Обратные тригонометрические функции реферат

Обновлено: 02.07.2024

Глава I. Определение обратных тригонометрических функций.

1.1. Функция у = arcsin x ……………………………………………………. 4

1.2. Функция у = arccos x ……………………………………………………. 5

1.3. Функция у = arctg x ………………………………………………………….6

1.4. Функция у = arcctg x ……………………………………………………. 7

Глава II. Решение уравнений с обратными тригонометрическими функциями.

2.1. Основные соотношения для обратных тригонометрических функций….8

2.2. Решение уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции……………………………………………………………………..11

2.3. Вычисление значений обратных тригонометрических функций…. 21

Список использованной литературы…………………………………………. 26

Во многих задачах встречается необходимость находить не только значения тригонометрических функций по данному углу, но и, обратно, угол или дугу по заданному значению какой-нибудь тригонометрической функции.

Задачи с обратными тригонометрическими функциями содержатся в заданиях ЕГЭ (особенно много в части В и С). Например, в части В Единого государственного экзамена требовалось по значению синуса (косинуса) найти соответствующее значение тангенса или вычислить значение выражения, содержащего табличные значения обратных тригонометрических функций. Относительно этого типа заданий заметим, что таких заданий в школьных учебниках недостаточно для формирования прочного навыка их выполнения.

Т.о. целью курсовой работы является рассмотреть обратные тригонометрические функции и их свойства, и научиться решат задачи с обратными тригонометрическими функциями.

Чтобы достичь цели, нам потребуется решить следующие задачи:

· Изучить теоретические основы обратных тригонометрических функций,

· Показать применение теоретических знаний на практике.

Глава I . Определение обратных тригонометрических функций

1.1. Функция у = arcsin x

Рассмотрим функцию , . (1)

В этом промежутке функция монотонна (возрастает от -1 до 1), следовательно, существует обратная функция

Каждому данному значению у (величины синуса) из промежутка [-1,1] соответствует одно вполне определенное значение х (величины дуги) из промежутка . Переходя к общепринятым обозначениям, получаем

Это и есть аналитическое задание функции, обратной функции (1). Функция (3) называется арксинусом аргумента . График этой функции – кривая, симметричная графику функции , где , относительно биссектрисы Iи IIIкоординатных углов.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Определение обратных тригонометрических функций………. 3

Формулы суммы и разности ………………………………………………. …4-5

Определение обратных тригонометрических функций.

Обратные тригонометрические функции (круговые функции, аркфункции) — математические функции, которые являются обратными к тригонометрическим функциям .

Поскольку тригонометрические функции периодичны, то обратные к ним функции не однозначны. Так, уравнение y = sin x , при заданном y (-1 y 1) , имеет бесконечно много корней. Действительно, в силу периодичности синуса, если x такой корень, то и x + 2πn (где n целое) тоже будет корнем уравнения. Таким образом, обратные тригонометрические функции многозначны . Чтобы с ними было проще работать, вводят понятие их главных значений. Рассмотрим, например, синус: y = sin x . Если ограничить аргумент x интервалом , то на нем функция y = sin x монотонно возрастает. Поэтому она имеет однозначную обратную функцию, которую называют арксинусом: x = arcsin y .

Обычно к тригонометрическим функциям относят 6 функций:

арксинус (обозначение: arcsin x ; arcsin x — это угол, sin которого равен x ),

арккосинус (обозначение: arccos x ; arccos x — это угол, косинус которого равняется x и так далее),

арктангенс (обозначение: arctg x или arctan x ),

арккотангенс (обозначение: arcctg x или arccot x или arccotan x ),

арксеканс (обозначение: arcsec x ),

арккосеканс (обозначение: arccosec x или arccsc x ).

Графики.

Графики обратных тригонометрических функций получаются из графиков тригонометрических функций зеркальным отражением относительно прямой y = x .

y = arcsin x y = arccos x

y = arctg x y = arcctg x

Основные формулы.

Здесь важно обратить внимание на интервалы, для которых справедливы формулы.

Глава I. Определение обратных тригонометрических функций.

1.1. Функция у = arcsin x ……………………………………………………. 4

1.2. Функция у = arccos x ……………………………………………………. 5

1.4. Функция у = arcctg x ……………………………………………………. 7

Глава II. Решение уравнений с обратными тригонометрическими функциями.

Основные соотношения для обратных тригонометрических функций….8

Решение уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции……………………………………………………………………..11

Вычисление значений обратных тригонометрических функций…. 21

Список использованной литературы…………………………………………. 26

Чтобы достичь цели, нам потребуется решить следующие задачи:

Изучить теоретические основы обратных тригонометрических функций,

Показать применение теоретических знаний на практике.

Глава I . Определение обратных тригонометрических функций

1.1. Функция у = arcsin x

Рассмотрим функцию , . (1)

В этом промежутке функция монотонна (возрастает от -1 до 1), следовательно, существует обратная функция

Это и есть аналитическое задание функции, обратной функции (1). Функция (3) называется арксинусом аргумента . График этой функции – кривая, симметричная графику функции , где , относительно биссектрисы I и III координатных углов.

Приведем свойства функции , где .

Свойство 1. Область изменения значений функции : .

Свойство 2. Функция – нечетная, т.е.

Свойство 3. Функция , где , имеет единственный корень .

Свойство 4. Если , то ; если , то .

Свойство 5. Функция монотонна: при возрастании аргумента от -1 до 1 значение функции возрастает от до .

1.2. Функция y = ar с cos x

Рассмотрим функцию , . (4)

В этом промежутке функция монотонна (убывает от +1 до -1), значит, для нее существует обратная функция

т.е. каждому значению (величины косинуса) из промежутка [-1,1] соответствует одно вполне определенное значение (величины дуги) из промежутка [0, ]. Переходя к общепринятым обозначениям, получаем

Это и есть аналитическое задание функции, обратной функции (4). Функция (6) называется арккосинусом аргумента х . График этой функции можно построить на основании свойств графиков взаимно обратных функций.

Функция , где , обладает следующими свойствами.

Свойство 1. Область изменения значений функции : .

Свойство 2. Величины и связаны соотношением

Свойство 3. Функция имеет единственный корень .

Свойство 4. Функция отрицательных значений не принимает.

Свойство 5. Функция монотонна: при возрастании аргумента от -1 до +1 значения функции убывают от до 0.

1.3. Функция y = arctgx

Рассмотрим функцию , . (7)

Отметим, что эта функция определена для всех значений , лежащих строго внутри промежутка от до ; на концах этого промежутка она не существует, так как значения - точки разрыва тангенса.

В промежутке функция монотонна (возрастает от - до ), следовательно, для функции (1) существует обратная функция:

т.е. каждому данному значению (величины тангенса) из промежутка соответствует одно вполне определенное значение (величины дуги) из промежутка .

Переходя к общепринятым обозначениям, получаем

Это и есть аналитическое задание функции, обратной (7). Функция (9) называется арктангенсом аргумента х . Отметим, что при значение функции , а при , т.е. график функции имеет две асимптоты: и .

Функция , , обладает следующими свойствами.

Свойство 1. Область изменения значений функции .

Свойство 2. Функция – нечетная, т.е. .

Свойство 3. Функция имеет единственный корень .

Свойство 4. Если , то ; если , то .

Свойство 5. Функция монотонна: при возрастании аргумента от до значения функции возрастают от до +.

1.4. Функция y = arcctgx

Рассмотрим функцию , . (10)

Эта функция определена для всех значений , лежащих внутри промежутка от 0 до ; на концах этого промежутка она не существует, поскольку значения и - точки разрыва котангенса. В промежутке (0, ) функция монотонна (убывает от до ), следовательно, для функции (1) существует обратная функция

т.е. каждому данному значению (величины котангенса) из промежутка ( ) соответствует одно вполне определенное значение (величины дуги) из промежутка (0, ). Переходя к общепринятым обозначениям, получаем

Это и есть аналитическое задание функции, обратной (10). Функция (12) называется арккотангенсом аргумента .

График функции имеет две асимптоты: и .

Функция , , обладает следующими свойствами.

Свойство 1. Область изменения значений функции: .

Свойство 2. Величины и связаны соотношением .

Свойство 3. Функция корней не имеет.

Свойство 4. Функция отрицательных значений не принимает.

Свойство 5. Функция монотонна: при возрастании от до значения функции убывают от до 0.

Глава II . Решение уравнений с обратными тригонометрическими функциями

Теория тригонометрических функций

функция

. , степенные, показательная и логарифмические функции, а также тригонометрические и обратные тригонометрические функции. К классу элементарных функций, кроме того, относят также .

Действительные числа Иррациональные и тригонометрический уравнения

. ́нкции (круговые функции, аркфункции) - математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций: аркси́нус .

Диалектика развития понятия функции в школьном курсе математики

. . Обратные тригонометрические функции. Основная цель – изучить свойства тригонометрических функций, научить учащихся строить их графики. Первой тригонометрической функцией .

Как возникло и развивалось понятие функции

. как в это уравнение входит обратная тригонометрическая функция, циклоида не является алгебраической . а также обозначения тригонометрических> обратных тригонометрических, показательных и логарифмических функций. Такие функции называли элементарными. Вскоре .

Простейшие элементарные функции: линейная, квадратичная, логарифмическая, тригонометрическая и показательная. График квадратичной функции - парабола. Область определения - множество R всех действительных чисел. Обратные тригонометрические функции.

Рубрика	Математика
Вид	реферат
Язык	русский
Дата добавления	27.11.2014
Размер файла	49,1 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Подобные документы

Классификация основных элементарных функций: степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические. Определение и простейшие свойства линейной и квадратичной функции. Понятие обратной пропорциональной зависимости.

презентация [1,0 M], добавлен 29.10.2015

Элементарные функции, их анализ. Линейная функция. Квадратичная функция. Степенная функция. Показательная функция (экспонента). Логарифмическая функция. Тригонометрическая функция: синус, косинус, тангенс, котангенс. Обратная функция: аrcsin x, аrctg x.

реферат [325,7 K], добавлен 17.02.2008

Общие сведения об элементарных функциях. Схема исследования функции и построения ее графика. Линейная, степенная, показательная, логарифмическая и тригонометрические функции. Простейшие преобразования графиков: параллельный перенос, деформация, отражение.

курсовая работа [910,5 K], добавлен 16.10.2011

Углы и их измерение, тригонометрические функции острого угла. Свойства и знаки тригонометрических функций. Четные и нечетные функции. Обратные тригонометрические функции. Решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств с помощью формул.

учебное пособие [876,9 K], добавлен 30.12.2009

Интегрирование выражений, зависящих от тригонометрических функций. Интегрирование рациональной функции от тригонометрической и алгебраических иррациональностей. Тригонометрические подстановки для интегралов, не выражающихся через элементарные функции.

Читайте также: