходной функцией.

Рассмотрим решение задач Коши (5.31) и (5.32) с помощью преобразования Лапласа. Перейдем от оригиналов к изображениям:

Так как начальные условия нулевые, то

В результате получаем , где . Отсюда находим изображение искомого решения . Согласно теореме Бореля можно найти оригинал по формуле (5.16):

Заметим, что между переходными функциями, как следует из сравнения (5.30) и (5.33), имеется связь:

На основании формулы (5.33) можно сформулировать алгоритм решения задачи (5.31).

Алгоритм решения задачи Коши (5.31) с помощью импульсной переходной функции

Найти импульсную переходную функцию, решая задачу Коши (5.32). Для этого можно применить операционное исчисление или другие методы [45].

По формуле (5.33) найти решение задачи Коши (5.31).

Пример 5.43. Решить задачу Коши: .

1. Составим уравнение (5.29) для единичной переходной функции и решим его, применяя операционное исчисление:

2. Найдем производную единичной переходной функции: .

3. По формуле (5.30) при имеем

1. Составим уравнение (5.32) для импульсной переходной функции и решим его:

2. По формуле (5.33) при имеем

Пример 5.44. Решить задачу Коши: .

Применим алгоритм решения задачи Коши с помощью единичной переходной функции.

1. Составим уравнение для нахождения единичной переходной функции и решим его:

2. Найдем производную от единичной переходной функции: .

3. По формуле (5.30) при получаем

Пример 5.45. Решить задачу Коши: .

Применим алгоритм решения задачи Коши с помощью импульсной переходной функции.

1. Составим уравнение для импульсной переходной функции и решим его:

2. По формуле (5.33) имеем

Замечание 5.9. При решении прикладных задач, в частности задачи анализа выходных процессов линейных динамических систем, возникает необходимость в решении задачи, более общей по сравнению с (5.24), (5.25), где правая часть представляет собой линейный дифференциальный оператор над некоторой функцией:

Здесь — заданная функция; — постоянные коэффициенты; и ), равен сумме эффектов каждого из факторов в отдельности.

Алгоритм решения задачи Коши с помощью принципа суперпозиции

1. Найти решение однородного уравнения (при ), соответствующего уравнению (5.35) с заданными начальными условиями:

Для этого может применяться как операционное исчисление, так и другие методы Полученное решение называется свободным движением и обозначается . Оно характеризует влияние начальных условий. Если начальные условия нулевые, свободное движение отсутствует, т.е. .

2. Найти решение неоднородного уравнения с нулевыми начальными условиями:

Полученное решение называется вынужденным движением и обозначается . Оно характеризует влияние функции . Для его нахождения следует:

а) найти импульсную переходную функцию для уравнения . Для этого решить задачу (5.32) с применением операционного исчисления:

б) найти импульсную переходную функцию для уравнения по формуле

в) найти вынужденное движение по формуле, аналогичной (5.33):

3. Найти решение задачи (5.35) в виде суммы свободного и вынужденного движений:

Пример 5.46. Найти решение задачи: .

Решим задачу, используя алгоритм.

1. Найдем решение уравнения (5.36): . Так как начальные условия нулевые, то, очевидно, .

2. Найдем решение уравнения (5.37): . Для этого:

а) найдем импульсную переходную функцию для уравнения , решая уравнение (5.38):

Из п.1 примера 5.45 следует, что ;

б) по формуле (5.39) определим импульсную переходную функцию:

в) по формуле (5.40) имеем

3. Решение задачи получается по формуле (5.41): .

Пример 5.47. Найти решение задачи: .

Решим задачу, используя алгоритм.

1. Найдем свободное движение как решение уравнения (5.36):

Согласно результату примера 5.33, пункт "б", .

2. Найдем вынужденное движение как решение уравнения (5.37):

а) найдем импульсную переходную функцию для уравнения , то есть решим уравнение (5.38):

Операционный метод позволяет просто решать линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, в правых частях которых стоят оригиналы. Оператор Лапласа применяется к обеим частям такого уравнения, после чего получается линейное алгебраическое уравнение относительно изображения неизвестной функции.

Пусть требуется найти частное решение линейного дифференциального уравнения, например, второго порядка с постоянными коэффициентами:

удовлетворяющее начальным условиям

(Для уравнений более высоких порядков решение аналогично.)

Будем считать, что искомая функция вместе с ее производными и функция являются оригиналами. Пусть . Используя теорему о дифференцировании оригинала, находим изображения производных, входящих в уравнение:

Далее, пусть для правой части уравнения изображением будет . Тогда, применяя преобразование Лапласа к обеим частям уравнения и пользуясь свойством линейности изображения, получим операторное (или изображающее) уравнение:

Это уравнение является линейным уравнением относительно неизвестной функции . Из него находим

Наконец по изображению восстанавливаем оригинал , который в силу теоремы единственности оригинала и является частным решением заданного уравнения.

Аналогично применяется операционный метод для решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Примеры.

1. Используя операционное исчисление, найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

Решение. Пусть , тогда , кроме того . Таким образом, применяя преобразование Лапласа к обеим частям уравнения, приходим к операторному уравнению

Выразим из полученного уравнения функцию :

Представим эту рациональную дробь как сумму простейших дробей:

Итак, . Следовательно, решением заданного дифференциального уравнения будет функция, которая является оригиналом для полученного изображения:

2. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .

Решение. Пусть . Тогда

Подставляя эти выражения в дифференциальное уравнение, получаем операторное уравнение:

Методом неопределенных коэффициентов найдем разложение этой дроби в сумму простейших дробей.

Таким образом, . Следовательно, частное решение данного дифференциального уравнения будет

3. Решить задачу Коши , где функция задана графически на рисунке.

Решение. Пусть . Тогда . Найдем изображение функции , воспользовавшись теоремой запаздывания. Зададим аналитически, используя единичную функцию Хевисайда:

Операторное уравнение принимает вид

Находим из него неизвестное изображение :

Разложим дробь в сумму простейших дробей.

(При разложении можно использовать метод неопределенных коэффициентов.) Следовательно,

Еще раз используя теорему запаздывания, найдем искомое решение дифференциального уравнения:

4.Операционным методом решить систему линейных дифференциальных уравнений

Решение. Пусть , . Тогда , и . Система операторных уравнений принимает вид

Получили систему линейных алгебраических уравнений относительно изображений и . Для ее решения используем метод Крамера.

Таким образом, решением системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющим заданным начальным условиям являются функции , .

5.Операционным методом решить систему линейных дифференциальных уравнений

Решение. Перейдем к изображениям искомых функций:

Тогда система операторных уравнений будет иметь вид

Решим полученную систему методом Крамера.

Выпишем изображения искомых функций:

Используя метод неопределенных коэффициентов, восстановим оригиналы.

Таким образом, решением системы уравнений являются функции , .

Читайте также: