Роль аналогии в процессе изучения многозначных чисел реферат

Обновлено: 30.06.2024

В практике обучения аналогия используется, как правило, на интуитивной основе, как некоторого вида сходство между двумя объектами. Это нередко приводит к ошибочным заключениям об изучаемом объекте. В статье используется подход к осмыслению и трактовке аналогия задач, уточняющий традиционный, а именно: две задачи считаются аналогичными относительно некоторого набора S свойств, если искомые этих задач обладают некоторыми из этого набора. На этой основе строится описание умственных и практических учебных действий, помогающих ученику в поиске ли конструировании задач, аналогичных данной, и решать их. Такой подход существенно опирается на трактовку аналогия, как отношения и метода, обоснованную одним из авторов в статье 6. Это позволяет в некоторой степени алгоритмизировать процесс использования метода и применять его, по меньшей мере, учителю уже, во-первых вполне осознанно, и, во-вторых, как метод самостоятельного исследования учащимися искомого задачи и поиска её решения в процессе обучения. Такой метод обучения прошёл апробацию в рамках школы и разъяснятся на примере школьных задач.

1. Болтянский В.Г. Аналогия – общность аксиоматики // Советская педагогика. – 1975. – № 1. – С. 73–78.

2. Бутусова С.А., Жохов А.Л. Построение математической модели отношения аналогии // Материалы студенческой конференции – 2011.

5. Жохов А.Л. Методика систематического применения аналогии при формировании математических понятий и умений решать задачи с учащимися восьмилетней школы // Автореферат дисс. … канд. пед. н. – М., 1979. – 20 с.

6. Жохов А.Л. Об аналогии и возможностях её использования при обучении математике [Текст] // Современные проблемы физико-математического образования / под общ. ред. проф. И.Г. Липатниковой. – Екатеринбург: УрГПУ, 2011. – С. 244 – 256.

7. Зиман Э., Бьюнеман. Толерантные пространства и мозг. На пути к теоретической биологии. Пролегомены. – М.: Мир, 1970. – C. 134–144.

9. Мордкович А.Г. Алгебра: Учеб. для 7 кл. общеобразовательной шк. – М.: Мнемозина, 1997. – 160 с.: ил.

11. Столяр А.А. Педагогика математики: Учебное пособие для студ. Физ-мат. фак. – Минск: Народная асвета, 1986. – C. 96–99.

Обучение понятиям – длительный процесс, который не завершается усвоением его определения, а имеет целью, прежде всего, включение понятия в систему действий по его использованию для изучения и описания объектов и явлений реального мира, в том числе и умственного мира учащихся, и, особенно, при решении ими различного рода задач. При этом математическое понятие выступает по большому счету в роли, с одной стороны, модели объекта познания, то есть, по нашим представлениям, служит его аналогом [5, 6], с другой – особенно в процессе обучения, само является объектом познания, то есть выступает для учащегося в роли оригинала. Эта двойственная роль математических понятий должна быть учтена при выстраивании методики обучения математическим понятиям с активным использованием аналогии.

Под методикой применения аналогии в процессе обучения понятиям будем понимать программу таких действий учителя и учащихся (умственных и материализованных) с понятиями, которая обеспечивает учащимся значительный уровень овладения ими, характеризующийся их пониманием, способностью осознанно применять их при решении задач и ориентироваться с их помощью в изменённых условиях. В такой программе действий может быть выделено и описано главное звено применения аналогии, определяющее направленность и основную цель этого процесса, а также – его отдельных этапов и действий, составляющих его структуру.

Главное звено использования аналогии

Рассмотрим в качестве примера изучение понятия степени с натуральным показателем в VII классе. Считается, что на этом этапе обучения данное понятие является усвоенным на достаточном уровне, если учащиеся:

– знают соответствующие определения и правила действий со степенями (см., например, действующий учебник [10] для n∈N – §4, для n = 0 – §8),

– умеют на этой основе раскрывать выражения вида an и вычислять их значения при различных а,

– умеют использовать эти знания и умения в тождественных преобразованиях выражений, необходимые при изучении многочленов.

По определению bп есть результат арифметической операции возведения в п-ю степень числа b, то есть, при п>1 – результат умножения п одинаковых множителей, каждый из которых равен b: (В). Однако в младших классах учащиеся изучали действие (операцию) сложение п одинаковых слагаемых, каждое из которых равно а, а результат, то есть сумму , записывали как произведение: (А). Отметим, что именно с рассмотрения этого аналога начинается изучение понятия степени в учебнике [10, §4], что вполне методически оправдано.

Одна из первых групп действий по использованию аналогии – подготовительные, обозначим их Дп. К ним мы отнесем Дп1 – формирование первичных представлений учащихся о понятии-оригинале и цели его исследования (ознакомление с ним). Следующие два действия этой группы Дп2, Дп3. – ознакомление учащихся с конкретными представителями, моделями-аналогами (их часто называют просто примерами) нашего оригинала и со сходством (аналогией) между ними как возможными средствами, которые будут использоваться для достижения поставленной цели. При этом предполагается, что учитель, организующий описываемый процесс, понимает, что аналогия трактуется как специфическое отношение сходства между оригиналом (познаваемым объектом) и его моделями-аналогами [6], и на достаточном уровне владеет этим понятием. Результатом выполнения подготовительных действий является учебная ситуация по применению аналогии для изучения с её помощью нового понятия.

После уяснения учащимися ситуации на обозначенном подготовительном этапе (через выполнение соответствующей системы подготовительных учебных заданий), процесс использования аналогии переходит во вторую стадию – реализующих действий Др. Одно из первых действий этой группы Др1 – выбрать из некоторого, предъявленного учащимся набора, модели, полезные для достижения цели, и исследовать их. Действие является необходимым: если нужные модели изучаемого понятия не будут найдены и осознаны учащимися, то не будет и оснований для вывода по аналогии. Следующие два необходимых действия (Др2, Др3) – исследование выбранных моделей оригинала и получение желательной информации о них и – через них – первичной информации об оригинале. Этап реализующих действий настолько важен, что, фактически, он и определяет главное звено применения аналогии – вывод по аналогии, трактуемый как перенос информации с моделей на оригинал [12]. Его можно представить в виде следующей схемы:

Прежде чем конкретизировать обозначенные действия, в особенности на примерах учебных заданий соответствующих типов, рассмотрим далее один из распространенных в математике видов аналогии понятий и способы его применения для получения соответствующих умозаключений. Продолжим для этого рассматривать понятие степени с натуральным показателем на множестве рациональных чисел (мы ограничиваемся этим множеством, поскольку в основной, да и в старшей школе им в большинстве случаев и ограничиваются авторы учебных пособий).

Некоторые математические основания аналогии понятий (комментарий для студентов, магистрантов, аспирантов и учителей)

(А): а, а+а, …, ;

(В): b, b•b, …, ;

(В′): b1, b2, …, bn,…

Иными словами, на самом деле речь идёт не столько об аналогии операций, сколько об аналогии действительно сложных математических объектов. На множествах Q рациональных чисел и Q+ – рациональных положительных чисел (b ≠ 0), отдельно друг от друга рассматриваются операции: на первом – обычная (бинарная) операция сложения и (унарная) операция перехода к противоположному числу (-а); на втором – обычное умножение и (унарная) операция перехода от числа b к обратному числу b-1. Тогда имеем две числовые системы 〈Q, +, –, 0〉 и 〈Q+,•,-1, 1〉 – алгебры, являющиеся, соответственно, аддитивной и мультипликативной группами рациональных (в случае Q+ – положительных) чисел [8].

Из университетского курса алгебры известно, что заданная на множестве Q функция, например y=f(x) = 2х, вместе с обратной функцией x = log2y осуществляют взаимно однозначное соответствие между указанными множествами, причем так, что сумме х1 + х2 чисел из Q соответствует произведение у1•у2 чисел из Q+, и наоборот. Следовательно, рассматриваемые группы изоморфны. С позиций введенного в [2, 5, 6] определения аналогии, наличие изоморфизма позволяет утверждать, что соответствующие группы и, как следствие, рассматриваемые на них операции аналогичны относительно рассмотренного выше набора их свойств S = . Такое объяснение аналогии рассматривалось ещё известным математиком и ее популяризатором Д. Пойа [10].

Учебные средства применения аналогии

Чтобы аналогию, особенно в форме изоморфизма, можно было эффективно использовать в процессе обучения необходимо обратиться ещё к одной форме аналогии, возможно, наиболее распространенной и легче всего воспринимаемой. Такой формой, как с психологической и философско-математической точки зрения обосновано в [3, 5, 6, 13], является знаковое моделирование. Отсылая читателя к соответствующей литературе, отметим далее лишь те средства, которые активно и издавна (в особенности, со времен Р. Декарта) используются в математической познавательной деятельности. К таким моделям мы относим: предметно-образные, словесные, словесно-символические, изобразительные и символические [5].

Что касается изоморфизма выше представленных множеств (А) и (В), то для конкретных а и b (например, а = 1, b = 2) его можно дать в виде графика функции 2n (n∈Z) в системе координат хОу (рис. 1). На рисунке стрелочками по оси Ох иллюстрируется сложение и вычитание чисел из (А), на оси Оу – умножение и деление чисел из (В). Точками и штриховыми линиями на плоскости хОу изображается соответствие результатов этих действий при изоморфном отображении первого множества (А) на второе (В).

Так как знаковые модели являются аналогами формируемых понятий, то переходы от одного из них к другим, сопровождаемые соответствующими словесными переформулировками, представляют собой необходимые умственные действия по применению аналогии. Фактически, в таких переходах осуществляется перекодирование информации, ведущее к овладению различными моделями формируемого понятия и тем самым обогащающее его понимание учащимися. Очевидно, использование различных моделей, как и осуществление переходов между ними необходимо предусмотреть в соответствующей системе учебных заданий. Приведём примеры таких учебных заданий для учащихся V-VII классов, которые отвечают логике использования аналогии при формировании понятия степени вначале с натуральным, а затем и с целым показателем при положительном основании.

Широкое применение аналогии в процессе обучения математике является одним из эффективных приемов, способных побудить у учащихся живой интерес к предмету, приобщить их к тому виду деятельности, который называют исследовательским. Кроме того, широкое применение аналогии дает возможность более легкого и прочного усвоения школьниками учебного материала, так как часто обеспечивает мысленный перенос определенной системы знаний и умений от известного объекта к неизвестному (что, кстати говоря, способствует также актуализации знаний).

О роли аналогий как в научном познании, так и в процессе обучения говорили многие видные ученые. Так, Кеплер высказал следующее суждение: "Я больше всего дорожу Аналогиями, моими самыми верными учителями. Они знают все секреты Природы, и ими меньше всего следует пренебрегать”.

Установление аналогий будет идти успешнее, если у учащихся будет сформировано умение проводить сравнение. Благодаря сравнению объектов, явлений, процессов человек получает возможность мыслить глубже, и его знания становятся более прочными и осмысленными. Сравнение позволяет сформировать у школьников умение находить сходства и различия понятий, процессов, явлений, что активизирует мыслительную деятельногсть и ускоряет процесс умственного развития.

Сравнение осуществляется в двух основных формах: сопоставления и противопоставления. Противопоставление направлено на уяснение отличительного в предметах и явлениях при выделении существенных признаков и свойств. Сопоставление направлено на выделение существенных свойств, общих для ряда объектов. Как показывают исследования психологов, ученик осознает различие раньше, чем сходство.

По степени полноты различают частичные и полные сравнения. Полное сравнение устанавливает и сходство, и отличие. Частичное сравнение позволяет глубже осознать отличительное в изучаемом учебном материале.

Применение аналогии весьма полезно в процессе изучения математики, как и в любой науке вообще.

Предметы и явления дейтвительности, - указывал еще Сеченов, - запечатлеваются и воспроизводятся не изолированно друг от друга, а в тесной связи друг с другом, группами или рядами.

Аналогия же помогает сопоставлять и противопоставлять понятия математики, а новые сведения, понятия лучше усваиваются тогда, когда они вводятся не во всякой связи с предыдущими, а в сравнении с ними, в установлении сходных и отличительных признаков.

Подведем некоторые итоги. Прежде всего отметим, что индукция, дедукция и аналогия, представляя собой основные виды умозаключений, являются прежде всего методами научного исследования, а также весьма эффективными методами обучения математикие.

В процессе мышления (и в процессе обучения) индукция, дедукция и аналогия взаимодействуют настолько тесно, что говорить о них раздельно имеет смысл только из соображений их детального изучения.

Единство индуктивных и дедуктивных умозаключений по аналогии отражено и во многих работах по логике, связанных с проблемой классификации умозаключений. С этой точки зрения представляется весьма интересная работа А. И. Уемова, цитатой из которой будет подведен окончательный итог:

“Независимо от оснований, оправдывающих переход от посылок к заключению, все выводы можно подразделить на две группы.

В одной из них классы предметов, к которым относятся посылки и заключения, совместимы. Более того, один из этих классов является подклассом другого. К этому типу выводов относятся индукция и дедукция, которые можно определить следующим образом:

а) дедукция – умозаключение, вывод которого относится к предметам, не выходящим за рамки того класса вещей, о котором шла речь в посылках;

б) индукция – умозаключение, вывод которого относится к большему кругу предметов, чем тот, о котором говорится в посылках.

В другом типе выводов предметы, к которым относятся посылки и заключение, различны. Именно таков характер выводов по аналогии. Таким образом, можно дать следующее определение:

в) аналогия – умозаключение, в котором заключение относится к другому предмету, чем тот, о котором говорится в посылке”.

Выводы в умозаключениях по аналогии всегдабывают только вероятны, но это вероятное знание, предположение несет в себе нечто новое. Сама по себе аналогия не дает ответа на вопрос о правильности предноложения,Эта правильность должна проверяться другими средствами. Аналогия важна уже тем, что она наводит нас на догадки, подает мысль о том или ином предположении.

Все это очень важно как в развитии науки, так и в обучении математике. Аналогия помогает учащимся находить предположительное решение новых вопросов, учебных проблем и этим спосодствует активизации познавательного процесса, учения школьников, эффективному развитию их самостоятельного продуктивного мышления, математической интуиции. Аналогии, кроме того, являются важнейшем источником ассоциаций, обеспечивающих глубокое и прочное усвоение предмета учащимися.

СУЩНОСТЬ АНАЛОГИИ И ЕЕ ВИДЫ

Одним из весьма важных типов умозаключений является так называемое традуктивное умозаключение ( лат. traductio – перемещение ), при котором от двух или нескольких суждений некоторой степени общности переходят к новому суждению той же степени общности.

Например, пусть a , b и c – некоторые действительные числа, a > b (первое суждение), b > c (второе суждение). a > c (новое суждение).

Как метод исследования традукция заключается в том, что, установив сходство двух объектов в некотором отношении, делают вывод о сходстве тех же объектов и в другом отношении.

Важнейшим видом традуктивного умозаключения является аналогия (греч. analogia – соответствие, сходство). Аналогия – весьма эффективный эвристический инструмент познания.

Умозаключение по аналогии можно выразить следующей схемой:

Объекты Свойства объектов

При умозаключении по аналогии знание, полученное из рассмотрения какого –либо объекта (“модели”), переносится на другой, менее изученный (менее доступный для исследования, менее наглядный и т. п.) в каком- либо смысле объект. По отношению к конкретным объектам заключения, получаемые по аналогии, носят, вообще говоря, лишь вероятный характер; они являются одним из источников научных гипотез, индуктивных рассуждений и играют важную роль в научных открытиях.

Понятно, что не всякое сходство есть аналогия. Сравнивая девушку с цветком, поэт имеет ввиду определенное сходство образов красивой девушки и цветка; он далек от проведения аналогии между ними.

Наиболее глубоким видом аналогии, приводящим к совершенно достоверным выводам, является изоморфизм . Установив изоморфность двух или нескольких систем объектов, мы можем перенести любое предложение, справедливое для одной из этих систем, на другую систему объектов, изоморфных изученной. Ярким примером служит аналитическая геометрия, в которой изучению геометрических фигур и их свойств сводится к изучению определенных аналитических соотношений над числовыми объектами.

Аналогия различается на:

Простую аналогию , при которой по сходству объектов в некоторых признаках заключают их сходство в других признаках;

Распространенную аналогию , при которой из сходства явлений делают вывод о сходстве причин.

В свою очередь, простая и распространенная аналогия может быть:

а) строгой аналогией, при которой признаки сравниваемых объектов находятся во взаимной зависимости;

б) нестрогой аналогией, при которой признаки сравниваемых объектов не находятся в явной взаимной зависимости.

Аналогия является, пожалуй одним из самых распространенных методов научного исследования. Широкое применение аналогий часто приводит исследователя к более или менее правдоподобным предположениям о свойствах изучаемого объекта, которые могут быть затем подтверждены или опровергнуты опытом или более строгими рассуждениями.

Таким образом, имеет смысл говорить о “полезной” и о “вредной” аналогии. Примером “полезной аналогии” является, в частности, мысленный перенос многих понятий и суждений, относящихся к планиметрии, в геометрию трехмерного пространства. Например: “Прямоугольник аналогичен прямоугольному параллелепипеду. В самом деле, отношения между сторонами прямоугольника сходны с отношениями между гранями параллелепипеда:

Каждая сторона прямоугольника параллельна и равна одной другой стороне и перпендикулярна остальным.

Каждая грань прямоугольного параллелепипеда параллельна и равна одной другой грани и перпендикулярна остальным”

Заметим, что не менее явная аналогия существует и между площадью прямоугольника и объемом прямоугольного параллелепипеда. Причем эта аналогия проявляется весьма широко, начиная от сходства формул S = a * b и V = a * b * c и кончая сходством в структуре вывода этих формул (распадающегося на случаи, когда измерения названных фигур выражаются натуральными, положительными рациональными и действительными числами).

В качестве примера “вредной аналогии” можно привести перенос известных законов сложения конечных сумм на бесконечные.

Вот к каким результатам можно придти, если, в частности, применить эту аналогию при нахождении суммы ряда

S = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + … :

используя свойство прибавления разности, получим:

S = (1 –1) + (1 – 1)+(1 – 1)+ … = 0 + 0 + 0 … = 0

б) используя свойство вычитания разности, получим:

S = 1 – (1 – 1) – (1 – 1) – (1 – 1) = 1 – 0 – 0 – 0 - … = 1

в) используя сочетательное свойство для алгебраической суммы, имеем:

S = 1 – (1 – 1 + 1 - … ), или S = 1 – S, откуда 2S = 1 и S = ½

Понятно, что примененная здесь аналогия является незаконной; слишком глубокое качественное различие между конечным и бесконечным в математике уменьшает число аналогичных свойств, присущих тому и другому.

По способам осуществления различают сравнения параллельные, последовательные отсроченные. Параллельные сравнения используются при изложении материала укрупленными блоками, когда одновременно изучаются взаимосвязанные понятия, теоремы, задачи. При последовательном сравнении новый объект сравнивается с ранее изученными. При отсроченном сравнении сравниваемые объекты значительно значительно удалены друг от друга во времени. В установлении аналогий плоских и пространственных фактов имеют место все три типа сравнений.

Понятие и методика изучения многозначных чисел в обучении математике; особенности изучения нумерации многозначных чисел младшими школьниками. Апробирование и анализ результатов экспериментальной работы по выявлению особенностей изучения нумерации.

Рубрика	Педагогика
Вид	курсовая работа
Язык	русский
Дата добавления	26.11.2012
Размер файла	32,8 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Оглавление

1. Понятие числа и методика их изучения

1.1 Многозначные числа в обучении математике по учебнику Л.Г. Петерсона

1.2 Методика изучения нумерации чисел младшими школьниками

1.3 Сравнительный анализ учебников начальных классов

2. Из опыта работы по использованию многозначных чисел в обучении математике младших школьников

3. Апробирование и анализ результатов экспериментальной работы по выявлению особенностей изучения нумерации многозначных чисел младшими школьниками

Введение

Одна из важнейших задач обучения младших школьников математике формирование у детей понятия о числе и арифметических действиях, основой которых является осознанное и прочное усвоение приемов устных и письменных вычислений. Их усвоение происходит в результате длительного выполнения тренировочных упражнений. Выполнение большого количества однотипных упражнений, безусловно, способствуют усвоению вычислительного приема, но вместе с тем снижает познавательную активность, у детей пропадает интерес, рассеивается внимание, нарастает число ошибок и т.п.

Изучение математики по концентрам в начальном курсе математики дает возможность неоднократно возвращаться к рассмотрению основных вопросов, связанных с особенностями десятичной системы счисления, устной и письменной нумерации чисел, закрепляя знания детей. В условиях развивающего обучения система заданий, направленные на усвоение вычислительных умений и навыков, должна формировать обобщенные способы действий, побуждать учащихся к самостоятельному поиску новых способов действий, рассмотрению нескольких способов решения задания и оцениванию их с точки зрения рациональности. Использование рациональных приемов, помогающих во многих случаях значительно облегчить процесс вычислений, способствуют формированию положительных мотивов к этому виду учебной деятельности. Поэтому работа по поиску рациональных приемов вычислений должна проводиться постоянно, систематически и органически увязываться с изучаемым программным материалом. По программе начальных классов на каждом уроке математики требуется проводить упражнения по развитию устных вычислительных навыков. Формирование умения считать, навыков решения арифметических действий у младших школьников является одной из сложнейших задач учителя. Учителю нужно совершенно отчетливо представлять себе уровень, на котором должен быть усвоен каждый из вопросов умения считать. Связи с этим представляется целесообразным конкретизировать требования, которые могут быть предъявлены к учащимся к концу изучения основных тем программы ("Десяток", "Сотня", "Тысяча", "Многозначные числа").

Нумерация многозначных чисел и действия над ними выделяются в особый концентр потому, что нумерация чисел за пределами 1 000 имеет свои особенности: многозначные числа образуются, называются, записываются с опорой не только на понятие разряда, но и на понятие класса. Необходимо раскрыть это важнейшее понятие нашей системы счисления.

Показать, что же именно должны знать и уметь дети, какими навыками они должны овладеть в ходе работы над темами. Исходя из всего сказанного, можно сделать вывод, что при обучении арифметическим действиям в начальных классах обязательным условием является необходимое использование элементов множества, т.е. предметного счета. Без предметного преподавания детей обучать невозможно и нельзя. Таким образом, актуальность выше изложенных явлений служила основанием для более глубокого включения понятия числа в систему начального математического образования, как одних из наиболее эффективных способов развития мышления.

Цель исследования: выявить особенности формирования нумерации многозначных чисел младшими школьниками.

Объект исследования: процесс обучения математике младших школьников.

Предмет исследования: особенности формирования нумерации многозначных чисел и действия сложения и вычитания с ними в начальной школе.

1) Изучить теоретические основы вопроса - изучение многозначных чисел;

2) выявить особенности изучения нумерации многозначных чисел;

3) провести сравнительный анализ учебников изучения многозначных чисел и действия сложения и вычитания между ними.

Методологические основы исследования составляют труды психологов и педагогов: Н.Б. Истоминой, Петерсона Л.Г., Моро М.И., Бантовой М.А., Петракова И.С. и др.

1. Понятие числа и методика их изучения

1.1 Многозначные числа в обучении математике младших школьников по учебнику Л.Г. Петерсона

Задача изучения данной темы состоит в том, чтобы расширить у детей знания десятичной системы счисления, структуры многозначного числа, натуральной последовательности чисел и на этой основе сформировать у детей умение правильно читать и записывать многозначные числа в пределах класса миллионов.

Основным содержанием этой темы являются следующие вопросы:

1. Ознакомление учащихся с новыми для них счетными (разрядными) единицами и введение понятия "класс"; усвоение разрядного и классного состава числа путем упражнений в образовании чисел из разрядных и классных единиц и разложения чисел на разрядные слагаемые, в сложении и вычитании чисел на основе знания их десятичного состава.

2. Изучение натуральной последовательности чисел за пределами тысячи, особенно при переходе из одного разряда или из одного класса в другой.

3. Чтение и запись многозначных чисел.

4. Усвоение терминологии, связанной с формируемыми понятиями.

Из перечня основных вопросов, составляющих содержание дайной темы, видно, что изучение ее связано с усвоением ряда отвлеченных понятий, нуждающихся в конкретизации. Так, должны быть конкретизированы десятичная основа нашей системы счисления, поместное значение цифры, место разрядов и классов и др. Этой цели служат следующие наглядные пособия:

а) нумерационная таблица, или таблица разрядов и классов, с "карманами" для вставки цифр, которая облегчает ученику его первые шаги в овладении умением читать и записывать многозначные числа;

б) демонстрационный абак, который особенно полезен на первых уроках (при изучении вопросов устной нумерации) для показа образования числа и его разложения на разрядные числа.

Ученики должны иметь у себя ученические счеты и абаки такого же типа, что и демонстрационные, только меньшего размера. Изучение данной темы полезно связать с жизнью, с конкретным материалом - числовыми данными, характеризующими развитие промышленности, сельского хозяйства и культуры в своем крае, городе.

К изучению данной темы ученики приступают с хорошим знанием нумерации трехзначных чисел, т.е. чисел первого класса. Это знание и нужно положить в основу изучения нумерации чисел класса тысяч.

Пользуясь откладыванием чисел на классных счетах, ученики получают три новые для них счетные (разрядные) единицы - тысячи, десятки тысяч, сотни тысяч. И здесь же учитель сообщает, что ранее известные три разряда (единицы, десятки, сотни) составляют класс единиц, а вновь полученные три разряда (единицы тысяч, десятки тысяч, сотни тысяч) составляют класс тысяч.

Далее подробно выясняется, что общего и что различного в этих классах.

Общее: в каждом классе по три разряда; название разрядов (единицы, десятки, сотни в классе единиц; единицы тысяч, десятки тысяч, сотни тысяч в классе тысяч). Отношение соседних разрядных единиц (10); в каждом классе 10 единиц низшего разряда образуют одну единицу следующего, высшего разряда.

Что различного в этих классах: в классе единиц счет ведется единицами, в классе тысяч - тысячами; счетная единица первого класса - простая единица; счетная единица второго класса - тысяча. Единицами считают от 1 до 999, тысячами - от 1 тысячи до 999 тысяч.

Эти сведения приобретают более конкретный характер, когда они записаны в нумерационной таблице:

Умозаключение по аналогии возможно также применять при переходе к письменному сложению и вычитанию многозначных чисел, сравнивая его со сложением и вычитанием трехзначных.

Умозаключение по аналогии можно использовать при изучении свойств арифметических действий. В частности, переместительного свойства умножения. Для этой цели учащимся сначала предлагается найти значения выражений:

– Каким свойством вы воспользовались при выполнении задания? (Переместительным свойством сложения).

– Подумайте: как установить, выполняется ли переместительное свойство для умножения?

Учащиеся по аналогии записывают пары произведений и находят значение каждого, заменяя произведение суммой.

Для правильного умозаключения по аналогии необходимо выделить существенные признаки объектов, в противном случае вывод может оказаться неверным. Например, некоторые учащиеся пытаются применить способ умножения числа на сумму при умножении числа на произведение. Это говорит о том, что существенное свойство данного выражения – умножение на сумму, оказалось вне их поля зрения.

Формируя у младших школьников умение выполнять умозаключения по аналогии, необходимо иметь в виду следующее:

• Аналогия основывается на сравнении, поэтому успех ее применения зависит от того, насколько ученики умеют выделять признаки объектов и устанавливать сходство и различие между ними.

• Для использования аналогии необходимо иметь два объекта, один из которых известен, второй сравнивается с ним по каким–либо признакам. Отсюда, применение приема аналогии способствует повторению изученного и систематизации знаний и умений.

• Для ориентации школьников на использование аналогии необходимо в доступной форме разъяснить им суть этого приема, обратив их внимание на то, что в математике нередко новый способ действий можно открыть по догадке, вспомнив и проанализировав известный способ действий и данное новое задание.

• Для правильных действий по аналогии сравниваются признаки объектов, существенные в данной ситуации. В противном случае вывод может быть неверным.

• Задание 88. Приведите примеры умозаключений по аналогии, которые возможно использовать при изучении алгоритмов письменного умножения и деления.

3.6. Прием обобщения

Выделение существенных признаков математических объектов, их свойств и отношений – основная характеристика такого приема умственных действий, как обобщение.

Следует различать результат и процесс обобщения. Результат фиксируется в понятиях, суждениях, правилах. Процесс же обобщения может быть организован по–разному. В зависимости от этого говорят о двух типах обобщения – теоретическом и эмпирическом.

В курсе начальной математики наиболее часто применяется эмпирический тип, при котором обобщение знания является результатом индуктивных рассуждений (умозаключений).

Для получения правильного обобщения индуктивным способом необходимо:

1) продумать подбор математических объектов и последовательность вопросов для целенаправленного наблюдения и сравнения;

2) рассмотреть как можно больше частных объектов, в которых повторяется та закономерность, которую ученики должны подметить;

3) варьировать виды частных объектов, т. е. использовать предметные ситуации, схемы, таблицы, выражения, отражая в каждом виде объекта одну и ту же закономерность;

4) помогать детям словесно формулировать свои наблюдения, задавая наводящие вопросы, уточняя и корректируя те формулировки, которые они предлагают.

Рассмотрим на конкретном примере, как можно реализовать приведенные рекомендации. Для того чтобы подвести учащихся к формулировке переместительного свойства умножения, учитель предлагает им такие задания:

Рассмотрите рисунок и попробуйте быстро подсчитать, сколько окон в доме.

Дети могут предложить следующие способы: 3+3+3+3, 4+4+4 или 3*4=12; 4*3=12.

Учитель предлагает сравнить полученные равенства, т. е. выявить их сходство и различие. Отмечается, что оба произведения одинаковые, а множители переставлены.

Аналогичное задание учащиеся выполняют с прямоугольником, который разбит на квадраты. В результате получают 9*3=27; 3*9=27 и словесно описывают те сходства и различия, которые существуют между записанными равенствами.

Ученикам предлагается самостоятельная работа: найти значения следующих выражений, заменив умножение сложением:

3*2 4*2 3*6 4*5 5*3 8*4 2*3 2*4 6*3 5*4 3*5 4*8

• Задание 89. Подберите последовательность заданий, которые можно использовать для выполнения индуктивных умозаключений при изучении:

б) переместительного свойства сложения;

в) принципа образования натурального ряда чисел (если к числу прибавить единицу, то получим следующее при счете число; если вычесть 1, то получим предыдущее число);

г) взаимосвязей между делимым, делителем и частным;

Опишите работу с этими заданиями, учитывая методические требования к использованию индуктивных рассуждений при изучении нового материала.

Формируя у младших школьников умение обобщать наблюдаемые факты индуктивным способом, полезно предлагать задания, при выполнении которых они могут сделать неверные обобщения.

Рассмотрим несколько таких примеров:

Сравни выражения, найди общее в полученных неравенствах и

сделай соответствующие выводы:

2+3 . 2*3 4+5. 4*5 3+4. 3*4 5+6. 5*6

Найди сумму. Сравни ее с каждым слагаемым. Сделай соответствующий вывод.

Слагаемое	1	2	3	4	5	6
Слагаемое	4	4	4	4	4	4
Сумма

V Проверь, будет ли делиться каждое слагаемое на число 2, и сделай вывод.

• Задание 90. Используя содержание курса начальной математики, придумайте задания, при выполнении которых ученики могут сделать неверные индуктивные заключения.

Большинство психологов, педагогов и методистов считают, что эмпирическое обобщение, в основе которого лежит действие сравнения, для младших школьников наиболее доступно. Этим, собственно, и обусловлено построение курса математики в начальных классах.

В отличие от эмпирического, теоретическое обобщение осуществляется путем анализа данных о каком–либо одном объекте или ситуации с целью выявления существенных внутренних связей. Эти связи сразу фиксируются абстрактно (теоретически – с помощью слова, знаков, схем) и становятся той основой, на которой в дальнейшем выполняются частные (конкретные) действия.

Разработка данного вопроса на методическом уровне представляет определенную сложность. В настоящее время – это одна из самых актуальных проблем начального обучения, решение которой связано как с изменением содержания, так и с изменением организации учебной деятельности младших школьников, направленной на его усвоение.

Использование величин для формирования у школьников обобщенных способов действий – один из возможных вариантов построения начального курса математики. Но эту же задачу можно решать, выполняя различные действия и с множествами предметов. Примеры таких ситуаций нашли отражение в статьях Г. Г. Микулиной[4].

Пользуясь способом установления взаимно–однозначного соответствия, учащиеся выкладывают в зеленой пачке столько же карточек, сколько их в красной, и добавляют к ней еще третью пачку (из синих карточек).

Наряду с эмпирическим и теоретическим обобщениями в курсе математики имеют место обобщения–соглашения. Примерами таких обобщений являются правила умножения на 1 и на 0, справедливые для любого числа. Их обычно сопровождают пояснениями:

• Задание 91. Используя содержание курса начальной математики, придумайте ситуации для теоретического и эмпирического обобщения при изучении какого–либо понятия, свойства или способа действия.

них – не посредственно, в результате воздействия предметов внешнего мира на органы чувств.

Но большую часть з наний мы получаем путем выведени я новых знаний из знаний уже

имеющихся. Эти знания называются опосредованными, или вводными.

Логической формой получения новых знаний является умозаключение.

Умозаключение — это процесс получения знания, выра женного в суждении, из других

Любое умозаключение состоит из посылок, заключений и вывода.

Исходные суждения, из которых выводится новое суждение, называются посылками

умозаключения , суждение, полученное логическим путем из посылок, называется заключением .

Логический переход от посылок к заключению называется выводом .

Например: «Судья не мож ет уч аствовать в рассмотрении дела, ес ли он является

потерпевшим (1). Судья Н. — потерпевший (2). Значит, судья Н. не может участвовать в

В этом умозаключении 1-е и 2-е суждения являются посылками, 3-е суждение —

При анализе умозаключения посылки и заключение принято записывать отдельно,

располагая их друг под другом. Заключение записывают под горизонтальной чертой,

соответствии с этим приведенный пример примет следующий вид:

Судья не может участвовать в рассмотрении дела, если он является потерпевшим.

Отношение логического следования между посылками и заключением предполагает

связь между посылками по содержанию. Если суждения не связаны по содержанию, то вывод,

из них невозможен. Например, из суждений: «Судья не может участвовать в рассмотрении дела,

заключения, так как эти суждения не имеют общего содержания и, следовательно, логически не

При наличии содержательной связи между посылками мы мож ем получить в процессе

рассуждения новое истинное знание при соблюдении двух условий: во-первых, исходные

суждения — посылки умозаключения должны быть истин ными; во-вторых, в процессе рас

суждения следует соблюдать правила вывода, кот орые обусловливают логическую

В зависимости от строгости правил вывода различают демонстративные (необходимые)

и недемонстративные (правдоподобн ые) умозаключения. Демонстрат ивные умозаключения

характеризуются тем, что заключение в них с необходимостью следует из посылок, т.е.

логическое следование в такого рода выводах представ ляет собой логический закон. В

недемонстративных умозаключени ях правила вывода обеспечивают лишь вероятностное

Важное значение имеет классификация умозаключений по на правленности логического

следования, т.е. по характеру связи между знанием различной степени общности, выраженному

в посылках и заключении. С этой точки зрения различают три вида

умозаключений: дедуктивные (от общего знания к частному), индуктивные (от частного знания

к общему), умозаключения по аналогии (от частного знания к частному).

Рассмотрим более подробно умозаключения по аналогии.

В науке и практических делах объектом исследования нередко выступают единичные,

неповторимые по своим индивидуальным характеристикам события, предметы и явления. При

их объяснении и оценке прибегают к умоз аключению по аналогии (или сокращенно – аналогия ) ,

т.е. уподобляют новое единичное явление другому, известному и сходному с ним единичному

явлению и распространяют на первое ранее полученную информацию.

Например, историк, анализируя революционные собы тия в конкретной стране,

уподобляет их ранее совершенной в другой стране сходной революции и на этой основе

прогнозирует развитие политических событий. Так, русские политические деятели

обосновывали свою идею о необходимости заключения в 1918г. мирного договора с Германией

(Брестский мир) ссылкой на сходную историческую ситуацию в начале XIX в., когда сами

немцы заключили в 1807 г. кабальный договор с Наполеоном (Тильзитский мир), а затем через

6—7 лет, собравшись с силами, пришли к своему освобождению. Аналогичный выход

Аналогия – одна из самых древних мыслительных операций. Это понятие было известно

и греческой науке, и средневековому мышлению. И уже в древности было замечено, что

уподобляться друг другу, соответст вовать и быть сходными по своим свойствам могут не

Аналогия возникает из объективного противоречия между потребностью познания

человеком качественного многообразия мира и наличными знаниями о нем. Ее назначение -

быть одним из средств разрешения этого противоречия.

Аналогия – это вывод о принадлежности определенного признака исследуемому

единичному объекту (предмету, событию, отношению или классу) на основе его сходства в

существенных чертах с другим уже известным единичным объектом.

Процессу аналогии предшествует операция сравнения двух объектов, которая позволяет

установить сходства и различия между ними. При этом требуются сходства по существенным

признакам. Только в этом случае два объекта уподобляются.

Сходство – это отношение между объектами, состоящее в наличии у рассматриваемых

Чем больше у объектов общих признаков и чем более существенны эти признаки, тем

оба: а) предметы мебели, б) деревянные, в ) имеют четыре ножки г) и меют плоскую

горизонтальную поверхность и т.п. Однако все эти признаки, кроме признака «бы ть предметом

стул предназначен для сидения, стол — для письма; стул имеет спинку, а стол ее не имеет и т.п.

Это означает, что данные стол и стул сходны преимущественно по несущественным признакам

и различаются сущес твенными. Следовательно, нельзя говорить об их сходстве, которое может

Пример 2. Студент экономического факультета Иванов: а) отлично учился, б) прекрасно

отработал производственную практику, в) активно участвовал в социальной ж изни

университета. Студент э кономического факультета Петров: а) отлично учился, б) прекрасно

отработал производственную практику, в) активно участвовал в социальной жизни

университета. И хотя Иванов — высокий блондин, а Петров среднего роста брюнет, но для

профессиональной карьеры обоих студентов существеннее общие признаки, чем различия.

Поэтому в данном случае можно говорить о сходстве предметов, которое может служить

основанием для аналогии. Так, если Иванов по окончании университета нашел престижную

работу, то мы можем ожидать, что Петров также найдет престижную работу.

Таким образом, видно, что в первом случае предметы не являются аналогичными, а в о

втором – можно провести аналогию между двумя объектами.

Аналогия, как и вся логическая фигура, не является произвольным логическим

построением. В ее основе лежат объективные свойства и отношения предметов реальной

Каждый конкретный предмет или явление, обладая множеством качеств и свойств,

представляет собой не случайную комбинацию не имеющих в нутренней связи признаков, а

определенное единство. Качества и свойства предметов существуют не сами по себе, а лишь в

силу существования других признаков. Каким бы малозначительным ни бы л тот или иной

признак, его существование всегда обусловлено другими сторонами предмета. Как

существенные, так и несущественные, случайные для данного предмета признаки никогда не

возникают самопроизвольно, их изменения всегда предопределяется изменением других его

Если, например, изменяются такой в ажный для конкретного государства признак, как

расстановка общ ественных (к лассовых) сил, то эт о может повлечь з а собой и зменение

классовой природы государства, повлиять на его внутреннюю и внешнюю политику, изменить

Точно также достаточно видоизменить один из физических признаков тела, как тот час

Объективная зависимость между признаками любого явления и служит той основой,

миллиардное повт орение которой в человеческой практике при водит к отражению и

закреплению в мышлении особой логической ф игуры – умозаключения по аналогии. Поскольку

в объективной действительности каждый вновь обнаруженный признак конкретного предмета

не возникает независимо от других его качеств, свойств и отношений , а определенным образом

связан с ними, то обнаружив в другом предмете такую же совокупность признаков, заключают

о существовании у него нового признака. Логический переход от известного знания к

неизвестному в умозак лючении по аналогии регулируется аксиомой, которую можно

сформулировать в виде следующего положения: если два единичных предмета сходны в одних

определенных признаках, то они могут быть сходны и в других определенных признаках,

Такова принципиальная логическая схема и объективная основа умозаключения по

Аналогия – многоликое явление. В зависимости от признака, положенного в основу

Читайте также: